Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Физико-математическая постановка задачи динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах 22
1. Основные уравнения 23
2. Численные методы решения 25
3. Реализация начальных и граничных условий 33
4. Законы сохранения энергии 36
5. Метод определения погрешности максимальной амплитуды давления в области фокусировки 38
Глава 2. Взаимодействие плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером 45
1. Фокусировка ударной волны сферическим кластером 47
2. Влияние исходных параметров задачи на значение максимальной амплитуды давления и размеры пятна фокусировки 51
3. Энергетические оценки для области фокусировки 58
4. Динамика формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков 62
5. Взаимодействие плоской ударной волны с двумя сферическими пузырьковыми кластерами
Глава 3. Структура ударной волны, излученной тороидальным облаком пузырьков 76
1. Особенности структуры маховского диска 76
2. Маховское отражение, возникающее при схождении кольцевой ударной волны к оси симметрии 83
3. Влияние геометрических характеристик тороидального пузырькового кластера на кумулятивный эффект 86
Заключение 90
Литература .92
- Метод определения погрешности максимальной амплитуды давления в области фокусировки
- Влияние исходных параметров задачи на значение максимальной амплитуды давления и размеры пятна фокусировки
- Динамика формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков
- Маховское отражение, возникающее при схождении кольцевой ударной волны к оси симметрии
Введение к работе
Проблемы получения высоких импульсных давлений в жидкостях и газах в течение многих лет привлекают внимание исследователей. Их решения достигаются в результате создания различных типов генераторов, методов кумуляции ударных волн и, наконец, поисками и исследованиями сред, способных воспринимать "закачиваемую" энергию, поглощая относительно слабую внешнюю импульсную нагрузку, концентрировать ее в некоторой локальной области и переизлучать с существенным увеличением амплитуды. К таким проблемам относится создание гидроакустических аналогов лазерных систем, разработка которых связана с анализом поведения различных химически активных или пассивных пузырьковых сред, способных к подобного рода генерации излучения. В данной работе разработана и реализована математическая технология для решения задач механики гетерогенных сред с аномальной сжимаемостью. Она включает в себя создание численных методов решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред для случая аксиально-симметричного течения. Несмотря на расширение вычислительных возможностей и углубление гидродинамического описания с привлечением более полных уравнений и отказом от ограничений, определяемых идеализацией структуры движений, моделирование динамики двухфазной жидкости представляет собой сложную задачу. Используемая в данной работе двухфазная математическая модель Иорданского - Когарко -ван Вингардена включает в себя в качестве существенного элемента систему уравнений газовой динамики. Уравнения газовой динамики нелинейны, поэтому единственным эффективным и универсальным способом их решения являются численные методы, основанные на использовании вычислительной техники. В силу их применимости к самому широкому спектру физических задач в самой общей постановке, конечно-разностные методы преобладают среди методов решения системы уравнений газовой динамики. Область применения любого метода, приспособленного для реализации некоторой модели течения, является ограниченной по причине разнообразия и сложности структуры реальных течений. В результате этого возникает необходимость в создании модифицированных версий в рамках конечно-разностного подхода. Присущие любому методу ограничения заставляют в каждом конкретном случае искать оптимальное соотношение требуемой точности, простоты реализации, устойчивости и других факторов выбора. Рассматриваемая задача динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах реализована с использованием явной схемы с направленными разностями и модифицированной схемы расщепления, адаптированной для рассматриваемой задачи.
В 50-70-х годах был выполнен большой цикл экспериментальных исследований механизма трансформации ударных волн при их распространении в жидкости с пузырьками газа, предложен ряд математических моделей, позволяющих анализировать как аналитически, так и численно основные особенности процесса взаимодействия ударных волн с пузырьковыми системами [1-14]. Наиболее интересные особенности этого процесса обусловлены неравновесностью давлений в жидкой и газовой фазах, сложным процессом поглощения и переизлучения энергии падающей ударной волны двухфазной средой [1-3]. Они наглядно проявляются как в случае коротких ударных волн (достаточно произвольной интенсивности), так и при исследовании длинных волн с крутым фронтом, если речь идет об относительно продолжительном релаксационном процессе, малых исходных объемных концентрациях газа в среде и существенно нелинейных пульсациях пузырьков. Под короткими волнами обычно подразумеваются волны, положительная фаза которых сравнима со временем схлопывания пузырьков.
Принципиально другие эффекты наблюдаются при распространении ударных волн в смесях с высоким (десятки процентов) газосодержанием и с малыми временами релаксации, т. е. достаточно быстрым установлением соответствия давления в пузырьках среднему давлению в жидкой фазе, а их переносной скорости — средней массовой скорости жидкости. Они наблюдаются также и при взаимодействии ударных волн большой интенсивности и длительности с пузырьками газа, включая растворение последних. Результаты экспериментальных и численных исследований волновых процессов в таких смесях [1-4] не содержат упомянутых выше особенностей взаимодействия «волна - среда», поскольку определяются в основном условиями равновесности по давлению, скорости, а иногда и по температуре обеих фаз.
Необходимо отметить, что 60—70 годы прошли под «знаком» повышенного внимания к проблемам распространения волн в пузырьковых системах, которые в России подробно исследовались В.Ф.Мининым и В.К.Кедринским в Институте гидродинамики СО РАН, В.Е.Накоряковым, Р.И.Нигматуллиным и их школами в Институте теплофизики СО РАН и Институте механики МГУ, а также Институте химической физики РАН.
Для экспериментальных работ в этой области характерны исследования по распространению слабых волн, а взрывные нагрузки рассматривались, как правило, с точки зрения возможности их демпфирования пузырьковыми завесами. Причем, в рамках последней проблемы формулировались довольно ограниченные цели: определить динамику амплитуд ударных волн в процессе их взаимодействия с завесой, эффективность снижения интенсивности ударной нагрузки и возможность управления её спектральным распределением. Но даже в такой постановке одних сведений о поглощении энергии ударной волны оказалось недостаточно для объяснения характера нагрузки, возникающей за пузырьковым экраном, эффекта усиления волн, существенного изменения её длительности и т. п.
Экспериментальные исследования показали, что процесс демпфирования падающей ударной волны носит, в основном, второстепенный характер, а наибольший интерес представляют механизм трансформации волн и переизлучение энергии, поглощенной пузырьковой средой, а также релаксационные, дисперсионные и диссипативные эффекты, сопровождающие процесс проникновения волны в пузырьковую среду.
Среди теоретических работ следует прежде всего отметить модели Иорданского, Когарко и ван Вингардена [7-10], построенные для сред, состояние которых динамически меняется в результате пульсации газовых пузырьков и описывается некоторой подсистемой, учитывающей уравнение Рэлея. Большой цикл исследований был выполнен по распространению слабых возмущений в пузырьковых системах, их результаты подробно изложены в монографиях Р. И. Нигматуллина [11] и В. Е. Накорякова, Б.Г. Покусаева, И.Р. И.Р. Шрейбера [12]. Здесь, в частности, следует отметить математические аналоги моделей Кортевега - де Вриза, Буссинеска и Бюргерса и создание на их основе подробной карты структур течений.
На основе математических моделей, разработанных Р.И. Нигматулиным, В.Ш. Шагаловым, Н.К. Вахитовой, И.Ш. Ахатовым и др., изучались структура волн детонации [16-19] (на основе работ [2, 15]), затухание и усиление ударно-волновых импульсов в пузырьковой среде [20-23], длинно-коротковолновое взаимодействие в пузырьковых жидкостях [24-29], особенности динамики волн давления в жидкости, содержащей зону жидкости с пузырьками [30-32].
