Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние исследований 17
1.1 Основные положения теории эманационного метода и ее современное развитие 17
1.2 Основные положения теории геогаза 21
1.3 Концепция массопереноса в средах с фрактальной организацией 24
Глава 2. Моделирование процесса переноса радона в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт имеет однородную структуру 30
2.1 Физические аспекты и основное уравнение процесса переноса радона в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт имеет однородную структуру 30
2.2 Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» 37
2.3 Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» с коэффициентом турбулентной диффузии как линейной функции расстояния от поверхности земли 47
2.4 Алгоритм расчета плотности потока радона с поверхности земли 56
Глава 3. Моделирование процесса переноса радона в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт является фрактальной структурой 68
3.1 Модельное уравнение переноса радона в грунте с фрактальными свойствами 68
3.2 Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме аномальной диффузии 72
3.3 Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме аномальной адвекции 79
3.4 Режим супердиффузии как интенсивный процесс переноса радона в пористом грунте 82
Заключение 88
Литература 91
- Основные положения теории геогаза
- Концепция массопереноса в средах с фрактальной организацией
- Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера»
- Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме аномальной диффузии
Введение к работе
Исторически сложилось так, что первые работы по исследованию концентрации радона в подпочвенном воздухе и грунтовых водах были инициированы с целью разведки радиоактивных руд /10, 11, 41, 109, 112/. В дальнейшем эти исследования сформировались в эманационный метод, основу которого составляет процесс массоперепоса под действием механизмов диффузии и адвекции в грунте радиоактивного газа радона (222Rn), который является продуктом распада радия (226Ra). В результате этих исследований была разработана математическая диффузонно-адвективная модель переноса радона в грунте, которая стала классической и нашла широкое применение в различных областях знаний.
В последние десятилетия наблюдается резкий всплеск работ по исследованию динамики радона в области геодинамики. Результаты таких исследований с большой достоверностью дают основание рассматривать радон как индикатор напряженно-деформированного состояния геосреды и возможность его использования для прогноза сильных землетрясений или горных ударов в шахтах /8, 17, 23, 31, 69, 83, 85, 91, 102, 104, 105, 106, 110, 116, 129, 132, 139/. Изменение структуры геосреды в результате деформаций в силу тех или иных причин ведет к изменению интенсивности выделения радона в приземный слой атмосферы.
Велика роль радона в формировании электрического поля приземного слоя атмосферы, так как, являясь естественным ионизатором, он оказывает влияние на его проводимость. При увеличении стока радона в приземный слой атмосферы ее проводимость увеличивается за счет ионизации радоном и продуктами его распада, что приводит к уменьшению напряженности атмосферного электрического поля /1, 28, 78, 98, 101/, что может быть связано с сейсмической активностью /29, 75, 93/, а в некоторых случаях приводит к лесным пожарам /97/.
Использование моделей массопереноса в области радиоэкологии и радиационной безопасности позволяет изучать перенос радионуклидов, в том числе радиоактивного газа радона, в атмосферу из хранилищ радиоактивных отходов, и прогнозировать пути их дальнейшего распространения, а так же контролировать предельно допустимые нормы в жилых помещениях /2, 20, 43, 65, 82, 99, 103/.
Многообразие задач, решение которых требует дальнейшего развития моделей переноса радона в различных средах и системах определяет актуальность настоящей работы. Например, классическая модель диффузии-адвекции радона /41/ не позволяет объяснить аномальные всплески в поведении подпочвенного радона в случае однородной геологической структуры и отсутствия глубинных источников или разломов /83/. Объяснить данный эффект можно только фрактальными свойствами среды. Известно, что фрактальные свойства среды порождают более интенсивные процессы переноса /6, 15, 39, 79, 87, 88, 121, 127, 138/. Математический аппарат по изучению сред с фрактальными свойствами хорошо развит /38, 68, 77, 89, 115/, и его применение к задачам переноса радона представляет большой научный интерес.
