Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор существующих математических моделей распро странения примесей в атмосфере 16
1.1. Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии 16
1.2. Гауссова модель распространения примеси 28
1.3. Обзор основных аналитических решений полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии 31
1.4. Численные методы решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии 38
1.5. Замкнутая модель пограничного слоя атмосферы 43
Выводы по главе 1 45
Глава 2. Распространение активной примеси в свободной от облаков атмосфере 47
2.1. Уточненная постановка задачи рассеяния активной примеси для случая свободной от облаков атмосферы 47
2.2. Модель распространения активной примеси в свободной атмосфере 49
2.3. Уточнение вида функции источника и схемы распада примеси 57
2.4. Методика численного решения задачи движения активной примеси, основанная на использовании линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса 60
2.5. Численное решение гауссовой модели рассеяния примеси в атмосфере 71
2.6. Численное решение полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями 76
2.7. Сравнительная характеристика различных методов решения задачи рассеяния примеси в атмосфере . 91
Выводы по главе 2 97
Глава 3. Распространение активной примеси в облаке 98
3.1. Уточненная постановка задачи распространения примеси внутри облака 98
3.2. Распространение активной примеси внутри облака . 100
3.3. Методика численного решения задачи распространения примеси в облаке 104
Выводы по главе 3 118
Заключение 119
Библиографический список использованной литературы . 122
Приложения 132
- Обзор основных аналитических решений полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии
- Численные методы решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии
- Модель распространения активной примеси в свободной атмосфере
- Методика численного решения задачи распространения примеси в облаке
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Воздух — это один из самых главных человеческих ресурсов. Ежедневно все мы дышим этой смесью газов и от того, насколько сильно она загрязнена, зависит вся наша" жизнь. Практически все современное производство связано с использованием воздушной среды. Входящий в состав воздуха кислород используется как мощнейший окислитель при сжигании топлива на тепловых электростанциях и в двигателях машин и самолетов. Без использования воздуха немыслимо существование химической промышленности и металлургии. Однако любое производство, использующее воздух, так или иначе загрязняет его и в результате в атмосферу попадают различные окислы, сажа, дым. В своем большинстве — это вредные для здоровья человека и окружающей его среды вещества. Попав в атмосферу, примесь подхватывается ветром и мощными турбулентными потоками может быть перенесена на огромные расстояния — сотни и тысячи километров от источника. В зависимости от химического состава примеси и от состояния атмосферы примесь может принести огромный вред: отравить людей и животных, погубить растительность, вызвать необратимые процессы разрушения неживых объектов. Согласно Л.М. Шабаду [100], из-за загрязнения атмосферы только за последние полвека число заболевших раком легких людей увеличилось в десятки раз, резко увеличилось число глазных заболеваний. Ущерб, вызванный воздействием загрязняющих веществ на постройки вблизи фабрик, заводов и электростанций в промышленно развитых странах — таких, как США, Япония, Великобритания, Италия, Канада, составляет сотни миллионов и даже миллиардов долларов ежегодно [10]. Аналогичные данные приводятся в работах Ю.А. Израэля [27], Л.Р. Орленко [65], A.M. Владимирова, Ю.И. Ляхина, Л.Т. Матвеева, В.Г. Орлова [66], Л.А. Рихтера [70].
Согласно данным Госкомстата России [90] за периоде 1996 по 2000 гг.,
даже в экологически благополучном Ставропольском крае удается уловить и обезвредить только половину вредных веществ, загрязняющих атмосферу.
В целях сокращения ущерба, а также защиты окружающей среды от воздействия загрязняющих веществ, большинство промышленно развитых стран мира приняло ряд соглашений относительно сокращения выбросов вредных веществ в атмосферу и установления предельно допустимых концентраций этих веществ [1, 2, 3, 31, 53, 67]. Наиболее известное из этих соглашений — Киотское соглашение, принятое в декабре 1997 г. [31].