В последние несколько лет, благодаря стремительному росту возможностей вычислительных машин, начались исследования динамики волновых процессов в пузырьковых средах на основе численного моделирования в пространстве с двумя независимыми координатами. Отметим работы, выполненные М.Н.Галимзяновым, И.К.Гималтдиновым, В.Ш.Шагаповым, Н.К.Вахитовой [33-34], в которых приведены результаты расчетов для задач о распространении волнового импульса в жидкости при наличии в ней пузырьковой завесы конечных размеров и об эволюции сосредоточенного на " Поперечной координате волнового импульса в водовоздушной пузырьковой смеси. Расчеты проведены в двумерной лагранжёвой прямоугольной системе координат на основе системы, состоящей из уравнений масс, числа пузырьков, импульсов и давления в пузырьках в односкоростном приближении. . В. [35] с использованием метода многомасштабных разложений построена модель двумерного взаимодействия ультразвука со звуком в пузырьковой жидкости.
В.Е. Донцовым, В.Е. Накоряковым и В.В. Кузнецовым [35-36] в результате экспериментальных исследований динамики структуры импульсных возмущений в пористых средах, насыщенных пузырьками газа, подтверждено существование двух типов продольных волн - «быстрой» и «медленной». Показано, что процесс их формирования зависит от условий генерации возмущений на границе, а так же сжимаемости пористого скелета и насыщающей его жидкости (газа или газожидкостной смеси). В.Е. Донцовым, В.А. Масловым, В. Е. Накоряковым и Б.Г. Покусаевым получены эволюционные уравнения распространения слабонелинейных возмущений давления двухволновой структуры, учитывающие нелинейные колебания пузырьков, их вязкое затухание в пористой среде [36-40], экспериментальные данные по скорости, структуре и затуханию волн умеренной интенсивности в суспензии жидкости с твердыми частицами и газовыми пузырьками [41-44]. Исследовано влияние коэффициента присоединенной массы жидкости на скорость распространения волны, предложена модель, описывающая слабонелинейные волны в трехфазных суспензиях, и показано, что основным механизмом их затухания является теплообмен газа в пузырьках с окружающей жидкостью. Обнаружен и объяснен механизм образования осциллирующих уединенных волн — мультисолитонов в жидкости с пузырьками газа разных размеров (В.Г. Гасенко, В.Е. Донцов, В. Е. Накоряков, В.В. Кузнецов и П.Г. Марков, [45-49]). Влияние дробления пузырьков на эволюцию волны, механизмы их разрушения, столкновение уединенных волн умеренной интенсивности экспериментально исследованы в работах [50-55].
В работах В.К. Кедринского, Ф.Н. Замараева и Ч. Мейдера [56] для описания химических процессов в газе была использована биомолекулярная модель кинетики Тодеса [57]. Процесс распространения пузырьковой детонации с данной кинетикой и уравнением состояния жидкости Тэта, учитывающим сжимаемость жидкой фазы, численно рассчитывался в лагранжевых массовых переменных для системы вода - пузырьки с водородо - кислородной смесью. Свое дальнейшее развитие модель получила в работах В.К. Кедринского [58].
Модель, предложенная в [56], использовалась далее в работах В.К. Кедринского, В.А. Вшивкова, Г.И. Дудниковой, Ю.И. Шокина для'описания взаимодействия ударных волн и волн разрежения в пассивных [59] и химически активных [60-62] пузырьковых средах в одномерной постановке. Сопоставление результатов расчетов и экспериментальных данных показало, что используемая модификация ИКВ - модели хорошо описывает волновые процессы как для пассивных, так и для химически активных пузырьковых сред. В качестве разностного метода использовалась явная схема с направленными разностями в прямолинейных, цилиндрических и сферических лагранжевых координатах. Проведено моделирование образца жидкого взрывчатого вещества, в котором обнаружена возможность инициирования волны пузырьковой детонации при взаимодействии последовательности ударных волн со свободной поверхностью образца, а также при столкновении волн разрежения, распространяющихся от его свободной границы. Данное явление объясняется наличием пульсаций за фронтом волны, которые имеют положительную фазу давления. В случае цилиндрической фокусировки ударных волн в химически активных пузырьковых средах [61] эффект их усиления возрастает, что особенно проявляется в случае коротких ударных волн, когда пузырьковая детонация возбуждается за падающей волной.
Часто проблемы создания различных типов генераторов высоких импульсных давлений не ограничиваются только требованиями кумуляции энергии, а ставят задачу о ее направленном излучении. Из всего широкого спектра публикаций в этой области упомянем исследования неодномерных ударных волн с осевой симметрией [63-76], в которых ^экспериментальные и теоретические постановки связаны с кольцевыми источниками ударных волн и коническими течениями. Внимание исследователей привлекла, в частности, работа [63], где экспериментально исследована фокусировка на ось волны давления в воздухе, возникшей в результате высоковольтного разряда на поверхности разрядника тороидальной формы. Теоретические исследования, вьшолненные в рамках CCW-модели (модели Честера, Чизнелла, Уизема) для газа, показали, что эффекты неограниченной кумуляции возникают также при фокусировке кольцевых и конических ударных волн [64-66]. В [66] отмечается, что скорость волны Маха (в пренебрежении диссипативными процессами) увеличивается относительно падающей волны в а'1 раз, где а - половинный угол раствора конуса.
Экспериментальный и теоретический анализ топологической перестройки неодномерного фронта ударной волны при ее кумуляции, характер возникающих при этом особенностей течения выполнен.в [67]. Экспериментальному исследованию нерегулярного отражения в газе кольцевой ударной волны от оси симметрии и от твердой стенки посвящены работы [68-70]. В последней постановке [70] авторы обнаружили образование квази - сферической сходящейся ударной волны, которая приводит к усилению кумулятивного эффекта в локальной области. Нерегулярное отражение осесимметричной ударной волны в атмосфере от поверхности жидкости наблюдалось в экспериментах по моделированию поверхностного точечного взрыва [58]. Там же исследовались особенности структуры волнового поля при подводном высоковольтном взрыве, кольцевого проводника, генерирующем тороидальную ударную волну в воде, ее фокусировка и последующее взаимодействие с расширяющейся тороидальной полостью, содержащей продукты взрыва, фокусировка образующейся при этом волны разрежения и развитие зоны пузырьковой кавитации в центре тора. Подводный взрыв витков спирали из детонационного шнура, пространственные заряды в виде спиралей исследовались в [70-71]. Фокусировка ударной волны в воздухе, генерируемой бегущей по кольцу детонационной волной, а также структура поля давления, формирующегося при взрыве в воздухе "кольцевых и спиральных зарядов, исследованы в [72-73]. Результаты численного анализа фокусировки тороидальной ударной волны при различных значениях чисел Маха и геометрических параметрах схемы приведены в [74]. В качестве другого примера фокусировки волн в осесимметричной геометрии можно указать работу [75], в которой численно исследована задача о гидродинамической ударной трубке со скачками поперечного сечения, заполненная химически активной пузырьковой смесью. Показано, что в такой постановке в результате фокусировки волны пузырьковой детонации на ось формируется маховская конфигурация, т.е. продемонстрирована возможность нерегулярного маховского отражения в таких средах.
