Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Подходы к решению задач о нестационарном взаимодействии жидкости и конструкции 13
1 Л.Различные задачи гидроупругости 13
1.2. Общая постановка совместной задачи гидродинамики и теории упругости 19
1.3.Моделирование волновых процессов в сжимаемой жидкости 27
1.4.Численное моделирование задач гидроупругости 31
1А1. Применение разностных схем для решения задач гидродинамики 34
1.4.2, Метод Галеркина и методы взвешенных невязок 36
1.5.Выводы к главе 1 39
Глава 2. Аналитические методы решения нестационарных задач распространения волн давления в каналах с упругими стенками 40
2.1. Одномерная постановка задачи распространения волн в канале 40
2.2. Лучевой метод разложения решения волновой задачи 43
2.3. Исследование структуры переднего фронта волны давления 48
2.4. Основные закономерности распространения волн в трубопроводах 52
2.5. Распространение волн в трубопроводах с тонкими стенками из пористого материала 58
2.5.1. Одномерная квазистационарная постановка задачи 59
2.5.2. Нестационарная модель течения жидкости в трубопроводе с тонкими пористыми стенками 64
2.53. Анализ переходной зоны на фронте волн сильного разрыва с учетом поперечного расхода 69
2.6. Выводы к главе 2 73
Глава 3 Энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного соЬтояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала 75
3.1. Математическая модель деформирования повреждаемого материала 75
3.1.1. Энергетическая модель образования микродефектов 76
3.1.2. Плоскость реологических состояний 78
3.1.3. Изменение параметров материала 80
3.2. Задача о деформировании стенок круглой трубы 82
3.2.1. Решение упругой задачи Ламе 82
3.2.2. Постановка задачи с учетом изменения параметров материала стенки трубы 85
3.3. Решение задачи о начале активного процесса накопления повреждаемости на внутренней поверхности стенки трубы 88
3/4. Решение нелийейной задачи о накоплении повреждаемости методом последовательных приближений 92
3.4.1 - Нулевое приближение решения 92
3.4.2. Первое приближение решения 95
3.5. Выводы к главе 3 98
Глава 4, Решение неЬтационарных задач с подвижной границей с помощью вычислительных программных комплексов 99
4.1. Возможности моделирования стандартных программных комплексов 99
4.1.1. Уравнения нестационарного движения жидкости 100
4.1.2. Методы дискретизации по пространству и времени 103
4.2. Расширение возможностей моделирования с помощью подпрограмм 110
4.3. Численные расчеты с учетом деформаций стенок 113
4,4- Влияние параметров дискретизации на представление волнового фронта 119
4,5. Численное моделирование нелинейных особенностей в задачах распространения волн 124
4.6- Выводы к главе 4 128
Заключение 129
Библиографический список
- Общая постановка совместной задачи гидродинамики и теории упругости
- Исследование структуры переднего фронта волны давления
- Энергетическая модель образования микродефектов
- Уравнения нестационарного движения жидкости
Введение к работе
Актуальность работы. Проблема распространения волн давления в гидролиниях с учетом их упругого деформирования представляет большой интерес для современной техники. Задачи такого рода возникают в машиностроении, энергетике, химической, нефтедобывающей и нефтеперерабатывающей промышленностях. В частности такие задачи необходимо решать при разработке и использовании энергетических установок, систем подачи топлива и систем охлаждения, аппаратов химической технологии, при транспортировке жидких и газообразных сред.
Классическая теория неустановившихся течений жидкости в жестких и упруго-деформируемых трубах, восходит своими истоками к работам Кортевега, Резаля, Громеки, Жуковского, Чарного и других отечественных и зарубежных авторов..
Несмотря на длительную историю исследований в данной области не существует единой теории, которая закрывала бы все вопросы распространения волн в гидролиниях. В частности линейность решаемой системы уравнений, одномерность постановки задачи, невязкая модель жидкости и т. д. не позволяет в полной мере рассматривать многие эффекты волновой динамики, возникающие на практике.
