Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Уравнение движения пролета трубопровода под действием волн давления во внутренней жидкости 14
1.1. Уравнение движения тонкостенной трубы 15
1.2. Граничные и начальные условия 22
1.3. Уравнение движения трубы в безразмерном виде 23
1.4. Метод решения задачи колебаний трубы под воздействием бегущей волны давления во внутренней жидкости 24
1.5. Программная реализация итерационного метода решения задачи 30
1.6. Тестирование итерационной процедуры 31
ГЛАВА 2. Положения статического равновесия и динамические характеристики 34
2.1. Статическое равновесие трубы на двух опорах 34
2.2. Критическое значение внутреннего давления 36
2.3. Колебания трубы около положений статического равновесия 40
2.4. Свободные нелинейные колебания 42
ГЛАВА 3. Возникновение различных режимов колебаний в зависимости от параметров системы 50
3.1. Взаимодействие нелинейных вынужденных и параметрических колебаний 50
3.2. О возбуждении высших гармоник 52
3.3. Влияние частоты волны давления на характер колебаний 55
3.4. Влияние амплитуды волны давления на характер колебаний 63
3.5. Некоторые особенности в случае вертикального расположения трубопровода 66
ГЛАВА 4. Сценарии перехода к хаосу 71
4.1. Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении величины среднего давления 73
4.2. Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении частоты волны давления 76
4.3. Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении амплитуды волны давления 86
ГЛАВА 5. Карты режимов колебаний 89
5.1. Размерность аттракторов 91
5.2. Методика построения карт режимов колебаний 95
5.3. Карты режимов колебаний при варьировании различных параметров системы 96
Заключение 101
Приложение. Листинг итерационной процедуры для граничных условий типа ii 103
Список литературы
- Граничные и начальные условия
- Критическое значение внутреннего давления
- Влияние частоты волны давления на характер колебаний
- Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении частоты волны давления
Введение к работе
Трубопроводы, с протекающей в них жидкостью, являются элементами конструкции многих систем. Их используют в объектах химического производства и атомной энергетики, в авиастроении, нефтегазовой промышленности, в системах водоснабжения жилых зданий и так далее. При их расчете на прочность, устойчивость и колебания необходимо учитывать различные статические и динамические нагрузки. К статическим нагрузкам относятся: вес трубы и транспортируемой среды, усилия, возникающие при компенсации монтажных и температурных перемещений, а также от воздействия статического внутреннего давления. К динамическим нагрузкам относятся усилия, воздействующие на трубопровод через узлы подсоединения к вибрирующим частям механизмов (механическое возбуждение) или возникающие при протекании по трубопроводу рабочей среды (гидродинамическое возбуждение).
В последнее время экспериментально установлено существование
режима самовозбуждения колебаний со сплошным спектром частот при
гу протекании жидкости в гибкой трубе. Эти колебания не являются проявле-
нием классической турбулентности вязкого потока, а обусловлены взаимодействием пульсаций давления в транспортируемой жидкости и кривизны упругой линии трубы. Теоретически этот механизм обеспечивает самовозбуждение хаотических колебаний в отсутствии вязкости жидкости и при нулевой средней скорости протекания, но при наличии среднего давления
и продольных волн давления в жидкости. Важно изучить механизм самовозбуждения колебаний трубопровода и его различные режимы.
Исследование упругой статической устойчивости прямолинейной трубки и ее поперечных колебаний под действием внутреннего потока несжимаемой идеальной жидкости началось с работы [33]. В этой и некоторых других работах изучена роль центробежных и кориолисовых сил, обусловленных движением жидкости, кривизной упругой линии и поворотом поперечного сечения. Имеется обзор [55] по этой проблеме.
