Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Внутренние волны малой амплитуды над неровным дном 23
1.1. Основные уравнения и граничные условия 23
1.2. Течение над неровным дном при наличии свободной поверхности 32
1.3. Прохождение волны над неровным дном 40
1.4. Распространение волн на течении при наличии постоянно действующих возмущений, приложенных к свободной поверхности 43
1.5. Внутренние волны установившегося вида в страти фицированной жидкости 48
Глава 2. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины 57
2.1. Потенциальное обтекание неровного дна потоком однородной жидкости 57
2.2. Обтекание неровного дна потоком стратифицированной жидкости 64
Глава 3. Волновые движения неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности 73
3.1. Основные уравнения и граничные условия 73
3.2. Линейный вариант задачи 74
3.3. Построение нелинейной модели 78
3.4. Внутренние волны конечной амплитуды 86
ЗАЛ. Первое (линейное) приближение 87
3.4.2. Второе приближение 88
3.4.3. Третье приближение 92
Глава 4. Воздействие волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе 102
4.1. Постановка задачи в переменных Эйлера и метод ее решения 102
4.2. Стоячие волны конечной амплитуды в двуслойной жидкости 108
4.3. Высота волн у стенки и нагрузка на нее 124
Глава 5. Воздействие трехмерных волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном под ходе 134
5.1. Постановка задачи и метод её решения 134
5.2. Стоячие волны конечной амплитуды в двухслойной жидкости 141
5.2.1. Первое (линейное) приближение 145
5.2.2. Второе приближение 146
5.2.3. Третье приближение 52
5.3. Вычисление давления вблизи стенки 167
Глава 6. Воздействие пространственных волн произвольного направления на вертикальную стенку 172
6.1. Построение математической модели 172
6.2. Решение задачи о волнах малой амплитуды 173
6.3. Решение задачи о волнах конечной амплитуды . 180
6.4. Расчет нагрузки па вертикальную стенку 203
Глава 7. Волновые движения в непрерывно стратифици рованной жидкости 218
7.1. Основные уравнения и граничные условия 218
7.2. Свободные волны
в стратифицированной жидкости 221
7.3. Внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости 225
7.4. Вынужденые внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости 227
7.5. Свободные внутренние волны при наличии горизонтальной диффузии плотности 229
Глава 8. Плоские волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой 233
8.1. Волны на поверхности сыпучей среды. Условия и ме ханизм их образования 233
8.2. Потенциальное движение двух слоев однородной жидкости 239
8.3. Потенциальное движение двух слоев однородной жидкости,
движущихся с разными скоростями 247
8.4. Непотенциалыюе движение двух слоев неоднородной жидкости 250
Глава 9. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред 258
9.1. Основные уравнения и граничные условия 258
9.2. Непотенциалыюе движение двух слоев однородной жидкости 261
9.3. Воздействие потенциального потока однородной жидкости на рельеф дна 268
9.4. Движение двух однородных слоев с одинаковой скоростью 271
9.5. Движение двух однородных слоев с разными скоростями 276
9.6. Внутренние волны малой амплитуды в канале с деформируемым основанием 281
Глава 10. Длинные волны над сыпучей средой 290
10.1. Длинные волны в слое однородной жидкости 290
Глава 11. Пространственные длинные волны в неоднородной жидкости над деформируемым дном 297
11.1. Построение математической модели 297
11.2. Воздействие длинных волн на рельеф дна 298
Заключение 310
Указатель литературы
- Течение над неровным дном при наличии свободной поверхности
- Обтекание неровного дна потоком стратифицированной жидкости
- Внутренние волны конечной амплитуды
- Стоячие волны конечной амплитуды в двуслойной жидкости
Введение к работе
Предмет исследования. Актуальность проблемы
Развитие человечества неразрывно связано с океаном. Водный покров земного шара почти в три раза превосходит по площади часть, занимаемую сушей. Море посылает человеку многообразие растительного и животного мира, даёт огромный энергетический потенциал, по сей день морские пути остаются одним из важных средств общения, прибрежные зоны имеют наиболее благоприятную и устойчивую экологическую обстановку. В будущем человечество ещё в большей степени будет связано с океаном — гидротехнические сооружения дальше продвинутся в море, затаённая энергия водной толщи послужит на пользу человеку.