При распространении волн давления в трубопроводах приходится решать одновременно уравнения движения жидкости и уравнения деформирования стенок трубопровода, так как отклик стенок трубы может иметь существенное влияние на характер распространения волн давления в потоке. В ряде теоретических работ исследуется проблема распространения волн в трубах с учетом путевого сопротивления, деформации упругой стенки. В этом случае можно получить приближенные аналитические выражения, которые позволяют проводить качественные исследования влияния отдельных факторов на процесс распространения импульса давления. Однако для решения технических задач,
где существенную роль играет сложность граничных условий, нерегулярность геометрии канала, необходим метод, позволяющий получить решение конкретной задачи с, учетом ее особенностей. В настоящее время наиболее мощным инструментом решения таких задач являются программные средства, реализующие численные методы решения дифференциальных уравнений, которые наиболее полно описывают исследуемый процесс. Поэтому изучение методологии применения аналитических и численных алгоритмов к решению задач о распространении волн в упругих трубопроводах представляется актуальным.
Цель работы заключается в разработке математической модели, аналитических и численных методов исследования течения сжимаемых вязких материалов в деформируемых трубах с учетом их упругих и пластических свойств, а так же с учетом конструктивных особенностей.
Достижение указанной цели включало решение следующих задач:
исследован вопрос распространения волн в каналах с помощью аналитического приближенного метода, который развит для случая распределенных по длине источников или стоков массы жидкости;
применена 'энергетическая модель накопления поврежденности для учета микроразрушений стенки канала при воздействии повышенного внутреннего давления;
разработана подпрограмма для гидродинамического программного комплекса,' реализующая деформирование границы расчетной области в зависимости от давления в жидкости;
гидродинамический программный комплекс применен для решения нестационарной задачи гидроупругости для линейно сжимаемой жидкости и проведено сравнение результатов расчетов с результатами, полученными аналитическим методом.
Объекты и методы исследования. Исследовался процесс распространения
волн давления в трубопроводе с деформируемыми стенками при различных
режимах течения й начальных параметрах волны, а так же с учетом нелинейных свойств материала стенок. Рассматривались как одномерная модель в терминах осредненных по сечению значений параметров, так и полная трехмерная модель течения вязкой линейно сжимаемой среды в упруго-деформируемом трубопроводе.
і ч
Научная новизна полученных в работе результатов определяется тем, что в ней:
Построена математическая модель нестационарного потока в гидролинии с распределенными по ее длине стоками или источниками массы.
Применен энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала под действием волн давления.
Получен критерий прочности трубопровода под действием динамического давления за водной гидроудара с учетом повреждаемости материала стенок.
Разработан итерационный метод решения задачи Ламе о напряженном состоянии стенок трубы под действием внутреннего давления с учетом накопления микродефектов в структуре материала.
Гидродинамический программный комплекс дополнен подпрограммами, учитывающими линейную сжимаемость жидкости и деформирование границы расчетной области.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Обобщенная математическая модель нестационарного потока в гидролинии с распределенными стоками или источниками массы.
Энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала под действием волн Давления.
Критерий прочности трубопровода под действием динамического давления за волной гидроудара с учетом повреждаемости материала стенок.
Итерационный метод решения задачи Ламе о напряженном состоянии стенок трубы под действием внутреннего давления с учетом накопления микродефектов в структуре материала.
Метод решения совместной гидроупругой задачи с помощью гидродинамического программного комплекса дополненного подпрограммами; реализующими линейную сжимаемость жидкости и деформирование "стенки канала.
Научная и практическая значимость. Математическое моделирование
нелинейных волновых процессов в гидролинии, учитывающее её
конструктивные особенности и возможные дефекты стенок дает аналитический
инструмент, позволяющий выявить закономерности распространения волн в
трубопроводах различной структуры, что позволяет проанализировать влияние
отдельных факторов на процесс распространения волны при различных
режимах течения жидкости. Анализ воздействия скачков давления на стенки с
учетом накопления Люврежденности позволяет определять степень износа
і материала и определить характер поведения стенок с учетом меняющихся
упругих свойств материала.
Моделирование явления гидроупругости представляет собой решение совместной задачи движения жидкости и деформаций стенки. Подпрограмма, разработанная в дополнение к гидродинамическому программному комплексу, позволяет решать задачи о распространении возмущений в трубопроводах с упругими стенками, учитывая параметры стенки трубы.
