Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Периодическое решение уравнений Буссинеска над наклонным дном 18
1.1 Введение 18
1.2 Математическая формулировка теории нелинейных волн на поверхности воды 22
1.3 Уравнения Буссинеска для средней скорости и смещения 25
1.4 Переход к одному уравнению 28
1.5 Периодическая задача 29
1.6 Вычисление объема затекающей жидкости 33
1.7 Примеры 34
1.8 Дисперсионные характеристики 36
1.9 Заключение 37 Рисунки к главе 1 38
Глава 2. Одномерное движение стоячих волн над наклонным дном 42
2.1 Введение 42
2.2 Уравнение Буссинеска для потенциала скорости 44
2.3 Периодическое решение 47
2.4 Исследование дисперсионных характеристик 51
2.5 Применение решений к вычислению наката 52
2.6 Заключение 55
Рисунки к главе 2 55
Глава 3. Нестационарная нелинейная модель взаимодействия гравитационных поверхностных волн с внутренней волной 59
3.1 Введение 59
3.2 Математическая модель 61
3.3 Преобразование основных уравнений 65
3.4 Решение первого порядка 68
3.5 Типы решений 70
3.6 Комплексные собственные скорости волн, излученных неоднородным течением 72
3.7 Примеры эволюции волн 73
3.7.1 Действительные собственные скорости 74
3.7.2 Комплексные собственные скорости 75
3.8 Заключение 75
Рисунки к главе 3 77
Глава 4, Поверхностные волны над донным препятствием эллипсоидальной формы 82
4.1 Введение 82
4.2 Математическая модель 84
4.3 Лучевые решения и их каустики 88
4.4 Угол острия волновой каустики для отмели с медленно изменяющейся глубиной 92
4.5 Примеры 95
4.6 Заключение 98 Рисунки к главе 4 99
Заключение 104
Литература 105
- Математическая формулировка теории нелинейных волн на поверхности воды
- Уравнение Буссинеска для потенциала скорости
- Математическая модель
- Лучевые решения и их каустики
Математическая формулировка теории нелинейных волн на поверхности воды
Искомый объем затекающей за береговую линию жидкости в плоском случае равен площади криволинейного треугольника ограниченного линией дна, осью ординат, и графиком возвышения свободной поверхности. Для его вычисления понадобятся функции усредненной по глубине скорости U{x,t) и возвышения свободной поверхности rj{x,t). Чтобы их найти, будем решать уравнение Буссинеска высокого порядка как по нелинейности є так и по дисперсии //. Как известно, единой формы уравнений Буссинеска не существует, их вид зависит от базовой функции. Такие базовые функции впервые были использованы Перегрином [Peregrine, 1967], а позднее Мадсеном и Шафером [Madsen and Schaffer, 1998]. В данной главе дно предполагается наклонным, а волновое движение - периодическим (стоячие волны). Базовые функции разложены в ряд Фурье по гармоникам основной частоты (о. Результатом настоящей главы служат явные выражения коэффициентов первых трёх гармоник ряда Фурье, которые вычислены вплоть до порядков є2, Ц2 и // включительно. Полученные формулы для средней скорости и возвышения свободной поверхности представляют собой однородные полиномы от функций Бесселя нулевого и первого порядков
Представлены рисунки, иллюстрирующие поведение базовых функций U и t]. Приведены примеры вычисления с их помощью объема затекающей за береговую линию жидкости, показана связь этого объема с накатом. Исследованы границы применимости вышеописанной модели.
Уравнение Буссинеска для потенциала скорости
Построение предлагаемой здесь модели воздействия внутренних волн на распространение слабонелинейного пакета гравитационных поверхностных волн основано на следующих допущениях [Воляк, Семенов, Шуган, 1989]:
1) поверхностные и внутренние волны распространяются вдоль одного направления - х ((x ,y ,z ,t) - неподвижная система отсчета, /-время);
2) характерная длина поверхностных волн с волновым числом к много меньше длины внутренних волн (волновое числом): К/к «1;
3) глубина залегания пикноклина или слоя максимального сдвига фонового течения намного превосходит длину поверхностных волн, так что в верхнем слое однородной по плотности жидкости внутренняя волна представлена горизонтальным течением, изменяющимся по направлению распространения хг и воспроизводящим ее форму;
4) зависимость скорости течения от вертикальной координаты z незначительна и ею можно пренебречь;
5) вертикальные смещения частиц вблизи поверхности воды оказывают пренебрежимо малое влияние на поверхностные проявления внутренней волны;
6) длинные внутренние волны слабо диспергируют, поэтомугоризонтальная скорость течения в приповерхностном слое задается в виде бегущей волны u(x\t) = и[К(х - ct)), где с - фазовая скорость распространения внутренней волны; отношение икс принимается малым (и/с«1), что обычно хорошо подтверждается экспериментальными данными [Hughes&Grant, 1978].
Математическая модель
Глава посвящена математическому моделированию трансформации гравитационных поверхностных волн вследствие обтекания подводного препятствия. Исследуется модель эволюции волн над донным препятствием с эллиптическими линиями уровня, основанная на приближении геометрической оптики.
Задача о распространении поверхностных волн над подводным препятствием или отмелью с медленно меняющейся глубиной, расположенной на горизонтальном дне, была рассмотрена в нескольких работах [Arthur, 1946; Pocinki, 1950; Mei, 1983]. В этих работах аналитические решения были найдены для подводных возвышений, имеющих круговое поперечное сечение, что не может быть использовано для описания многих реальных ситуаций. Горизонтальные сечения подводных хребтов или отмелей гораздо чаще похожи на эллипсы. Поэтому в настоящей работе рассматриваются поверхностные волны, распространяющиеся над плоским дном, имеющем возвышение с эллиптическим поперечным сечением.
Лучевые решения и их каустики
Приведем несколько иллюстраций, где волновые лучи показаны для различных значений параметров ах, а2 и X. При переходе от безразмерных переменных к физическим положим со1)g = 0,1 м"1. На всех графиках имеются каустики с острием, имеющим изогнутые границы. Волны над удлиненным подводным препятствием с отношением осей 6,25 показан, когда поверхностные волны первоначально распространяются параллельно одной из осей эллипсоидальной отмели и, следовательно, картина симметрична в обоих случаях. Если полуоси такой отмели равны 100 и 16 м, то длина поверхностных волн меняется от 28,0 вне эллипса до 26,4 м в его середине, в то время как глубина меняется от 1,9 до 1,68 м соответственно.
Рисунок 4.2 соответствует поверхностным волнам, первоначально движущимся параллельно длинной оси эллипса. Лучи в этом частном случае (и вообще при достаточно больших значениях отношения я,/а2 пересекаются первый раз над отмелью, образуя каустику. Лучи, выходящие из ее острия вблизи границ каустики, расходятся вне эллипса, в то время как лучи, расположенные близко к оси, пересекаются еще раз, образуя при этом дополнительную каустику, состоящую из двух компонент. Границы этой каустики представляют собой изогнутые, асимптотически прямые линии. Параллельные лучи слева от отмели и два расходящихся пучка на обрезаны; чтобы сделать картину более ясной. Случай, когда поверхностные волны параллельны короткой оси эллипса, показан на Рис A3, где основание отмели сливается с горизонтальной осью из-за масштаба рисунка. Волновые лучи здесь пересекаются только однажды, образуя острие с изогнутыми границами за пределами отмели. Чем больше отношение осей axfa2, тем дальше от центра отмели расположено острие каустики, что полностью аналогично действию собирающей линзы в оптике.