Работа по изучению процесса рассеяния вредных веществ в атмосфере была начата в 20-30-х годах XX века и тесно связана с работами по изучению атмосферной диффузии, тепло- и массопереноса. В работах А.Н. Колмогорова [33, 32, 34, 35], A.M. Обухова [63, 56], Л.В. Келлера [10], М.И. Юдина [103, 102] впервые было предложено для описания атмосферной диффузии использовать дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа. Аналогичные р'аботы проводились А.С. Мониным [56, 57] и Е.С. Ляпиным [43], которые показали, что в некоторых случаях имеет смысл использовать дифференциальные уравнения гиперболического типа, описывающие процесс распространения примеси с конечной скоростью. Зарубежным ученым О.Г. Сеттоном [87] было показано, что распределение концентрации примеси от точечного источника подчиняется нормальному или гауссовскому закону [10]. Данная модель была доказана для случая наземного источника, однако впоследствии применялась и для высотных источников, что приводило к значительным погрешностям при определении концентрации примеси [10].
Большая работа по изучению процесса рассеяния активных примесей в атмосфере была выполнена М.Е. Берляндом [10, 8, 9], С.С. Зилитин-кевичем [25, 26], которые с середины 40-х годов прошлого века изучали
практически все вопросы, связанные с загрязнением атмосферы и водной среды. Описание статистических закономерностей рассеяния примеси в атмосфере, а также большая экспериментальная работа были проделаны Н.Л. Бызовой [14, 15, 16], Е.К. Гаргер [15, 16], А.С. Мониным [55, 57, 58], A.M. Ягломом [57, 58]. Численное решение основных уравнений диффузии и переноса примеси в атмосфере связаны с работами Г.И. Марчука [46, 47, 48, 49, 50], где проводится тщательный анализ и сравнение различных численных методов решения проблемы рассеяния примеси в атмосфере.
В настоящее время работы по исследованию рассеяния примеси в атмосфере ведутся также Б.А. Семенчиным [75, 76, 86] и И.Э. Наацем [60], которыми проведен анализ существующих моделей рассеяния примеси, а также предложена новая замкнутая модель пограничного слоя атмосферы, исследуются стохастические дифференциальные уравнения, которые позволяют учесть фактор случайности при описании процессов переноса и диффузии примеси в атмосфере.
Практически все вышеуказанные авторы при описании процесса рассеяния примеси в качестве основы используют уравнение Фикка [4, 18, 92, 95, 104], которое включает в себя трудноопределяемый диффузионный коэффициент. С другой стороны в работах П. Жермена [23], Л.Г. Лой-цянского [42], Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшица [41] описаны уравнения движения вязкой жидкости и газа — уравнения Навье-Стокса, использование которых может привести к отказу от нахождения трудноопределяемых коэффициентов турбулентной диффузии.
Заметим также, что в большинстве вышеуказанных работ не рассматривается активная примесь, т.е. такая примесь, которая вследствие химических или радиоактивных реакций может выводиться из атмосферы. Практически не изучен вопрос рассеяния примеси в атмосфере, содержащей большое количество паров воды, — облачной атмосфере.
Цель исследования — создание модели рассеяния легкой активной
примеси в свободной и облачной атмосфере, которая бы дополняла и развивала существующие модели рассеяния реагентов в атмосфере, а также ее численная реализация на основе современных достижений в области прикладной математики, физики и информационных технологий.
Объект исследования — процесс рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере.
Гипотеза исследования. При моделировании процесса рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере была выдвинута следующая гипотеза: можно создать и численно реализовать математическую модель рассеяния легкой активной примеси в свободной и облачной атмосфере, в которой используются для определения мгновенной скорости частиц примеси линеаризованные уравнения движения Навье-Стокса, а для описания процесса рассеяния водяного пара, образующего облако, используется полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями.
Исходя из цели и гипотезы исследования, можно выделить следующие подзадачи:
построить модель рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанную на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса;
построить модель рассеяния активной примеси внутри облака, основанную на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии для описания модели облака и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при моделировании процесса рассеяния реагента внутри облака;
найти способ численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, основанный на применении разностных схем высокого порядка точности;
найти способ численного решения задачи распространения активной
примеси внутри облака;
— провести сравнительный анализ численного решения задачи рассеяния примеси в атмосфере и экспериментальных данных.
Методы исследования. В процессе выполнения диссертационного исследования использованы: методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы математического моделирования, методы наблюдения и анализа работы предприятий, производящих выброс активных примесей в атмосферу, методы статистического анализа и обработки данных численного эксперимента.
