Содержание к диссертации
Введение
I. Математические модели для длинных волн 10
1.1. Уравнения для описания волн на поверхности жидкости 10
1.2. Линейные и нелинейные уравнения мелкой воды 14
1.3. Уравнение эйконала. Уравнения волновых лучей 18
Выводы к главе 1 22
П. Методы расчета волн цунами 23
2.1. Методы расчета кинематики волн цунами 23
2.1.1. Нахождение времени движения волны цунами 23
2.1.2. Алгоритмы расчета кинематики волновых фронтов 32
2.1.3. Метод расчета изохрон волн цунами на основе принципа Гюйгенса 38
2.1.4. Применение параллельных вычислений для быстрых расчетов кинематики волн цунами 48
2.2. Методы численных расчетов генерации и распространения волн цунами 53
2.2.1. Расчет генерации волн цунами подвижками океанического дна 53
2.2.2. Об энергии волн цунами, возбужденных перемещениями дна 63
2.2.3. Один метод расчета распространения волн цунами в областях с переменной глубиной 66
2.2.4. Численное моделирование процесса формирования волн при падении крупных небесных тел в океан 70
2.3. Расчет наката длинных волн на берега 75
2.3.1. Обзор методов, используемых для расчета наката волн цунами на берег 75
2.3.2. Численный расчет набегания волн цунами на наклонный берег 82
2.3.3. Метод расчета наката длинных волн на берег произвольного профиля 93
Выводы к главе II 99
III. Оперативный прогноз и цунамирайонирование побережья 101
3.1. Задачи оперативного прогноза цунами 101
3.1.1. Применение численных расчетов в оперативном прогнозе цунами 101
3.1.2. Оптимальная сеть гидрофизических станций для службы оперативного прогноза 103
3.2. Цунамирайонирование побережья 109
3.3. Особенности поведения волн цунами в прибрежной зоне 116
3.3.1. Волны цунами от источников, расположенных близко к берегу 116
3.3.2. Об опережающих волнах цунами 126
3.3.3. Фокусировка волн цунами и цунамирайонирование 133
3.3.4. Волноводы цунами 147
Выводы к главе III 158
IV. Информационная поддержка численного моделирования цунами 159
4.1. Создание детальной цифровой батиметрии 159
4.2. Принципы создания и функционирования Географических Информационных Систем (ГИС) 165
4.3. Интерактивная система для ввода цифровой географической и батиметрической информации 175
4.4. Метод визуализации двумерных массивов больших размеров 184
4.5. ГИСы для моделирования волн цунами 193
4.5.1. Интерактивная система для моделирования цунами 193
4.5.2. Экспертная база данных по цунами 199
4.5.3. Пользовательские системы расчета кинематики лучей
и фронтов волн цунами 203
Выводы к главе IV 208
Заключение 209
Литература
- Линейные и нелинейные уравнения мелкой воды
- Алгоритмы расчета кинематики волновых фронтов
- Применение численных расчетов в оперативном прогнозе цунами
- Принципы создания и функционирования Географических Информационных Систем (ГИС)
Введение к работе
Волны цунами, что в переводе с японского означает большие волны в бухте, являются одним из наиболее опасных стихийных бедствий, которым подвержено побережье Мирового океана. Чаще всего они возникают в акватории Тихого океана, так как там сейсмическая активность гораздо выше, чем в других океанах. Это объясняется тем, что в подавляющем числе случаев цунами были вызваны сильными подводными землетрясениями. Среди других причин возникновения этих волн можно отметить извержения подводных вулканов, подводные оползни и падением крупных небесных тел в океан.
Кроме Тихого океана цунами наблюдаются в Атлантическом и Индийском океанах, есть данные о цунами в Средиземном море и даже в Черном и Каспийском морях. Если оценивать ущерб, причиняемый сильными цунами, то он иногда значительно превосходит ущерб от собственно цунамигенного землетрясения. К примеру, во время цунами, происшедшего в 1703 г. в Японии, погибло около 100 тыс. человек. Волны, порожденные в результате взрыва вулкана Кракатау в 1883 г., привели к гибели 40 тыс. человек и более 300 тыс. оставили без крова. Наличие в наши дни во многих странах специальных служб предупреждения не предотвратило катастрофических последствий цунами и раз в несколько лет сильное цунами то там, то тут приводит не только к значительным разрушениям, но и массовой гибели людей. Например, цунами Л 6 августа 1976 г. унесло жизнь 8000 жителей Филиппин. Никарагуа (1992) - 170 погибших, Индонезия (1992) 1000 жертв, о. Окушири (Япония, 1993) - 200 погибших, о. Ява (Индонезия, 1994) -220 жертв и еще ряд случаев цунами.
Наиболее частой причиной возникновения цунами является резкое вертикальное смещение обширных участков в эпицентральной области (или рядом с ней) во время сильных подводных землетрясений. Не исключена генерация цунами крупными подводными оползнями (залив Сагами (Япония) в 1923 г.) и падением больших масс грунта с крутых склонов берега (гигантские волны в заливе Литуйя (США) в 1958 г.). Наблюдались также так называемые метеорологические цунами, причиной которых считается подъем уровня моря вследствие падения атмосферного давления в центре сильных циклонов, однако такие метеоцунами не могут вызвать волну, представляющую хоть какую-то опасность.