Целью работы является разработка и исследование математических моделей переноса радона в системе «грунт-атмосфера» с учетом фрактальных свойств грунта, и определение параметров модели по экспериментальным данным Петропавловска-Камчатского геодинамического полигона.
Основные задачи, решаемые в работе:
Разработка и исследование модели переноса радона в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт рассматривается как однородная среда, а коэффициент турбулентной диффузии в атмосфере линейно зависит от ее высоты.
Разработка алгоритма, на основе классической модели переноса радона в системе «грунт атмосфера», для расчета плотности потока радона с поверхности земли по экспериментальным данным временных рядов радоновых полей, полученных на Петропавловске-Камчатском геодинамическом полигоне.
Разработка и исследование моделей переноса радона в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт обладает фрактальными свойствами, для режимов аномальной диффузии и аномальной адвекции.
Исследование особенностей и условий смены режимов аномальной диффузии и аномальной адвекции в зависимости от фрактальных свойств грунта.
Методы исследования базируются на теории эманационного метода, на математическом аппарате теории дробного интегро-дифференцирования, линейной теории дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типов и специальных функций.
Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается результатами расчетов по предложенным моделям, которые хорошо согласуются между собой и общими представлениями теории массопереноса.
Предмет исследования. Модели и режимы переноса радона в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт является однородной или фрактальной структурой.
Научная новизна работы:
Разработана оригинальная модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера», где коэффициент турбулентной диффузии представлен линейной функцией от высоты. Получено аналитическое решение данной модели, которое выражается через функцию Бесселя второго рода от мнимого аргумента.
Разработан алгоритм, на основе классической модели переноса в системе «грунт-атмосфера», для расчета плотности потока радона с поверхности земли по экспериментальным данным временных рядов радоновых полей, реализованный в компьютерной программе «РЭКСЭМ».
Впервые разработана модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера», где грунт обладает фрактальными свойствами в режиме аномальной диффузии (супердиффузии). Получено аналитическое решение в терминах функции Миттаг-Леффлера, представляющее функцию распределения радона по глубине и высоте. Показано, что в частном случае решение этой модели сводится к классической модели диффузии радона.
Впервые предложена модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме аномальной адвекции, где грунт обладает фрактальными свойствами. Получено аналитическое решение для данной модели и исследованы его особенности.
Определены условия перехода от супердиффузии к аномальной адвекции в зависимости от фрактальных свойств грунта.
Показано, на основе сопоставления полученных неклассических решений с экспериментальными данными, что возможен перенос радона в грунте в режимах как обычной, так и аномальной диффузии.
Научная и практическая значимость работы. Работа была выполнена в соответствии с планами научных исследований ИКИР ДВО РАН, Программы Президиума РАН № 16 и Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/544. Полученные в работе результаты имеют как фундаментальное, так и прикладное значение при решении широкого круга задач: в проблеме формирования атмосферного электрического поля, в ряде задач геодинамики, сейсмологии и прогноза землетрясений, радиоэкологии, геохимии и геологоразведки и в ряде других областях знаний.
На основе полученных результатов была разработана программа «РЭКСЭМ», которая используется для анализа экспериментальных данных, полученных сотрудниками лаборатории комплексных исследований предвестников землетрясений и извержения вулканов ИВиС ДВО РАН под руководством к.ф.-м.н. П.П. Фирстова на станциях мониторинга радона на Петропавловск - Камчатском геодинамическом полигоне в районе Южной Камчатки. Программа зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП).
Положения, выносимые на защиту:
Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме обычной диффузии и ее аналитическое решение.
Модель переноса радона в системе «грунг-атмосфера» в режиме аномальной диффузии и ее аналитическое решение.
Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме аномальной адвекции и ее аналитическое решение.
Алгоритм для расчета плотности потока радона с поверхности земли, в котором входными данными являются экспериментально полученные временные ряды подпочвенных радоновых полей на разных глубинах.