Научная новизна. Предложена математическая модель рассеяния активной примеси в атмосфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса. Основное отличие данной модели от других моделей рассеяния примесей в атмосфере состоит в том, что используя данную модель, можно найти значения мгновенной концентрации активной примеси в любой точке облачной атмосферы, основываясь на простых для определения физических параметрах: поле давления, поле температуры, поле плотности, векторное поле скорости атмосферного воздуха. Коэффициенты турбулентной диффузии в предлагаемой модели используются только при моделировании процесса рассеяния водяного пара, образующего облако.
Практическая значимость. Предложенные модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере, а также методики их численного решения могут быть использованы для анализа численных решений задачи рассеяния активных веществ в атмосфере, при преподавании дисциплин по прикладной математике, информатике и экологии в высших учебных заведениях и при проведении расчетов по определению значений концентрации реагентов в атмосфере.
Положения, выносимые на защиту.
1. Модель рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмо-
сфере, основанная на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса, позволяющая найти значения мгновенной концентрации реагента в любой точке экологически значимой зоны.
Модель рассеяния реагента внутри облака, основанная на применении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии при описании процесса рассеяния водяного пара, образующего облако, и линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса при описании процесса рассеяния реагента внутри облака.
Методика численного решения задачи рассеяния активной примеси в свободной от облаков атмосфере, позволяющая рассчитать значения мгновенной концентрации реагента в любой точке экологически значимой зоны.
Методика численного решения задачи рассеяния активной примеси внутри облака, позволяющая рассчитать значения мгновенной концентрации реагента в любой точке облака и определить значения осредненной по времени концентрации паров воды, образующих облако.
Публикации и апробация результатов исследования.
По теме диссертационного исследования автором опубликовано 11 работ, 5 из которых — в центральной печати.
Основные результаты диссертационного исследования были доложены с 2000 по 2003 гг. на следующих научных конференциях Всероссийского и регионального уровня: "Математическое моделирование в научных исследованиях"(Ставрополь, СГУ, 2000), "Университетская наука — региону"(Ставрополь, СГУ, 2000, 2003), "XXI век — век образования" (Ставрополь, СГУ, 2001), "Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование" (Ставрополь, СИУ, 2000, 2001).
Исследование проводилось на кафедре прикладной математики и информатики Ставропольского государственного университета.
Результаты диссертационного исследования были внедрены в учебный процесс Ставропольского государственного университета в 2000-2003 уч. годах в рамках спецкурса "Методы математического моделирования экосистем", читаемого на естественно-географическом факультете для специальности "Экология и природопользование'^ в учебный процесс филиала Московского государственного открытого педагогического университета им. М.А. Шолохова в г. Ставрополе в рамках спецкурса "Математические модели рассеяния активной примеси в свободной и облачной атмосфере" географического факультета для специальности "География".
Структура диссертационного исследования.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений.
Первая глава данного диссертационного исследования посвящена обзору основных существующих математических моделей рассеяния активной примеси в турбулентной атмосфере.
В первом параграфе производится общая постановка задачи рассеяния активной примеси в турбулентной атмосфере и приводится вывод одной из самых распространенных моделей — полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями. При этом рассматриваются основные факторы, влияющие на процесс рассеяния активной примеси в турбулентной атмосфере: ветер, турбулентная диффузия, химическая активность примеси, различные типы источников примеси. Для каждого из этих факторов приводятся соответствующие математические выражения.
Во втором параграфе приведена гауссова модель рассеяния примеси. При рассмотрении гауссовой модели рассеяния примеси приведены решения для следующих типов источников: мгновенный точечный источник, точечный источник непрерывного действия, мгновенный линейный
источник, линейный источник непрерывного действия, мгновенный пло-щадный источник, площадный источник непрерывного действия, мгновенный объемный источник, объемный источник непрерывного действия.
В третьем параграфе рассмотрены некоторые частные случаи рассеяния примеси в атмосфере согласно полуэмпирическому-уравнению турбулентной диффузии. Для каждого случая приведены соответствующие аналитические решения: решение Робертса, аналитические решения для точечного и линейного источников примеси, решение, основанное на фундаментальном решении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии.
В четвертом параграфе описан метод расщепления применительно к численному решению полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями. Выбор данного метода обусловлен тем, что его использование дает результаты, лучше всего соответствующие экспериментальным данным.
Замкнутая модель пограничного слоя атмосферы приведена в пятом параграфе в обзорном порядке, так как даже численное решение данной модели представляет собой значительные трудности.