Влияние постоянного по времени давления в жидкости на устойчивость и на характер колебаний трубки учитывалось в работе [13]. Найдено, например, что критическое значение внутреннего давления pt в прямой трубе длиной L, внутренним радиусом г0 и изгибной жесткостью El, шарнирно закрепленной по концам, с возможностью свободного осевого перемещения, равно
При выводе (*) принято, что на концевые сечения п(г2 - r02j трубы
давление не действует. Здесь г - внешний радиус трубы. Такой случай
реализуется, например, для тонкостенной трубы, соединяющей две емкости. Труба, закрытая на обоих концах днищами и подвижная в осевом направлении, абсолютно устойчива под действием внутреннего давления. Влияние внутреннего давления особенно значительно для статики и дина-
мики гибких шлангов [29], длинных вертикальных труб [46, 35], а также бурильных колонн [31].
Нелинейной динамике статически выпученного стержня посвящено значительное количество работ, например, [45].
При достаточно сильном поперечном возбуждении выпученного стержня возможно возникновение, как предельных циклов, так и хаотических поперечных колебаний. Режимы таких колебаний реализуются также в сжатой пластине, находящейся в сверхзвуковом потоке газа (флаттер) [36] и в других механических системах [10, 53]. Общим для рассматриваемых систем является наличие в них взаимодействия бифуркаций и поперечных нелинейных колебаний.
В [47] осуществлен более точный учет влияния внутреннего давления на поперечные колебания консольной трубки, из которой вытекает жидкость. Действующие на стенки поперечные и продольные силы со стороны жидкости определяются в зависимости от отношения площадей отверстия плоского сопла, размещенного в выходном сечении и поперечного сечения трубки. Кроме того, построенная модель позволяет определить силу воздействия свободной струи жидкости на концевое сечение. Изучены флаттер вертикальной консольной трубки и хаотические колебания при возбуждении внешней поперечной силой. Экспериментальные данные по пространственным колебаниям опертой трубы, находящейся под внутренним давлением газа, и сравнение с расчетами приведены в [58].
\>- Нелинейные поперечные колебания трубопровода под воздействием
бегущих волн давления в жидкости рассмотрены в [16, 17, 18]. Найдены режимы колебаний в зависимости от отношения длины волны давления в жидкости и расстояния между опорами, радиуса и толщины стенки, коэффициента затухания, амплитуды волны давления.
В работах [15, 48] исследовано влияние длины волны давления и ам-
,у плитуд ее постоянной и переменной частей на характер колебаний.
В этой диссертационной работе проведено исследование механизма
возникновения периодических, квазипериодических и хаотических колеба
тельных процессов в трубопроводных системах. В частности, построена
модель динамических процессов в горизонтальных и вертикальных трубах
при действии бегущих волн в транспортируемой среде. Особое внимание
уделено выявлению условий возникновения хаотических режимов колеба
ний. В результате математического моделирования определено влияние
различных параметров системы (условия закрепления концов трубы, сред
нее давление жидкости, амплитуда и частота волны давления в жидкости)
на характер колебаний.
^ В первой главе приведена математическая модель изгибных колеба-
ний в трубопроводе под воздействием бегущих волн давления в транспортируемой жидкости.
Предполагается, что труба представляет собой часть длинного тру-
/. бопровода постоянного сечения, одним концом закреплена неподвижно,
другой конец может перемещаться в осевом направлении с некоторой
\^ податливостью. В поперечном направлении перемещения опор отсутству-
ют. Поэтому поперечный изгиб трубы происходит независимо от остальной части трубопровода, расположение которого в пространстве может быть произвольным. Осевая сила от отброшенной части не передается на рассматриваемый участок трубы. Осевые инерционные силы также не учитываются. Изгиб трубы происходит в одной плоскости, пространственная
деформация отсутствует.
*т
Принимаются допущения для тонких стержней и трубок (трубчатых стержней): при изгибе поперечное сечение не изменяет своей формы, поворот его происходит как абсолютно твердой плоскости, остающейся нормальной к деформирующейся осевой линии. Прогиб мал по сравнению с расстоянием между опорами, а угол поворота поперечного сечения мал по сравнению с единицей.
