Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование поверхностных волн 9
1.1. Основные уравнения 9
1.2. Граничные условия 10
1.3. Нелинейная краевая задача 12
Глава 2. Линейная задача о плоских поверхностных волнах 14
2.1. Постановка и решение задачи 14
2.2. Фазовая скорость, декремент затухания и амплитуда волны 19
2.3. Расчеты для конкретных сред 24
2.4. Траектории частиц несущей и дисперсной фазы 32
2.5. Другой способ решения линейной задачи 38
Глава 3. Нелинейные волны на поверхности двухфазной среды 41
3.1. Постановка нелинейной задачи 41
3.2. Решение задачи 43
3.3. Возмущение концентрации дисперсной фазы и форма свободной поверхности 51
Глава 4. Нелинейная задача о пространственных волнах на слое двухфазной среды 55
4.1. Постановка задачи 55
4.2. Решение линейной задачи 60
4.3. Определение второго приближения по малому параметру 68
4.4. Основные параметры волны, возмущение концентрации и форма свободной поверхности 84
Глава 5. Волны на свободной поверхности смеси с неоднородной концентрацией дисперсной фазы 92
5.1. Основные уравнения 92
5.2. Линейная задача о плоских волнах 93
5.3. Асимптотическое решение линейной задачи 99
5.4. Расчеты для конкретных сред 111
Заключение 118
Список литературы
- Граничные условия
- Расчеты для конкретных сред
- Возмущение концентрации дисперсной фазы и форма свободной поверхности
- Основные параметры волны, возмущение концентрации и форма свободной поверхности
Введение к работе
Актуальность темы.
В динамике однофазных жидкостей изучение задачи о распространении поверхностных волн началось еще в XIX веке. Среди первых работ в этой области основными являются исследования Стокса, который предложил два метода решения волновых задач. Первый метод позволяет получить решение в виде рядов по малому амплитудному параметру. Сходимость рядов была доказана А. Н. Некрасовым и Леви-Чивита. В дальнейшем метод Стокса получил развитие в работах Л.Н. Сретенского, Я. И. Секерж-Зеньковича, Ю. 3. Алешкова и других авторов. Вопрос о распространении волн по свободной поверхности многофазной среды остался практически не изученным. Гидродинамика многофазных сред наиболее полно разработана в работах Р. И. Нигматулина. В. Ю. Ляпидевский исследовал бегущие волны на свободной поверхности газожидкостной смеси в односкорост-ном приближении. В работе Н. И. Лобова и Д. В. Любимова решена задача о стоячих волнах на поверхности раздела жидкости и смеси этой же жидкости с твердыми частицами. В рамках многоскоростной модели задача о поверхностных волнах не рассматривалась. В связи с тем, что многофазные и, в частности, двухфазные среды широко распространены в природе и различных технологических процессах, а волны на свободной поверхности таких сред мало изучены, исследование данного вопроса является актуальным. С одной стороны оно позволяет развить теорию поверхностных волн, с другой стороны полученные результаты могут найти применение при решении экологических проблем загрязнения в прибрежных зонах океанов и морей, а также в других приложениях.
Цель работы состоит в построении математической модели распространения волн по свободной поверхности двухфазной среды с однородной и неоднородной концентрацией дисперсной фазы; исследовании влияния примесей на параметры волны и форму свободной поверхности, а также изменения концентрации частиц за счет распространения волны.
Научная новизна результатов, полученных в работе, сводится к следующим положениям.
Построена математическая модель распространения поверхностных волн малой амплитуды по слою дисперсной смеси конечной глубины.
В нелинейной постановке решены задачи о распространении плоских и пространственных волн по свободной поверхности смеси с однородным распределением частиц в покоящемся слое. С точностью до второго приближения по малому амплитудному параметру найдены поля скоростей, давления и концентрации фаз, форма свободной поверхности.
Установлено, что возмущение концентрации является величиной более низкого порядка по сравнению с остальными волновыми возмущениями. Найдены аналитические выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны.
В случае плоскопараллельного волнового движения в линейном приближении найдены траектории частиц несущей и дисперсной фаз. В отличие от классической задачи теории волн, разомкнутость траекторий проявляется уже в первом приближении, что обусловлено затуханием волны под воздействием межфазного трения.