Одним из свойств волн цунами является их способность распространяться на громадные расстояния, сохраняя разрушительную силу. Во время Чилийского цунами волны за 22 ч пересекли весь Тихий океан и обрушились на побережье Японии, причинив значительный ущерб. Одним из самых разрушительных в истории Гавайских островов цунами произошло 1 апреля 1946 г., при этом очаг располагался от них на удалении 3500 км, в районе Алеутской островной дуги. Скорость распространения цунами в открытом океане хорошо определяется формулой с = д/gli, где Н - глубина воды, g - ускорение силы тяжести. В Тихом океане, средняя глубина которого порядка 4 км, скорость цунами составляет около 700 км/ч. Заметить цунами в открытом океане без приборов практически невозможно, так как при высоте до 1-го - 2-х метров волны имеют длину от нескольких десятков до сотен километров. Исследователи, занимающиеся этой проблемой, считают, что начальное возвышение свободной поверхности в зоне очага цунами не превышает нескольких метров, а периоды волн лежат в диапазоне от 2 до 200 мин. По мере удаления от источника амплитуда их убывает вследствие цилиндрического расхождения волны (в линейном приближении это убывание происходит обратнопропорционально квадратному корню из расстояния).
Относительно слабое затухание по мере удаления от очага плюс фокусировка энергии волн, возникающая вследствие неровности дна и сферичности Земли, делают опасными цунами, порожденные даже весьма удаленными источниками. Определяющим при распространении цунами оказывается подводный рельеф дна океана, при этом он влияет не только на скорость волн, но и на распределение амплитуд вдоль фронта. Например, подводные горные хребты могут служить волноводами, вдоль которых волна цунами движется практически без убывания амплитуды.
При входе волны цунами в зону мелководья, скорость их резко уменьшается. При этом возрастает амплитуда, которая (если гребень волны не обрушится) достигает своих максимальных значений вблизи линии уреза. Ограничение свободного пространства по бокам, например, при входе цунами в узкие заливы или устья рек, приводит к еще большему возрастанию высот волн. Рефракция волны над неровным дном меняет направление движения волнового фронта и может привести к крайней неравномерности распределения амплитуд волны вдоль побережья.
Опасность катастрофических проявлений цунами в районах Тихоокеанского побережья стимулирует исследования проблем, связанных с этим природным явлением. Катастрофическое Камчатское цунами 1952 г. послужило толчком к началу планомерного изучения в нашей стране этого грозного феномена. Основные цели и направления этих работ были сформулированы в работе С. Л. Соловьева [90]. Затем подходы к решению этой проблемы развивались С.С.Войтом [14-17] и А.С.Алексеевым [2,3]. Значительное внимание гидродинамике цунами уделено также в работах М. А. Лаврентьева и его учеников [8, 19, 53, 98]. Позднее к работам по исследованию различных аспектов этой большой проблемы подключились группы в ЛГМИ, г. Ленинград (А.В.Некрасов, В.Г.Бухтеев и др.), в ИПФ РАН, г. Горький (Л.А.Островский, Е.Н.Пелиновский и др.), в МГИ АН УССР, г. Севастополь (Л.В.Черкесов, С.Ф.Доценко и др.), в ИТПМ СОРАН, г.Новосибирск (Ю.И.Шокин, Л.Б.Чубаров и др.), в ИМГиГ ДВО РАН, г. Южно-Сахалинск (А.А.Поплавский, Е.А.Куликов, В.М.Кайстренко и др.), в ВЦ СОРАН, г. Новосибирск (В.К.Гусяков и др.), в ИГ АН УССР, г. Киев (И.Т.Селезов и др.) и еще ряд коллективов. Эти работы были направлены на понимание физики этого явления, подбор математических моделей и в конечном итоге на разработку мер по защите населения и хозяйственных объектов от разрушительного воздействия цунами.
Сведения об исторических цунами разбросаны по различным источникам. Постепенно они собираются в каталоги, среди которых наиболее полными следует назвать работы [94 - 96], где описаны около 1000 цунами и сходных с ними явлений, наблюдавшихся в Тихом океане за последние полторы тысячи лет. Литература, посвященная проблеме цунами, весьма обширна, число публикаций составляет порядка трех тысяч наименований. Прежде всего, должны быть упомянуты библиографические указатели [104, 122, 137] и обзорные работы [6, 14 -17, 120, 136]. Последние годы ведется активная работа по созданию электронных каталогов (баз данных) по цунами, которые значительно облегчают использование имеющихся фактических данных о цунами в исследовательских и прогностических целях [125], в том числе и с помощью Интернет-технологий.
В проблеме моделирования цунами можно выделить три класса задач в соответствии с основными этапами этого явления. Первый класс включает в себя задачи, связанные с анализом формирования начальных возмущений свободной поверхности океана, формированием и распространением волн вблизи очага, второй - с изучением распространения волн цунами в открытом океане и в зоне шельфа, и, наконец, третий класс задач описывает поведение волн в прибрежной
зоне и их взаимодействие с берегом. Остановимся кратко на каждом из этих классов задач.
Обзор состояния исследований по генерации волн цунами дается в [22]. Работы в этом направлении начинались с решения линеаризованных уравнений гидродинамики для потенциального движения идеальной тяжелой жидкости, лежащей на жестком дне. В такой постановке был решен целый ряд задач о возбуждении гравитационных волн в слое несжимаемой жидкости постоянной глубины при заданных подвижках дна той или иной формы. Наиболее полное решение, охватывающее большинство частных случаев, получено в работе [120]. В дальнейшем это направление развивалось, и применение численных методов исследования позволило решить задачу о возбуждении цунами для жидкого слоя переменной глубины и произвольных подвижек дна [114, 115, 126]. Но в такой постановке отсутствует связь волны цунами с процессом непосредственно в сейсмическом очаге, поскольку совершенно не учитываются упругие свойства дна океана.