Успехи гидродинамики в течение четырех последних десятилетий обязаны прежде всего развитию средств и методов вычислений. Становление вычислительной гидродинамики происходило на основе существовавшей к началу 60-х годов сравнительно небольшой группы методов и элементов теории разностной аппроксимации. Углубление гидродинамического описания с привлечением более полных уравнений и отказ от ограничений, определяемых идеализацией структуры движений, приводит к тому, что численное моделирование акустически активных систем представляет собой сложную задачу. Рассматриваемая постановка задачи динамики ударных волн в пассивных пузырьковых системах включает в себя в качестве существенного элемента систему уравнений газовой динамики. Уравнения газовой динамики нелинейны, поэтому одним из . эффективных и универсальных способов их решения являются численные методы, основанные на использовании вычислительной техники. Среди методов решения системы уравнений газовой динамики доминируют конечно-разностные методы. Это объясняется их применимостью к самому широкому спектру физических задач в самой общей постановке. Вместе с тем, почти каждая задача требует модификации общего подхода, и разностные методы могут оптимизироваться для различных задач. Это выражается, например, в возможности построения неявных разностных схем [76]. В приложении к рассматриваемой задаче такое свойство неявной реализации, как неудовлетворительная локализация разрывов, является очень существенным. Для компенсации этого свойства пространственный шаг сетки требуется измельчить примерно в четыре раза по сравнению с явной реализацией, что для двумерной постановки задачи приводит к невозможности применения неявной схемы. Возможность увеличения временного шага сетки является несущественным фактором выбора метода решения рассматриваемой нестационарной задачи, так как для получения качественных характеристик изучаемого физического процесса требуются результаты расчета через небольшие промежутки времени.
Одной из первых разностных схем, примененных к расчету газодинамических течений, была схема Лакса [77]. Она проста в реализации, монотонна, но обладает сильной диссипацией, что ведет к сильному размазыванию скачков. Наиболее популярными среди схем первого порядка аппроксимации являются схемы Годунова [78] и Русанова [79]. Расчеты газодинамических течений по схемам распада разрыва производится более аккуратно, чем по схеме Лакса, применимы к широкому классу задач газовой динамики, но характеризуются большим объемом вычислений на каждом временном шаге.
При численном решении нестационарных задач уместно использовать разностные схемы, имеющие согласованный порядок аппроксимации как по пространственной координате, так и по времени. Примером такой схемы второго порядка может являться схема Лакса -Вендроффа [80]. Реализация модели в аксиально-симметричной системе координат подразумевает инвариантность используемой разностной схемы. Существует сильная зависимость решения, полученного по схеме Лакса-Вендроффа, от выбора системы координат [81]. Отсутствие свойства монотонности приводит к сильным осцилляциям решения в области локальных экстремумов и разрьшов. Существование предвестников ударной волны в пузырьковой среде налагает такое обязательное требование к выбору разностного метода, как отсутствие счетных осцилляции. Иначе возникнет неразрешимый вопрос об отделении счетных осцилляции от осцилляции решения, имеющих физический смысл.
Другие схемы второго порядка аппроксимации, например, метод конечных объемов [82], схема Абарбанеля и Цваса, схема фон Неймана - Рихтмайера [83], консервативный метод с перешагиванием и метод квазивторого порядка точности [84], так же порождают осцилляции решения.
Наиболее удобными для газодинамических расчетов считаются двухшаговые разностные схемы (схема Рихтмайера, схема Цваса [81]), использующие девятиточечный шаблон, что требует дополнительных краевых условий. Самой популярной из семиточечных разностных схем является схема Мак - Кормака [83].
Для реализации системы уравнений газовой динамики могут быть использованы разностные схемы повышенного порядка аппроксимации, как, например, схема Русанова третьего порядка, схема Балакина, Абарбанела - Готтлиба, Крайсса - Олигера, Тушевой [81, 85-89]. Но повышение точности схемы увеличивает трудоемкость её реализации, уменьшает устойчивость, требует дополнительных краевых условий, что существенно усложняет постановку разностной краевой задачи.
В последнее время в области конструирования .нелинейных адаптивных конечно-разностных методов выделяется построенная А. Хартеном [90] теория TVD схем, открывшая путь к конструированию и строгому обоснованию высокоточных схем, сохраняющих монотонность численных решений и равномерно сходящихся к решению исходной дифференциальной задачи. Схемы TVD [91] по сравнению с другими при одинаковом объёме вычислений обеспечивают более высокую точность расчета и обычно не подвержены вычислительной неустойчивости. Сложность их реализации приводит не только к увеличению объема памяти и времени расчета, но и к потере явной взаимосвязи между составляющими потоков и ограничителями с их физическим смыслом. Сложная структура решения в изучаемой модели, обусловленная особенностями распространения ударных волн - в пузырьковой среде, требует особенного контроля работы различных составляющих разностной схемы. Еще задолго до появления теории TVD схем Борисом и Буком [92] был разработан метод коррекции потоков (FCT метод), в основу которого положена схема предиктор - корректор. Метод коррекции потоков позволяет с хорошим качеством рассчитывать разрывные решения без появления новых ложных локальных экстремумов и уничтожает цуг дисперсионной ряби, обычно сопровождающий решение в виде единственного пика, возвышающегося над более или менее однородным полем. Однако высота максимумов в результате коррекции потоков может стать слишком малой — до 30 — 40% в случае узких пиков. В рассматриваемой задаче значение максимальной амплитуды давления является одним из важнейших искомых параметров течения.
Разнообразие и сложная структура реальных течений ведет к тому, что сфера приложений любого метода, приспособленного для реализации некоторой модели течения, неизбежно оказывается ограниченной. Результатом этого является создание различных аппроксимационных конструкций, версий и модификаций в рамках конечно-разностного подхода. Ограничения, присущие любому методу, заставляют в каждом конкретном случае искать компромисс между требуемой точностью, простотой реализации, устойчивостью и другими факторами выбора. Двухфазная математическая модель Иорданского - Когарко -ван Вингардена реализована с использованием явной схемы с направленными разностями [76]. Выбор явной схемы с направленными разностями обусловлен ее надежностью, простотой и удобством контроля численных результатов. Одним из способов построения экономичных разностных схем является применение метода расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям [93-94]. Введение расщепления операторов позволяет свести решение разностных уравнений к скалярным прогонкам или бегущему счету. Но при расчетах существенно пространственных течений, имеющих сложную структуру, эффективность схем расщепления (точность расчетов и скорость сходимости) понижается, что вызвано влиянием приближенной факторизации исходного многомерного оператора. Альтернативой этому является применение нефакторизованных схем. Но их реализация сводится к матричным прогонкам или итерациям на каждом временном слое, что приводит к понижению эффективности алгоритмов. В настоящей работе использована модифицированная схема расщепления [95], адаптированная для рассматриваемой задачи. Модификация метода расщепления включает в себя расщепление по пространственным направлениям и состоит из предиктора, являющегося абсолютно устойчивым и обеспечивающего устойчивость всей схемы, и корректора, возвращающего схеме свойство консервативности и второй порядок аппроксимации. Используемая схема расщепления обладает абсолютной устойчивостью, реализуется скалярными прогонками, но влияние приближенной факторизации минимально.
Заметим, что если для рассматриваемой задачи целесообразна своя модификация выбранных методов численной реализации, то верно и то, что эта задача может быть успешно решена и другими методами или их сочетанием [96].
Таким образом, пузырьковые среды в качестве источника мощного излучения в жидкости представляют несомненный интерес.
В связи с изложенньїм представляется актуальным: разработка численной модели, адекватно описывающей динамику взаимодействующей с расположенным в жидкости пузырьковым кластером ударной волны; верификация этой модели по экспериментальным данным; проведение качественного анализа задачи о структуре ударной волны в жидкой среде, содержащей пузырьковый кластер, с учетом неравновесных давлений и единых скоростей компонентов; численное исследование фокусировки ударной волны с криволинейным фронтом и градиентом давления вдоль него, формирующейся в результате взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; численное исследование фокусировки стационарной осциллирующей ударной волны, возбужденной тороидальным пузырьковым кластером, и структуры результирующего волнового поля в ближней зоне кластера;
Цель работы.