Уравнение движения трубчатого стержня под воздействием бегущей волны давления во внутренней жидкости имеет вид:
E/d'w EF0
дх4 2L{\ + X)
л dw
Л/. Л2 Л
\dxJ
d2w dw d2w
ox dt dt
d2w _, d ( dw^
qo = 8(tn + m!),q = -mf—r-F— p(x,t)— ,
1 dt dx\ dx J
p(x,t) = pQ + Psin(cot -ax).
Здесь E - модуль упругости материала трубы, / - момент инерции сече-
М ния трубы, w— прогиб трубы, F0, F - площадь поперечного сечения трубы
у и жидкости, L — длина трубы, X - коэффициент линейно-упругой подат-
ливости опор, є - коэффициент трения, т , т( - удельный вес трубы и
жидкости, р - среднее давление, Р ,со - амплитуда и частота волны давления, а - волновое число.
Каждое слагаемое уравнения (**) характеризует влияние определенных факторов на колебания рассматриваемой системы. Так, первый член
*'У уравнения характеризует влияние упругих свойств трубы на ее динамиче-
ское поведение. При этом изгибная жесткость в процессе колебаний полагается неизменной. Второе слагаемое является нелинейным и характеризует влияние на динамику трубы ее кривизны и осевых сил, возникающих при удлинении оси трубы в процессе ее поперечных колебаний. Диссипа-
/у тивные силы описываются третьим членом уравнения. Силу инерции тру-
бы в поперечном направлении отражает последний член. В правой части уравнения записаны распределенная нагрузка, обусловленная весом трубы с жидкостью и поперечная сила, действующая на трубу, со стороны жидкости при прохождении в ней волны давления с учетом инерционной составляющей.
<>
Граничные условия относительно прогиба трубы записываются в виде:
- шарнирное закрепление (краевые условия типа I)
/ ,ч d2w{x,t)
w(x, t) = =— = 0 при х = О, L;
м дх
- защемлению (краевые условия типа II)
, л dw(x,t) n п ,
w(x, t) = = 0 при x = 0, L.
В качестве начальных условий берутся нулевые, если труба начинает
движение из прямолинейного положения без начальной скорости. Рас
сматриваются и другие начальные условия, которые соответствуют равно
весному положению трубы под действием распределенной нагрузки г.у статического внутреннего давления р0. Начальные условия задаются в виде
функций:
dw(x, t)
= y(x)
/=о
w(x,t)\t=Q =фЫ,
Дано описание метода решения нелинейного дифференциального уравнения для различных краевых условий.
Преимущество данного метода, например, перед схемой Рунге-Кутта 4-го порядка точности, наиболее сильно проявляется при увеличении числа собственных функций.
Проведено тестирование итерационной процедуры для некоторых
тестовых задач, которые использовались для проверки работы программ.
Kf Кратко описаны созданные программы.
Во второй главе рассматриваются статические положения равновесия и анализируются малые колебания вблизи этих положений. Рассматриваются нелинейные свободные колебания трубы.
Статический изгиб под собственным весом трубы с жидкостью и под действием внутреннего давления, приближенно описывается первой гар-
моникой. Выписана формула для критического значения внутреннего давления, при превышении которого появляются второе и третье статические положения равновесия.
Отметим, что при одних и тех же параметрах системы критическое значение давления, при котором появляются дополнительные положения равновесия, для краевых условий типа II значительно выше, чем для случая краевых условий типа I, при этом, чем больше величина внутреннего давления, тем дальше от горизонтали находятся положения равновесия.
Численные эксперименты показывают, что нижнее и верхнее положения равновесия являются устойчивыми, а промежуточное - неустойчивым. В частности, это проявляется в том, что при отличии от нуля положительного коэффициента трения происходит стабилизация свободных колебаний возле нижнего или верхнего положений равновесия при нулевой начальной скорости.
Колебания трубы около положений статического равновесия. Если трубу отклонить от положения устойчивого равновесия на малую величину, то при отсутствии трения устанавливаются периодические колебания малой амплитуды. Частота таких колебаний оценена аналитически.
Проведен анализ зависимости свободных колебаний при различных фиксированных значениях среднего давления от начального прогиба трубы, который позволит в дальнейшем объяснить резкие изменения в характере колебаний при периодическом изменении внутреннего давления.