Данная работа посвящена одному из важных вопросов математического моделирования и прикладной математики — моделированию динамических процессов, описывающих внутренние и поверхностные волны, распространяющиеся в стратифицированной жидкости над твердым и деформируемым дном, а также влиянию внутренних и поверхностных волн на рельеф дна. В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии и физики атмосферы, а также в связи с использованием криогенных жидкостей в технике и рядом других проблем задачи о распространении внутренних волн и колебаний в стратифицированных жидкостях вызывают большой интерес. Мировой океан представляет собой сложную динамическую систему, в частности он вращается вместе с Землёй и стратифицирован по глубине. В связи с этим можно отметить, что экспериментальные исследования и натурные наблюдения внутренних волн представляют собой достаточно сложную в техническом отношении задачу, что особенно повышает роль теоретических исследований.
Исследования явления периодичности деформаций поверхности раздела легко деформируемых сред берут свое начало в работах Гельмгольца. Сформулированная изначально гипотеза только для сред с малым трением — жидкостей и газов, в дальнейшем была обощенадля случая, когда величина трения в одной из соприкасающихся сред конечна. Периодические деформации, возникающие на поверхности раздела двух сред можно классифицировать на периодические деформации на поверхности раздела сред с малым трени-
ем — волны на поверхности раздела жидкость-воздух и внутренние волны в жидкости на поверхности скачка плотности и периодические деформации на поверхности раздела сред, в одной из которой величина трения мала, а в другой конечна — наблюдемые в природе песчаные волны, возникающие на границе раздела сыпучей среды с воздухом или жидкостью.
Несмотря на кажущееся внешнее различие форм обоих типов волн, природа причин их возникновения имеет общие закономерности, определяемые схожестью условий формирования и идентичностью сил, действующих на поверхности деформируемой среды. Меньшая степень изученности песчаных волн, в отличие от волн на воде, обусловлена отсутствием законченного математического аппарата для теоретических разработок и незначительным количеством экспериментов в данной области.
Цель работы
Основная цель диссертации состоит в построении математической модели динамического процесса распространения волн в жидких и сыпучих средах и ее аналитическое исследование как задачи прикладной математики, математической физики и теории волн, а именно, — исследование внутренних и поверхностных волн конечной амплитуды в неоднородной жидкости и их взаимодействия с вертикальной преградой, изучение влияния стратификации и рельефа твердого недеформируемого дна на волновой режим, исследование волн на поверхности сыпучей среды, возникающих в результате воздействия длинных и коротких волн в однородной или двухслойной идеальной несжимаемой жидкости. Полученные аналитические решения должны позволить провести сравнение с результатами соответствующего вычислительного эксперимента. Ставятся следующие научные задачи:
Анализ процесса распространения поверхностных и внутренних волн в жидкости со скачком плотности.
Исследование закономерностей взаимодействия двумерных волн конечной амплитуды с вертикальной стенкой при фронтальном подходе.
Изучение математической модели, описывающей течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины.
Исследование влияния рельефа дна и стратификации жидкости на параметры распространение внутренних волн.
Исследование силового воздействия пространственных стоячих волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе.
Исследование силового воздействия пространственных бегущих волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при произвольном подходе.
Исследование параметров волнового движения в жидкости с непрерывной стратификацией.
Построение математических моделей взаимодействия плоских и пространственных коротких волн с сыпучей средой и аналитическое исследование полученных моделей.
Исследование волн на поверхности сыпучей среды, возникающих в результате воздействия длинных волн в однородной и двухслойной несжимаемой жидкости.
Методы исследования
В основу исследования названных задач положены законы сохранения механики сплошных сред, гидромеханики и теории внутренних гравитационных волн. При анализе полученных математических моделей используются методы математической физики, в частности, метод возмущений, метод малого параметра, аппарат функций Грина, аналитические и приближённые методы решения краевых задач, методы теории дифференциальных уравнений, методы и коды приложений компьютерной алгебры и системы символьных вычислений Maple 9.01.