Личный вклад автора. Автором было выполнено математическое моделирование процессов переноса радона из грунта в приземный слой атмосферы. Все основные результаты получены лично автором. Постановка задач исследований pi обсуждение их результатов осущствлялись совместно с научным руководителем д.ф.-м.н. Б.М. Шевцовым, научным консультантом к.ф.-м.н. П.П. Фирстовым и соавтором ряда работ к.ф.-м.н. И.А. Ильиным, которым автор выражает свою благодарность.
Особые слова признательности автор выражает коллективу лаборатории комплексных исследований предвестников землетрясений и извержения вулканов ИВиС ДВО РАН, который под руководством П.П. Фирстова собрал экспериментальный материал, использованный в настоящей диссертационной работе.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы её цель и задачи, указаны методы исследований, научная новизна и практическая значимость работы, определён личный вклад автора, а также сформулированы основные научные результаты, выносимые на защиту. Кратко изложены структура и содержание работы.
В первой главе дается обзор современного состояния исследований переноса радона в системе «грунт-атмосфера». Проведен анализ основных теорий переноса радона в грунте - теория эманационного метода, теория геогаза и теории массопереноса во фрактальных средах, результаты которого определили направление настоящей работы.
Во второй главе на основе классической модели диффузии-адвекции разработаны и исследованы модели переноса радон в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт рассматривается как однородная пористая среда, а атмосфера представлена только приземным слоем. Глава состоит из четырех разделов.
В первом разделе раскрываются физические аспекты теории эманационного метода, вводится базовое уравнение переноса радона в грунте, дается физическое толкование параметров переноса в этом уравнении.
Во втором разделе рассматривается задача о переносе радона из грунта в атмосферу с постоянным коэффициентом турбулентной диффузии. Выводится и исследуется аналитическое решение для такой задачи, строятся распределения концентрации радона по глубине и высоте. Определяются условия перехода от режима диффузии к режиму адвекции.
В третьем разделе ставится и решается задача о переносе радона в системе «грунт-атмосфера» с коэффициентом турбулентной диффузии как линейной функции от высоты приземного слоя атмосферы. Находится аналитическое решение в рамках этой модели, которое представлено с помощью функции Бесселя второго рода от мнимого аргумента. Показано, что с ростом коэффициента турбулентной диффузии увеличивается перенос радона по высоте, а концентрации радона вблизи поверхности земли уменьшается в разы.
В четвертом разделе рассматривается применение классической модели диффузии-адвекции к задаче расчета плотности потока радона с поверхности земли и приводится алгоритм ее решения. Исследуются результаты тестирования алгоритма на сети станций мониторинга радона на Камчатке. Задача оценки плотности потока радона с поверхности земли основывается на решении исходного базового уравнения переноса — радона в однородном пористом грунте с соответствующими начальными и граничными условиями, а также с учетом измеренных значений концентрации радона на различных глубинах. Для данной задачи был разработан алгоритм, который реализуется в созданной автором программе «РЭКСЭМ». Программа прошла тестирование на сети станций по мониторингу радона на Петропавловск - Камчатском геодинамическом полигоне. В ходе проверки программы был подтвержден тезис о перспективности использования плотности потока радона в исследовании аномалий, которые возникают в результате геодинамических процессов, происходящих в земной коре.
В третьей главе с помощью формализма дробного интегро-дифференцирования и свойств функции Миттаг-Леффлера разработаны модели переноса радона в режимах аномальной диффузии и аномальной адвекции в системе «грунт-атмосфера», в которой грунт обладает фрактальными свойствами. Получены аналитические решения этих моделей, которые выражаются в терминах функции Миттаг-Леффлера и проведен их анализ. Глава состоит из четырех разделов.
В первом разделе даются физические аспекты теории переноса в грунте с фрактальной структурой. Выводится основное уравнение переноса в такой среде и формулируется постановка задачи.
Во втором разделе получено аналитическое решение модели аномальной диффузии при 1<а<2, которое выражается в терминах специальной функции Миттаг-Леффлера. С помощью данного решения строятся и исследуются кривые распределения концентрации радона в грунте и приземном слое атмосферы. В ходе анализа установлено, что кривые распределений радона грунте перегруппировываются вглубь среды в обратный порядок и с уменьшением а затягиваются, это означает, что длина диффузии увеличивается, и радона легче проникает через пористый грунт.