В третьей главе диссертации рассматриваются различные режимы колебаний в зависимости от параметров системы.
Условия возникновения нелинейных вынужденных и параметрических колебаний и их взаимодействие. Как показали численные эксперименты, для обоих типов закрепления концов резонанс может наступать только при условии кратности частоты колебаний давления половине значения собственной частоты вблизи нижнего положения равновесия. При этом наиболее устойчивым к изменению частоты является резонанс при кратности 1. Резонанс наблюдается также при значениях кратности 1/2 и 2, но при меньших значениях коэффициента трения, причем небольшое отклонение от резонансной частоты приводило к его исчезновению. В системе возникают колебания, которые имеют характер биений. Это связано с тем, что в данном случае имеет место взаимодействие двух видов колебаний -параметрических и вынужденных.
Влияние частоты и амплитуды волны давления на характер колебаний. Как показали численные эксперименты, характер колебаний для обоих типов закрепления концов трубы сильно зависит от величины среднего давления частоты и амплитуды волны давления, причем небольшие изменения этих параметров могут приводить к качественно другим колебаниям.
Были проведены также численные эксперименты при различных значениях длины трубы. Замечено, что с увеличением длины больше возбуждаются высшие, и в том числе четные, гармоники. Отметим, что найдены значения параметров системы, при которых середина пролета прак-
тически неподвижна, а другие точки трубы совершают колебания достаточно большой амплитуды; при этом сильно возбуждается вторая гармоника.
Некоторые особенности в случае вертикального расположения трубы. В случае вертикального расположения трубы принимается, что рассматриваемая часть между опорами относится к классу «короткой» трубы, когда влияние ее собственного веса на изгиб незначительно. В случае «длинной» трубы поведение системы значительно отличается, и требуется уточнение постановки задачи. В случае вертикального расположения трубы, если величина постоянного давления не превышает критического значения, имеется только одно прямолинейное статическое положение равновесия. Когда внутреннее давление больше критического прямолинейное положение равновесия становится неустойчивым, и появляются два симметрично-изогнутых устойчивых положения равновесия.
В целом, для вертикального расположения трубы имеют место те же закономерности, что и для горизонтальной трубы. Характер колебаний трубы сильно зависит от среднего давления, амплитуды и частоты волны давления.
В четвертой главе рассматриваются сценарии перехода к хаосу. Установлено, что в системе реализуется два классических сценария перехода к хаосу - это, прежде всего, бифуркация Хопфа, а также через бифуркацию удвоения периода. Причем иногда реализуются оба сценария вместе.
Пятая глава посвящена построению карт режимов колебаний в зависимости от двух одновременно варьируемых параметров. В частности построены карты режимов колебаний в зависимости от величины среднего давления и частоты волны давления и некоторых других параметров. На основе анализа различных карт режимов колебаний можно подбирать такие параметры системы, чтобы амплитуды колебаний были минимальны или колебаний не возникало.
В приложении приведен листинг итерационной процедуры для одних краевых условий.
Заключение содержит основные выводы по работе.
Диссертация состоит из введения, пяти разделов, одного приложения, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет из 109 страниц, включая список литературы, состоящий из 59 наименований и 31 иллюстрацию.
Граничные и начальные условия
Граничные условия относительно прогиба трубы записываются в ви т де: ш= = 0, x = 0,L, (1.8) дх dw w=— = 0, x = 0,L. (1.9) дх Т Условия (1.8), соответствующие шарнирному закреплению, будем называть условиями типа I, а условия (1.9), соответствующие защемлению - условиями типа II.
В качестве начальных условий берутся нулевые, если труба начинает движение из прямолинейного положения без начальной скорости. Рассматриваются и другие начальные условия, которые соответствуют равно-весному положению трубы под действием распределенной нагрузки qQ и статического внутреннего давления pQ. Начальные условия задаются в виде функций:
Для обоих типов граничных условий (1.12), (1.13) может быть доказана сходимость этой процедуры в энергетических пространствах с любого начального приближения W(„ х).