Качественный анализ изучаемой проблемы осуществляется по аналитическому выражению решения в одних случаях без использования ЭВМ, в других — произведен с помощью ЭВМ с использованием современных интегрированных сред разработки программных продуктов и комплексов программ.
Научная новизна работы
1) Разработана математическая модель процесса распространения волн на поверхности сыпучей среды под воздействием потока жидкости. Аналитически и с помощью средств компьютерной алгебры (система символьных вычисленией Maple 9.01) проведено комплексное качественное исследование процесса распространения длинных и коротких, внутренних и поверхностных волн в слое однородной и неоднородной идеальной несжимаемой жидкости над твердым и деформируемым основанием.
Исследован процесс распространения поверхностных и внутренних волн конечной амплитуды в однородной и неоднородной жидкости Решения соответствующих краевых задач для уравнений с частными производными представлены в виде асимптотических степенных рядов по степеням амплитудного параметра и найдены с точностью третьего приближения
В продолжение работ Л Н Сретенского и Ю.З Апешкова исследован процесс взаимодействия двумерных и пространственных волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости с вертикальной стенкой при фронтальном подходе Искомые гидродинамические характеристики динамического процесса представлены в виде асимптотических степенных рядов по степеням малого параметра, характеризующего амплитуду волны, и найдены с точностью третьего приближения С этой точностью получены выражения для давления на стенку на произвольном уровне и для погонной нагрузки
Аналитические решения системы уравнений математической модели, описывающающей течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины иллюстрируют зависимость параметров внутренних волн от скорости горизонтального потока, параметров стратификации жидкости и неровности твердой границы
Получены параметры силового воздействия пространственных бегущих волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при произвольном подходе Выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки определены с точностью до третьей степени амплитудного параметра
Исследованы параметры волнового движения в жидкости с непрерывной стратификацией В частности, исследованы свободные волны в стратифированной жидкости, свободные и вынужденные внутренние волны во вращающейся стратифицированной жидкости, свободные внутренние волны при наличии горизонтального изменения плотности
Построена и аналитически исследована математическая модель взаимодействия плоских и пространственных коротких волн с поверхностью сыпучей среды Определены параметры волновой поверхности в жидкости и на поверхности деформируемого дна Представлены дисперсионные соотношения, характеризующие зависимость скорости донной волны от гидродинамики водного слоя
и реологических свойств грунта. Исследован механизм формирования волновой поверхности сыпучей среды, возникающей в результате воздействия длинных волн в однородной и духслойной несжимаемой жидкости. Получены дисперсионные соотношения, иллюстрирующие условия возможной деформации донной поверхности от гидродинамических характеристик жидких слоев и реологии грунтового слоя. Длинноволновая модель реализована как без учета, так и с учетом дисперсии, а также в приближении стратификации двухслойного океана.
8) Представленные модели адаптированы для использования стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных комплексов программ (Maple 9.01).
Теоретическая и практическая значимость работы
Проведенные исследования углубляют теоретическое представление о распространении внутренних и поверхностных волн в океане и взаимодействии их с сооружениямия, имеющими вертикальную грань. Представленные математические модели позволяют проводить практическое комплексное исследование прикладных проблем как аналитически, так и с применением современных компьютерных технологий.
Полученные результаты и методы могут быть использованы для расчета силового воздействия волн, для определения волнового режима акваторий с твердым каменистым или песчанным дном, в исследованиях специалистов по гидродинамике, морской гидротехнике и при строительстве морских гидротехнических сооружений на стадии проектирования, а также при решении задач прикладной математике и математической физике. Полученные аналитические решения позволяют проводить сравнение и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных. Использованные современные интегрированные среды разработки программных продуктов позволили получить графическую визуализацию представленных решений.
Положения, выносимые на защиту
1) Построена математическая модель процесса распространения волн на поверхности сыпучей среды под воздействием потока идеальной несжимаемой жидкости. Проведено качественное комплексное исследование процесса распространения длинных и коротких, внутренних и поверхностных волн в слое однородной и неоднород-
ной идеальной несжимаемой жидкости над твердым и деформируемым основанием.