Личный вклад автора, Определение направлений исследований, постановка задачи,> получение уточненных моделей и построение
аналитических решений, создание подпрограммы для вычисления деформаций стенок и подключение ее к гидродинамическому программному комплексу, проведение расчетов, анализ результатов осуществлены лично автором.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на (четвертой и пятой всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассобмена в авиастроении» (Воронеж 2003, 2004 г. г.); конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж 2004 г.); научных семинарах Воронежского государственного университета, Воронежского технического университета, Воронежской государственной технологической академии в 2003-2006 г.г.
Публикации. Результаты, полученные в ходе работы над диссертацией, опубликованы в 10 работах.
В первой главе рассматривается общая постановка задачи гидроупругости, приводятся основные математические модели движения жидких сред и колебаний упруго-деформируемых оболочек. На основе анализа работ различных авторов рассматриваются подходы к математическому моделированию задач нестационарного движения жидкости в упруго-деформируемых трубопроводах. Отмечены возможности и условия применения математических моделей, а так же способы решения поставленных задач. Рассмотрены численные методы, позволяющие получать решения нестационарных задач движения жидкости и расчета напряженно-деформированного состояния конструкции.
Во второй главе приведены основные результаты, полученные с использованием лучевой теории распространения волн разрывов, применение которой является оправданным для анализа зависимости амплитуды волны и ее других характеристик в случае распространения нелинейных волн. Использование одномерной нестационарной модели движения сжимаемой жидкости в упругосжимаемых трубах переменного сечения позволяет получить приближенные аналитические зависимости, описывающие поведение параметров течения в переходном слое волны гидроудара, а так же выявить искажение переднего фронта волны гидроудара вследствие действия
гидравлического сопротивления и изменения площади сечения канала. Показаны особенности поведения волны при различных режимах течения (ламинарное или турбулентное), а так же при распространении волны в
подвижной и неподвижной жидкости.
!
Рассмотрена одномерная модель гидролинии с учетом распределенного вдоль линии расхода или притока жидкости. Получены основные закономерности распространения волн с учетом источников и стоков массы жидкости.
Как показывают исследования модели, скорость распространения скачка волны зависит от наличия источников или стоков массы жидкости. При оттоке жидкости скорость волны уменьшается, а при дополнительном притоке жидкости - увеличивается. Выражение для безразмерной скорости волны включает в качестве параметров коэффициент пористости Я и относительное
превышение давления внутри гидролинии. Интенсивность волн разрывов так
же зависит от наличия стоков или источников. В случае линейно
распределенного стока вдоль трубопровода скорость распространения волны
замедляется при движении вниз по потоку и тем самым время существования
волны на определенном участке трубопровода увеличивается, и интенсивность
волны уменьшается сильнее по сравнением со случаем ее распространения в
трубопроводе без распределенных стоков. В случае распределенных
источников (втока жидкости) скорость волны гидроудара вниз по потоку
і возрастает. Время существования волны на отрезке длины L уменьшается, и
интенсивность волны падает меньше чем для случая ее движения вниз по
потоку с распределенными стоками.
Рассмотрена динамическая теория, описывающая нестационарное
изменение площади поперечного сечения тонкостенных трубопроводов.
Полученные результаты показывают, что в нулевом приближении разложения в
ряд по толщине тонкой стенки, решение системы уравнений соответствует
I і
решению в квазистационарном приближении перемещений стенки трубопровода.
В третьей главе Рассмотрен энергетический подход к исследованию напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала. Этот подход явным образом учитывает энергозатраты, связанные с образованием новых поверхностей при появлении и росте микротрещин. Для случая мгновенной кинетики рассеянного разрушения используемая модель опирается на локальный баланс изменений накопленной упругой энергии среды и эффективной поверхностной энергии ансамбля микродефектов. В настоящей работе данная энергетическая модель используется применительно к исследованию напряженно-де формированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала под действием высокого внутреннего и низкого внешнего давлений.
Для трубы круглого сечения получен критерий определения критического давления внутри канала, при котором начинается накопление микродефектов в стенке канала. В выражение для критического давления явным образом входят толщина стенки и упругие параметры материала стенки.