Использовать процедуру (1.11)-(1.14) можно различными способами. Удобно строить аппроксимации Галеркина функций Wk(„ х) ортонор-мированной системой собственных функций оператора Э4/Э 4, подчиненных соответствующему граничному условию. В случае краевого условия ь (2) такую систему функций образуют ef(Q = fifa sinijQ (/ = 1,2,...), (1.15) а соответствующими собственными значениями являются А, = /4. Построим аналогичную систему функций в случае краевого условия (3). Сначала решим задачу на собственные значения е(4) ($) = . ($), (1.16) е(0) = е (0) = е(п) = е (л) = 0. (1.17) Общее решение уравнения (1.16) имеет вид e(4) = i4ch + 5sh + Ccos + Dsin . (1.18) Тогда Из условий е(0) = е (0) = 0 получаем 0 = Л + С, 0 = В + Z), откуда C = -A,D = -B. (1.19) Условия е(7г) = е (л) = 0 дают равенства 0 = A(chz - cosz) + B(shz mz), / ч / і (1-20) 0 =/l(shz + sinzJ + (chz-cosz), «Г где г = л/Хя.
Нетривиальное решение этой системы получается при условии равенства нулю определителя, то есть, если (chz-cosz) - (sh2 z - sin2 z) = 0 или ch;zcosz = l. (1-21)
Таким образом, собственные значения Xk, соответствующие задаче (1.16), (1.17), задаются равенством \k=(zj7t)\ (1.22) где zk - решения характеристического уравнения (1.21).
Будем считать, что zk пронумерованы в порядке возрастания. Известна асимптотика zk: при k- x zk — п/2 + nk . Соответствующие собственные функции задаются равенством (1.18) с постоянными Д, Bk, Ck и Dk, определяющимися из соотношений (1.19) и (1.20). Так как система (1.20) имеет бесконечно много решений, то выберем одно из них, положив В = \. Тогда _ sinZi -shz chzk -coszk Л= (1.23) Г и собственные функции оператора Э4/Э,4, подчиненные граничным условиям (1.17), задаются равенствами: ек ( ) = Ak (ch фГ - cos ) + (sh sin ). (1.24)
В силу самосопряженности оператора д4/ Э 4 при краевых условиях (1.17) эти функции взаимноортогональны. Нормировав их, получим полную ортонормированную систему собственных функций: = W гдеІКШ = Д )]Ч. (1.25)
Итак, в случае краевого условия (1.13) ортонормированная система собственных функций оператора Э4/с 4 задается равенствами (1.24), (1.25), а соответствующая система собственных значений - равенствами (1.22). ? Обозначим через Wf{t) коэффициенты Фурье итерации Wk (, т), то есть Wjk(T) = (Wk,ej)= jWk( ,x)ej( , где у-() задаются равенствами (1.15) в случае краевых условий типа I и равенствами (1.24), (1.25) в случае краевых условий типа П.
Критическое значение внутреннего давления
В работе [9] показано, что в некоторых системах имеют место бифуркации положений равновесия. По мере изменения параметров системы может меняться число точек равновесия и их устойчивость. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркационными значениями. В работах А.А. Андронова и его учеников [1-9] подробно изучена бифуркация рождения цикла при потере устойчивости положением равновесия, широко известная под названием бифуркация Хопфа. В работе [3] дана классификация положений равновесия и поведения системы при наличии тех или иных положений равновесия.
Итак, рассмотрим статический изгиб трубопровода в случае горизонтального расположения пролета трубопровода. Статический изгиб под собственным весом трубы с жидкостью и под действием внутреннего давления приближенно описывается первой гармоникой. Соответствующее уравнение получается из (1), если в нем приравнять к нулю производные по времени и, умножив обе части на e t), проинтегрировать по отрезку [0; ]:
Выясним при каких условиях возникают дополнительные положения равновесия. Выпишем формулу для критического значения внутреннего давления «о
Отметим, что при одних и тех же параметрах системы критическое значение давления, при котором появляются дополнительные положения равновесия, для краевых условий типа II значительно выше, чем для случая краевых условий типа I. Например, при L = lM,r0 =0.0095, г = 0.01, р, = 1000 кг/м3, р = 2700 кг/м3, = 6.9-109Н/м2, (2.7) для краевых условий типа I рсг = 1.92, а для краевых условий типа II рсг = 4.93. В размерных величинах рсг = 0.67МПа и рсг = 1.72МПа, соот ветственно.
