Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка проблемы и основные положения 13
1.1 Основные положения и допущения 13
1.2 Описание объекта исследования 13
1.3 Математическая модель 16
1.4 Переход к безразмерным переменным 26
2. Решение задачи гидроупругости геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля с абсолютно жестким внутренним цилиндром 30
2.1 Метод решения задачи гидроупругости 30
2.2 Решение уравнений динамики жидкости 33
2.3 Решение уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки 34
2.4 Определение выражения для давления в слое жидкости 40
2.5 Исследование математической модели 41
3. Решение задачи гидроупругости геометрически нерегулярной трубы кольцевого профиля с упругой геометрически регулярной внутренней оболочкой 65
3.1 Основные положения и допущения 65
3.2 Математическая модель 66
3.3 Метод решение гидроупругости 69
3.4 Исследование построенной математической модели 80
3.5 Применение экспериментального закона уменьшения толщины 111
3.6 Сравнение с численным методом 134
Заключение 137
Список используемой литературы 140
- Описание объекта исследования
- Переход к безразмерным переменным
- Решение уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки
- Применение экспериментального закона уменьшения толщины
Введение к работе
Актуальность работы. Современные требования машино- и
агрегатостроения диктуют проблемы уменьшения общего веса
конструкции, при этом элементы конструкции должны сохранять износоустойчивость при различных внешних воздействиях, вызванных различным факторами. Одно из решений задачи уменьшения веса конструкции может быть получено при использовании тонкостенных конструкций, а поддержание устойчивости к внешним воздействиям может решаться использованием как жидкости для демпфирования колебаний, так и конструктивных решений, таких как применение ребер жесткости. В настоящее время в различных отраслях науки и техники, в частности в ракетно-космических системах, в железнодорожном, авиационном и автомобильном транспорте, широко применяются конструкции, состоящие из соосных тонкостенных оболочек, как геометрически регулярных, так и геометрически нерегулярных, и вязкой несжимаемой жидкости между ними.
Таким образом, построение математических моделей, позволяющих исследовать динамику взаимодействия геометрически регулярных и геометрически нерегулярных цилиндрических оболочек и вязкой несжимаемой жидкости является актуальной задачей, имеющей научный и практический интерес.
Исследованиями вопросов построения математических моделей и
динамических процессов в конструкциях, содержащих тонкостенные
элементы и вязкую несжимаемую жидкость при воздействии вибрации,
посвящены работы: Н.Н. Иванченко, А.С. Орлина, М.Д. Никитина,
М.Г. Круглова, С.Г. Роганова, К.П. Андрейченко, А.А. Скуридина,
М.М. Чурсина, И.С. Полипанова, А.А. Симдянкина, Д.А. Индейцева,
С.К. Соколова, Р.М. Петриченко, Л.И. Могилевича, В.С. Попова,
Д.В. Кондратова. Вопросами построения математических моделей реальных конструкций под воздействием перепада давления в слое жидкости занимались Л.Г. Лойцянский, М.А. Ильгамов, И.С. Громека, Н.А. Слезкин, J. R. Womersley и другие.
Однако в работах указанных авторов не рассматривались вопросы учета инерции движения вязкой жидкости, упругости внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки с учетом свободного опирания на концах механической системы.
Целью работы является построение математических моделей для
исследования поведения механических систем, состоящих из двух соосных
цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах,
внешняя из которых является упругой геометрически нерегулярной
оболочкой, а внутренняя – либо абсолютно жесткий цилиндр, либо
геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка,
взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости с учетом
инерции ее движения, находящейся между ними, при воздействии гармонически меняющегося перепада давления жидкости.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
-
Разработка и исследование математических моделей для сложных механических систем, состоящих из двух соосных упругих цилиндрических оболочек конечной длины, свободно опертых на концах, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя – либо абсолютно жесткий цилиндр, либо геометрически регулярная упругая цилиндрическая оболочка, содержащих сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости между ними, в условиях воздействия гармонического по времени давления на торцах.