Представлена математическая модель и теоретический качественный анализ процесса распространения внутренних волн малой амплитуды в слое стратифицированной жидкости переменной ограниченной глубины. Исследован процесс распространения волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости.
Решена нелинейная задача о течении однородной и стратифицированной жидкости в канале переменной глубины.
Исследованы закономерности силового воздействия нелинейных стоячих волн в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при фронтальном подходе, а также силового воздействия бегущих пространственных волн при произвольном подходе и стоячих пространственных волн при фронтальном подходе. Получены выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.
Исследован процесс распространения волн в непрерывно стратифицированной жидкости, решены задачи о распространении свободных волн в стратифицированной жидкости, вынужденных внутренних волн во вращающейся стратифицированной жидкости, а также свободных внутренних волн при наличии горизонтального изменения плотности.
Построена и аналитически исследована математическая модель распространения плоских и пространственных волн малой амплитуды на поверхности сыпучей среды, вызванных движением жидкости. Рассмотрены случаи потенциального и вихревого движения одного и двух слоев однородной и неоднородной жидкости. Для каждого случая исследована зависимость рельефа дна от реологии донного вещества и гидродинамических характеристик потока жидкости.
Построена и аналитически исследована математическая модель взаимодействия длинных волн в однородной и неоднородной жидкости с деформируемым дном.
8) Представленные модели адаптированы для использования
стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных ком
плексов программ (Maple 9.01).
Достоверность
Достоверность основных научных положений диссертации и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач
и используемого математического аппарата, проведением вычислительного эксперимента, сопоставлением некоторых положений и следствий с результатами, известными в литературе.
Апробация работы
Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на:
восьмой международной сессии Рабочей Группы "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане"на тему "Пограничные эффекты в стратифицированной и/или вращающейся жидкости"(С.-Петербург, июнь 1995);
международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1994, май 1998, май 2001, май 2002, май 2003, май 2004);
международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем "(Прикладная механика) (Киев, май 1995, май 1996, май 1997);
7 Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, июнь 1997);
межрегиональном симпозиуме "Методы обнаружения краткосрочных предвестников землетрясений и спорадических и антропогенных выбросов в атмосферу (АЭС)"(Санкт-Петербург, ноябрь 2000);
межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи, (Математические модели механики, прочность и надежность конструкций)"(Самара, май 2001—2005 гг);
научных конференциях Мордовского государственного университета (Саранск, 1997-2004 гг);
международных конференциях "Прикладные технологии гидрофизики и гидроакустики "(Санкт-Петербург, май 2002, июнь 2004);
научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, апрель 2003, 2004 гг);
научно-технической конференции "XLI Крыловские чтения (Проблемы мореходных качеств судов и корабельной гидромеханики) "(Санкт-Петербург, ноябрь 2003);
международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, астрономии (Механика)"(Тула, ноябрь 2003, ноябрь 2004);
всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию акаде-
мика Л .В. Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, май 2004);
международной конференции "Четвертые Окуневские чтения" (Санкт-Петербург, июнь 2004);
XX всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (СаМГОП)" (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2004);
V международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки "(Самара, сентябрь 2004);
международной научной конференции "Проблемы экологической безопасности и природопользования "(Москва, 2004);
семинарах аэродинамической лаборатории НИИММ СПбГУ, кафедры гидроаэромеханики математико—механического факультета, кафедры высшей математики и кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского университета (1991-2005 гг);
семинарах отдела методов нелинейного анализа вычислительного центра имени АА Дородницына Российской академии наук (Москва, 2002-2005 гг);
В целом работа докладывалась на семинарах кафедры управления медико—биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ (рук. д. ф.-м. н., профессор Ю.З. Апешков) и семинарах отдела методов нелинейного анализа вычислительного центра имени АА Дородницына Российской академии наук (рук. д. ф.-м. н., профессор Е.А Гребеников).