В линейном приближении по малому амплитудному параметру исследована задача о плоских волнах на свободной поверхности двухфазной среды с неоднородной концентрацией дисперсной фазы. Получено ее асимптотическое решение с точностью до второго приближения по параметру, характеризующему неоднородность распределения концентрации. Исследована зависимость решения от параметров среды.
Методы исследования. При построении математической модели использовались методы механики многофазных сред и теории поверхностных волн. Для решения поставленных задач применялись методы возмущения, разделения переменных, а также методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчеты для конкретных сред были выполнены с использованием пакета Maple.
Научно-практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, развивают теорию поверхностных волн. Проведенные исследования могут слу-
жить основой для разработки волнового метода определения степени загрязнения водных бассейнов, так как дают возможность по известным волновым параметрам определить концентрацию примесей.
Достоверность полученных результатов и выводов определяется применением хорошо разработанных математических методов, в том числе метода малого параметра, использованного ранее при решении многочисленных прикладных задач, а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи классические результаты теории поверхностных волн.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов -2000» (Москва, 2000); Международной научной конференции молодых ученых (Ишим, 2001); IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002); Всероссийской конференции «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бийск, 2002).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 12 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 124 страницы. Библиографический список насчитывает 61 наименование.
Граничные условия
Здесь индексы і = 1,2 относятся соответственно к несущей и дисперсной фазе; звездочкой обозначены (где это необходимо) размерные величины; сс(, v , Р, Pi, р - объемная концентрация, вектор скорости, давление, приведенная и истинная плотность і-й фазы; g - вектор ускорения силы тяжести. Эмпирический коэффициент R характеризует силу вязкого трения Стокса, вызванную несовпадением скоростей фаз. Например, для сферических частиц радиуса а его значение принимается равным R = 9г\/2а2, где г) - коэффициент динамической вязкости жидкости [39]. Второе слагаемое в правой части уравнений движения (1.1.1) соответствует силе присоединенных масс, которая возникает из-за ускоренного движения частиц относительно несущей фазы [29]. Значение коэффи циента %т определяется экспериментально. В предельном случае идеальной несжимаемой несущей фазы %т = 1/2 [40]. Положим Г=-, (1-1.2) где s - безразмерный коэффициент, принимающий значение 1 или 0 в зависимости от того, учитывается или нет сила присоединенных масс. В дальнейшем с помощью этого коэффициента можно будет оценить влияние этой силы на волновые параметры.
В уравнения движения (1.1.1) можно также включить дополнительными слагаемыми и другие силы межфазного взаимодействия. Например, силу Бассэ, учитывающую предысторию движения частиц, силу Магнуса, возникающую из-за вращательного движения включений и др. [39], [42], [43], [46]. В настоящей работе не учитываются эффекты вращения и деформации, а также столкновения между частицами, поэтому влиянием этих сил пренебрегаем.
На свободной поверхности среды в теории поверхностных волн для однофазных жидкостей ставятся кинематическое и динамическое граничные условия [47]. Они следуют из условий отсутствия потока массы через поверхность и непрерывности потока импульса соответственно. Выведем эти условия для рассматриваемой двухфазной смеси [12], [53].