-
Определение на основе построенных математических моделей амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик для внешней геометрически нерегулярной оболочки в условиях гармонического давления на торцах.
3. Численное исследование построенных математических моделей.
Научная новизна работы состоит в следующих положениях:
-
Предложена новая математическая модель механической системы, состоящей из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, со свободным опиранием по торцам, внешняя из которых является геометрически нерегулярной, а внутренняя – абсолютно жесткий цилиндр, содержащих слой вязкой несжимаемой жидкости между ними при воздействии гармонически по времени изменяющегося давления на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и учета свободного опирания оболочки на концах механической системы. Математическая модель представляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамику упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки и жидкости с соответствующими граничными условиями.
-
Предложена новая математическая модель механической системы с упругими внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной оболочками при гармонически изменяющемся давлении на концах механической системы, отличающаяся от известных моделей одновременным учетом инерции движения жидкости, упругости внешней оболочки конечной длины, имеющей ребра жесткости, и внутренней геометрически регулярной оболочки конечной длины, а также учетом свободного опирания оболочек на концах механической системы.
-
Предложен метод исследования математических моделей механической системы с внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочкой, свободно опираемой на концах механической системы, и внутренним либо абсолютно жестким цилиндром, либо
упругой геометрически регулярной цилиндрической оболочкой, при
воздействии гармонически изменяющегося давления на концах
механической системы, учитывающий упругую податливость упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной оболочек и инерцию движения вязкой несжимаемой жидкости. Учет свободного опирания оболочек на концах определил вид решения уравнений динамики упругих геометрически регулярной и геометрически нерегулярной цилиндрических оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов по продольной координате, которые описывают нечетные и четные параметры и явления по этой координате.
-
Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс, который позволяет производить расчет значений резонансных частот и величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек в предложенных математических моделях и рассчитать гидродинамическое давление в слое жидкости, а также с использованием экспериментально полученного закона кавитационного истоньшения оболочек произвести моделирование поведения величин амплитудно-частотных характеристик прогибов оболочек в зависимости от времени работы.
-
Построенные новые математические модели позволили в широком диапазоне параметров исследовать влияние параметров жидкости и размеров механической системы на амплитудно-частотные характеристики оболочек. Показано, что учет инерции движения жидкости, уменьшение вязкости жидкости, увеличение ширины слоя жидкости, уменьшение толщины внешней оболочки увеличивают величины АЧХ на резонансных частотах, в то же время изменение мест расположения ребер жесткости, увеличение количества ребер жесткости на внешней оболочке уменьшает величины АЧХ на резонансных частотах. Кроме того, изменение параметров системы позволяет смещать резонансные частоты по шкале частот, а значит дает возможность не только уменьшить АЧХ на резонансных частотах, но и сдвинуть сами величины резонансных частот из области рабочих частот механической системы, тем самым уменьшив негативное влияние на конструкцию.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и известных методов возмущений для расчета, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов механики деформируемого твердого тела и механики жидкости. Полученные результаты не противоречат имеющимся физическим представлениям и известным экспериментальным данным.
Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при моделировании динамических процессов в сложных механических системах, состоящих из упругих цилиндрических геометрически регулярных и геометрически
нерегулярных оболочек конечной длины, вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно жестких тел, таких как силовые цилиндры, элементы конструкций жидкостных ракетных двигателей, системы подачи топлива и смазки, двигатели внутреннего сгорания с водяным охлаждением. Разработанные математические модели позволят уже на этапе проектирования, исходя из известных параметров работы механической системы и задаваемых требований прочности и износоустойчивости, выбрать наиболее оптимальные параметры системы.
Аналитическое решение, полученное в работе, позволит при использовании компьютерной техники существенно увеличить скорость расчетов. Кроме того, разработанный программный комплекс дает возможность определения влияния различных факторов на динамику механической системы. Приведенные в работе математические модели и результаты их исследования можно использовать для исследования цилиндров двигателей внутреннего сгорания, для определения резонансных частот элементов трубопроводных систем, систем смазки и подачи топлива. Все аналитические и численные вычисления выполнены в системе Waterloo Maple 12 (государственный контракт №71-190А/6 от 18.11.2008).