Публикации
Основное содержание диссертации отражено в монографии "Волновые движения в жидких и сыпучих средах", объемом 288 страниц, и в 62 публикациях, 29 из которых приведены в библиографическом списке, в том числе 10 содержатся в журналах из перечня рекомендованных ВАК Министерства образования РФ.
Структура и объем работы
Течение над неровным дном при наличии свободной поверхности
Рассмотрим движение жидкости, описывающееся системой уравнений [9] div v = О, дР (1.39) dt + v Vp = 0, -49 dv dt + (V) v = -gp$ - Vp, где все используемые функции соответствуют 2.1 и стратификация предполагается устойчивой. Предположим, что жидкость ограничена снизу горизонтальным недеформируемым дном у = О, сверху — свободной поверхностью у = L(x). В этом случае граничные условия имеют вид vy = О, у = 0, (1.40) дь дь L Ol + Q VX = vv Р = Ро = const, y-L[x). Для установившегося движения жидкости относительно вектора a = y/pv имеем уравнения [1, 50, 150] div а = 0, a-VyO = 0, (1.41) (а V)a = -gp$ - Vp с граничными условиями (1.42) ау = 0, у = 0, ап = 0, у = L(x). Первое уравнение системы (1.41) позволяет ввести функцию тока для вектора а [29]: дф дф а = а? а» = ш- (L43)
Из предположения о несжимаемости жидкости — второго уравнения системы (1.41) — следует, что плотность постоянна вдоль линий тока:
Третье уравнение системы (1.41) преобразуем, используя известную формулу векторного анализа [63] V— = (а V)a + а х rot а. В результате получим уравнение (? \ \ 2+Р) = axrota 6ДІ Умножая его скалярно на элементарное перемещение вдоль линии тока и учитывая, что р = р(ф), будем иметь dl — +P + gpy) =0. Таким образом, получили интеграл Бернулли a2 + Р + 9р{Ф)у = КФ), причем \7Н(ф) = а х rot а + дур (ф)\7ф.
Проектируя V/i па направление вектора VT/ , приходим к уравнению Аф = Н,(ф)-др (ф)у. (1.44) Функция р(ф) характеризует распределение плотности вдоль линий тока, а функция К{ф) — распределение завихренности. Эти функции полагаем заданными. Считая расход жидкости через поперечное сечение равным единице и учитывая, что дно и свободная поверхность являются линиями тока, записываем граничные условия (1.42) в виде Оу = 0, ф = 0, у = 0, (Чф)2 (L45) v + gp(l)L(x) = const, ф = 1.
Таким образом, задача (1.41), (1.42) сведена к определению функций ф(х,у) и L(x) из уравнения (1.44) и граничных условий (1.45). -51 Уравнение (1.44)— модифицированное уравнение Дюбрейль—Жа-котен, или уравнение Йи [1, 50]. Оно имеет более простую форму, чем соответствующее уравнение для функции тока истинного течения 11 dp Аф + дф\2 [дф + gy = КФ), ,дх/ \ду І полученное впервые Дюбрейль—Жакотен и затем, независимо, Лонгом [50].
Уравнение (1.44) значительно облегчает задачу нахождения искомых гидродинамических величин, но по-прежнему задача сложна для исследования, так как граничные условия заданы на неизвестной границе. Эту трудность можно устранить выполнением некоторой замены переменных, аналогичной замене переменных, применяемой во втором методе Стокса [22, 147, 150].
До сих пор независимыми переменными являлись х, у, искомой функцией — ф. Возьмем теперь в качестве независимых переменных х, ф, а в качестве искомой функции выберем у. Таким образом, будем искать у как функцию независимых переменных х и ф. В этом случае получим следующие уравнения: дау дах да __ х дф у дф дх дах дау дау , , Ч 1 e W + а" щ - & =h w -9Р (ф) I J)dt и граничные условия ау = 0, ф = 0, (1.46) (1.47) о х + % + 2#р(1)т/(а:, 1) = const. Предполагая, что свободная поверхность мало отклоняется от положения равновесия или что амплитуда волн мала, свободную поверхность представим в виде суммы L(x) = H + 8(x), -52 где Н — глубина жидкости в невозмущенном состоянии. Далее будем рассматривать такие волновые движения, для которых линии тока мало отличаются от горизонтальных прямых. Введем, имея такую цель, вместо функции у{х,ф) новую искомую функцию и(х,ф), полагая Ф у{х, ф) = Нф + j и(х, t)dt. (1.48) о Будем искать такие движения, для которых функция и(х, ф) и ее производные двух первых порядков — величины малые. При таких допущениях кривая ф — 1 будет близка к горизонтальной прямой, и вектор-вихрь будет величиной малой.