Введем декартову систему координат так, что невозмущенная свободная поверхность совпадает с плоскостью z =0, дно - с плоскостью ъ =-Ґ (Г -толщина слоя смеси); ось z направлена противоположно вектору g. Пусть возмущение свободной поверхности, вызванное распространением волны, задается уравнением z = (t ,x ,y ). Условие отсутствия потока массы смеси через часть свободной поверхности ъ =ai(t ,x ,y , ) (t ,x ,y J, занимаемую і-й фазой имеет вид [40] aip (v;-VB) = 0BUmai(vL-Va)=0, где v n - нормальная проекция скорости і-й фазы, Vn - нормальная скорость свободной поверхности. Тогда условие отсутствия потока массы через единую для обеих фаз поверхность z =а + а2Е, = (t , х\ у ) запишется в виде ayin+a2v 2n=Vn, z =(t\x\y ), (1.2.1) где ct,Vjn +oc2v n - нормальная проекция объемной скорости смеси. Условие (1.2.1) является кинематическим условием для двухфазной среды. Условие непрерывности потока импульса через часть свободной поверхности z = сц , занимаемую і-й фазой, имеет вид [40] а1(р :п(у;п-уп)+р,-рй)=о, или, учитывая условие отсутствия потока массы, Для единой свободной поверхности z =а, + а = получаем а,Р1+а2Р2=Р, z =(t\x\y). (1.2.2) Условие (1.2.2) представляет собой динамическое условие для смеси. Величина Р = а,Р, + а2Р2 является давлением смеси. Поэтому динамическое условие можно сформулировать как равенство давления смеси и атмосферного Р = Ра, z =$(t-,x\y). Аналогичные условия на поверхности раздела жидкость - жидкость со взвесями приведены в работе [30]. Следует отметить, что если в кинематических условиях оставить постоянный множитель р, то условие (1.2.1) будет сформулировано для среднемас совой скорости смеси (pj ajVj + plcL2v 2)/\pal +Р2а2). В этом случае из решения волновой задачи [6], [16] следует, что среда совершает незатухающие гармонические колебания как моножидкость с частотой гравитационной волны, и наличие примеси никак себя не проявляет.
Полагая, что поток массы смеси через твердую поверхность горизонтального основания z = -/ отсутствует и смесь «проскальзывает» вдоль нее, на дне получаем условия непротекания для каждой фазы [40] V;n=0,i = l,2,z4=-r. (1.2.3)
Пусть по свободной поверхности слоя двухфазной смеси в положительном направлении оси х распространяется волна длиной X. Длина волны много больше ее высоты (А,»,тах), и много больше характерного размера частиц (X » а). Для того, чтобы система (1.1.1) описывала волновое движение среды, необходимо записать ее для приведенных давлений фаз - возмущений давления, вызванных распространением волны [47]. В отсутствие внешних воздействий (кроме силы тяжести) и химических реакций фазы в объеме смеси могут находиться в равновесном покое длительное время. Причем смещения дисперсной фазы за счет сил плавучести происходят за незначительные промежутки времени, что исследовано экспериментально, результаты приведены в работе [54]. Поэтому положим, что в отсутствие поверхностной волны двухфазная среда находится в покое.
Расчеты для конкретных сред
Как известно, количество действительных корней уравнения зависит от знака величины Q-%2/4 + \\J3/21. В нашем случае в силу (2.2.5) Q 0, и, следовательно, формула (2.2.6) дает один вещественный и два комплексно сопряженных корня. Поэтому решением уравнения в случае W 1 будет только один корень - вещественный корень (2.2.6). Величина Q может равняться нулю только при одновременном равенстве нулю \/ и х, что имеет место при W = 1, с2 =с2п/9 (или с] =8с2п/9). Равенство Q = 0 соответствует минимальному значению фазовой скорости и значению декремента затухания р = 2r1/3fi1(s + 2р,2). Из (2.2.6) также следует, что в случае % О В не может превысить Bmax = 2r, /3Tj (s + 2р2 ). В частности, % О, если su + Зщщ - ц. 0 или в размерных величинах при s = 1 р;Р0+2р ао(1-а0)(р;-р)2. Данное неравенство справедливо при Р1%л/4 + 16а0-Па:-2-За0+2а; Р 2(1-ао)2 Максимальное значение функции, стоящей в правой части (2.2.7), равно 1/12. Следовательно, это соотношение выполняется, если истинные плотности фаз р и р удовлетворяют неравенству р 12р. К средам, для которых р 12р, предложенная модель не применима, так как в этом случае, за счет гравитационного осаждения частиц, дисперсная фаза не будет равномерно распределенной по слою смеси. Поэтому декремент затухания находится в пределах 0 Р 2гх /Зц, (s + 2pi2), добавка с2 может принимать только отрицательные значения: с2 0. Следовательно, наличие межфазного трения приводит к уменьшению значения фазовой скорости по сравнению со скоростью гравитационной волны в чистой жидкости.