Выведено уравнение равновесия в перемещениях содержащее нелинейность в виде меняющихся параметров Ламе, зависящих от величины поврежденности и инвариантов тензоров деформаций.
Построен итерационный алгоритм решения нелинейного дифференциального уравнения равновесия для определения деформаций стенки с учетом накопления' поврежденное. Получено уточнение решения задачи Ламе с учетом понижения упругих свойств материала за счет накопления микродефектов в структуре среды.
Приведены примеры расчетов напряженно-деформированного состояния стенок круглой трубы из повреждаемого материала при различных значениях внутреннего давления.
В четвертой главе рассматривается численный подход к решению задачи нестационарного движения жидкости в упруго-деформируемом трубопроводе. Описана математическая модель, применимая для решения рассматриваемой задачи. Приведены' уравнения, описывающие нестационарное течение сжимаемой жидкости, уравнения упругой оболочки, граничные и начальные условия. Рассмотрены особенности построения дискретной модели и численного алгоритма решения поставленной задачи. Специальное внимание
уделено оценке погрешностей дискретной модели и численного метода. Для
численного моделирования явления гидроупругости разработана подпрограмма
'і
на языке FORTRAN, реализующая динамическое деформирование границы расчетной области в зависимости от рассчитанного давления в жидкости.
Исполняемый файл гидродинамического расчета перекомпилирован с учетом новых подпрограмм. Таким образом, деформирование границы происходит в процессе расчета параметров потока и выполняется на каждом шаге по времени.
Проведен ряд расчетов распространения волн в системе сжимаемая жидкость плюс упруго-де формируемая оболочка для прямого участка трубы. Сделаны выводы р влиянии эластичности стенок на характеристики распространяющейся волны. Моделирование распространения сложного нелинейного профиля волны показывает хорошее совпадение результатов численного расчета и расчета с помощью лучевого метода. Полученные результаты соответствуют теоретическим выражениям относительно скорости волны в гидролиниях с жесткими и упругими стенками. Таким образом, метод деформирования границы на каждом шаге по времени в зависимости от величины давления оправдывает себя и позволяет численно исследовать взаимное влияние жидкости и оболочки для геометрически сложных систем.
I I
Общая постановка совместной задачи гидродинамики и теории упругости
В случае течения жидкости или газа в ограниченных объемах при высоких давлениях и перепадах давлений необходимо учитывать изменения границ области течения. В этом случае приходится решать систему уравнений, состоящую из уравнений гидродинамики, уравнений описывающих поведение твердого деформируемого тела, граничных и начальных условий отдельно для жидкости и твердого, тела и граничные условия совместности на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом.
Уравнения течения жидкости выводятся из законов сохранения массы, импульса и энергии в элементарном объеме.
Пусть V — некоторый фиксированный объем физического пространства, в котором происходит течение жидкости. Е — гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая это! объем. Масса жидкости, заключенная в этом объеме в I некоторый момент времени t, выражается интегралом \p(rj)dV9 V где г = {xj Х2 х3] - радиус-вектор элемента объема dV, р - плотность газа в нем. Количество газа, покидающего объем V за единицу времени, составляет величину /э(уя)йЕ,.где п - единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности dL, (vn) - скалярное произведение. Баланс вещества в объеме V с ограничивающей поверхностью Б за і промежуток времени( At = t2 —1\ может быть представлено в виде: h \[p{r,t2)-p{rA)W+ \\p(vn)dldt = 0. (1Л) V лЕ Уравнение (1.1) выражает закон сохранения массы в объеме V на і интервале времени At и называется уравнением неразрывности.
Аналогично выводится уравнение сохранения импульса в объеме: (1.2) i[p(r,t2Hr,t2)-p(r,tl)v{r,tl)]dV+ \\p{vn)vdZdt = = -)\pndZdt+ \\FdVdt
Уравнение (1 -2) представляет собой интегральную форму уравнения движения среды. В отличие от скалярного уравнения (1.1), уравнение (1.2) .і векторное.