Обтекание неровного дна потоком стратифицированной жидкости
Исследуем установившийся поток идеальной тяжелой жидкости, заключенной между твердой крышкой и дном, имеющем неровность. Предполагается, что жидкость несжимаемая и неоднородная.
Рассматривая плоскую задачу, выберем декартову систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с невозмущешюй поверхностью дна. Пусть р(х, у) — плотность жидкости, р(х, у) — давление, v (х, у) — вектор скорости, д — ускорение свободного падения. Для вектора a.— y/pv в безразмерных переменных имеем уравнения
В системе (2.12) Н — глубина жидкости, с — характерная скорость движения жидкости. Новые единицы физических величин выбираются так, чтобы расход и средняя глубина жидкости были равны единице.
Если задача (2.24) с граничными условиями (2.25) решена, то уравнение семейства линий тока определяется равенством (2.17), в котором следует сделать замену переменных / N 7 dt У(х,7]) = , v (2.26) JQ \ + u{x,t) v Отбросив нелинейные слагаемые в уравнениях (2.24), получим dv ди дг/ дх д dv ц (2 27) — \q2{ri)u\ - fW) x - Vfa) Ju(x, t)dt = 0.
В граничных условиях учитываем малость отклонения возмущения дна от горизонтального положения, что соответствует малости величины тах у(х), х Є [&,&). Вне отрезка [а, (3] дно предполагается горизонтальным.
Используя разложение функции tg7( ) в окрестности (х) =0и пренебрегая членами порядка малости выше первого, получаем следующие граничные условия для вертикальной скорости v(x,0) = п/(х), к w (2.28) v(x,l) =0. Функция (х). характеризующая изменение дна, предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Исключая из системы (2.27) функцию u(x,rj), приходим к линейной краевой задаче для функции v(x, rf) — уравнению [q\v)) + q\v)&v - vp v = 0 (2.29) с граничными условиями (2.28). Замена v(x,rj) =-—rv(x,r}) (2.30) приводит к краевой задаче q(r})Av-[qf (ri) + uf/(ri)]v = 01 v(x, r() = q(rj)-y(x), г] = 0, (2.31)
Краевая задача (2.31) — однородное уравнение Гельмгольца с неоднородными граничными условиями. Коэффициент при функции v(x, rj) в уравнении зависит от скорости набегающего потока и скорости изменения плотности вдоль линий тока. Перенесем неоднородность из краевых условий в уравнение при помощи введения вспомогательной функции S(x,r)):
Отыскиваем решение S(x,rj) в виде (2.36), учитывая соотношение (2.34) между плотностью и скоростью набегающего потока. Для Sn(x) получаем обыкновенное диГидродинамические модели океана могут быть самыми разными. Принимая жидкость несжимаемой, можно считать ее неоднородной. Если рассматривать планетарные масштабы явления, то необходимо учитывать вращение Земли. Одной из характерных моделей динамики океана является рассмотрение безвихревого движения двух слоев идеальной несжимаемой однородной жидкости. В этом случае качественная оценка параметров взволнованной жидкости сводится к оценке параметров решения соответствующей нелинейной краевой задачи теории потенциала. Такой подход к вопросам математического моделирования ряда физических явлений, обусловленных волновым движением жидкости, приводит к необходимости находить теоретическим путем параметры процесса распространения внутренних и поверхностных волн соответствующей математической модели.