В третьем разделе получено аналитическое решение модели аномальной адвекции в случае, когда 0<а<1. С помощью данного решения строятся и исследуются кривые распределения концентрации радона в грунте и приземном слое атмосферы. Вычисления показывают, что в случае аномальной адвекции радон еще интенсивнее, чем при аномальной диффузии, выносится из фрактальной среды и концентрируется вблизи границы с атмосферой. Данное накопление радона может являться следствием разрушения в грунте в результате деформационных возмущений, при которых наблюдается интенсивный выброс его в атмосферу.
В четвертом разделе проводится сопоставление экспериментальной кривой с расчетной кривой, построенной по модели аномальной диффузии (супердиффузии). В результате было подтверждено, что явление супердиффузии для переноса радона в грунте имеет место в реальных условиях.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:
1. На основе анализа классической модели диффузии-адвекции радона в системе «грунт-атмосфера»: определены условия перехода от режима адвекции к режиму диффузии: разработана оригинальная модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера», где коэффициент турбулентной диффузии представлен линейной функцией от высоты. Получено аналитическое решение данной модели, которое выражается через функцию Бесселя второго рода. Показано, что за счет увеличения турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы, на границе раздела сред на порядки уменьшается концентрация радона и увеличивается перенос радона по высоте.
Разработан алгоритм расчета плотности потока радона с поверхности земли по экспериментальным данным временных рядов радоновых полей, реализованный в компьютерной программе «РЭКСЭМ». Подтверждено, что плотность потока радона является наиболее динамичной характеристикой к изменению скорости адвекции, чем величина поровой активности радона.
1. С помощью дробного интегро-дифференцирования и свойств функции Миттаг-Леффлера разработан новый подход к изучению переноса радона в системе «грунт-атмосфера», когда грунт обладает фрактальными свойствами. Согласно данному подходу были получены следующие результаты:
Разработана оригинальная модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера», где грунт обладает фрактальными свойствами, в режиме аномальной диффузии (супердиффузии). Найдены решения в рамках этой модели в терминах функции Миттаг-Леффлера.
Впервые построена модель переноса радона в системе «грунт- атмосфера» в режиме аномальной адвекции и получено аналитическое решение в терминах функции Миттаг-Леффлера. Показана высокая интенсификация выделения радона в поры грунта и переноса по сравнению с режимом супердиффузии.
Исследованы особенности смены режимов аномальной диффузии и адвекции в зависимости от фрактальных свойств пористого грунта.
Проведено сопоставление полученных неклассических решений с экспериментальными данными и показано, что возможен перенос радона в грунте в режимах как обычной, так и аномальной диффузии.
Презентация работы. Основные результаты докладывались на международных и российских конференциях и выставках; IV Международной конференции. Солнечно-земные связи и предвестники землетрясений. 14-17 августа, 2007г., п. Паратунка, Камчатский край; I Региональной научно-технической конферерщии. Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока, 12-16 ноября 2007 г., г. Петропавловск-Камчатский; IX Уральской молодежной научной школе по геофизике. Современные проблемы геофизики, 24-28 марта 2008 г., г. Екатеринбург; Межрегиональной конференции. Современные информационные технологии для научных исследований, 22-26 апреля 2008 г., г. Магадан; III Сахалинской молодежной научной школы. Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз, 3-6 июня 2008г., г. Южно-Сахалинск; Международной конференции. Математическое моделирование опасных природных явлений и катастроф, 30 июня - 04 июля 2008 г., г. Томск; VI Всероссийской выставки научно-технического творчества молодёжи НТТМ-2006, 20-24 июня 2006 г., Москва; VI-II Всероссийской выставки научно-технического творчества молодёжи НТТМ-2008, 25-28 июня 2008 г., Москва; VI Региональная молодежная конференция. Исследование в области наук о Земле, 26-27 ноября 2008 г., г. Петропавловск-Камчатский; Международный Российско-Абхазский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» 17-22 мая 2009 г., г. Нальчик; International Conference «Radon in Environment» 10-14 may, 2009, Zakopane, Poland.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 138 наименования. Объем работы составляет 112 страниц машинописного текста. Работа содержит 12 рисунков.