Разработка и реализация вычислительной технологии для решения задач механики неоднородных сред, включающей: создание численных моделей, адекватно описывающих нестационарные волновые процессы в неоднородных средах; модификацию численных методов решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред в аксиально-симметричной постановке с использованием наиболее точных на данный момент моделей динамики пузырьковой среды; создание комплекса программ для численного моделирования процессов взаимодействия плоских ударных волн с пассивной пузырьковой системой в двумерной аксиально-симметричной постановке; исследование на основе созданных алгоритмов и программ: процесс взаимодействия плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером; кумуляции осциллирующей ударной волны, генерируемой тороидальным облаком пузырьков; структуры результирующего волнового поля в ближней зоне тороидального кластера и характер отражения сходящихся кольцевых волн.
Научная НОвИЗНа работы заключается в:
Разработке численного метода с улучшенными вычислительными характеристиками для решения нестационарных задач механики неоднородных сред в аксиально-симметричной постановке.
Анализе структуры ударных волн в пузырьковой среде, численных исследованиях процессов взаимодействия плоской ударной волны с облаком пузырьков и распространения ударной волны излучаемой пузырьковым кластером.
Обнаружении эффекта фокусировки ударной волны, переизлучаемой сферическим пузырьковым кластером, получении зависимостей максимальной амплитуды давления и размеров пятна фокусировки от параметров течения.
Определении особенностей структуры и фокусировки тороидальной ударной волны, излучаемой пузырьковым кластером, в том числе и нерегулярного маховского отражения, возникающего во время кумуляции кольцевой ударной волны на оси симметрии.
Научная U Практическая ценность работы заключается в исследовании акустически активных систем, способных к генерации мощного излучения, исследования динамики их состояния и волновых процессов, в изучении поведения ударных волн в системе распределенных в жидкости пузырьковых кластеров и механизмов их усиления, в определении влияния начальных параметров смеси и динамических характеристик ударной волны на структуру ударных волн, излучаемых пузырьковым кластером, что может быть использовано при создании "сазера" (SASER - shock amplification by systems with energy release), акустического аналога импульсных лазерных систем. Созданная численная модель динамики ударных волн в пузырьковых средах и реализующий ее пакет программ дают разработчикам гидроакустических аналогов лазерных систем эффективный инструмент, который позволяет принимать научно обоснованные решения для постановки физических экспериментов и может послужить основой для создания генераторов акустического излучения. Расчеты динамики взаимодействия плоской ударной волны с пассивным пузырьковым кластером в двумерной аксиально-симметричной постановке могут быть полезны как необходимый фактический материал при переходе к трехмерной постановке задачи, существенно расширяющей возможности численной оптимизации. В дальнейшем, разработанный комплекс программ может быть включен в качестве блока в пакет программ, моделирующих динамику химически активной пузырьковой среды.
Представленные в диссертации исследования проводились в соответствии с планами ИВТ СО РАН по темам «Математическое моделирование и вычислительные технологии в задачах гидродинамики, физики плазмы, микроэлектроники и экологии» (номер государственной регистрации 01.99.0010291); в рамках Интеграционного проекта СО РАН №22 «Волновые процессы в многофазных средах»; поддерживались грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 00-02-18004а).
Достоверность результатов.
Разработанный комплекс программ и используемые в работе модифицированные разностные схемы прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической постановке к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Вычислительная часть диссертационной работы отдельно опубликована в центральном реферируемом журнале из списка ВАК и доложена на ряде конференций. Достоверность подходов к предложенному численному моделированию подтверждается совпадением результатов, полученных по двум различным численным методам: с помощью явной схемы первого порядка с направленными разностями и схемы расщепления второго порядка точности,' адаптированной к исследованию течений с сильно нелинейным уравнением состояния. Последняя из используемых схем аппроксимирует систему уравнений, записанную в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. Сходимость численных методов проверена на последовательности измельчающихся сеток. В диссертационной работе представлены результаты проведенных тестов.
Полученные результаты непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся экспериментальным данным по изучаемым явлениям. Процесс фокусировки ударной волны, генерируемой сферическим пузырьковым кластером, устойчив к возмущениям, заданным в виде жидкой сферы, размещенной в кластере в различных точках на оси. Результаты проведенного исследования докладывались на различных (в том числе и международных) конференциях, конгрессах и семинарах отдельно по организации и по проведению расчетов (обоснование расчетной части работы) и отдельно по анализу полученных физических результатов. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах по списку ВАК соответствующего профиля.
Автор защищает: разработку и реализацию численного метода решения задач механики неоднородных сред; модификацию численных методов решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред в аксиально-симметричной постановке с использованием наиболее точных на данный момент аналитических моделей; создание комплекса программ для численного моделирования процессов взаимодействия плоских ударных волн с пассивной пузырьковой системой в двумерной аксиально-симметричной постановке; получение эффекта фокусировки ударной волны с градиентом давления вдоль фронта; результаты численного исследования фокусировки осциллирующей ударной волны, генерируемой тороидальным пузырьковым кластером, структуры результирующего волнового поля в ближней зоне кластера, нерегулярный характер отражения сходящихся кольцевых волн.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 102 страницах, включает библиографический список из 129 наименований работ. Рисунки, формулы и таблицы нумеруются по главам. Библиографические ссылки имеют сквозную нумерацию по всей работе. В ссылках [1-14,58] указаны монографии, посвященные гидродинамике, механике сплошных и гетерогенных сред, используемые в качестве первоисточников.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложены основные результаты проведенных ранее исследований волновых процессов в пузырьковых средах и анализ литературы, содержится обзор проблем численного решения задач, рассматриваемых в диссертации, сформулирована цель диссертации и приведено краткое изложение полученных результатов.
Первая глава посвящена разработке математической технологии для решения задач механики неоднородных сред.
В 1 приводится физико-математическая постановка задачи о взаимодействии плоской ударной волны с акустически активными системами. Описана используемая в работе модель динамики двухфазной среды Иорданского - Когарко — ван Вингардена. Подчеркнута оригинальность модели, состоящая в том, что пузырьковая среда рассматривается как однородная с особыми свойствами состояния. В качестве объекта исследований используется расположенный в чистой жидкости пассивный пузырьковый кластер.
В 2 приведены численные методы, используемые в разработанной вычислительной технологии. Решение исходной системы уравнений разбито на два этапа: газодинамический и кинетический. Для реализации первого этапа приведены две разностные схемы: явная схема с направленными разностями и схема расщепления, адаптированные для расчета двумерных уравнений газовой динамики в цилиндрических координатах. Для реализации второго этапа, состоящего в решении подсистемы уравнений состояния пузырьковой среды, рассмотрена неявная схема Рунге - Кутта - Мерсона 4-го порядка. Приведены результаты тестирования и верификации работы разностных схем. Проведено сравнение методов решения газодинамических уравнений на тестовом примере о распространении плоской ударной волны в жидкости.
В 3 описывается реализация граничных условий. Исследованы эффекты взаимодействия граничных условий в расчетной области на входе и выходе волны. Приведено модифицированное граничное условие на входе волны.
В 4 приведен вывод уравнения полной энергии системы с учетом эффекта поглощения энергии пузырьковым кластером. Учтены эффекты аномальной сжимаемости среды, а именно: поглощение энергии пузырьковым кластером благодаря сжатию газа в пузырьках. Уравнение энергии позволяет согласовывать граничные условия, проводить контроль правильности решения и используется в построении метода для определения максимума амплитуды давления в области фокусировки.
Метод определения максимальной амплитуды давления в области фокусировки на основе оценки величины изменения энергии волны переизлучения рассмотрен в 5. Метод состоит в построении конуса, отражающего предполагаемое в предельном случае линейное распределение давления. Высота этого конуса, а, следовательно, и значение давления в точке, характеризующейся максимальной амплитудой давления, однозначно определяется через значение потенциала объемного действия сил давления и объема пятна фокусировки. Полученное таким образом значение максимальной амплитуды давления в вершине конуса есть оценка сверху для максимальной амплитуды давления. Применение метода к результатам расчетов позволяет найти значения амплитуды давления в пятне фокусировки с точностью не менее 2%.