Результаты диссертации использованы:
-
в гранте РФФИ 12-01-31154-мол_а.
-
в гранте Президента МД-1025.2012.8. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на
Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-25, ММТТ-26 (2012, 2013); Международной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (2012); IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (2012); II Всероссийской конференции «Критические технологии вычислительных систем» (2013), а также на семинарах кафедры «Прикладная математика и системный анализ».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, из них 3 работы в периодических научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Сформулированные в безразмерном виде задачи гидроупругости
механических систем, включающие внешнюю упругую геометрически
нерегулярную цилиндрическую оболочку конечной длины, свободно
опираемую на концах, содержащую вязкую несжимаемую жидкость, и
соосный с оболочкой абсолютно жесткий неподвижный цилиндр, либо
соосную упругую геометрически регулярную цилиндрическую оболочку
при воздействии на них гармонического по времени перепада давления.
Представленные в работе математические модели могут быть
использованы для описания трубопроводов кольцевого профиля, систем
подачи топлива и смазки, двигателей внутреннего сгорания с водяным охлаждением, силовых цилиндров.
-
Определены амплитудно-частотные, фазочастотные характеристики и коэффициенты динамичности колебательной системы геометрически нерегулярная оболочка - жидкость и геометрически нерегулярная оболочка - жидкость - геометрически регулярная оболочка, а также резонансные частоты в предположении гармонического закона изменения давления жидкости на концах механической системы.
-
Построен проблемно-ориентированный комплекс, который позволяет рассчитать для описанных в работе математических моделей величину резонансных частот АЧХ прогибов оболочек, определить величину гидродинамического давления на резонансных частотах. Кроме того, построенный комплекс служит для моделирования поведения АЧХ прогибов упругих оболочек механической системы в зависимости от времени работы с учетом закона кавитационного истоньшения оболочек, полученного экспериментально.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
Описание объекта исследования
На современном этапе развития техники стоит острая необходимость уменьшения веса различных конструкций. Однако современные конструкции должны выдерживать определенные нагрузки при различных воздействиях. В связи с этим, в промышленности, автомобильном, авиационном и железнодорожном транспорте, ракетокосмических системах часто используются сложные механические системы, которые состоят из двух оболочек цилиндрической формы, помещенных одна в другую, и между ними расположена жидкость. Примерами таких моделей могут служить телескопические шасси, жидкостные ракетные двигатели (ЖРД), плунжерная пара с полым плунжером и т.д. [17-18, 22, 27-28, 33,47, 55-64, 74-80, 85, 137, 139-140, 163-164, 173-174, 191-200, 210-212, 244]. Нетрудно видеть, что не в плунжерной паре, не в ЖРД по технологическим особенностям некоторые оболочки (внешнюю или внутреннюю) нельзя принимать за абсолютно жесткие оболочки, т.к. эти элементы должны быть в достаточной мере тонкими. Вязкая несжимаемая жидкость, расположенная между оболочками в таких моделях может предназначаться не только для демпфирования собственных колебаний оболочек, но и для их охлаждения. За счет вязкости жидкости происходит демпфирование, и колебания упругих оболочек подавляются. Жидкость можно считать несжимаемой за счет отсутствия больших скоростей и перепадов давления. Кроме того, упругие элементы конструкции могут быть подкреплены различными ребрами жесткости. Ребра жесткости могут быть необходимы как для гарантии конструкции необходимой жесткости, так и для отвода тепла или для закрепления с помощью ребер других элементов конструкции.