Иной подход к проблеме возбуждения цунами, учитывающий сейсмический механизм, развит в работах [2, 23, 24]. Главная идея их состоит в использовании упругой модели среды и уравнения Ляме с учетом гравитационных сил в качестве уравнения движения частиц среды, что позволяет рассмотреть в одной модели гравитационные волны в жидкости и упругие сейсмические волны в твердой среде, которые в такой постановке служат основным связующим звеном между очагом землетрясения и волнами цунами. Но ввиду того, что смещение океанического дна в очаговой зоне происходит за значительно более короткое время, чем характерный период волн цунами, вполне приемлемой для численных расчетов является, так называемая, поршневая модель генерации. Суть этой модели заключается в предположении мгновенности подвижки или, что то же самое, в полной идентичности исходного смещения водной поверхности и твердого дна. Вопросы значимости остаточных смещений исследованы в работе [39] путем сопоставления параметров волн, получающихся при поршневом и "мембранном" механизме генерации. В диссертационной работе на основе численных расчетов соискателем сделан анализ зависимости характеристик волн цунами от параметров и длительности модельных подвижек дна, а также генерацию волн движущимися подвижками твердого дна. Проведены также расчеты процесса формирования волн в результате падения крупного небесного тела в океан.
Обзор работ по исследованию процесса наката длинных волн на берега дается в параграфе 2.3.1. Здесь же хочется отметить только коллективную монографию под редакцией Е.Н.Пелиновского [71], в которой нашли отражение результаты работы членов рабочей группы "Воздействие цунами на берега и сооружения "Комиссии по цунами научного совета ГКНТ по проблеме "Изучение океанов и морей и использование их ресурсов". Анализ опубликованных результатов позволяет выделить наиболее характерные эффекты, наблюдаемые при выходе длинной волны на берег. Возможны три сценария поведения волны при накате: 1) набегание на берег (затопление берега) без разрушения волны; 2) разрушение волны возле ее гребня с сохранением симметричной формы в целом; 3) полное разрушение волны, ее опрокидывание и образование бора. Но поскольку, как утверждают авторы работы [79], длина волны цунами, как правило, сравнима с расстоянием от очага до берега и, следовательно, существенного проявления амплитудной дисперсии и ее обрушения ожидать трудно, наиболее адекватной проблеме цунами является методика расчета наката волн без обрушения. Однако и на сегодняшний день численный расчет наката волн типа цунами на берега произвольного профиля сопряжен со значительными сложностями. Основная проблема построения численных алгоритмов для этих задач состоит в
аппроксимации подвижной границы касания поверхности воды с берегом. В работе предложены два метода численного расчета этой задачи, при этом найден береговой профиль, дающий сравнительно наибольшую высоту наката на сухой берег при одной и той же набегающей волне цунами.
На распространение волн цунами большое влияние оказывают топографические особенности дна океана. Так, подводные хребты и в открытом океане, и на шельфе служат волноводами, вдоль которых концентрируется энергия и создаются преимущественные направления для распространения волн цунами. Попытки исследовать эти эффекты предприняты в работах [14, 21, 101].
Получение аналитических решений для задач о распространении волн цунами в рамках уравнений мелкой воды с учетом нелинейных и (или) дисперсионных членов, оказывается весьма затруднительным, а при достаточно сложном рельефе дна и практически невозможным. В последнем случае данное положение сохраняет силу и для более простой линейной модели. Несколько результатов по расчету волновых движений над модельным дном были получены с использованием метода В.П.Маслова его учениками [36,37].
Поначалу численные эксперименты по распространению волн цунами носили методический характер и касались распространения волн в одномерных бассейнах, рельеф дна которых определялся кусочно-линейной функцией. Расчеты проводились, как правило, на основе логически весьма сложного метода характеристик [51, 105 - 107]. Развитие вычислительной техники, с одной стороны, и насущная необходимость решения прикладных задач - с другой, стимулировали создание, развитие и обоснование аппарата конечно-разностных схем, ставшего одним из самых мощных средств математического моделирования. Основные положения и результаты теории разностных схем изложены в монографиях Г.И.Марчука [65], А.А.Самарского [89], Н.Н.Яненко [113], С.К.Годунова и В.С.Рябенького [24], Р.Рихтмайера и К.Мортона [86]. Что касается конечно-разностных схем, применяющихся при решении задач теории мелкой воды, то обзор этих алгоритмов и обширная библиография работ, связанных с построением и анализом численных методов решения задач данного класса, приведены в монографиях [18,64].
Первое приближение процесса распространения и трансформации волн цунами дает картина лучей и фронтов. Лучевая теория основана на том, что вся волновая энергия переносится вдоль лучей в одном направлении, а в поперечном направлении обмен энергией отсутствует. Тогда можно попытаться рассмотреть область между двумя достаточно близкими на всем их протяжении лучами, как канал переменного сечения (волновую трубку), к которому применимы одномерные уравнения мелкой воды. Однако очевидны ограничения на использование методики волновых трубок в силу того, что: 1) при определенных рельефах дна построение лучей ведет либо к их пересечению, либо к чрезмерному расширению волновых трубок, когда одномерные уравнения становятся необоснованными; 2) при распространении волны цунами на значительные расстояния неизбежным становится взаимодействие волны с группами островов и отдельными островами, что вносит существенный вклад в трансформацию таких характеристик цунами, как времена прихода первого и главного возмущений, периоды, амплитуды и профили колебаний поверхности океана. Эти соображения были положены в основу первых численных экспериментов с применением конечно-разностных аналогов двумерных (по горизонтальным пространственным переменным) уравнений теории мелкой воды [10, 11, 79, 97, 109]. Таким образом, была заложена основа для математического моделирования цунами с учетом воздействия наиболее существенных реальных факторов. В дальнейшем суть этого
подхода практически не изменилась. Происходило лишь развитие вычислительных мощностей и средств визуализации результатов моделирования.
Хотя лучевая теория не позволяет получать достоверные динамические характеристики волн цунами (скорость жидкости и амплитуда), тем не менее, с ее помощью можно следить за кинематикой волновых фронтов, что может иметь применение в оперативном прогнозе цунами и в интерпретации результатов численных расчетов и натурных данных.