Во второй главе диссертации представлены результаты численного моделирования задачи о взаимодействии плоской ударной волны со сферическим пузырьковым кластером. Получен эффект фокусировки в двумерной аксиально-симметричной постановке, указаны возможности контроля мощности и направления волнового импульса.
В 1 приведена физико-математическая постановка рассматриваемой задачи и описан процесс взаимодействия падающей ударной волны с облаком пузырьков, полученный в результате расчетов. Отмечена такая особенность волнового процесса", как "неклассический" тип фокусировки, которая сопровождается поглощением ударной волны в кластере пузырьками газа и их последующим переизлучением. При этом наблюдается большой градиент давления вдоль фронта ударной волны.
В 2 приведены расчетные характеристики излученной сферическим кластером ударной волны в пятне фокусировки. Анализ расчетов показал, что амплитуда давления в фокусе зависит от ряда параметров (амплитуды падающей волны, объемной концентрации газовой фазы, радиуса кластера и пузырьков). Получены соотношения, аппроксимирующие эти зависимости. Объемная концентрация газовой фазы в кластере играет определяющую роль в эффекте усиления и определяет месторасположение пятна фокусировки.
Полученные в ходе расчетов энергетические оценки для области фокусировки описываются в 3. На работу, совершаемую ударной волной над облаком пузырьков (увеличение внутренней энергии газа в пузырьках, создание радиальных потоков жидкости в процессе схлопывания), затрачивается ощутимая часть переносимой волной энергии. Приведенные энергетические оценки показывают, какая доля затраченной части энергии переизлучается пузырьковым кластером с усилением амплитуды. Приведены зависимости значения переизлученной доли энергии от объемной концентрации пузырьков, радиусов пузырьков и пузырькового кластера. Показано, что при оптимальном наборе параметров доля переизлученной энергии превышает 50%.
В 4 проведен анализ динамики формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков. Показано, что пульсация пузырьков в кластере приводит к возникновению последовательности волн сжатия и разрежения, которые затем распространяются по расчетной области. Закономерность, характерная для распространения первой, второй и третьей фокусировок в жидкости вдоль оси z, аппроксимирована функцией обратной пропорциональности от расстояния для различных значений удельной доли газовой фазы в кластере.
В 5 описываются результаты расчетов задачи о взаимодействии плоской ударной волны с двумя последовательно расположенными сферическими пузырьковыми кластерами. Показано, что с ростом объемной концентрации газовой фазы растет как максимальная амплитуда давления в первом и втором кластерах, так и эффект усиления. Максимальная амплитуда давления во втором кластере выше максимума давления в первом на 5-9% и растет по мере уменьшения расстояния между кластерами. В предельном случае плотно сдвинутых кластеров эффект усиления максимален. Полученные результаты позволяют говорить о росте амплитуды ударной волны при ее прохождении через последовательность кластеров.
Третья глава посвящена исследованию динамики полей давления для аксиально-симметричной задачи о взаимодействии плоской ударной волны со "свободной" пузырьковой системой (тороидальным кластером), в результате которого в жидкости формируется стационарная осциллирующая ударная волна.
В 1 рассмотрена постановка начальных условий, приведены результаты численного анализа структуры волнового поля в окрестности оси симметрии при фокусировке излученной пузырьковым кластером ударной волны. Показано, что отражение волны от оси носит нерегулярный характер, на оси формируется диск Маха, который содержит ядро конечной толщины с неоднородным распределением и максимумом давления по радиусу.
Получены данные по динамике "радиуса диска Маха, давлению в его ядре в зависимости от объемной доли газовой фазы в кластере.
В 2 описываются процессы фокусировки ударной волны в тороидальном пузырьковом кластере и кумуляции излученной кластером волны на оси симметрии тора для различных параметров течения. Получены закономерности кумуляции излученной кластером волны, согласующиеся с экспериментальными данными для кольцевых ударных волн в гомогенных средах. Показано, что генерируемая тороидом в жидкости ударная волна имеет осциллирующий профиль, характерный для пузырькового источника, с затухающими по амплитуде максимумами. Фокусировка такой ударной волны приводит к последовательному формированию на оси цепочки маховских дисков.
В 3 рассмотрено влияние геометрических параметров тороидального пузырькового кластера и амплитуды падающей волны на кумулятивный эффект и характер изменения амплитуды давления в ядре маховского диска.
В заключении представлены основные результаты, полученные в работе и выводы.
Основные результаты работы. разработана численная модель, адекватно описывающая нестационарные волновые процессы в неоднородных средах; модифицированы численные методы решения двумерных нестационарных задач волновой динамики пузырьковых сред в аксиально-симметричной постановке с использованием наиболее точных на данный момент аналитических моделей; создан комплекс программ для численного моделирования процессов взаимодействия плоских ударных волн с пассивной пузырьковой системой в двумерной аксиально-симметричной постановке; получен эффект фокусировки сферическим пузырьковым кластером ударной волны с градиентом давления вдоль фронта; исследованы структура результирующего волнового поля в ближней зоне кластера, кумуляция и нерегулярный характер отражения осциллирующей ударной волны, генерируемой тороидальным пузырьковым кластером.
Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, разработке адекватных численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов, интерпретации результатов численного моделирования. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.
Апробация работы.
Основные научные результаты диссертации опубликованы в центральной печати [97-103] и докладывались и обсуждались на семинарах под руководством академика РАН Шокина Ю. И. (ИВТ СО РАН), на Четвертой школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 16-19 сентября 2003), на Восьмом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на 17 Int. Congress on Acoustics (Rome, Italy, 2001, Sept. 2-7), на VII школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 11-15 сентября 2000), на конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 25-26 декабря 2000).
Автор выражает глубокую признательность Валерию Кирилловичу Кедринскому и Галине Ильиничне Дудниковой за постановку задачи и осуществление научного руководства; Виталию Андреевичу Вшивкову за внимание и поддержку на всех этапах работы над диссертацией; Виктору Михайловичу Ковене за ряд ценных замечаний и консультаций; и, безусловно, Юрию Ивановичу Шокину, к школе которого автор принадлежит.
Метод определения погрешности максимальной амплитуды давления в области фокусировки
История экспериментальных, теоретических и численных исследований эффектов усиления и фокусировки ударных волн в различных средах связана преимущественно с проблемой генерации высоких давлений и температур в однородных и многофазных системах и насчитывает не одно десятилетие. Что касается многофазных систем, то наибольшее внимание в последние годы привлекают три проблемы, имеющие явно прикладное значение: исследование механизма разрушения почечных камней (литотрипсия) сходящимися ударными войнами, исследование механизма инициирования взрывных процессов и пузырьковой детонации, а также так называемая проблема «акустического лазера».
Среди работ первого направления можно выделить обзоры Гренига и Стертиванта, сделанные на Международном семинаре по фокусировке ударных волн (1989г.), а также эксперименты и численные модели по сходящимся цилиндрическим ударным волнам в однородной среде, которые выполнили Такаяма, Ватанабе, Нагойя, Стука. Кувахара. Исузукава, Фудживара и ряд других авторов [107-120] (1989-1993гг.), а также результаты В.К. Кедринского по анализу роли кавитационных эффектов в механизме разрушения [121].