Система уравнений динамики жидкости (в изотермическом случае) содержат три подлежащих определению функции р, р, v. Вектор скорости рассматривается как одна неизвестная функция, В связи с тем, что система уравнений (1.6 - 1.8) для р, р, v является незамкнутой, вводят дополнительные соотношения, замыкающие систему уравнений гидродинамики. Таким соотношением является уравнение состояния. і Если уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса, энергии носят достаточно общий характер, то уравнение состояния несет информацию о конкретных свойствах среды.
Уравнения состояния газа или жидкости описывают термодинамические свойства среды. Для идеального газа связь между температурой, давлением и плотностью описывается уравнением Менделеева-Клайперона: » = /?ЯГ, где R - газовая постоянная. Это уравнение справедливо для газов с высокой температурой и низким давлением. В этом случае потенциальная энергия связующая молекулы ничтожна по сравнению с кинетической энергией молекул. Если же температура газа достаточно низкая, а давление высокое, то потенциальные связи между молекулами становятся заметными. В этом случае вводят коэффициент реальности z, определяемый из таблиц свойств газа.
Уравнение состояния перепишется в виде/» = pzRT.
Если рассматривается жидкость, то во многих случаях принимают условие р = const. Считается, что плотность жидкости меняется слабо при изменении температуры и давления в известных пределах. Однако, если рассматриваются возмущения, распространяющиеся в жидкости, необходимо учитывать связь между давлением и плотностью (в изотермическом случае).
Как правило, при распространении волн давления рассматривают модель линейно сжимаемой жидкости. Уравнение состояния в этом случае запишется в виде: і {р-Ро)ро=(р-Ро)Кж, (1-9) где р0,р0 - относительные плотность и давление, Кж- модуль объемного сжатия жидкости.
Для построения решения системы уравнений (1.6 - 1.9) в заданной области, необходимо устанавливать начальные и граничные условия. Для течения жидкости йа отрезке прямой круглой трубы длиной L начальные условия могут быть записаны следующим образом: \p{r, pyzyQ) = p\t=0=Pto(zl ze[0,L] . р, re[09R\ { }
Условия (1-10) означают, что в трубе задан закон изменения давления, которое меняется только по осевой координате, а скорость зависит только от радиуса. Эти условия соответствуют решению стационарной задачи течения вязкой жидкости в круглой трубе.
Исследование структуры переднего фронта волны давления
Исследование закономерностей распространения возмущений в трубопроводах, заполненных жидкостью, и структуры переднего фронта волны возмущений представляет собой достаточно сложную задачу. Изменение параметров течения от значений перед волной до значений непосредственно за волной происходит непрерывно в узком слое, который и называется передним фронтом ударной волны. Толщина этого слоя существенно меньше характерных размеров, определяющих течение и, следовательно, в ударном слое возникают большие градиенты скорости, давления и других параметров течения, В ударном слое становятся существенными диссипативные силы. Исследование течения внутри ударного слоя можно вести на основе кинетической теории газов с помощью уравнений Больцмана или на основе модели сплошной среды с помощью уравнений Навье-Стокса [65]. Ввиду малой толщины ударного слоя исследование на основе уравнений Больцмана кажется более обоснованным. Но, так как законы внутреннего взаимодействия точно не известны и для решения задачи приходится делать малообоснованные допущения, то нельзя дать оценку точности результатов исследования. С другой стороны, область применения результатов решения уравнений Навье-Стокса гораздо шире но они исследуются в основном численными методами. По этим причинам выбор подхода к моделированию структуры переднего фронта ударной волны должен быть продиктован теми целями, которые необходимо достичь з результате моделирования. Конфликт между желанием наиболее точно описать закономерности распространения ударных волн в упругих трубопроводах и минимизацией математических трудностей описания этого явления приводит к известной одномерной нестационарной модели осредненного течения сжимаемой жидкости в упругосжимаемом трубопроводе с учетом гидравлического сопротивления (2.1). Использование такой модели позволяет получить приближенные аналитические зависимости, описывающие поведение параметров течения в переходном слое волны гидроудара, а также выявить искажение переднего фронта волны гидроудара вследствие действия гидравлического сопротивления- В предыдущем параграфе на основании системы (2Л) проведен анализ поведения давления р и скорости w на фронте волны гидроудара как функции времени t или пройденного волной расстояния x=Gt для различных режимов течения жидкости. При этом интенсивность волн изменяется за счет изменения площади поперечного сечения трубопровода и за счет путевого сопротивления. Для определения характера течения в переходном слое на фронте волны гидроудара система (2Л) приведена к одному волновому уравнению: ; c2Mxx=Mtt+ — MMi9 (2Л4) , х ,tt pDf ,t где запятая в нижних индексах означает частную производную по соответствующей координате.