Определим максимальное значение внутреннего давления, которое может привести к разрыву трубы. Максимальное значение давления по этому критерию определяется формулой [11]: р Итак, для принятых выше параметров h = г - rQ =5-104м, сгт = 1.8 102МПа, максимально допустимое значение равно ртах = 9МПа. Таким образом, рсг значительно меньше максимально допустимого значения.
Заметим, что величина прогибов трубы зависит от величины давле ния, чем больше величина давления, тем больше прогиб трубы.
Для вертикального расположения трубопровода картина несколько иная и будет рассмотрена позднее.
Всюду, в дальнейшем, будем считать, что корни W пронумерованы так, что величины WU) = W{U)el (п/2), задающие прогиб середины пролета в одночленном приближении по первой гармонике, были расположены в порядке убывания. Тогда WX{1) будет соответствовать нижнему положению равновесия, W[(2) - промежуточному и W,(3) - верхнему (на Рис. 2.1 схематично показано расположение соответствующих положений равновесия). Итак, для горизонтального трубопровода закрепленного на двух Рис. 2.1. Схематическое представление положений равновесия , возможны три случая:
Влияние частоты волны давления на характер колебаний
Особо выделим режим колебаний, возникающий при частоте со = 133, когда труба практически застывает над горизонталью между верхним и промежуточным положениями равновесия. На Рис. 3.5 дана динамика отклонения середины пролета трубы при со = 133 и близком значении со = 131. Во втором случае труба, то покидает указанную зону, то снова туда возвращается.
Рисунок 3.6 иллюстрирует изменения характера колебаний в случае закрепления концов типа II при варьировании частоты со и среднего давления р0. Амплитуда волны давления при этом составляет четверть от среднего. На осях отложены соответственно со/сос и р 0/ р сг.
Всюду в дальнейшем считается, что труба стартует с нижнего положения равновесия. Как видим, при слишком малых значениях р 0 (здесь при р0 0.6рсг) колебания практически не возбуждаются ни при каких частотах ю, то есть труба совершает колебания малой амплитуды вблизи нижнего положения равновесия. При последующем увеличении давления р 0 труба преодолевает зону притяжения нижнего положения равновесия, причем при недостаточно больших р это происходит вблизи резонансных частот (ю/(ос = 0.5,1.2). Последующее увеличение давления р"0 приводит к тому, что труба может покинуть зону нижнего положения равновесия для достаточно широкого диапазона частот ю. При этом варьирование частоты ю при фиксированном значении р 0 может приводить к резкому изменению характера колебаний.
Обратимся к Рис. 3.7, который соответствует прямой р"0/р сг = 1.2 Рис. 3.6 (начальная стадия колебаний на графиках пропущена). Как видим, варьирование частоты со приводит к возникновению качественно различных режимов колебаний. При очень малых (со = 0.2сос) и больших (со = 2.4сос) частотах, не согласованных с частотой свободных колебаний сос, труба не может покинуть зону нижнего положения равновесия, и колебания происходят с небольшой амплитудой, то есть труба остается в зоне притяжения аттрактора.