Таким образом, наличие дисперсной фазы в жидкости оказывает двоякое влияние на фазовую скорость. С одной стороны оно влечет увеличение квадрата фазовой скорости на величину с2; с другой стороны - ее уменьшение за счет добавки с2. Помимо уменьшения фазовой скорости силы межфазного взаимодействия вызывают общее затухание волны. Используя (2.2.1), запишем уточненное выражение для формы свободной поверхности
Для иллюстрации результатов, полученных в предыдущем параграфе, проведены расчеты параметров волнового движения в слое смеси толщиной Г =10м, вызванного распространением по свободной поверхности волны длиной А, = 1 м. В качестве несущей фазы выбрана жидкость плотности р =1000кг/м3, динамическая вязкость которой характеризуется коэффициентом л = 1,004-10-3 кг/(м-с); дисперсная фаза (если это не оговорено особо) представляет собой недеформируемые сферические частицы радиуса а = 0,25-10 2м.
На рис. 2.1а и рис. 2.16 изображена зависимость добавки к фазовой скорости за счет межфазного трения с2 от декремента затухания (3 при истинной плотности второй фазы р =500кг/м3 и р =1500кг/м3 соответственно. Концентрация примесей в покоящемся слое а0 = 0,1. Как было замечено, величина с уменьшается с ростом [3 и достигает своего минимального значения при Ртах =2Rp/3p1(sp0 + 2р). В случае менее плотных примесей (Зтах = 0,2339 1/с, (c2)min =-0,0042 м2/с2, для более плотных - (Зтах = 0,1245 1/с, (сг imin =-0,0012 м2/с2. При переходе через (Зтах с] начинает возрастать (пунктирная линия), однако в действительности этого не происходит, т. к. (3 (Зтах.
На рис. 2.2 представлена зависимость фазовой скорости со от длины волны X при р= 500 кг/м3 и р =1500 кг/м3, ао=0,1. Характер зависимости со(Х) полностью соответствует классическим результатам [47]. Фазовая скорость при р = 500 кг/м3 несколько больше, чем при р = 1500 кг/м3. Но эти значения близки и практически совпадают с графиком со(А,) для гравитационной волны, распространяющейся по слою однородной жидкости.
Зависимость декремента затухания (3 от длины волны А, представлена на рис. 2.3а для р = 500 кг/м3 и на рис. 2.36 для р = 1500 кг/м3 при а0 = ОД. Для менее плотных по сравнению с несущей жидкостью частиц декремент затухания больше чем для «тяжелых» примерно в три раза. Зависимость носит линейный характер. Значение декремента затухания уменьшается с ростом длины волны, поэтому наличие примесей не может оказать существенного влияния на длинные волны. Р2 - Pi На рис. 2.4а представлена зависимость декремента затухания {3 от истинной плотности примесей р. Из рисунка следует, что при одинаковом затухание волны происходит намного быстрее, если дисперсная фаза менее плотная, чем несущая среда. На рис. 2.46 эта же зависимость показана для модели, учитывающей только силу трения Стокса. Разница между соответствующими значениями Р значительна, например, при р= 400 кг/м3, ос0 = 0,1 они отличаются почти в пять раз ((3 = 0,01391/с в первом случае и р = 0,0612 1/с во втором). Следовательно, сила присоединенных масс оказывает существенное влияние на волновые параметры, поэтому для более точного моделирования
Возмущение концентрации дисперсной фазы и форма свободной поверхности
В процессе определения второго приближения была найдена функция, описывающая изменение концентрации дисперсных частиц, вызванное распространением волны по поверхности слоя. Возмущение концентрации а имеет порядок б2, т. е. является малой величиной по сравнению с возмущениями давления, скоростей фаз и формы свободной поверхности. Так как концентрация дисперсной фазы а2 является положительной величиной и не может превысить единицу, то функция а должна удовлетворять следующему условию -сс0 а 1-ао. (3.3.1)
Со временем волновые возмущения затухают, поэтому наибольшее по модулю значение а достигает в начальный момент времени. Следовательно, если неравенство (3.3.1) справедливо при t =0, то оно выполнено и при t 0. Подставляя в (3.3.1) а из (3.2.14), при t = 0 получаем - ao є2осо [S4 sin2kx + K4 cos2kx + L4ch2k(z + Г )]/sh2k/ 1 - ao. Первые два слагаемые в средней части этого неравенства оказывают незначительное влияние на а , так как S4/sh2kf «1 и K4/sh2kf «1, поэтому их можно отбросить и перейти к рассмотрению приближенного неравенства -а0 є2а0 L4ch2k(z +/ )/sh2k/ 1-а0. Учитывая, что функция ch2k(z + / )/sh2kf принимает наибольшие значения вблизи свободной поверхности, получаем ограничение на характеристики среды и волновые параметры є2(сш2кҐ-ьі) 4 aos2(cth2k/4l) Таким образом, если неравенство (3.3.2) не выполнено, то данная модель не применима. Хотя решение, полученное в линейном приближении, и в случае невыполнения (3.3.2) согласуется с известными данными [47], [29].