Описание объекта исследования Рассмотрим общую механическую модель, представленную на рис. 1.1 и рис. 1.2. Внешняя оболочка является упругой цилиндрической геометрически нерегулярной оболочкой. Внутреннюю оболочку будем считать абсолютно жестким цилиндром. Между указанными цилиндрическими оболочками располагается вязкая несжимаемая жидкость. Радиус срединной поверхности внешней ребристой оболочки равен R a. QQ толщина в местах, где ребра жесткости отсутствуют, равна /г0. Длины цилиндрических оболочек / одинаковые, а упругие перемещения внешней ребристой оболочки намного меньше ширины 8 цилиндрической щели. Течение жидкости осуществляется под действием давления, являющимся переменным по времени. Ширина д = Я1-Я2 «R2 цилиндрической щели кольцевого сечения, образованная двумя оболочками намного меньше, чем внешний радиус R2 внутренней оболочки и внутренний радиус R1 внешней оболочки. Радиус срединной поверхности R значительно больше толщины внешней h0 = l(R - Rx) оболочки. Перемещение на торцах внутренней оболочки относительно внешней оболочки отсутствует. Полагаем, что рассматриваемая механическая система термостабилизирована.
Для слоя жидкости при изучении динамики механической системы, которая находится между внутренней и внешней оболочками, принимается модель вязкой несжимаемой жидкости. Именно учет вязкости обеспечивает демпфирующие свойства, что при резонансе не позволяет образоваться бесконечно большим прогибам упругой оболочки. Жидкость считается несжимаемой исходя из того, что скорость ее течения значительно меньше скорости звука (число Маха гораздо меньше единицы). Учет сжимаемости был бы необходим в том случае, если бы внешний источник, создающий вибрацию, приводил бы к такой частоте колебания, что скорость течения жидкости в трубе была бы сравнима со скоростью звука (когда число Маха не менее 0,4). Но обычно внешний источник вибраций не дает такие частоты колебаний или перепад давления не настолько велик, что скорость движения жидкости в зазоре мала и можно считать жидкость несжимаемой.
Жидкость, используемая в существующих действительных механических системах, может пониматься как ньютоновская [28-29, 33, 120-122, 213, 225, 235, 253, 254].
Следовательно, модель рассматриваемой механической системы представляет собой трубу кольцевого сечения, образованную двумя цилиндрическими оболочками конечной длины, свободно опираемые по торцам, где внутренняя оболочка представляет собой абсолютно жесткий цилиндр, а внешняя оболочка - упругую геометрически нерегулярную оболочку, взаимодействующие между собой через слой вязкой несжимаемой жидкости на который действует гармоническое по времени перепад давления.
Для рассматриваемой механической системы строим математическую модель. Для этого вводится система координат C{xxyxzx, которая связана с основанием, с прикрепленной к нему механической системой, то есть центр системы координат Ох находится в геометрическом центре соосных цилиндрических оболочек в невозмущенном состоянии. Считаем, что отсутствует составляющая виброускорения вдоль оси (\ух. Обозначим через
.AQ, \ виброускорение основания. Вспомогательно, введем еще цилиндрическую систему координат г, в, у (где пг, пв, j - являются ортами цилиндрической системы), которая будет соответствовать требованиям: ее полюс должен совпадать с Ох и должны совпадать направления осей Охух, Оу декартовой и цилиндрической систем координат (Рис. 1.3).
Переход к безразмерным переменным
Решение, поставленной в первой главе задачи гидроупругости, будем осуществлять методом возмущений [24, 120] совместно с методом заданных форм [45, 48-52]. Будем предполагать, что относительный прогиб внешней
геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки /Vі является малым параметром задачи, т.е. является величиной значительно меньше единицы. Данное предположение будет проверено расчетами в конце исследования. Кроме того, малость относительного прогиба оболочки действительно имеет место быть применительно к реально существующим механическим системам, применяемым в различных отраслях науки и техники. Введенный малый параметр л? позволяет линеаризовать задачу.
Решение получившейся линейной задачи будет определяться частным решением неоднородных линейных уравнений, которые представляются как гармонические функции по времени имеющие коэффициенты, зависящие от координат [38, 39]. Заметим, что общее решение однородного уравнения для данного случая может не рассматриваться из-за наличия в системе вязкой несжимаемой жидкости. Это означает, что не исследуется переходный процесс. Присутствие демпфирования ведет к тому, что через какой-то промежуток времени переходный процесс быстро затухает, вследствие чего начальные условия перестают влиять на колебания и появляются только постоянные (периодические или гармонические) вынужденные колебания. Таким образом, если процессы более длительные, чем переходный процесс, тогда общее решение однородных уравнений и соответствующих им начальных условий можно не учитывать изначально [11, 20, 23].