Вторая глава диссертационного исследования посвящена созданию модели рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанной на использовании линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса, численному решению данной модели и сравнению рассчитанных с ее помощью данных с результатами, полученными при численном решении аналогичных моделей — полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями и гауссовой модели рассеяния примеси.
В первом параграфе приведена уточненная постановка решаемой задачи, указаны основные допущения.
Во втором параграфе рассмотрены основные поля, влияющие на процесс рассеяния активной примеси в атмосфере — поле давления, поле
температуры, поле плотности, векторное поле скорости движения частиц примеси. После рассмотрения указанных полей, производится построение модели рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанной на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса.
В третьем параграфе рассмотрены удобные способы описания функции источника примеси, а также выведена разностная схема аппроксимации процессов распада и привнесения частиц примеси в экологически значимой зоне.
В четвертом параграфе описана методика численного решения модели рассеяния активной примеси в свободной атмосфере, основанной на использовании линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса.
В пятом параграфе приведены формулы численного решения гауссовой модели рассеяния примеси для различных типов источников.
В шестом параграфе описан способ эффективного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии, основанный на поэтапном решении задач движения, диффузии и распада примеси в турбулентной атмосфере.
В седьмом параграфе проведен сравнительный анализ результатов, полученных при решении задачи рассеяния активной примеси в атмосфере различными способами. Были рассмотрены результаты численного решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии, гауссовой модели рассеяния примеси и модели, основанной на применении линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса.
Третья глава диссертационного исследования посвящена созданию и численному решению модели рассеяния активной примеси внутри облака.
В первом параграфе описываются уточнения постановки задачи рассеяния активной примеси внутри облака.
Во втором параграфе приводится модель рассеяния активной примеси
внутри облака. В качестве математической модели облака было выбрано полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями, имеющее простое математическое выражение и дающее результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. Для описания процесса рассеяния примеси внутри облака использовалась модель, основанная на линеаризованных уравнениях движения Навье-Стокса, к которой добавлено дополнительное граничное условие, определяющее границу облака.
В третьем параграфе приведена методика численного решения модели рассеяния активной примеси внутри облака, основанная на методике, использовавшейся при численном решении задачи рассеяния активной примеси в свободной атмосфере и методике, использовавшейся при численном решении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии во второй главе исследования. Завершается третий параграф сравнительным анализом результатов, полученных при численном решении модели рассеяния активной примеси в облачной атмосфере и экспериментальных данных, полученных при непосредственном измерении концентрации окислов азота под факелом выбросов ОАО "Ставропольская ГРЭС".
В конце диссертационного исследования приведен библиографический список использованной литературы, который состоит из 107 наименований.
Обзор основных аналитических решений полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии
Рассмотрим модель, основанную на использовании полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями (1.1.38)-(1.1.41), описывающую процесс распространения активной примеси в турбулентной атмосфере [10, 57, 75]. Сначала рассмотрим случай полного отражения примеси от подстилающей поверхности. В этом случае граничное условие (1.1.40) меняется на условие [75] Если примесь сохраняется в атмосфере а = 0, скорость ветра и коэффициенты турбулентной диффузии — постоянные величины Vx = const, Кх = const, Ку = const, Kz = const, то решение задачи (1.1.38)-(1.1.41) [с измененным граничным условием (1.1.40)] имеет вид (решение Роберт са) [57]: Рассмотрим теперь случай полного поглощения примеси подстилающей поверхностью. Данный случай имеет место при распространении примеси над водной поверхностью. Тогда краевое условие (1.1.40) меняется на условие [10] Соответственно решение задачи (1.1.38)-(1.1.41) [с измененным граничным условием (1.1.40)] примет вид [57]: Иногда требуется рассмотреть случай только вертикальной диффузии пассивной примеси. Тогда аналитическое решение задачи (1.1.38)-(1.1.41) при а = О, Vz = 0, Кг = K0Zn, К0 = const 0, п = const, О п 2, Vx = 0, Кх — О, Ку = О, Q = const примет вид [57, 75]: где і_/з(а) — функция Бесселя от мнимого аргумента; Q — мощность источника примеси. Предположим теперь, что примесь рассеивается не от мгновенного точечного источника, а от точечного источника, действующего в стацио ( z\n нарном режиме. Пусть Vz = 0, а = 0, Vx = VXo I — 1 , Кх Ку = KQVX, Кг = KZo lj-j , VXo = const, z\ — const, Ко = const, KZo = const, n — const, m — const. Тогда согласно [10, 75] аналитическое решение задачи (1.1.38)-(1.1.41) примет вид: Для случая линейного источника бесконечной длины, расположенного на высоте Н параллельно оси OY и пересекающего ось OZ, решение краевой задачи (1.1.38)-(1.1.41) имеет вид [10, 75]: Кроме решения Робертса существуют и другие аналитические решения модели (1.1.38)-(1.1.41) для мгновенного точечного источника.