Диссертантом были проанализированы существующие методы расчета кинематики цунами, очерчены области эффективной применимости каждого из подходов, предложен ряд эффективных алгоритмов для расчета движения волновых фронтов. Получено точное решение для траектории волновых лучей над наклонным дном и аналитическое выражение для времени движения из одной точки в другую, что позволило правильно интерпретировать некоторые численные результаты других авторов и некоторые натурные наблюдения. С помощью предложенных методов найдены некоторые особенности поведения волн цунами над неровным дном, которые могут приводить к резкому усилению волн в некоторых точках акваторий и береговой линии. Найденные особенности в поведении цунами подтверждены проведенными численными расчетами с помощью разностных методов.
Так как малая амплитуда, большая протяженность и высокая скорость распространения затрудняют или делают практически невозможным оперативный прогноз цунами, возрастает роль предварительного цунамирайонирования, т. е. указание на побережье зон наибольшей опасности при цунами. Одной из задач оперативного прогноза цунами, которую в настоящее время удается успешно решать, является определение времени добегания волн цунами от произвольно расположенного очага до конкретных точек на побережье. В принципе, при наличии достаточно мощной ЭВМ можно рассчитать динамику цунами в режиме реального времени и получить оценки высоты в различных пунктах побережья еще до прихода туда реальной волны цунами, но сложность заключается в большой неопределенности величины начального смещения водной поверхности в очаговой зоне, что является следствием плохого сейсмического мониторинга и несовершенством математических моделей очага землетрясения. Методы численных расчетов цунами, предложенные в данной работе предполагается применять в пользовательских системах моделирования реальных цунами или Географических информационных системах, которые ведут расчет всех стадий явления цунами от сейсмического очага до выхода на сухой берег. Некоторые варианты таких систем уже созданы при участии соискателя [32].
Для проведения численных расчетов распространения цунами на реальных акваториях требуется детальная цифровая батиметрия на регулярной прямоугольной сетке. До сих пор не существует такой батиметрии с глобальным покрытием, и исследователям цунами приходится, чаще всего вручную, создавать небольшие числовые массивы таких данных для своих исследований. В работе предложены некоторые технологии для автоматизированного создания цифровой батиметрии, в частности, описывается интерактивная система для создания цифровых массивов глубин на основе бумажных батиметрических карт. С помощью данной технологии была создана цифровая батиметрия (с детальностью в одну географическую минуту) для всего Курило-Камчатского региона. Эта база данных используются для моделирования цунами и цунамирайонирования.
В последние годы широкое развитие получили Географические Информационные Системы (ГИСы), которые позволяют пользователю при наличии удобной графической оболочки проводить исследования различных геофизических явлений в привязке к реальной местности или акватории. Автором
предложена система ввода географической и геофизической информации, предназначенная для наполнения ГИС цифровой векторной географической и геофизической информацией. Кратко описываются несколько ГИС, созданных при непосредственном его участии. Одна из этих пользовательских систем (Экспертная база данных по цунами) принята Межправительственной океанографической комиссией ЮНЕСКО к использованию в странах Тихоокеанского региона.
Краткое содержание диссертации по главам: Первая глава является вводной, и в ней описываются основные математические модели, которые в дальнейшем используются при создании численных алгоритмов.
Во второй главе предлагаются методы для математического и численного моделирования различных стадий явления цунами. В разделе 2.1 собраны методы расчета кинематики волновых фронтов над неровным дном. В разделе 2.2 описана разностная схема для численного расчета генерации волн цунами поршневыми и движущимися подвижками океанического дна. Исследованы параметры возбуждаемых при этом волн. Раздел 2.3 посвящен методам расчета наката длинных волн на берег. Предложены два метода для численного моделирования этой стадии явления цунами. Один - служит для расчета набегания цунами на берег постоянного наклона, второй метод позволяет рассчитывать накат длинных волн на берег произвольного профиля.
В третьей главе обсуждаются вопросы оперативного прогноза и цунамирайонирования побережья. Так, в 3.1.2 предлагается способ определения оптимального расположения гидрофизических станций, регистрирующих прохождение цунами вдали от берега. В разделе 3.3 описываются особенности поведения волн цунами в прибрежной зоне, которые необходимо учитывать в оперативном прогнозе цунами и при цунамирайонировании побережья. Четвертая глава посвящена информационной поддержке численного моделирования цунами. Параграфы 4.1 и 4.3 касаются вопросов создания цифровой батиметрии для численных расчетов распространения цунами. В параграфах 4.2 и 4.5 перечисляются основные принципы функционирования Географических информационных систем (ГИС), а также описываются некоторые ГИС созданные диссертантом или с его непосредственным участием. В конце перечисляются основные результаты автора по теме диссертации и список литературы.
Линейные и нелинейные уравнения мелкой воды
Вторая приближенная модель, называемая обычно теорией мелкой воды, не требует малости амплитуды волны. При построении этой теории существенными являются предположения о малости вертикального ускорения частицы на свободной поверхности по отношению к ускорению свободного падения и о слабой зависимости горизонтальных скоростей от вертикальной координаты (см. монографию Н. Е. Вольцингера и Р. В. Пясковского [20]). Систематический вывод уравнений мелкой воды из точных уравнений гидродинамики осуществляется как получение последовательных приближений все более высокого порядка. Процесс состоит в формальном разложении всех величин по степеням некоторого малого параметра и последующем удержании членов одного порядка малости. При этом по существу, реализуется единственное допущение: гидростатичность давления в приближениях низшего порядка и квазигидростатичность в приближениях старших порядков. Вопросам обоснования такого подхода посвящены труды Дж. Келлера [129], М. А. Лаврентьева [55], Дж. Стокера [99], Л. В. Овсянникова [76]. Характерные физические особенности волн цунами, такие как большая длина и конечная амплитуда, позволяют использовать теорию мелкой воды для исследования этого явления.