Пузырьковой детонацией называют квазистационарный самоподдерживающийся режим формирования и распространения в химически активных пузырьковых средах волновой структуры типа волнового пакета [122]. Пинаев и Сычев в 1983-1986г. первые [123, 124] выполнили детальные экспериментальные исследования структуры ударных волн в реактивных пузырьковых системах (пузырьки заполняли все поперечное сечение ударной трубы) и обнаружили существование самоподдерживающегося режима генерации волн в виде одиночного волнового пакета, скорость распространения которого превышала скорость ударных волн в пассивных пузырьковых системах при той же объемной концентрации. Следует отметить результаты Кедринского В.К. (1987) [125],Бейлиха, Гюльхана (1989) [126], Ли, Фроста и др. (1991) [127], которые провели аналогичные исследования, по сути, подтвердив основные выводы работ [123, 124].
Сопоставление результатов исследований детонации конденсированных взрывчатых веществ и взрывов контейнеров с горючим с результатами исследований формирования режима пузырьковой детонации позволило сделать вывод об адекватности механизмов, управляющих этими процессами [121, 128], и, следовательно, использовать пузырьковую детонацию в качестве их модели. В [121, 128, 59] был предложен принципиально новый механизм генерации высоких давлений в сжатых легковоспламеняющихся жидких системах. Численное моделирование этого механизма показало, что возбуждение волны пузырьковой детонации может возникнуть как вследствие взаимодействия как волн сжатия, так и волн разрежения [121, 128]. Фокусировка волн в химически активных пузырьковых средах может только усилить эффект усиления.
Появление работ по та v к называемому акустическому "лазеру" [129], в которых обсуждаются возможные методы возбуждения когерентного акустического излучения и его усиления, вновь привлекли внимание к пузырьковым средам, обладающим, как известно, способностью не только усиливать ударные волны при взаимодействии с ними, но и формировать систему слоев с когерентными свойствами, в каждом из которых пузырьки синхронно и поглощают энергию падающей ударной волны, и переизлучают ее.
Кавитационный кластер, возникший в неоднородной жидкости под действием растягивающихся напряжений, и жидкость с пузырьками взрывчатой газовой смеси могут рассматриваться соответственно как гидродинамический и физический аналоги накачки в лазерных системах. При взаимодействии даже со слабой ударной волной пузырьковый кластер излучает серию импульсов сжатия с частотой коллективных пульсаций пузырьков [29-30], а взаимодействие волн в пузырьковой жидкости может привести к формированию мощного импульса давления. Эти эффекты могут рассматриваться в качестве основы одного из принципов создания акустических аналогов лазерных систем. Поэтому проблема адекватного численного моделирования такого рода процессов, возможность оценить уровень усиления волнового поля в результате таких взаимодействий, приобретает не только фундаментальное, но и прикладное значение.
Проблемы построения математической модели динамики ударной волны в пузырьковых средах представляет теоретический и практический интерес. Среди существующих теоретических схем "сазера" (акустического аналога импульсных лазерных систем) существует схема аналогичная лазеру на свободных электронах. Она предполагает в качестве активной среды жидкость, а в качестве дисперсных частиц газовые пузырьки [30]. Так как для экспериментальных исследований в этом направлении наиболее принципиальными могут оказаться "свободные" системы, то особенно интересны исследования поведения ударных волн в системе распределенных в жидкости пузырьковых кластеров и механизмов их усиления. В отличие от широко известных методов решения пространственных задач нестационарной газовой динамики и уравнений химической кинетики, при анализе волновых процессов в бинарных средах принципиальной оказывается трудность разработки алгоритмов для описания быстропротекающих процессов в пузырьковых средах с физико-химическими превращениями. Это обусловлено не только широким диапазоном временных и пространственных масштабов течений в такого рода системах, но и особенностями, связанными с большими амплитудами ударных волн, генерируемых в кластере (порядка десятков МГТа). Численное моделирование акустически активных систем, способных к генерации мощного излучения, исследование динамики их состояния и волновых процессов позволяют находить значения параметров, которые трудно, а порой и невозможно, измерить в ходе физического эксперимента. В связи с этим были разработаны адекватные изучаемым явлениям физико-математические модели, алгоритмы и методы их численной реализации, позволяющие исследовать взаимодействие волн с динамически меняющимися акустическими системами.
Подробный обзор работ, в которых решалась задача о взаимодействии ударной волны с пузырьковым кластером в рамках квазиодномерной постановки на основе модифицированной ИКВ — модели, был приведен во введении. Ниже эта задача рассматривается на примере решения двумерной осесимметричной задачи о столкновении плоской ударной волны с пузырьковой системой в виде сферического кластера.
Влияние исходных параметров задачи на значение максимальной амплитуды давления и размеры пятна фокусировки
Ударная волна постоянной амплитуды является некоторым теоретическим допущением, часто не соответствующим условиям реального физического процесса. Максимальная амплитуда давления в пятне первой фокусировки достигается за счет поглощения пузырьковым кластером части энергии падающей на него волны. Под действием падающей волны постоянной амплитуды, пузырьки, содержащиеся в кластере, захлопываются за некоторое время t J . Этот интервал времени определяет зону ударной волны, из которого пузырьковая система поглощает энергию. Для рассматриваемого примера t"pl = 95 мкс. Для определения t% задавалась падающая на кластер волна ограниченной длительности /w и вычислялось максимальное значение амплитуды давления в трех точках оси 0z: точка А - на правой границе кластера и точка В - на расстоянии Rc\ вправо от границы кластера (см. рис. 13). Длительность волны, при которой максимальное значение амплитуды давления в этих двух точках равно аналогичным значениям для волны постоянной амплитуды, принималась за С (см. табл.9).
При анализе поведения одиночного пузырька в поле ударной волны обычно считается, что его энергоемкость, т.е. способность в процессе схлопывания поглотить сколько-нибудь существенную часть энергии падающей ударной волны, незначительна. Тем самым вводится предположение о независимости поля ударной волны от динамики полости. Но то, что допустимо при исследовании одного пузырька, оказывается неверным при анализе взаимодействия как длинных, так и коротких ударных волн с ансамблем пузырьков и в силу конечности величины энергии, переносимой волной на отрезке времени взаимодействия, и вследствие относительно большой энергоемкости пузырьковой области в целом.
На работу, совершаемую ударной волной над такой системой (увеличение внутренней энергии газа в пузырьках, создание радиальных потоков жидкости в них в процессе схлопывания), уже при небольших значениях объемной концентрации газа затрачивается ощутимая часть переносимой волной энергии. Такая область «не пропустит через себя» часть энергии волны и, следовательно, изменит ее профиль. Можно увеличить размер области или объемную концентрацию газа в ней, и таким образом довести энергоемкость до значения, превышающего энергию падающей короткой ударной волны. Очевидно, через такой слой импульс вообще не пройдет. В случае одномерной плоской ударной волны простейшей предельной моделью такой области будет конечный слой газа, занимающий все поперечное сечение, через который проходит фронт ударной волны. Аналогичный эффект будет наблюдаться и для длинных волн с постоянной амплитудой за фронтом, но только на участке волны, соответствующем времени схлопывания пузырьков в заданной области.