Рассмотрим задачу гидроупругости (1.15)-(1.18). Так как в задачу гидродинамики включен малый параметр А:1 «1, который характеризует относительный прогиб внешней оболочки, то решение можно представить с помощью асимптотического разложения по степеням малого параметра № :
Предположим, что на концах механической системы давление жидкости меняется по гармоническому от времени закону. Данное предположение означает, что если изменение давления происходит не по гармоническому закону, то такое изменение давления может быть представлено в виде в ряда Фурье и затем найдены все необходимые неизвестные параметры жидкости и оболочки, такие как давление в слое жидкости, компоненты скорости жидкости и компоненты упругих перемещений геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки.
Будем решать уравнения динамики жидкости (2.2) в предположении, что форма перемещений внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки неизвестна и будет найдена при решении уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки. Тогда найденные для компонент скорости жидкости и гидродинамического давления будут иметь вид:
Для решения уравнений динамики упругой цилиндрической геометрически нерегулярной оболочки необходимо выбрать вид решения. Такой метод является достаточно традиционным в механике деформируемого твердого тела. Исходя из вида граничных условий (2.5) и полученного решения решение (2.6), вид упругих перемещений внешне упругой оболочки можно выбрать в следующем виде:
При этом будем считать, что коэффициенты щ}, иІ2, щ( и и - гармонические функции по безразмерного времени т, а щх\, щ2\, 4i0 и м 0 не зависят от т. Подставляя (2.6) и (2.7) в уравнения динамики внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки (2.4), а также в граничные условия (2.5), получим систему интегродифференциальных уравнений, решением которой будут выражения для коэффициентов (2.7). Приравняем при соответствующих тригонометрических функциях имеющиеся коэффициенты, получаем систему алгебраических уравнений следующего вида:
Решение уравнений динамики внешней упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки
Для исследования модели первоначально необходимо решить вопрос о оценки точности построенной математической модели, так как увеличение количества слагаемых рядов (2.7), описывающих упругие перемещения внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, значительно увеличивает время счета и трудоемкость. Поэтому необходимо определить количество слагаемых в ряде (2.7) достаточных для дальнейшего исследования построенной математической модели. Для решения поставленной задачи произведем, получим решения задачи с одним, двумя и десятью слагаемыми ряда.
Расчеты показали, что при увеличении количества слагаемых в ряде (2.7) происходит увеличение резонансных частот прогиба внешней геометрически нерегулярной оболочки (Рис. 2.1). Однако увеличение количества слагаемых никак не сказывается на первую резонансную частоту, а добавляет только последующие резонансы, которые меньше, чем величина первого резонанса.
Таким образом, можно считать, что именно первое слагаемое ряда (2.7) определяет максимальную величину (главный тон) прогиба оболочки, а остальные (полутона) лишь добавляют незначительные колебания на более высоких частотах.
Данный вывод справедлив для вычислений с любым количеством ребер жесткости и их расположением на внешней оболочки трубы.
Для понимания физического явления приведем в таблицах только те резонансные частоты, которые имеют значения коэффициентов динамичности больше единицы. Такие резонансные частоты будем называть значащими. Следует отметить, что учет инерции движения жидкости в построенной математической модели приводит к тому, что функции определяющая поведение амплитудно-частотной характеристики ведет себя не монотонно [86, 87, 229]. Немонотонность поведения амплитудно-частотной характеристики приводит к тому, что возникает большое количество резонансных частот, при ію,радУс
Графики АЧХ прогибов первого слагаемого ряда, суммы первых двух слагаемых ряда, суммы 4 слагаемых ряда при С, = 1/2 в логарифмической шкале этом значительное число получившихся резонансных частот имеют малое значение коэффициента динамичности. Такие резонансные частоты оказывают незначительное влияние на функционирование всей механической системы, а значит их можно не рассматривать.