Рассмотрим безвихревое движение двух слоев однородной несжимаемой идеальной жидкости. Ось х направим вдоль невозмущеппой поверхности раздела, ось у — вертикально вверх. фференциальное уравнение
Внутренние волны конечной амплитуды
Если в полученных выражениях для ірр rjj использовать значения частоты vm из формулы (3.15), то получим потенциалы и ординаты поверхностей раздела слоев жидкости конечной глубины; если в выражениях для ipp rjj использовать значения частоты ит из формулы (3.16) (в этом случае lim thH = 1), то получим потенциалы скорости и ординаты поверхностей раздела верхнего слоя конечной глубины и бесконечно глубокого нижнего слоя соответственно.
Заметим, что для рассмотренной задачи, в отличие от соответствующей задачи для однородной жидкости, существуют два дисперсионных соотношения (как для конечной, так и для бесконечной глубины): которые порождают два семейства потенциалов скорости рр ординат свободной поверхности и поверхности раздела rjj соответственно.
Из формул для 77 следует, что для волн конечной амплитуды высота гребня больше глубины впадины, гребень уже, впадина шире. Это свойство обнаруживается во втором приближении. Зависимость фазовой скорости от высоты волны проявляется в третьем приближении. Заметим, что соотношение между фазовой скоростью и высотой волны для нелинейных гравитационных волн впервые установил Дж. Стоке [ 191].
Пусть движение двух слоев жидкости происходит в вертикальной плоскости Ох\уі, причем ось х\ совпадает с поверхностью раздела в ее невозмущенном состоянии, ось 2/1 направлена вертикально вверх. Снизу жидкость ограничена твердым непроницаемым и недеформи-руемым дном у\ = —# , справа — вертикальной стенкой х\ = 0.
Пусть из бесконечности слева на стенку набегают две волны, потенциалы скорости которых, ордината поверхности раздела, ордината свободной поверхности, а также фазовая скорость определены в главе 3. При этом сформируется движение жидкости, периодическое по горизонтальной координате х\ и времени t\, имеющее соответственно периоды Л и т.
Задача состоит в определении потенциалов скорости р\ и ip , ординат поверхности раздела rjl, свободной поверхности т]о и частоты колебаний а = — из уравнения Лапласа и граничных условии. т Пусть yi = -H (xuti), yi=r)i(xi,ti), У1 = Щ(хии) есть уравнения дна, поверхности раздела и свободной поверхности соответственно. Как и в предыдущей главе, величины, относящиеся к нижнему слою жидкости, будем отмечать индексом 1, а к верхнему слою — индексом 2. Используя принятые обозначения, данную гид-
родинамнческую задачу можно записать следующим образом: где c/?j — потенциал скорости, pj — давление, /?j — плотность, / — функция времени, подлежащая определению, р% — давление, приложенное к свободной поверхности г/1 = Щ + (#1,і), Щ глубина верхнего слоя в невозмущенном состоянии. В безразмерных переменных x = kx\, у = куі, t = ati, ip = —ipj7 rjj = -rjj, (4.2) 27Г где є — положительный малый параметр, к = —, задача (4.1) при Л нимает вид Поскольку искомые функции i, y 2 7i, 772» /і, /2 будут явным образом зависеть как от е: Pj = j(z,2/,e), Vj = Vj(x,y,e), так и от относительных глубин верхнего и нижнего слоев, то рассмотрим сначала линеаризованную задачу ( 4.1.). Для этого положим везде є равным нулю. Тогда система уравнений ( 4.1.) примет вид Гармоннческая функция tpi(x, у, t), удовлетворяющая краевым условиям Неймана на дне и на вертикальной стенке, имеет вид П = С Л сп Я CQS -Гармоническую функцию (p2(x,y,t), удовлетворяющую сформулированным краевым условиям на свободной поверхности и условиям Неймана на вертикальной стенке, будем искать в виде
Стоячие волны конечной амплитуды в двуслойной жидкости
Рассмотрим в эйлеровых переменных X\y\Z\ движение двух слоев идеальной несжимаемой однородной жидкости. Ось Oz\ направлена вертикально вверх, поверхность раздела нижний слой-верхний слой в своём невозмущённом состоянии совпадает с плоскостью z\ = 0, поверхность раздела верхний слой-воздух в аналогичном состоянии совпадает с плоскостью z\ = Щ. Снизу жидкость ограничена твёрдым непроницаемым дном z\ = —H(xi,yi,ti), справа — непроницаемой вертикальной стенкой у\ = 0 и находится в той части, где у\ 0.