Приведем вывод системы уравнений мелкой воды, следуя монографии [99]. За исходную систему уравнений берутся уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости при наличии силы тяжести в слое r\(x,z,t) у h(x,z), (x,z - горизонтальные координаты) при отсутствии вихря и других внешних сил (сила донного трения, сила Кориолиса и т.д.) ux +vy+wz=0, ut + шіх + vu + wuz = Рх , р vt+ uvx + w +wvz =--Р -g, (1.2.1) р wt + uwx + vwv + wwz = Pz , p wy =vz, uz = wx, vx =uy. На свободной поверхности и на дне выполняются следующие граничные условия: rt + unx + wrz = v, p-Q при y= uhx + v + whz = 0 при y= -h. (1.2.2)
Здесь использованы следующие обозначения: u,v,w компоненты скорости частиц жидкости вдоль осей x,y,z соответственно, - плотность, Р - давление, g -ускорение силы тяжести, h - смещение свободной поверхности относительно невозмущенного уровня, h - глубина.
Введем теперь безразмерные переменные, используя два линейных размера -d и к, где d обозначает характерную глубину, а к характерную длину в горизонтальном направлении. Используя эти величины введем новые независимые переменные вопросы постановки задач для системы уравнений мелкой воды исследуются в монографии Вольцингера и Пясковского [20]. Для дальнейшего изложения методов решения необходимо будет знание некоторых свойств систем уравнений мелкой воды, которые будут определены в этом параграфе.
Аналогично можно рассмотреть двумерную систему уравнений мелкой воды, для которой будет справедлива формула (1.2.22), которая называется формулой Лагранжа. Более подробно свойства системы дифференциальных уравнений мелкой воды описаны, например, в [20].
В качестве исходного уравнения, описывающего волновые процессы в среде с переменной скоростью распространения волн (скоростью звука) мы возьмем волновое уравнение Аи-\ 4 = 0, д-"-с2Аи = 0, (1.3.1) с2 dt2 dt2 J где скорость звука может быть функцией координат с = с(х). Если ввести зависящий от координат показатель преломления ц(х) = с0 / с(х) (с0 - скорость звука в некоторой фиксированной точке), для гармонических волн из (1.3.1) получается уравнение Гельмгольца
Аи + к2- і2(х)-и = 0, к2=о2/с2 (1.3.2)
В случае постоянной (во всей области) скорости звука уравнение Гельмгольца имеет решение в виде плоской волны постоянной амплитуды. Для переменной величины ц( ) на высоких частотах (к0 -» со) запишем решение уравнения (1.3.2) в виде и(х) = А(х) exp[ik0f(x)] . (1.3.3)
Здесь амплитуда А(х) - медленно меняющаяся функция координат, которую можно считать постоянной в малой окрестности точки х (но большой по сравнению с XQ = 2-я / к0). Фаза f(x) - также медленно меняющаяся функция, в той же малой окрестности можно представить в виде линейной функции координат, разложив f(x + Ах) в ряд. Таким образом, выражение (1.3.3.) можно рассматривать как локально плоскую волну. Подставив (1.3.3) в уравнение (1.3.2) и приравняв нулю вещественную и мнимую части, получаем систему уравнений
AA-k0A[(Vf)2-v2] = 0, (1.3.4) 2VAVf + AAf = 0.
Алгоритмы расчета кинематики волновых фронтов
Наиболее простым методом решения задачи (2.1.10), (2.1.11) является метод Рунге - Кутта. Если требуется построить лучи от точечного источника цунами, в начальных условиях (2.1.11) изменяется вектор v0, задающий начальное направление выхода луча, а координаты JC0, у0 остаются неизменными. Но для построения волновых лучей, соответствующих плоской волне, в условиях (2.1.11) необходимо изменить координаты точек выхода лучей (JC0, у0), оставляя постоянным единичный вектор.
В качестве примера приведем результаты расчета лучей во Втором Курильском проливе (рис. 2.1.6). По этой картинке можно определить угол подхода волны цунами к различным участкам побережья.
Предложим еще один метод построения волновых лучей в случае произвольного распределения глубин. Пусть глубина известна во всех точках расчетной области океана. Рассмотрим прямолинейный отрезок длиной А/,соединяющий две точки Ац и В0 исходного фронта волны цунами (рис. 2.1.7). Задаем расчетный шаг по времени At. Очередное положение концов А1 и 2?, движущегося отрезка находим следующим образом: точку Д, перемещаем на расстояние с(Д,)-Аґ, а В0 - на расстояние с(В0) At в направлении внешней нормали к исходному фронту волны. Соединяем полученные точки и на расстоянии А//2 от середины полученного отрезка (точка 5,) располагаем точки Ах иД, после чего повторяем построение и находим очередное положение отрезка А2В2. Ломаная линия 50, 5,, 52... является приближенной траекторией волнового луча (см. рис. 2.1.7).
Покажем, что построенная таким образом ломаная, действительно аппроксимирует волновой луч. Выпишем изменение составляющих вектора направления луча Р. ( ) =7х-а-Ы- — = -1х- -.. 1У1, (2.1.12) \dt) dx с(х,у) с(х,у) dx здесь 1Х - единичный вектор вдоль оси ОХ. Следует также иметь в виду, что с{х,у) Пусть очередное положение в момент времени t движущегося отрезка АВ параллельно оси ОХ (рис. 2.1.8). Длина отрезка равна Ах. Согласно нашему методу, за время At точка А переместится на расстояние At с(х, у), а точка В - на расстояние At с(х+ Ах,у), (х, у) - координаты точки А. Вектором Р для каждого из отрезков АВ и DE будет вектор длиной 1/с и направленный перпендикулярно отрезку в направлении движения волны. Построим оба вектора P(t) и P(t + At), выходящих из одной точки D. На рисунке 2.1.8 это будут отрезки BF и DG. Длина отрезка DF составляет 1/с(х, у), а длина DG равна l/c(D). Координаты точки D по построению равны хи у + с(х, у)- At.