Для иллюстрации полученных результатов были проведены расчеты изменения концентрации дисперсной фазы, вызванного распространением поверхностной волны длиной А, = 10 м с начальной высотой h = 0,5 м по слою глубиной Г = 100 м. Несущей фазой является жидкость с плотностью р =1000кг/м3 и коэффициентом динамической вязкости п = 1,004 10 3 кг/(м с). Концентрация примесей в покоящемся слое а0 = 0,1. На рис. 3.1 и рис. 3.2 приводятся графики изменения концентрации примесей с глубиной z при р =500кг/м3 и р =1500кг/м3 соответственно (при х =0, t =0). Волновые возмущения охватывают слой глубиной около четырех метров. Для частиц большего размера (я = 0,25-Ю-2 м) возмущение концентрации значительнее, чем для более мелких (а = 0,15 -10"2 м). Вблизи свободной поверхности концентрация «легких» (р2 р) по сравнению с несущей жидкостью частиц уменьшается, а «тяжелых» (р р) возрастает.
Исследуем влияние наличия примесей на форму поверхностной волны. Предполагая, что в линейном приближении волна симметрична относительно оси z , уравнение свободной поверхности можно записать в виде cthk/ где L =—-—L, а Ф и получаются из равенств (3.2.12) при К = 0 и L = L v th k/. Отметим, что нелинейная поверхность уже не симметрична относительно оси z , но в силу малости \]х и U2 это отклонение незначительно. На рис. 3.3 и рис. 3.4 представлена форма свободной поверхности для смеси с примесями плотности р =500кг/м3 и р2 =1500кг/м3 соответственно.
Пунктирная линия соответствует форме свободной поверхности в линейном приближении, сплошная кривая построена с учетом второго приближения. На рисунках хорошо виден нелинейный эффект Стокса [47]: гребень нелинейной волны уже, а впадина шире. Начальные формы поверхности (t = 0) одинаковы для обеих сред. Вторая группа кривых - это графики волновой поверхности, построенные в момент времени t = 300 с. Из сравнения рис. 3.3 и рис. 3.4 видно, что амплитуда волны для среды с более плотными примесями (Р2 р) уменьшается медленнее, чем при р р. Во второй группе кривых сплошная и пунктирная линии практически совпадают, т. е. с уменьшением амплитуды волны нелинейный эффект пропадает. Поэтому для расчета времени затухания можно ограничиться первым приближением.
Основные параметры волны, возмущение концентрации и форма свободной поверхности
Здесь с2 -квадрат фазовой скорости пространственной гравитационной волны [47]; с2 0 - добавка к фазовой скорости за счет наличия дисперсной фазы; с2т - добавка, обусловленная силами межфазного взаимодействия. Добавка с] уве личивает значение фазовой скорости по сравнению с с2. Она зависит от разности плотностей фаз и концентрации примесей. Наибольшее значение с] достигает при ао =1/2, наименьшее при ао=0 или ао=1 (моносреда). Если рассматривать с] как функцию от р /р, то наименьшее значение сдр/р) достигает при р = р. С увеличением разницы между истинными плотностями фаз с2, возрастает. Функция cj(p) отрицательна при 0 [3 4R/3p (sp +2р). В силу того, что в рассматриваемой модели (3 не может превысить этого значения (см. 2.2) с] 0 и, следовательно, силы межфазного трения уменьшают значение фазовой скорости пространственной волны.