Пусть Уг = 0 (случай легкой примеси), a = a(t) = 0, t Є fth vs\z=o = 0 (примесь отражается от подстилающей поверхности), Кх = Ку = const, Kz = K$Zn, Ко — const, п — const, 0 п 2. В этом случае решение q(t,x,y,z) представимо в виде [75]: где Если примесь тяжелая, т.е. (Vz ф 0), Kz = Ко І — J, zi = const, то решение краевой задачи (1.1.38)-(1.1.41) также представимо в виде произведения (1.3.8) [75]. При этом q\(t,x) и q2{t,y) определяются по формулам (1.3.9) и (1.3.10) соответственно, а для вычисления qs{t,z) используется выражение [75] Рассмотренные выше случаи носят частный характер и применимы далеко не во всех ситуациях. С другой стороны, основываясь на фундаментальном решении полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии, можно получить решение, охватывающее практически все случаи рассеяния легкой примеси в турбулентной атмосфере. Заметим однако, что такое решение отличается значительной сложностью и поэтому его трудно применять при проведении практических расчетов. При рассмотрении общего случая диффузии примеси в атмосфере фундаментальное решение задачи (1.1.38)-(1.1.41) имеет вид [75]
Численные методы решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии
Аналитические методы решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии (1.1.38) и связанной с ним краевой задачи распространения примеси в атмосфере (1.1.38)-(1.1.41) позволяют установить ряд важных закономерностей [10, 57, 75] для отдельных частных случаев, однако аналитическое решение задачи рассеяния примеси с коэффициентами вида, указанного в параграфе 1, представляет собой проблему, решения которой не существует до настоящего времени. Рассмотренные аналитические решения этой задачи далеко не исчерпывают всех возможных ситуаций, которые возникают на практике. Основанная на эмпирических наблюдениях, гауссова модель рассеяния примеси дает хорошие результаты только для точечных источников, действующих на малых высотах. Ее применение для труб большой высоты приводит к сильному искажению результатов [10].
Поэтому в настоящее время достаточно полное исследование указанной задачи рассеяния примеси, которое хорошо согласовывалось бы с экспериментальными данными, можно провести только численно. Для численного решения задачи (1.1.38)-(1.1.41) используется конечно-разностная аппроксимация производных в дифференциальном уравнении (1.1.38) и указанных начальном (1.1.39) и граничных (1.1.41) условиях [10, 46]. Укажем основные численные методы, которые используются при решении задачи рассеяния активной примеси в турбулентной атмосфере (1.1.38)-(1.1.41).
Одним из главных численных методов решения задачи (1.1.38)-(1.1.41) является так называемый метод расщепления [46,47,48].