Выясним теперь, как выражается проекция на ось ОХ отрезка FG, т.е. вектора P(t) - P(t + At): (P(t + At)-P(t))x = c(x,y + c(x,y)At) c{x,y) At - c(x + Ax,y) At c(x,y + c(x,y) At)- Ax sin(a) = Следовательно, P(t + At)-P(t) At c(x + Ax,y)-c(x,y) 1 Ax c(x,y + c(x,y)At) (2.1.13) Левая часть уравнения (2.1.13) аппроксимирует составляющую вдоль оси ОХ dP . dc вектора ---, а первый сомножитель в правой части - производную —. Таким ot dx образом, если покажем, что и второй сомножитель близок по значению к величине 1/с(х, у), то это будет означать, что направление волнового луча в процессе предложенного построения меняется в соответствии с уравнением (2.1.12). Первое уравнение из (2.1.10) выполняется в силу построения нашего метода. Вернемся ко второму сомножителю правой части уравнения (2.1.13). Необходимо оценить разность S = --. (2.1.14) c(x,y + c(x,y)At) с(х,у) Определим, какой порядок величины имеет производная от скорости распространения волн. В реальном океане наклон дна, как правило, не превышает 0,1. Следовательно, имеем оценку 0.01, дх ду 0.01 (2.1.15) Если выберем шаг At таким, что величина Ay = с(х,у) At будет малой по отношению к длине отрезка Ах, то отклонение второго сомножителя в правой части уравнения (2.1.13) от 1/с(х, у) выразится в виде 5 = - (2.1.16) с(х,у)с(х,у + Ау) Из ограничений (2.1.15) следует, что числитель в выражении (2.1.16) не превосходит 0.01 с(х, у) At. Оценка (2.1.16) перепишется в виде 3 Ш Л (2.1.17) с(х,у + Лу)
При использовании в расчетах шага по времени At, не превышающего нескольких секунд, построенный луч будет довольно близок к истинному (решению дифференциального уравнения волнового луча). При этом чем меньше градиенты глубин, тем больший шаг по времени можно использовать.
В качестве иллюстрации приведем примеры численного расчета процесса распространения кругового волнового фронта при наличии модельного рельефа дна. В прямоугольной расчетной области, рассматривается исходный волновой фронт, представляющий собой 72 точки, расположенные вдоль окружности небольшого радиуса (10 км) через равные угловые промежутки (рис. 2.1.9). В этом алгоритме величина перемещения каждой из точек волнового фронта вычислялась по формуле Лагранжа по значению глубины в этой точке, а направление перемещения было ортогональным к отрезку, соединяющему две соседних с обеих сторон расчетные точки волнового фронта. Были проведены три варианта расчета: в области с постоянной глубиной, с наклонным дном и параболическим рельефом дна. На рисунке 2.1.9 представлены положения волнового фронта и траектории движения расчетных точек волнового фронта в области с постоянной глубиной. Копличество сегментов - 72 Начальный радиус — Ю.ОООООО Масштаб экрана - Ю Константа времени - 1.500000 Поверхность - Плоская
Колличество сегментов - 72 Начальный радиус — Ю.ОООООО Масштаб экрана - 1Q Константа времени - 1.500000 Поверхность - Наклонная ; г Ш Кт /х /С Зг \
На рисунке 2.1.10 представлены положения волнового фронта при наличии наклонного дна, где глубина линейно увеличивается от левой границы к правой и не зависит от вертикальной координаты. В последнем варианте расчетов рельеф дна был параболическим, т.е. глубина возрастала от левой границы области к правой пропорционально квадрату горизонтальной координаты и не зависела от вертикальной координаты.
Колличество сегментов - 72 Начальный радиус - 10.GOOOOO Масштаб экрана - ЮООО Константа времени - 2.000000 Поверхность - Параболическая J iff /Sw / /Ч s \ \ \ X\Vn к сх UwKSXX4у ДДД-у\\/ Рис. 2.1.11. в точке источника цунами связаны
На всех трех рисунках 2.1.9 - 2.1.11 видно, что с течением времени фронт волны цунами в целом сохраняет форму круга. Для области с постоянной глубиной это является очевидным фактом. Нетрудно показать, что над параболическим дном изохроны от первоначально круглого источника также сохраняют форму круга. А в случае, когда дно имеет постоянный наклон, круглая форма волнового фронта сохраняется (да и то приблизительно) только, если радиус - R этого кругового фронта значительно (на порядок) меньше условного удаления - у0 источника от берега. Это удаление и глубина - D0 соотношением Do =Уо- 8(а) Здесь а - угол наклона плоскости дна.
Применение численных расчетов в оперативном прогнозе цунами
Задачей оперативного прогноза цунами является определение участков побережья, которые могут подвергнутся воздействию цунами, а также оценка времени и степени этого воздействия. Это должно быть сделано для каждого конкретного случая цунами непосредственно сразу после получения сведений о произошедшем цунамигенном землетрясении. Хотелось бы получить оценки высот цунами, которые прийдут в различные защищаемые данной системой оповещения пункты побережья, но состояние исследований по моделированию очага землетрясений пока не позволяет быстро получать размеры и форму начального смещения поверхности океана, которое могло бы служить начальными условиями для численного расчета прямой задачи распространения цунами. Попытка быстрой оценки ожидаемых высот цунами была предпринята в Вычислительном центре СОАН СССР в конце 80-х годов [32], но имевшаяся там вычислительная техника не позволяля получать такие оценки быстрее физического времени распространения цунами от очага до берега.