Таким образом, в таблицах представлены все резонансные частоты, которые имеют значимость, с большими коэффициентами динамичности. Следует отметить, что все расчеты производились в диапазоне от 0 до 20 000 Гц. Для каждого конкретного агрегаты или системы наблюдается свой рабочий диапазон, который может быть значительно меньше. Все остальные значения амплитудно-частотной характеристики, кроме как на резонансных частотах, находятся около нуля, при этом при увеличении частоты стремятся к нулю.
Резонансные частоты, имеющие точные значения и величины АЧХ следует смотреть в таблицах 2.1-2.12. Расчеты показали, что уменьшая ширину цилиндрического зазора, уменьшаются соответственно амплитуды АЧХ, поскольку на оболочку начинает действовать меньшее сопротивление в связи с уменьшением присоединенной массы (Таблицы 2.2, 2.6, 2.10). Уменьшение толщины внешней оболочки приводит к увеличению амплитуд АЧХ, так как уменьшается жесткость конструкции (Таблица 2.3, 2.7, 2.11).
Значительное увеличение (уменьшение) вязкости жидкости приводит к значительному увеличению (уменьшению) величины АЧХ на резонансных частотах в связи с увеличением (уменьшением) демпфирующих свойств жидкости (Таблица 2.4, 2.8, 2.12).
В таблице 2.13 приведены значения АЧХ для прогиба, коэффициент динамичности для прогиба, АЧХ для давления и ФЧХ для давления на резонансных частотах для прогиба. Давление насыщенного пара (при котором возникает кавитация) 0,2-105 Па. Жирным шрифтом выделены резонансные частоты, на которых возможна кавитация (если р0 = 105 Па). Увеличение количества ребер жесткости приводит к увеличению общей жесткости системы, а, следовательно, резонансные частоты будут появляться в области более высоких частот, а величины амплитудно-частотных характеристик будут меньше по значению. В таблицах 3.14-3.16 приведены результаты расчетов, когда в конструкции два ребра для слагаемого ряда (2.7) к = \, к = 2 и к = 3 .В таблицах 3.17-3.19 приведены результаты расчетов, когда в конструкции три ребра для слагаемого ряда (2.7) к = 1, к = 2 и к = 3.
Таким образом, изменением размеров механической системы, параметров жидкости или параметров материала оболочки, а также параметрами ребер жесткости можно добиться нужного диапазона рабочих частот.
Ограничение, поставленное в первой главе, что внутренний цилиндр является абсолютной жестким, является достаточно сильным ограничение на применение построенной модели. Однако на практике внутренняя оболочка не всегда может быть абсолютно жесткой, как это бывает в плунжерной паре с полым плунжером. Кроме того, в отдельных случаях внутренняя оболочка технологически не может быть абсолютно жесткой, например, в двигателях внутреннего сгорания с водяным охлаждением или в системах подогрева топлива авиационного и ракетного транспорта [17-18, 22, 28, 33, 55-56, 59-61, 85, 137, 163-164, 174, 195-199]. Поэтому рассмотрим модель механической системы рассмотренной ранее с упругой внутренней оболочкой. Все остальные допущения о перемещениях оболочек, термостабилизации оставляем в силе и для этого случая.
Таким образом, рассмотрим механическую модель состоящую из двух упругих соосных цилиндрических оболочек свободно опертых на концах, внешняя из которых 1 является геометрически нерегулярной, а внутренняя 2 -геометрически регулярной, которые взаимодействуют со слоем жидкости 3, являющейся вязкой и несжимаемой, расположенной между оболочками при воздействии гармонического давления на концах механической системы (Рис. 1.1).