Запишем потенциал объемного действия сил давления в цилиндрических координатах для сеточных функций: Вычислим, какой процент от потенциала объемного действия сил давления, поглощенного пузырьковым кластером, содержится в пятне фокусировки. Определяем потенциал объемного действия сил давления поглощенный пузырьковым кластером как разность между потенциалом Е\ вычисленным для прохождения ударной волны через чистую жидкость и потенциалом Ег вычисленным для прохождения волны через жидкость, содержащую пузырьковый кластер. Потенциал Ег вычисляется в момент фокусировки. Потенциал Е\ вычисляется в тот же момент времени. В расчетах значение Ро равно 1 МПа, Pi равно амплитуде падающей ударной волны (3 МПа). Профиль ударной волны при прохождении пузырькового кластера приобретает сложную конфигурацию на большом протяжении. Необходимо рассматривать область расчета достаточно большого радиуса, чтобы на боковых границах кругового цилиндра про фили падающей волны в чистой жидкости и в жидкости содержащей пузырьковый кластер совпадали. Расчеты проводились для круговых цилиндров различного размера: V\ - с радиусом 10 см и длиной оси 20 см, Vi -с радиусом 20 см и длиной оси 35 см, Уз - с радиусом 30 см и длиной оси 35 см. Вычисление потенциала объемного действия сил давления Еъ, содержащегося в пятне фокусировки, проводилось в момент фокусировки в области со значениями давления выше амплитуды падающей волны. Ниже приведены результаты расчетов в двумерной области решения с шагом сетки равным h = 0.05 см и шагом по времени равным г= 0.1 мкс. Графики \4а,б,в иллюстрируют зависимость отношения потенциалов объемного действия сил давления, содержащегося в пятне фокусировки, к поглощенному пузырьковым кластером (в процентах) % от основных параметров процесса: объемной концентрации пузырьков, их радиусов и радиуса кластера. Как видно из графика 14а, с ростом удельной доли пузырьков в жидкости все меньшая часть поглощенной кластером энергии содержится в пике в момент фокусировки при параллельном росте самого этого пика (см. табл.10). График 146 демонстрирует наличие некоторого четко выраженного максимума, т.е. оптимального значения радиусов пузырьков, близкого к значению 0.15 см., при котором в пик в момент фокусировки выделяется наибольшая часть от поглощенной кластером энергии. Закономерность поведения амплитуды давления в пятне фокусировки с изменением радиусов пузырьков (см. табл.11) в силу своего экспоненциального характера никаких особенностей в окрестности этой точки не имеет. Несмотря на то, что зависимость амплитуды давления в момент фокусировки от размера сферического облака пузырьков не имеет экстремумов (см. табл.12), график 14в иллюстрирующий зависимость отношения потенциалов объемного действия сил давления, содержащегося в пятне фокусировки, к поглощенному кластером от радиуса самого кластера имеет максимум при значении Rc\ = 2 см. График 15а иллюстрирует вариант расчета задачи о взаимодействии ударной волны со сферическим облаком пузырьков при оптимальных значениях радиуса пузырьков Ro - 0.15 см и радиуса кластера Rci = 2 см. для различных значений объемной концентрации (см. табл.13). На графике 156 приведена аналогичная зависимость для максимальной амплитуды давления в пятне фокусировки при тех же параметрах задачи. Несмотря на то, что графики 14(а,б,в) показывают, что рассматриваемое соотношение не превышает 50% , график 15а иллюстрирует тот факт, что в исследуемом диапазоне параметров нет основания предполагать существования такого предела. Таблицы 10 -13 показывают динамику изменения описанных выше величин Еі, Ег, их разности А, Ез, %, амплитуды давления в момент фокусировки Pf, время фокусировки п с изменением основных параметров процесса и указывает на размер расчетной области V.
Динамика формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков
На торце цилиндрической ударной трубки (УТ) радиуса г%\, заполненной жидкостью, в момент t = О движением поршня генерируется скачок давления. В ударной трубе находится пузырьковый кластер в форме тора, центр которого расположен на оси z УТ на расстоянии /сі от ее левой границы. Плоскость базовой окружности тора (далее: плоскость тора) радиуса Rior (Rtor ni) перпендикулярна оси УТ, радиус сечения тора Rate (рис.1). Объемная концентрация газовой фазы в кластере ко, пузырьки газа в кластере при / = О имеют один и тот же радиус Къ. Распределение доли газовой фазы в расчетной области можно представить как:
Г О, (r-Rtor)2+(z-lcl)2 Rc2irc, К, (r.Rtor)2+(z-lcl)2 RL. При t О ударная волна, распространяясь вдоль положительной оси z, взаимодействует с тороидальным облаком пузырьков, огибает его и в зоне контакта фронта преломляется в кластер. Взаимодействие преломленной волны с пузырьковой системой приводит к ее фокусировке внутри кластера и усилению, уровень которого определяется параметрами системы и радиусом сечения тора Rcuz. Усиленная кластером ударная волна переизлучается в окружающую жидкость. Расчет процесса фокусировки преломленной волны в кластере выполнялся в рамках вышеописанной модифицированной ИКВ - модели, которая включает в себя законы сохранения массы и импульса для средних значений давления р, плотности р, скорости и и подсистему, определяющую состояние среды.
Типичная картина изобар для различных моментов времени фокусировки ударной волны, генерируемой тороидальным облаком пузырьков, показана на рис. 2,а-в. Уровень давления можно оценить по шкале распределения относительного давления р (в единицах гидростатического давления ро - 1 МПа, рис.2в). Каждый момент времени представлен двумя картинками: общий вид (кадр справа) и крупный план (кадр слева) - область, ограниченная плоскостью тора z = 10 см, его радиусом Rtor и фронтом взаимодействующей с тором ударной волны (на каждом кадре справа). Расчеты проводились для следующих параметров: / h = 3 МПа, rst = 20 см, zmax = 40 см., /сі = 10 см., i?tor = 6 см, Rem = 1 см, ко = 0.01 иі?ь =0.1 см.
Рис.2а представляет волновое поле до фокусировки на оси излученной тором волны. Заметим, что распределение давления вдоль ее фронта существенно неоднородно, а отражение от оси бегущих впереди волны предвестников уже нерегулярно. Естественно, уже в начальной стадии и отражение тороидальной волны от оси становится нерегулярным (рис.26), что достаточно четко видно по форме головной изобары фронта падающей волны. На этом же кадре виден второй максимум осциллирующей ударной волны, генерируемой кластером. Третья пара кадров (рис.2в) демонстрирует образование на оси двух маховских дисков. Сложная волновая структура, включающая систему волн разрежения, предвестников и затухающую последовательность максимумов давления у осциллирующей ударной волны, несколько "затеняет" детальную картину области нерегулярного отражения и требует специального разрешения.
Его результаты представлены на рис.З(а-г) для моментов времени, соответствующих возникновению нерегулярного отражения ударных волн, излученных пузырьковым тороидальным кластером для 4-х различных значений объемного содержания газовой фазы в торе и при фиксированных значениях остальных параметров, указанных выше. Несложно видеть, что для подобного типа волн ширина зоны осесимметричного нерегулярного отражения (маховского диска) конечна и занимает 4-5 см. При этом в диске четко выделяется зона высокого давления (ограниченная системой замкнутых изобар), которую можно определить как ядро диска Маха. На рис.3 {а-в) центр этого ядра смещен вдоль оси немного вправо относительно координаты z = 15 см. На рис.Зг зона ядра (по оси) расположена примерно в интервале z = 12 -г- 15 см. Перед ядром выделяются изобары, принадлежащие переднему фронту соответствующего максимума фокусирующейся ударной волны, за ним - изобары его заднего фронта, представляющие структуру отраженной волны. Особенность исследуемого здесь процесса отражения состоит в том, что в силу осцилляционной структуры фокусирующейся волны ее последующие максимумы с системой изобар с возрастающим давлением взаимодействуют с отраженной волной и "прижимают" ее к оси. Можно сказать, что в результате этого эффекта за диском Маха возникает зона относительного разрежения (см. рис.2в).