Одной из задач оперативного прогноза, которая может быть успешно решена при наличии даже небольших вычислительных мощностей, является быстрое определение времен прихода головной волны цунами в различные пункты побережья. С помощью сети сейсмических станций местоположение эпицентра подводного землетрясения устанавливается довольно быстро. Затем возникает задача о нахождении времени движения волн цунами от известного нам источника до интересующей точки на побережье при заданном распределении глубин океана. Решение данной задачи не зависит от амплитуд возникающих волн цунами и поэтому требует лишь знания распределения глубин в данном регионе. Правда, сейсмологи обычно дают местоположение эпицентра или гипоцентра землетрясения, а форму и размеры очага цунами (области начального смещения поверхности океана) определяют исходя из глубины и магнитуды землетрясения (см. например[30, 31]). Затем с помощью алгоритмов, описанных в параграфе 2.1, проводится численный расчет прямой задачи распространения волнового фронта от очага до интересующих нас точек на побережье и приближенно находятся времена прихода головной волны цунами в эти пункты. После этого остается разослать тревожные сообщения в защищаемые пункты с указанием ожидаемого времени прихода туда цунами.
Однако, и здесь имеется ряд сложностей. Во-первых, иногда очаг цунами находится настолько близко к берегу (защищаемому пункту побережья), что время распространения цунами до него физически меньше времени, требуемого для выработки тревожного сообщения. В таких случаях оперативная служба даже теоретически не в состоянии довести сигнал тревоги до этого защищаемого пункта. Единственным выходом в таких случаях является обучение местного населения необходимым действиям, если ощущается сильное землетрясение. Самым разумным действием в таких случаях будет визуальное наблюдение за поведением уровня моря. Если уровень моря начинает понижаться или видны приближающиеся к берегу волны цунами, то людям необходимо переместиться в безопасные в смысле цунами места (возвышенные места и т.п.). Именно такая ситуация имела место во время цунами 1983 года на Япономорском побережье острова Хонсю (Япония), когда первые волны цунами достигли побережья через 8 минут после землетрясения. Тогда основную часть погибших составили школьники из центральной части (не с побережья) Японии, которые отдыхали со своими руководителями на пляже и не имели представления о действиях в случае сильного землетрясения. Еще погибло несколько строителей, которые в это время вели строительные работы в акватории порта Носиро и физически не имели возможности быстро покинуть опасную зону.
Второй проблемой в оперативном прогнозе цунами является возможность ложных тревог. Из наблюдений известно, что не каждое подводное землетрясение генерирует цунами. Конечно, землетрясение с магнитудой более 7.5 почти обязательно будет сопровождаться волнами цунами. Если магнитуда не превышает 6.5 то не следует ждать волн цунами, способных нанести какой-либо ущерб. А вот в интервале магнитуд от 6.5 до 7.5 появление цунами не гарантировано. Многое зависит от глубины гипоцентра и механизма землетрясения [30, 31]. Здесь следует находить дополнительные сейсмические признаки цунамигенности, либо заблаговременно обнаруживать волну цунами на далеких подступах к берегу. Если удается зарегистрировать движущуюся по глубокому океану волну цунами за 15-20 минут до ее выхода на берег, то останется достаточно времени на то, чтобы оповестить население об угрозе и провести эвакуацию из опасной зоны.
Идея использования морских гидрофизических станций (ГФС) для регистрации цунами вдали от берега принадлежит С.Л.Соловьеву, который много сделал для того, чтобы воплотить эту идею в жизнь. Так, вблизи острова Шикотан (Курильские о-ва) был установлен кабельный датчик уровня океана, который регистрировал приближающиеся к поселку Малокурильск волны цунами за несколько минут до их входа в бухту. С помощью этой станции были зарегистрированы несколько случаев волн цунами [34]. По заказу Госкомгидромета были разработаны и испытаны кабельные и буйковые ГФС для службы оперативного прогноза цунами на Дальнем востоке России [50]. Разработанные датчики могли быть установлены на глубинах до 1500 метров и на удалении до 70 миль от пункта приема (для буйковых ГФС). Подобные станции, используемые в Японии могут быть установлены практически на любой глубине, но работают только в "кабельном" варианте.
Далее возникает задача установки этих ГФС, при этом необходимо, чтобы сеть таких станций обеспечивала требуемую заблаговременность обнаружения приближающейся к берегу волны цунами и включала в себя по возможности минимальное число ГФС. Через 2 года после публикации соискателем первых исследований по этой проблеме (1985) А.А.Поплавский из ИМГиГ ДВО РАН также начал заниматься проблемами постановки гидрофизических станций для регистрации подходящих к берегу цунами [83, 84], однако, его основной целью была такая сеть станций, которая наряду с обеспечением требуемой заблаговременности, также определяла бы и направление подхода головной волны. В дальнейшем имела место попытка подключения сюда алгоритмов оценки амплитуды волн [85].
Методы расчета кинематики волн цунами могут быть эффективно использованы при создании на Дальнем Востоке России Единой автоматизированной системы предупреждения о цунами (ЕАСЦ). В создаваемую систему наряду с оценкой по сейсмическим данным вероятности возникновения и ожидаемой интенсивности цунами входит заблаговременное обнаружение приближающейся к берегу волны. С этой целью планируется установка гидрофизической подсистемы ЕАСЦ., основными элементами которой являются морские гидрофизические станции (ГФС), передающие информацию о колебаниях уровня океана в случае угрозы цунами. Техническим заданием на ЕАСЦ предусмотрена такая сеть ГФС, которая регистрирует приближающуюся к побережью волну минимум за 10 мин до ее выхода на сушу.
Технические данные используемых комплексов аппаратуры позволяют установить кабельные донные ГФС на глубинах до 500 м, а буйковые ГФС - до 1000 м, причем они могут быть удалены от пункта приема информации на расстояние до 70 миль.