Суть этого метода состоит в следующем. Задача (1.1.38)-(1.1.41) по Задача (1.4.1)-(1.4.3) описывает процесс переноса частиц примеси с ее сохранением вдоль некоторой траектории под действием ветра и силы тяжести. Задача (1.4.4)-(1.4.7) описывает процесс турбулентной диффузии примеси в атмосфере, процесс распада примеси под воздействием химических и радиоактивных процессов, а также привнесение примеси источником /. В [46,47] показано, что при рассмотрении малого временного интервала такое расщепление допустимо и имеет решение, близкое с решением исходной задачи (1.1.38)-(1.1.41). Рассмотрим более подробно задачу (1.4.1)-(1.4.3). В [46,47] показано, что для решения данной задачи нельзя применять формальное расщепление вида: Расщепление задачи (1.4.1)-(1.4.3) производится по следующей, более сложной схеме [46]: 1) перенос примеси вдоль оси ОХ: 2) перенос примеси вдоль оси 0Z: где At — шаг дискретизации по времени. Решение краевых задач (1.4.12)-(1.4.14) и (1.4.15)-(1.4.17) осуществляется путем аппроксимации по формулам численного дифференцирования [46,47]. Получающиеся при этом системы разностных уравнений обычно решаются методом прогонки [22, 47]. Задача диффузии примеси (1.4.4)-(1.4.7) редуцируется к следующим трем последовательно решаемым задачам [46]: 1) задача диффузии примеси вдоль оси ОХ: где At — шаг дискретизации по времени. Каждая из вышеуказанных задач (1.4.18)-(1.4.27) аппроксимируется конечно-разностными формулами [22,46,47,92]. Получающиеся при этом системы разностных уравнений решаются методом прогонки [22, 47]. Другим способом решения краевой задачи (1.1.38)-(1.1.41) является метод покомпонентного расщепления, описанный в [46,47]. Суть данного метода состоит в следующем. Уравнение (1.1.38) переписывается в виде В [46,47] показано, что система (1.4.31)-(1.4.36) имеет второй порядок аппроксимации по At. Используя численные методы, можно получить достаточно точное решение задачи (1.1.38)-(1.1.41) при любых исходных данных. Метод расщепления на сегодняшний день является одним из самых эффективных численных методов и дает наиболее точные результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. К недостаткам решения задачи (1.1.38)-(1.1.41) при помощи численных методов можно отнести большое время счета даже при использовании современных быстродействующих компьютеров, а также тот факт, что получаемое решение является не точным, а приближенным. Использование численных методов не спасает и от главного недостатка задачи (1.1.38)-(1.1.41) — наличия трудноопределяемых коэффициентов турбулентной диффузии. Поэтому в следующем параграфе будет рассмотрена альтернативная модель, в которой коэффициенты турбулентной диффузии уже не имеют первостепенного значения.
Основная трудность при конкретном использовании модели, основанной на полуэмпирическом уравнении турбулентной диффузии с заданными начальным и граничными условиями, состоит в том, что трудно заранее задать коэффициенты КХ1 Ку, Kz. Эти трудности можно обойти, если воспользоваться так называемой замкнутой моделью пограничного слоя атмосферы [60]. Заметим однако, что решение данной модели сложно найти даже численными методами.
Для описания модели пограничного слоя атмосферы производится переход к безразмерным параметрам [60]. Число Россби и параметр температурной стратификации
Модель распространения активной примеси в свободной атмосфере
Предположим, что основной причиной движения частиц примеси в атмосфере является сила, возникающая из-за разницы давлений в различных точках атмосферы. Разница давлений может возникать по разным причинам: из-за градиента температуры, градиента плотности, наличия или отсутствия примеси в конкретной точке атмосферы и т.д. Рассмотрим более подробно компоненты Vx, Vy, Vz вектора скорости V частиц примеси. В отличие от других исследователей [10,15,46,75] будем рассматривать не осредненную по достаточно большому промежутку времени, а мгновенную скорость частиц примеси в вязкой атмосфере с коэффициентом внутреннего трения г} и второй вязкостью . Тогда компоненты Vx, Vy, Vz вектора скорости V частиц примеси удовлетворяют линеаризованным уравнениям движения Навье-Стокса, которые для постоянных і] и в векторной форме имеют вид [104]: где F — вектор напряженности поля массовых сил; Р — давление жидкости или газа; р — плотность жидкости или газа; г) — динамическая вязкость или коэффициент внутреннего трения; — вторая вязкость; А — оператор Лапласа.