Результаты численного анализа динамики роста радиуса ядра маховского диска по мере удаления ОТ ПЛОСКОСТИ ТОра Приведены В Таблице 1. Из ТаблИЦЫ ВИДНО, ЧТО С РОСТОМ Zmach и угла падения а ударной волны на ось радиус ядра маховского диска i?mach монотонно растет для всего рассмотренного диапазона значений объемной доли газовой фазы в кластере ко. Диапазон выбора значений ко в качестве варьируемого параметра обусловлен его существенным влиянием на степень усиления ударных волн в пузырьковых средах и генерацию ими акустического излучения [54]. Для каждого из указанных в таблице значений ко приведено по одному примеру значений давления в ядре диска, демонстрирующих степень возможного усиления. изолинии давления для измерения угла падения и определение радиуса маховского диска. За точку перехода от изолинии, отображающей волну, переизлучаемую кластером, к отображающей непосредственно маховский эффект, принималась точка пересечения окружности соответствующей изолиниям переизлученной кластером волны (выделены белым пунктиром) и прямой, лежащей на изолиниях отображающих область маховского диска (выделена белой линией). Штрихпунктиром отмечена ось симметрии тора Oz. Пунктиром отмечена плоскость тора. Белыми линиями выделено меридиапьное сечение тора.
Анализ структуры волнового поля показал, что по мере распространения маховского диска вдоль оси динамика давления на оси оказывается немонотонной функцией расстояния от тора (рис.5, кривые 1-4). Оказывается, при фиксированных геометрических параметрах тора и начального радиуса пузырьков распределение давления имеет четкий максимум, величина которого тем больше, чем выше концентрация газовой фазы. Это является следствием роста максимума давления в области фокусировки и сдвига этой области к центру образующей тор окружности с ростом ко. Например, для ко «0.1 область фокусировки практически лежит в плоскости тора. По мере удаления от плоскости тора, в его ближней зоне, наблюдается резкий рост давления в ядре диска Маха с усилением амплитуды волны в 6-7 раз. Характер последующего поведения давления указывает на тенденцию к асимптотике, при которой давление в ядрах маховского диска для диапазона значений ко = 0.01 -f- 0.1 на расстоянии 20 см от тора практически выравниваются и все еще заметно превышают (в 2 - 2.5 раза) амплитуду взаимодействующей с тором волны.
Маховское отражение, возникающее при схождении кольцевой ударной волны к оси симметрии
Неожиданные эффекты возникают при изменении одного из геометрических параметров тора - радиуса его сечения Лсіге при неизменном значении радиуса базовой окружности Riot (рис.8, з-г). Результаты представлены для семи значений RC\K = 0.5, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 см при фиксированных psh = 3 МПа, Riot = 6 см, Аь = 0.01 и й = 0.1 см. Топология течения практически не меняется для первых шести значений Rdtc. Расчет показывает, что при росте Лык четко регистрируется существенное увеличение амплитуды волны в ядре диска Маха: р = 8.17 при Лсігс = 0.5 см, 9.94 при Rem = 1 см, 16.6 при Rein = 2 см, 25.8 при Rcirc = 3 см, 38.6
В последнем случае, Rem — 6 см, внутренняя граница тора смыкается на оси в точку. При этом оказывается, что динамика поля давления в жидкости существенно меняется: фронт излученной ударной волны, сходящейся к оси, при такой конфигурации источника представляет собой вогнутую поверхность с градиентом давления, направленным от оси симметрии. Несмотря на то, что давление в окрестности оси на сходящемся фронте минимально, кумуляция течения, в конечном итоге, приводит к формированию в ближней зоне источника мощной уединенной ударной волны с амплитудой, превышающей амплитуду взаимодействующей с тором волны почти в 30 раз (рис.8,г).
Таким образом, усиление кумулятивного эффекта является следствием не только увеличения объема пузырькового кластера Vcl = 2;rR rcRtor с увеличением Rcuc (см. табл.
3), но и находится в зависимости от формы тора. Рост объема облака пузырьков обуславливает рост значения максимальной амплитуды давления в тороиде в момент фокусировки Pfoc как и в случае сферического кластера. В данной работе приведены примеры расчетов при соотношении Rckc/Rtor = 1/6 как наиболее хорошо иллюстрирующее осевое маховское отражение. Как показано выше, при фиксированных параметрах среды изменение объема тора за счет радиуса его сечения существенно влияет на давление в области ядра диска Маха. Расчет показал, что аналогичного эффекта можно достичь, сохраняя объем тора при соответствующих изменениях его геометрических параметров (рис.9). Изменение давления в ядре диска как функция его координаты на оси представлено для трех пар параметров тора: Rtot = 3 см и i?cire = 1.414 см (кривая 1), Rtor = 6 см и i?circ =1 см (кривая 2), Rtor = 8 см и Лсігс = 0.866 см (кривая 3). Характер распределения практически повторяет данные рис.5. Из рисунка 9 видно, что для малых значений радиуса тора (кривая 1) и, соответственно, большего радиуса сечения усиление более значительно. Расчет показал, что при уменьшении в два раза радиуса тора с 8 см до 4 см относительная величина давления возрастает на 4 единицы, а при последующем уменьшении с 4 см до 2 см - на 20 (см. табл.4). В конечном итоге, как упоминалось выше, при равных радиусах амплитуда генерируемой волны оказывается максимальной.
В данной главе представлены результаты созданной и реализованной численной модели динамики поля давления для аксиально-симметричной постановки задачи о взаимодействии плоской ударной волны с тороидальным пузырьковым кластером, помещенным на ось симметрии гидродинамической ударной трубки. В результате численного моделирования задачи о взаимодействии ударной волны с такой "свободной" пузырьковой системой показано, что: - процесс схождения переизлученной пузырьковым кластером тороидальной волны к центру симметрии носит кумулятивный характер; - отражение от оси симметрии оказывается нерегулярным, возникает диск Маха конечной толщины с характерным ядром, в котором давление максимально; - генерируемая тороидом в жидкости ударная волна имеет осциллирующий профиль, характерный для пузырькового источника, с затухающими по амплитуде максимумами; - фокусировка такой ударной волны приводит к последовательному формированию на оси цепочки маховских дисков. Заключение. В работе создана и реализована численная модель динамики поля давления для двумерной аксиально-симметричной задачи о взаимодействии плоской ударной волны со "свободной" пузырьковой системой. Создание численной модели состоит в адаптации явной схемы с направленными разностями и схемы расщепления к решаемой задаче. Показано, что использование предложенных разностных схем для реализации численной модели позволяет вполне адекватно описывать динамику волнового поля в кластере, параметры и распределение его излучения. Приведены сравнительные расчеты по этим разностным схемам, показавшие, что явная схема более производительна. Показана взаимозависимость граничных условий для входа и выхода плоской ударной волны в расчетной области. Предложена модификация граничного условия для входа ударной волны на основе соотношения на разрыве. Создан метод определения максимума амплитуды давления в области фокусировки на основе оценки величины изменения энергии волны переизлучения.
Решена задача о взаимодействии падающей ударной волны со сферическим облаком пузырьков. Получен эффект фокусировки сферическим пузырьковым кластером в двумерной осесимметричной постановке. Показано, что амплитуда давления в фокусе зависит от ряда параметров (амплитуды падающей волны, объемной концентрации газовой фазы, радиуса кластера и пузырьков). Получены соотношения, аппроксимирующие эти зависимости.. Полученные в ходе расчетов энергетические оценки позволили определить долю энергии, излучаемую пузырьковым кластером в момент фокусировки.. Проведен качественный анализ динамики формирования волн, излученных сферическим облаком пузырьков. Описан ряд закономерностей характерных для распространения в пространстве последовательности волн сжатия и разрежения, возникающих в результате пульсации пузырьков в кластере. Численно реализована задача о взаимодействии плоской ударной волны с двумя последовательно расположенными сферическими пузырьковыми кластерами. Проведен качественный анализ зависимости максимальной амплитуды давления в момент фокусировки во втором кластере от объемной концентрации газовой фазы в кластерах и от геометрических параметров задачи.