Возмущение концентрации а (4.3.18) имеет порядок малости г2, т. е. является величиной более низкого порядка по сравнению с остальными волновыми возмущениями. Если отбросить малые слагаемые, то а можно записать в виде а єЧ е- Д созгк у +е;)+1) + + к\(Si sm2k, (х - с/ + z\)+ К\ cos2k,(х - с/ + е))}ch2k(z + Г). Наибольшее значение а принимает вблизи свободной поверхности, возмущение концентрации уменьшается с глубиной и принимает наименьшее значение на горизонтальной поверхности основания. Из условия 0 а2 1 (а2=ао+а ) можно получить ограничение на параметры модели. При ос0 1/2 данное неравенство можно заменить более грубым ос ао. После несложных преобразований находим достаточное условие применимости модели Ґ+Х\т] Xя Ц+A-fo+Ki) А. X 2т 2 2s2L где S]4, К\, L\ определены (4.3.6). Для иллюстрации полученных результатов были проведены расчеты для слоя смеси глубиной Г = 100 м при распространении поверхностной волны длиной А- = 10м под углом 30 к оси х . Несущая фаза -жидкость с плотно стью р= 1000 кг/м3 и коэффициентом динамической вязкости Г = 1,004 10 3 кг/(м-с). Если не оговорено особо, то дисперсная фаза представляет собой сферические частицы радиуса а = 0,25 10 2 м, концентрация примесей в покоящемся слое а0 = ОД.
На рис. 4.1а и рис. 4.16 представлены графики зависимости с2 от декремента затухания р при р= 500 кг/м3 и р = 1500 кг/м3 . С ростом величины декремента затухания значение с2 уменьшается и достигает своего минимального значения при Ртах. Для среды с р = 500 кг/м3 минимальное значение с2 равно (c2)min =-0,5545 м2/с2 и достигается при Ртах =0,23391/с, для среды с р =1500кг/м3 имеем (cr2)imn =-0,1571 м2/с2 при ртах =0,12451/с. Максимальное значение декремента затухания Pmax =2Rp/3p1(sp+2р) соответствует (с2 )min и, следовательно, минимальному значению фазовой скорости волны.
На рис. 4.2 изображена зависимость фазовой скорости пространственной волны со от концентрации примесей а0. С увеличением концентрации значение фазовой скорости возрастает, причем для среды, содержащей частицы плотности р = 500 кг/м3 (пунктирная кривая) со достигает больших значений, чем в случае примесей плотности р =1500 кг/м3 (сплошная кривая). Зависимость фазовой скорости со от длины волны X изображена на рис. 4.3. С ростом X фазовая скорость увеличивается. Характер зависимости соответствует классическим результатам [47]. Для среды с р =500 кг/м3 с0 больше, чем для смеси с примесями плотности р =1500кг/м3, но эта разница не значительна.
Снижение фазовой скорости волны со с ростом коэффициента межфазного трения R продемонстрировано на рис. 4.4. На рис. 4.5 представлена зависимость со(а), имеющая обратный характер. С уменьшением размера частиц увеличивается значение коэффициента межфазного трения R и, следовательно, при неизменной концентрации снижается значение фазовой скорости волны с0. На рис. 4.6 представлено возмущение концентрации дисперсной фазы а2 вблизи свободной поверхности для смеси жидкости с дисперсными частицами плотности р = 500 кг/м3. Также было рассчитано возмущение концентрации на глубине 3 м (z = -3). Соответствующая поверхность изображена на рис. 4.7. Здесь отклонение от плоскости а2 =0,1, соответствующей равномерному распределению примесей по слою меньше, т. е. с глубиной возмущение концентрации затухает. На рис 4.8 представлено возмущение концентрации вблизи свободной поверхности при р =1500кг/м3. Как и в случае плоскопараллельного движения, концентрация «легких» (р р) по сравнению с несущей жидкостью частиц уменьшается, а «тяжелых» (р р) возрастает.
На рис. 4.9а представлена форма свободной поверхности, соответствующая решению линейной задачи (4.2.25), волновая поверхность с учетом второго приближения (4.3.18) изображена на рис. 4.96. Оба графика построены для р =1500 кг/м3. Поверхности практически не отличаются. Чтобы выявить различие на рис. 4.10а и рис. 4.106 представлены фрагменты свободной поверхности в линейном и нелинейном приближении соответственно.