Так как уравнение (2.1.1) рассматривается совместно с уравнением неразрывности divV = 0, то уравнение (2.2.1) упростится и примет вид: Заметим, что существует определенная зависимость [104], непосредственно указывающая на связь диффузионных процессов с вязкостью жидкости или газа. Именно поэтому важно использование уравнений движения Навье-Стокса, а не более простых уравнений движения Эйлера, которые описывают процесс движения несжимаемой невязкой жидкости. Определим P(t,х,у, z), p{t,х,у, z), Fx(t,х,у, z), Fy(t,х, у, z), F2(t, х, у, z) в (2.2.2) на основании физических представлений. Из молекулярно-кинетической теории известно, что где п — концентрация молекул; к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура. Так как п выражается очень большим числом, определение которого затруднено при проведении практических расчетов, то выразим п через другие параметры: где N — общее количество молекул газа; m — масса газа; то — масса одной молекулы газа; V — объем, занимаемый газом; q — массовая концентрация молекул газа. Подставив (2.2,4) в (2.2.3), получим Формула (2.2.5) более удобна для вычисления давления, так как вместо трудноопределяемого параметра п содержит макроскопические параметры Т, q и постоянные величины к и TUQ. Вследствие воздействия силы тяжести давление примеси в точке (х, у, z) в момент времени t будет определяться не только давлением Р, полученным с помощью формулы (2.2.5), но и давлением всех вышележащих слоев примеси: где д — ускорение свободного падения.
Так как примесь распространяется не в пустом пространстве, а в атмосфере, то необходимо учитывать и фоновое атмосферное давление: Для случая полидисперсной газовой среды, состоящей из п газов, учитывая фоновое давление атмосферы, можно записать: где P(t,x,y,z) — давление в точке пространства {х,у, z) Є Е\\ P b{z) — фоновое давление окружающей атмосферы; ql(t,x, у, z) — концентрация г -го газа (г = 1,2,..., п); Заметим, что в формулах (2.2.7), (2.2.8) не учитывается давление столбов воздуха, соседних с данным столбом, проходящим через точку (х, у, z) Є Е\ параллельно оси OZ. В простейшем случае фоновое давление можно рассчитать по барометрической формуле [72]: где М — молярная масса воздуха; R — универсальная газовая постоянная; fi — давление воздуха при z = 0; Тф = const — фоновая температура. Барометрическая формула, приведенная в [72], выведена из предположения о постоянстве температуры на рассматриваемом интервале высот. Однако распределение температуры в реальной атмосфере подчиняется закону [30]: где 7 = —0,009(К/м) — сухоадиабатический градиент; т — температура воздуха при z = 0. В этом случае функция распределения фонового давления примет вид: Со = const определяется из начальных условий На рисунке 1 приведены графики зависимостей давления воздуха от высоты, из которого видно, что на небольших высотах формулы (2.2.9) и (2.2.11) дают достаточно близкие значения. Большое расхождение расчетных данных заметно с увеличением высоты. Выразим теперь плотность p(t,x,y,z) среды через другие ее параметры: давление, температуру — и представим p(t,x,y,z) в виде где pq(t,x,y,z) — плотность частиц примеси в точке (я, у, z) Є Е+\ Рф(х,у,г) — фоновая плотность атмосферного воздуха.
Плотность частиц примеси pq(t,x,y,z) можно рассматривать как массу примеси в единице объема, но это ни что иное, как массовая концентрация примеси q(t,x,y,z). Поэтому На процесс рассеяния примеси в атмосфере оказывают воздействие и внешние силы, такие как сила тяжести. Для учета этих сил в уравнениях (2.2.2) присутствует вектор напряженности поля массовых сил F. Определим компоненты вектора F, предполагая, что из массовых сил на примесь воздействует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. где д — ускорение свободного падения. Определив все необходимые вспомогательные параметры в (2.2.2) — давление P(t,x,y,z) [см. (2.2.7)], плотность [см. (2.2.13)], напряженность полей массовых сил FX1 Fy, Fz [см. (2.2.16)] в точке (х, у, z) Є Е\ в момент времени t, мы получили замкнутую систему линеаризованных уравнений движения Навье-Стокса (2.2.2). Проинтегрировав левую и правую часть уравнений системы (2.2.2), можно найти компоненты вектора мгновенной скорости: где VQ = VXo,Vyo, V2Q — вектор скорости частиц примеси в начальный момент времени. Для нахождения конкретных решений уравнения (2.1.1) к нему необходимо присоединить начальные и граничные условия. В качестве начальных условий естественно положить (2.2.19) где (f (x, у, z) — функция, значения которой при = 0 совпадают со значениями концентрации примеси в точке (x,y,z) Є Е\ (фоновая концентрация). В предположении, что концентрация примеси убывает до бесконечно малой величины на границе Е\ и что частицы примеси могут изменить скорость своего движения по некоторому закону после взаимодействия с подстилающей поверхностью, граничные условия можно задать аналогично граничным условиям (1.1.41), (1.1.18), (1.1.19) следующим образом: если примесь полностью поглощается подстилающей поверхностью, то если примесь полностью отражается подстилающей поверхностью, то где ip(t,x,y,z) = 0 — уравнение подстилающей поверхности.