Основные положения теории геогаза
В последние десятилетия появились работы, общая тема которых - сложность в объяснении переноса радона на большие расстояния в геосреде, или появление эндогенного газа на земной поверхности под действием диффузии /107, 109, 117, 120, 122/. В работе /117/ авторы предложили новую гипотезу для объяснения переноса радона на столь большие расстояния: они считали, что движение радона связано с существованием естественного микропотока газа (геогаза), который в основном возрастает в разломах земной коры. Этот газовый поток -прежде всего адвективный и становится потоком «микропузырьков», когда проходит через водоносный горизонт. Затем обнаружилось, что эта гипотеза соответствует большому количеству экспериментальных данных /108, 110/. Поэтому в литературе сформировался общий подход, определяемый как «теория геогаза» /118/. Суть этой теории сводится к тому, что геологическая среда представляется влагонасыщенной трещиноватой средой, а по ее трещинам, заполненным флюидом, поднимаются микропузырки глубинного газа - газов переносчиков СО2, СЩ, Н2, что значительно может увеличивать скорость миграции радона к земной поверхности. Глубинный газ является более легким и способен переносить более тяжелые газы-трассеры, такие как радон и гелий, причем механизмом такого переноса будет являться адвекция /110/.
Высокая эмиссия радона обычно связывается с высоким содержанием урана в геосреде и поэтому радоносодержащие области в основном сосредоточены в гранитных и вулканических породах. Тем не менее, нередко локализуются над зонами разломов аномалии радона, значения которых намного выше значений полученных при распаде урана /108/. Более того, радон и ССЬ в геосреде часто коррелированны между собой во времени и пространстве /113/. Это в какой-то мере подтверждает факт переноса радона легкими газами. Рассмотрим некоторые положения теории геогаза.
Широкое распространение микропотока газа: подъем микропотока газа через разломы и трещины в коре - весьма общее явление, играющее важную роль в дегазации Земли. Такие поднимающиеся микропотоки наблюдаются не только в тектонически-активных областях (сейсмические, вулканические области), но также и в устойчивых областях (осадочные бассейны, щиты, предгорья) /110/.
Быстрое всплывание газа: Перенос газа с относительно высокой скоростью может произойти из-за: управляемого давлением непрерывного потока газовой фазы через сухие трещины; управляемой давлением непрерывной газовой фазы в насыщенных влагой трещинах; плавучести газовых пузырьков в водоносных горизонтах и заполненных водой трещинах.
Перенос вещества пузырьками геогаза: пузырьки могут собрать и перенести вверх на большие расстояния трассирующие газы, например радон /108, 117, 134/. Этот механизм может отвечать, например, за быстрый и на большое расстояние перенос радона и за все другие явления, которые не могут быть объяснены только диффузией или переносом воды. Этот перенос вещества может происходить посредством следующих основных механизмов: флотации (подъем твердых частиц на пузырьках); поверхностно-активных веществ, уплотняющие поверхность раздела сред газ-жидкость;
Флотация - физический процесс, происходящий вследствие того, что удельная поверхностная энергия между водой и газом выше, чем между твердыми частицами и газом. Следовательно, поток микропузырьков, проходящих через измельченную породу, может поднять частицы радона и нести их вверх. В работе /19/ пузырьковая модель дополняется скоростью жидкостной конвекции, вызванной наличием геотермального градиента. По трещинам и зонам нагретая жидкость поднимается вверх к земной поверхности, оттесняя менее нагретый флюид к периферии проницаемых участков.
Перенос поверхностно-активных элементов на поверхность раздела фаз газ-жидкость, который происходит из-за того, что уровень энергии непосредственно на разделе фаз ниже, чем в растворе. Многие элементы, в основном радионуклиды, могут прилипать к поверхности пузырька и собираться на ней /126/.