Предложим алгоритм построения оптимальной сети гидрофизических станций для случая, когда эпицентры цунамигенных землетрясений располагаются на некотором расстоянии от береговой линии. Если бы ограничения на это расстояние не было, то задача построения эффективной сети ГФС не имела бы решения, так как время движения волны цунами от очага до побережья могло быть менее 10 мин. Анализ данных о цунамигенных землетрясениях в регионе позволяет локализовать вероятные области возникновения землетрясений изобатой 5000 м. Поэтому при решении задачи о создании оптимальной сети ГФС полагаем, что источники располагаются на глубинах более 5000 м.
Пусть в модельном случае глубина зависит от расстояния до прямолинейного берега, произвольным образом. Поместим в точку М прямоугольной прибрежной области на расстоянии /0 от берега (где располагается зона возможных очагов цунами) точечный источник волн цунами (исходным фронтом волны является круг небольшого радиуса). Затем рассчитаем изохроны через заданные промежутки времени. Рассмотрим точки пересечения А и В изобаты 1000 м (максимальная глубина дня установки ГФС) с изохроной волны цунами, соответствующей положению волнового фронта за 10 мин до выхода на побережье. Естественно предположить, что на расстоянии /0 от берега глубина значительно превышает 1000 м.
Принципы создания и функционирования Географических Информационных Систем (ГИС)
Географические информационные системы (ГИС) создаются для визуализации на экране компьютера различных объектов и результатов моделирования. Основной идеей ГИС является отображение визуальной информации на фоне географической карты, что имеет большое прикладное значение. Поэтому первоочередной задачей при построении какой-либо ГИС является создание географической подсистемы, которая бы давала возможность вывода на экран карты интересующего нас географического региона. Важно иметь простой способ наполнения векторных баз географических данных.
Сначала рассмотрим растровые карты. Если пользователь ГИС собирается работать только с одним географическим регионом без сильного зуммирования в процессе работы, то можно обойтись только одной растровой картинкой, которую легко ввести в компьютер при помощи сканнера. В этом случае допустимо небольшое зуммирование с коэффициентом увеличения в 2, 4 или 8 раз, при этом качество изображения карты на экране будет еще удовлетворительным. Например, одна точка (пиксел) на исходной карте после двойного зуммирования превращается в квадратик из четырех пикселей. При четырехкратном увеличении масштаба та же точка превратится в квадратик уже с размерами 4x4 пиксела и т.д.. Линии становятся в соответствующее количество раз толще. Таким образом, при очень сильном зуммировании исходной растровой карты получаемое на экране изображение может стать не очень презентабельным, то есть слишком явно будет видна ее квадратичная структура (все элементы станут угловатыми). При необходимости глубокого зуммирования возможно построение (в процессе работы ГИС) новых топ-основ (фоновых карт) с использованием более детальных растровых данных. Например, данные о рельефе суши существуют с детальностью 5 км, 1 км, 250 м, 100 м и 30 м. При построении все более детальных электронных карт следует постепенно вводить в рассмотрение растровые данные все большей детальности. В качестве примера использования растровых карт в ГИСаб можно привести одну из версий Системы Моделирования Цунами, разработанной в лаборатории моделирования волн цунами Вычислительного центра СО РАН. В качестве исходной карты для последующего выбора региона там используется растровая карта Тихого океана, построенная средствами машинной графики на основе глобальных данных рельефа ЕТОРО-5 (рис. 4.2.1). В этом случае плотность данных о рельефе выше плотности пикселей на экране, поэтому на экран выделена каждая третья строка из массива данных и каждая третья точка вдоль строки. По этой обзорной карте пользователь выбирает один из фиксированных регионов размером 45 по долготе и 20 по широте.
После этого на экран выводится (каждый элемент массива отображается в один пиксел) этот регион (рис. 4.2.2). Далее с помощью рамки на данной карте выбирается произвольный участок акватории, на котором и производится численное моделирование процессов генерации и распространения цунами. На рисунке 4.2.3 показано, как выглядит на экране персонального компьютера карта маленького участка акватории около острова Новая Гвинея в юго-западной части Тихого океана. Отчетливо видна квадратичная структура рисунка. Здесь каждый узел пятиминутной расчетной сетки отображается в квадрат, цвет которого определяется глубиной или высотой над уровнем моря. Данный пример иллюстрирует недостатки использования только растровых карт в системах, где необходимо глубокое зуммирование.
Теперь перейдем к векторным картам. Другим подходом к построению географических карт на экране компьютера является векторная технология изображения карты. В этом подходе в памяти содержатся географические (или иные) координаты точечных объектов или точек вдоль линейных объектов, которые при визуализации отображаются на экране в виде точек или геометрических фигур заданного цвета и размера и линий заданной толщины. При таком способе отображения карт появляется возможность наносить на экран не все, а только необходимые элементы географической карты. Например, можно нарисовать береговые линии, изолинии рельефа и города, но не рисовать (это можно сделать позднее) реки и границы государств. Можно также убрать с экрана какой-то класс географических объектов. При зуммировании таких карт толщина линий и размеры геометрических фигур, которыми отображаются элементы географической карты остаются неизменными. Еще одним преимуществом векторных карт является возможность быстро изменить географическую проекцию (прямоугольную, ортографическую, меркаторскую и т.д.). В глобальных ГИС географические координаты элементов карты обычно представляют собой абсолютные географические координаты (широта и долгота), но в региональных или локальных ГИС возможно использование относительных географических или вообще неких листовых координат, никак не связанных с географической широтой и долготой. В глобальных ГИС чаще всего используются абсолютные географические координаты, т.е. географическая широта и географическая долгота. В региональных и локальных ГИС могут быть использованы некие относительные координаты (скажем, разница в координатах рассматриваемой точки и левого нижнего угла рассматриваемой области). Могут использоваться также листовые координаты, измеряемые в мерах длины. При визуализации элементов географической карты программа пересчитывает координаты, записанные в памяти компьютера, в положение на экране монитора и отрисовывает точку, отрезок или геометрическую фигуру.