Пусть из бесконечности слева на стенку набегают две волны, потенциалы скорости которых, ордината поверхности раздела, ордината свободной поверхности, а также фазовая скорость — известные функции. При этом сформируется движение жидкости, периодическое по горизонтальным координатам Xi,yi и времени іі, имеющие соответственно периоды Аі,А2,т.
Задача состоит в определении потенциалов скорости рІ(х\,уі, zi,ti), (po(xi,yu zuh), ординаты поверхности раздела туїО ь Уи h) ( ь У и h), 2тг частоты колебаний а — — в силу уравнения Лапласа и граничных г условий. Пусть есть уравнения соответственно дна, поверхности раздела и свободной поверхности. Величины, относящиеся к нижней жидкости, будем отмечать индексом 1, к верхнему слою — индексом 2.
В результате всех вышепринятых обозначений данную гидродинамическую задачу можно записать следующим образом о о (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) (5.10) где р — потенциал скорости, pj — давление, р.; — плотность, f {t\) — функция времени, подлежащая определению, р2 — давление, приложенное к свободной поверхности J/1 = Щ+г/2(жі,2/і,іі), Я2 — глубина верхнего слоя в невозмущённом состоянии.
Так как искомые функции Pi,T]i,fi будут явным образом зависеть от є Рі = Рі(х,у,є), г}1 = т(х,у,е), fi = fi(t,e), как и от относительных глубин верхнего и нижнего слоев, то рассмотрим сначала линеараизованную задачу. Для этого в уравнениях (5.25)-(5.35) положим є = 0: Aw = 0, (5.36) dip 1 = 0, z = -H, (5.37) dz -(Pi - Pi)m = P2 - Pi , 2 = 0, (5.38)
Исключая т/i из уравнений (5.38) и (5.39), (5.39) и (5.40), щ — из уравнений (5.41) и (5.42), получим граничные условия для функций (fi,(fo, выполняющиеся на поверхностях z — 0, z — Ич -z тг- = 0, z = 0, dz dz - 2 , 1 d(f2 и -W + -, dz- = Z = H2 Данные граничные условия совпадают с граничными условиями, если рассматривать данную задачу в вертикальной плоскости xOz [89], однако функции (fj(x,y,z,t) имеют более сложную структуру.
Таким образом, полученные функции (/, 77,5 определяют потенциал скорости в каждом из слоев, ординаты поверхности раздела и свободной поверхности для каждого типа волн. Конечность или бесконечность глубины определяется значением параметра vs. Значение а при этом a = \Jgkvs- (5.63) С помощью указанных функций можно сформировать общее решение задачи в виде линейной комбинации, положив 4 i = Е Gs Pis(x,y,z,t). s=l
Вернёмся к исходной нелинейной задаче (5.25)-(5.35). Аналогично предыдущим главам проследим влияние нелинейности на каждый тип воли. \&г ду ozJ
Линейные условия задачи приводят к следующим соотношениям для коэффициентов степенных рядов = 0, = 0, z = -H, У = 0, (5.84) (5.85) (5.86) (5.87) (5.88) діри dz ду r]ij(x + 2тг,у + 2тг, t + 27г) = щ (ж, у, ), 7]ij(-X,y,t) =T}ij(x,y,t), 2тт2тг о о I J т/у (я, у, t)dxdy = 0, г = 1,2; jeNU {0}.
Таким образом, для нахождения решения нелинейной задачи (5.25)-(5.35) с точностью до членов порядка 3 нужно определить соответствующие коэффициенты рядов (5.68).
Перейдём к нахождению последовательных приближений. Гармонические функции ipij и ip2j будем искать в виде рядов по нормированным собственным функциям линейной задачи (7 = 7(m n 0):