При условии, что коэффициент путевого сопротивления является малой величиной (Х«1) для относительного массового расхода в переходном слое получена зависимости
Поскольку M( ,t) зависит только от начального распределения Мо( ,0) и времени t и не зависит явно от ;, то формула (2Л5) описывает относительное изменение массового расхода М жидкости в трубопроводе постоянного сечения на фронте волны ;=const, т.е. в подвижной системе координат, движущейся со скоростью ( 2сА,) относительно фронта волны гидроудара- Абсолютная скорость G распространения волны гидроудара в неподвижной системе отсчета будет задаваться соотношением: G=e-2cXr=c(l -2Х). (2Л6)
То есть, при распространении волны гидроудара в переходном слое і происходит убывание массового расхода жидкости во времени по закону (2.15) (см. рис.4) на фронте волны, бегущей относительно волны гидроудара со скоростью п—2сХ. Из вышесказанного вытекает, что абсолютная скорость G распространения переднего фронта волны гидроудара с учетом гидравлического ссЗпротивления X меньше величины с и задается соотношением: G=c(I-2A).
Энергетическая модель образования микродефектов
При математическом моделировании поведения начально-пористых хрупких материалов эффективную среду будем считать начально-изотропной, деформации малыми. Состояние частицы (в изотермическом приближении) характеризуется тензором малых деформаций е и скалярной мерой повреждаемости со, реакция среды определяется симметричным тензором і напряжений о, плотностью упругого потенциала и(є, ш)5 и удельной № эффективной поверхностной энергией Uf{to), причем о — с(,(о), u = u(e,o ) — изотропные функции симметричного тензора е.
Локальное уравнение баланса полной энергии U(s,co) - Uf(o)) + и(є,со), равной сумме упругого потенциала и эффективной поверхностной энергии записывается в виде: р(] = с;к, (3.1) где р - плотность материала- Связь тензора напряжений с плотностью энергии определяется соотношением: а є,о))= р у- . (3.2) ОБ Подставляя (3.2) в (3.1), имеем: /т Ш(Б,Ш) . p-U = p--\ с, ое Ш(є,т). 5U(e,co). нотаккак U= ——--е+ ——-о, следовательно, имеет место равенство: .aufe«,)=0 осо то есть в повреждающейся среде возможны два процесса: пассивный сЬ —О и активный, в котором М = 0, » 0, » 0. (3.3)
Таким образом, в активном процессе выполняется закон сохранения полной энергии, В процессе накопления повреждаемости упругая потенциальная энергия реализуется в микроразрушениях, переходя в эффективную поверхностную энергию. Плотность полной энергии постулируется в виде: ри(е,й )=ри?+усо + -р(о2+ --K-IJ +G-J2-apfI1 Il-ctsu J. (3.4)
Значения объемной деформации // и интенсивности сдвиговой деформации J определяются соотношениями: I, =1; Б, J = (є : є )12, є = є — І, І, где І - единичный тензор второго ранга.
Входящие в (3.4) параметры среды К, G, as, Р, u f, у предполагаются зависящими только от свойств скелета и начальной пористости. В отличие от упругого потенциала повреждающейся гомогенной среды представление (3.4) содержит функцию apt//), которая является существенно знакопеременной, что позволяет учесть уменьшение упругого потенциала при росте поврежденности в условиях интенсивного сжатия.( /; 0) Из (3,2)-(3-4) следует а К-І сЦі,)-) 2G а шл е , (3.5) где 1 = (1,) + 1, (1,). Из (3.3) - (3.4) следует, что в активном процессе для ш справедливо выражение: ffl -MO-I.+a.-J-y). (3.6) Границу упругой области на полуплоскости состояний (I/fJ) будем аппроксимировать кусочно-линейной функцией J=f(Ij) (рис.15). f(i,)= j,- ;і„ ІГ І, І; ,1 (3.7) Считаем что при деформациях, для которых точка (1/, J) лежит ниже точки с координатами (//, /(Is)) материал подчиняется закону Гука или линейной теории упругости.