В районах частот со = 0.4сос, со = 0.7сос и со = сос наблюдаются хаотические режимы колебаний. При этом в процессе колебаний возникают различные типы траекторий: вокруг верхнего и нижнего положений равновесия и с охватом обоих. Другими словами, на фазовой плоскости имеются зоны притяжения (аттракторы), поэтому фазовые траектории стягиваются в зону притяжения аттракторов, а поскольку система неустойчива, происходит блуждания от одного аттрактора к другому. В диапазоне частот со/сос = [1.1; 1.8] происходят простые периодические колебания большой амплитуды с охватом нижнего и верхнего положений равновесия. Возле частот со = 0.5сос и со = 0.8сос наблюдаются более сложные периодические режимы. Колебания в диапазоне частот со/сос = [2.2; 2.4] можно классифицировать как предхаотический режим. Интересны режимы колебаний при со/сос = [1.1; 2], когда труба практически застывает над горизонталью
Переход к хаотическим колебаниям трубы при постепенном изменении частоты волны давления
Рассмотрим теперь случай, когда управляющим параметром будет выступать частота волны давления со. Примем р 0 = 4, р = 0.5, z =0.1.
На Рис. 4.2 представлены динамика середины пролета трубы, фазовые портреты и спектры частот для различных значений частоты волны давления со. При достаточно малых значениях частоты волны давления (Рис. 4.2 (а), (Ь)-ш = 20 ч- 30) труба остается в зоне притяжения нижнего положения равновесия и движется вместе с ним при изменении давления. С увеличением частоты (Рис. 4.2 (с)-со = 50) растет амплитуда периодических колебаний, по фазе совпадающая с частотой волны давления. Для значения частоты со = 60 (Рис. 4.2 (с)) возникает хаотический режим, причем диапазон частот, когда имеют место хаотические колебания, достаточно узок: со = 57 4- 63. Затем происходит переход к квазипериодическим колебаниям (Рис. 4.2 (с)-со = 70), на спектре частот имеются несколько ярко выраженных пиков. При дальнейшем постепенном увеличении частоты амплитуда колебаний уменьшается, при этом колебания происходят с частой волны давления, но уже в противофазе, в отличие от случая, когда частоты достаточно малы.
Заметим, что последний рассмотренный случай относится к докри-тическому, так как р0 + р р сг = 4.93.
Увеличим величину среднего давления р 0 = 4.5 и оставим прежними другие параметры. Это случай, для которого р 0 + р рсг = 4.93, причем доля времени, когда общее давление в трубе превышает критическое значение, очень мала.
Как видно из Рис. 4.3, имеют место те же закономерности, но имеются некоторые отличия. Во-первых, увеличился диапазон частот, при которых возникают хаотические колебания. Во-вторых, произошел разрыв диапазонов частот, при которых возникают хаотические режимы колебаний со = 55 -г 75 и со = 87 -г 93. В районе частот близких к со = 80 возникают квазипериодические колебания.
Перейдем к рассмотрению случая, когда р 0 - р р сг = 4.93, то есть, когда дополнительные положения равновесия существуют на всем протяжении времени в отличие от предыдущего случая. Примем величину среднего давления pQ =5.5, при этом остальные параметры оставим без изменения. На Рис. 4.4 представлены: в первой колонке динамика по времени середины пролета (кривая черного цвета соответствует колебаниям середины пролета, синяя линия - нижнему положению равновесия, зеленая линия - промежуточному, а красная - верхнему), во второй и третьей колонках, как и прежде, - фазовые портреты и спектры частот. Как и в двух предыдущих случаях, при достаточно малых частотах колебания середины пролета происходят вместе с колебаниями положения равновесия Рис. 4.4 (а), (Ь) и (с) (со = 20 ч- 83.1). Однако, при небольшом увеличении частоты, переход к хаотическому режиму происходит очень резко (Рис. 4.4 (d)-со = 83.1), то есть нет признаков предвещающих хаотический режим.
Еще одно отличие заключается в том, что, если рассматривать изменение управляющего параметра в сторону уменьшения, то сначала происходит удвоение периода (Рис. 4.4 (h-g)), затем переход к квазипериодическим колебаниям (Рис. 4.4 (g-f)), и только потом возникает хаотический режим (Рис. 4.4 ()f-e)).
Итак, в последнем случае можно говорить, что реализуются два сценария перехода к хаосу: сначала бифуркация удвоения периода, затем бифуркация Хопфа, то есть квазипериодический сценарий.