Применение экспериментального закона уменьшения толщины
В настоящее время значительное количество построений и исследований математических моделей осуществляется с помощью различных конечно-элементных пакетов, таких как MathLab, MathCad, ANSYS или другие. Кроме того, метод конечных элементов достаточно хорошо зарекомендовал себя для решения задач механики. Поэтому произведем сравнение расчетов сделанных аналитически с расчетами с помощью одного из конечно-элементных пакетов. В качестве такого пакета выберем MathLab.
Сложность построения конечно-элементной модели для представленной задачи гидроупругости трубы кольцевого профиля с упругими внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной цилиндрическими оболочками конечной длины, взаимодействующих со слоем вязкой несжимаемой жидкости между ними при воздействии гармонического перепада давления на концах механической системы заключатся в следующих положениях: Данная задача связана, то есть характеристики движения жидкости входят в уравнения динамики оболочек, а характеристики движения оболочек входят в граничные условия уравнений движения жидкости; Описываемые явления являются разномасштабными.
Проблема разномасштабности явлений снимается при решении представленной задачи гидроупругости сначала в безразмерном виде, а на последнем этапе приведения итоговых значений в размерных переменных для проверки физической адекватности построенной модели.
Решение проблемы связанности постановки задачи является значительно более сложной, а именно невозможно построение единой системы дифференциальных уравнений в приемлемом для метода конечных элементов виде. Поэтому, было принято решение о решение задачи методом конечных элементов в развязанном виде, а именно, сначала решается задача гидродинамики, а затем значения давления поставляются в уравнения динамики оболочек. Тем самым решаем задачу как бы динамическую задачу в единый зафиксированный момент времени, тем самым фактически получаем задачу близкую к задаче статики.
Последующий процесс решения задачи методом конечных элементов является достаточно стандартным.
Сравнение результатов полученных аналитически и методом конечных элементов показывает, что результат полученный методом конечных элементов согласуется с результатами, полученными аналитически (Рис. 3.9). Однако метод конечных элементов несколько занижает величину амплитудно-частотной характеристики, что связано именно с тем, что задача решаемая методом конечных элементов несвязанная (таблица 3.41).
Построена математическая модель механической системы, состоящей из двух соосных цилиндрических оболочек конечной длины, внешняя из которых - упругая цилиндрическая геометрически нерегулярная оболочка, свободно опираемая на концах, а внутренняя абсолютно жесткий цилиндр, и слоя вязкой несжимаемой жидкости между ними при воздействии гармонического давления на концах. Математическая модель рассматриваемой механической системы является связанной системой дифференциальных уравнений в частных производных, состоящей из уравнений Навье-Стокса и неразрывности определяющих динамику жидкости, уравнений динамики упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки, основанный на гипотезах Кирхгофа-Лява и полученный с использованием интегрального вариационного принципа Гамильтона, и соответствующих граничных условий.
Для исследование построенной математической модели сделан переход к безразмерным переменным, что позволило определить малые параметры задачи. Малые параметры представляют собой относительную ширину цилиндрического зазора - ширину слоя вязкой несжимаемой жидкости между двумя цилиндрическими оболочками , и относительный прогиб внешней геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки . Найденные малые параметры задачи были использованы в методе возмущений, что позволило линеаризовать построенную нелинейную связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных. Решение линеаризованной связанной система дифференциальных уравнений ищется в предположении гармонического закона изменения давления на концах механической системы. Наличие вязкой жидкости в механической системе приводит к быстрому затуханию свободных колебаний, поэтому исследуется только режим вынужденных установившихся колебаний. В результате решения определены выражения для прогибов внешней геометрически нерегулярной упругой цилиндрической оболочки, при этом упругие перемещения оболочки представляются в виде тригонометрических рядов по пространственной координате.
Предложенный подход построения и исследования математической модели применен для более сложной механической системы, в которой, в отличие от предыдущей модели, внутренняя оболочка является геометрически регулярной. В результате решения определены выражения для прогибов внешней геометрически нерегулярной и внутренней геометрически регулярной упругих цилиндрических оболочек, при этом упругие перемещения оболочек, как и ранее, представляются в виде тригонометрических рядов по пространственной координате.