Уравнения нестационарного движения жидкости
В рамках приведенной теории рассматривается задача о деформировании стенок бесконечной трубы кругового сечения под действием внутреннего и внешнего давлений (рис, 16)
Обозначим а -внутренний радиус, b - внешний радиус, Ра - давление внутри трубы, Рь_внешнее давление, причем Ра» Рь В классической упругой постановке данная задача представляет собой известную задачу Ламе нахождения деформаций и напряжений, возникающих в круглой трубе из упругого материала под действием внутреннего и внешнего давлений. В случае идеально упругого материала считаем, что напряжения и деформации связаны линейным законом Гука, предполагая постоянство температуры T=const, соответствующее отсутствию температурных напряжений при отсутствии деформаций. Система уравнений состоит из уравнений равновесия без учета массовых і сил Vj(Tu =0, закон Гука Деформации вщражаются через перемещения следующим образом Eij = 2-(ViuJ+VJui) Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях стенок трубы записываются в виде: о11 = -Рап, при г = а, a11 = -Рьп, при г = Ь, где п - внешняя нормаль к соответствующим боковым поверхностям.
Ввиду очевидной симметричности задачи для ее решения удобно пользоваться цилиндрической системой координат х1=г, x?=6t x3=zt считая, что все искомые функции зависят только от координаты г, а вектор перемещения имеет вид (u(r)t 0f 0). Следовательно, компоненты тензора деформаций имеют вид: _Su _u or r i6 "brz 6z Б-Д — E,-, — EQT — 0 (3.17) Первый инвариант тензора деформаций выражается через и(г) следующим образом: (3.18) т / ч ди и дг г Используя закон Гука, получим следующие выражения для компонент тензора напряжений ,
Если в полученном уравнении положить X = A, = const, JJ. =\х = const (в случае со 0), то в результате получим классическое уравнение равновесия в перемещениях (3.21) для упругой задачи Ламе.
Решение уравнения (3.25) с нелинейными коэффициентами 1", \i аналитическими методами представляется крайне сложной задачей, так как данное уравнение второго порядка не разрешимо относительно старшей производной. Поэтому предполагается использовать итерационные или численные алгоритмы решения. При этом существует возможность уловить границу макроразрушений конструкции, определяемые предельным уровнем со, при котором материал разрушается полностью. і
Несмотря на всю сложность нелинейной постановки в данной конкретной задаче о деформациях стенки трубы можно получить ряд оценочных параметров необходимых в дальнейших исследованиях.
При решении задачи с заданными граничными условиями на внутреннее и внешнее давления Ра, Рь возникает вопрос о состоянии, в котором находится материал в различных областях. Если при данных нагрузках материал ведет себя упруго, то нет необходимости решать нелинейную задачу- Достаточно взять известное решение задачи Ламе и учесть граничные условия. Поэтому необходимо выяснись при каких нагрузках начинается активный процесс накопления повреждаемости.
Как было отмечено ранее, максимальные деформации и напряжения реализуются на внутренней стороне стенки трубы. Следовательно, именно с внутренней стороны стенки нужно ожидать начала активного процесса. Так как в момент начала накопления повреждаемости (т, е. со = 0 на внутренней поверхности) весь материал стенки трубы еще находится в упругом состоянии, то для дальнейших рассуждений будет использовано решение упругой задачи Ламе. ту Решение упругой задачи в перемещениях и(г) = Агн—, где А и В \ г I определяются из соотношений (3.23), Тогда инварианты тензора деформаций запишутся в виде I,=2A, J = A2+3 . (3.26) Подставим выражения для инвариантов тензора деформаций в формулу (ЗЛ2) и потребуем выполнения условия начала активного процесса со - 0 на внутренней поверхности стенки трубы.