Методика численного решения задачи распространения примеси в облаке
Модель рассеяния активной примеси (3.2.1)-(3.2.19) представляет собой совокупность дифференциальных уравнений с заданными начальными и граничными условиями. Однако для осуществления непосредственных расчетов необходимо найти ее решение в аналитическом или численном виде. Предлагаемый автором способ численного решения данной задачи имеет вполне разумный уровень сложности и буДет описан в данном параграфе (см. рис. 30). Заметим, что многие формулы, приведенные в данном параграфе, будут с точностью до обозначений совпадать с формулами, приведенными в предыдущих главах исследования. Данное дублирование является вынужденным и предназначено исключительно для повышения ясности излагаемого материала.
Покроем Е\ равномерной сеткой (xj,yj,Zk), (i,j,k Є Z) с шагами Ах, Ay, Az вдоль осей OX, OY, OZ соответственно и будем искать решение задачи (3.2.1)-(3.2.19) только в узлах этой сетки на достаточно малом временном интервале [t,t + At]. Решение задачи (3.2.1)-(3.2.19) сводится к решению двух взаимосвязанных подзадач — решению задачи (3.2.1) (3.2.4), описывающей процесс рассеяния водяного пара, образующего облако, и решению задачи (3.2.6)-(3.2.19), описывающей процесс рассеяния активной примеси внутри облака. Используя метод расщепления [46, 47, 48], расщепим задачу (3.2.1)— (3.2.4) на 3 подзадачи: 1) задача переноса частиц облака под действием ветра и силы тяжести: Согласно [46, 47, 48] на малом временном интервале [t, t + At] такое расщепление допустимо и при At — 0 приводит к решению, близкому к решению задачи (3.2.1)-(3.2.4). Так как в модели переноса водяных паров облака (3.3.1)-(3.3.4) скорость ветра V и скорость осаждения облака V являются постоянными величинами, то скорость движения водяных паров облака в точке (xi,yj,Zk) Є Е\ в момент времени t равна скорости движения водяных паров в точке {xsx,ysy,zst) в момент времени t + At. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям для переноса частиц примеси в свободной атмосфере, приведенным в параграфе б главы 2 данного исследования, можно записать: Для точного решения задачи (3.3.1)-(3.3.4) в узлах сетки должны быть выполнены соотношения где Дг, Д , Ак — целые числа. Отсюда В целях устранения дополнительной вычислительной погрешности, возникающей при округлении Дг, Aj, Ак, автором предлагается менять значение концентрации не в одной точке сетки (ХІ+АІ, yj+Aj,zk+Ak), а сразу в четырех точках сетки, окружающих точку (xsx,ysy- zst), пропорционально их удаленности от точки (xsx,ySy,zs,) (см. рис.21 на с. 81) по формулам: 107 Рассмотрим теперь численное решение задачи диффузии водяных паров, образующих облако (3.3.5)-(3.3.8). Для решения этой задачи автором предлагается использовать метод покомпонентного расщепления, описанный в [46, 47, 48].
Применяя этот метод, задачу (3.3.5)-(3.3.8) на малом временном интервале [t, t + At] можно расщепить на 3 подзадачи: 1) задача диффузии водяного пара вдоль оси ОХ: Детальный вывод системы уравнений (3.3.34) приведен в параграфе 6 главы 2 данного исследования при рассмотрении вопроса диффузии примеси в свободной атмосфере вдоль оси ОХ. Для решения системы (3.3.34) автором рекомендуется использовать итерационный метод Зейделя для решения систем линейных уравнений [28, 73]. Аналогично для численного решения задачи диффузии водяного пара облака вдоль оси OY (3.3.26)-(3.3.29) можно записать систему линейных уравнений Эффективным методом решения системы линейных уравнений (3.3.35) является метод Зейделя [28, 73]. Для решения задачи диффузии водяного пара облака вдоль оси OZ (3.3.26)-(3.3.29) автором предлагается использовать систему линейных уравнений, вывод которой приведен в параграфе 6 главы 2 данного диссертационного исследования при решении задачи диффузии примеси в свободной атмосфере вдоль оси OZ