Концепция массопереноса в средах с фрактальной организацией
Теория процесса массопереноса включает в себя такие явления как диффузию, адвекцию и опирается в своих исследованиях на основополагающие принципы классической термодинамики необратимых процессов. Некоторые из этих принципов: принцип локальности и принцип локального термодинамического равновесия существенно накладывают ограничения на применения этой теории. Это происходит, потому что процесс массопереноса по своей природе является нелокальным и возникает лишь в тех системах, которые не находятся в состоянии термодинамического равновесия.
Устранение данного ограничения стало возможным сравнительно недавно, благодаря сформировавшейся в естествознании концепции фрактала /6, 12, 16, 27, 30, 42, 66, 81, 90, 100, 119/. Понятие фрактала было введено Б. Мандельбротом /119/ и использовалось для описания самоподобных геометрических объектов. Однако в настоящее время оно нашло свое применение в различных областях знаний, в том числе и в теории массопереноса /3, 33, 34, 35, 38, 39, 79, 82, 87, 88, 89, 121, 127, 138/.
Экспериментально установлено, что геологическая среда может обладать фрактальной структурой /22/. Фрактальная структура является следствием многих процессов необратимого роста, в том числе, таких как аномальная диффузия /82, 89,121/, перколяция /84/ и т.д. К фрактальным средам также относят очень пористые, неоднородные среды со сложной топологией порового пространства /37, 40/. К таким средам можно отнести и пористый грунт. В таком грунте существует степенное распределение пор по размерам, которое сохраняется при различных масштабах с некоторым показателем а.
Наличие в грунте фрактальных свойств, приводит к процессам более интенсивным, чем при обычной диффузии или адвекции. Такие процессы исследуются в рамках концепции пространственной нелокальности и их принято называть аномальными /15, 33, 34, 39, 79, 87, 89, 121, 127, 138/. Известно, что если параметр а изменяется в диапазоне 1 о: 2, то перенос происходит в режиме аномальной диффузии (супердиффузии). В этом случае частицы совершают скачки (полеты Леви) на значительные расстояния в пористом грунте за счет сложной топологии его пор, при этом увеличивается интенсивность процесса переноса. Интересно отметить, что при а=2 массоперенос идет в режиме обычной диффузии, а при а—1 - в режиме обычной адвекции. Однако возможен другой диапазон значений а, а именно 0 а: 1. В этом случае будет происходить перенос радона гораздо более интенсивно, чем при аномальной диффузии за счет его дополнительного выделения из фрактальных поровых структур грунта. Так как в литературе такой режим не рассматривался, то автором диссертационной работы предложено определять его термином -аномальная адвекция.
Возможны так же нелокальные эффекты по времени /39, 79/. В этом случае происходит прилипание частиц к стенкам пор грунта, что характеризует ловушки, в которых частицы могут находиться достаточно долгое время. Кроме того частицы «помнят», как они сюда попали, т.е. «система грунт-частица» обладает памятью. Процесс массопереноса, происходящий в таких системах, называется субдиффузией и менее интенсивен, чем при обычной диффузии.
Согласно данному представлению математические модели хмассопереноса в среде, обладающей фрактальными свойствами, описываются нелокальными уравнениями в частных производных и связанными с ними локальными и нелокальными начальными и краевыми условиями. Данное направление активно развивается как в России /3, 15, 39, 79, 87, 89/, так и за рубежом /111, 121, 136/. Например, разработаны фрактальные модели переноса влаги в водоносных системах /79/ и солевого раствора /3/, одномерные модели фильтрации в средах с фрактальной структурой /33, 34, 39/, созданы модели фрактального переноса радионуклидов в атмосфере над хранилищами радиоактивных отходов (задача Дыхне) /6, 15/, рассмотрены модели фрактального турбулентного переноса в атмосфере /66/.
Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера»
Целью математических построений в диссертационной работе является получение представлений о закономерностях распределения концентрации радона в грунте с различными физико-геологическими параметрами с учетом его стока в приземный слой атмосферы. Работы в этом направлении уже велись /95, 96/. Однако в данных работах построение модели переноса радона основывалось на уравнении (2.3), которое представлялось в стационарном виде, а в приземном слое атмосфере рассматривалась только молекулярная диффузия.
Автором диссертационной работы предложено использовать нестационарное уравнение (2.3) и на его основе рассмотреть задачу о переносе радона в системе «грунт-атмосфера», которую можно записать в следующем виде: Рис. 2.1. Общая схема переноса радона в системе «грунт-атмосфера» с помощью механизмов диффузии, адвекции и турбулентной диффузии. с краевыми условиями на внешней границе:
Здесь DA коэффициент турбулентной диффузии в атмосфере вблизи земной поверхности, характеризующий вертикальный перенос атмосферного воздуха за счет конвекции. Известно, что вблизи земной поверхности D = 0.1 м2/с , на высоте 50 метров D = ІЧ-10 м2/с /41/.
Начальное условие (2.5) характеризует наличие установившейся концентрации радона в начальный момент времени t на заданной глубине z. Граничное условие (2.6) определяет непрерывность концентрации и потоков радона на границе раздела «грунт - атмосфера». Краевые условия на внешних границах (2.7) указывают на то, что в грунте при неограниченном уменьшении координаты z концентрация радона достигает своего максимального значения. В приземном слое атмосферы при увеличении z концентрация радона стремиться к минимальному значению, т.е. к нулю.
Получим аналитическое решение модели (2.4 - 2.7). Для этого воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа /26/. Умножим уравнение (2.4) на величину e ptdt и проинтегрируем по переменной t от О до оо. Будем иметь:
Положим F (z,p) — f С (z,t)e ptdt, где p- комплексная переменная. С учетом начального условия (2.5) и выражения:
Уравнение (2.8) запишется через новую переменную F(z,p), которая называется изображением:
Заметим, что мы перешли от дифференциальных уравнений в частных производных (2.4) к обыкновенным дифференциальным уравнениям (2.9), а уравнение переноса радона в грунте записано в стационарном виде. Данные преобразования аналогично применяются для краевых условий (2.6-2.7). Они запишутся следующим образом:
Здесь C\, C2, Сз, Сі- константы интегрирования, которые подлежат определению из граничных условий (2.10 - 2.11). Из условия (2.7) вытекает, что С2 = С4 = 0.
Подставляя выражения (2.8) в граничные условия (2.6) определим оставшиеся константы интегрирования Сі и Сз из системы алгебраических уравнений: Далее перейдем от изображения (2.15) к оригиналу, т.е. к концентрации радона C(z,t). Для этого воспользуемся таблицей обратных преобразований Лапласа /14/.
Модель переноса радона в системе «грунт-атмосфера» в режиме аномальной диффузии
Рассмотрим сначала задачу переноса радона в грунте без фрактальных свойств с учетом его стока в приземный слой атіч/іосферьі. Уравнение переноса радона в стационарном случае без адвекции можно представить в виде: Предполагаем, что на границе двух сред (z=0) выполняются: условия непрерывности концентрации и потока радона: а на внешних границах сред - краевые условия: Решение первого уравнения (3.4) С (z) = Сі exp X/J Q z) + С2вхр(—y/X/Dcz) + Coo с учетом первого условия (3_ ) дает: С (z) = Сі exp(—yJ\/Dc z) 4- Coo- Решение второго уравнения (3.4) С (z) = Cz ехр А/Д4 z) + C4 exp(— X/DA z) с учетом второго условия (3.6) имеет вид: С (z) — С3 exp(y/A/Z A z). Найдем константы интегрирования С2 и Сз из условий (3.5), с помощью которых получим систему уравнений: Сч + С = CS—C I\/XDG — СЗУ/XDA, решение которых дает искомые константы: Сз = C00(l- A /(/ЩI+v/A ))) С2 = -С0Оу/ХЩ/(у/ГЩ[ + у/ Щ-Подставляя эти константы в представленные выше решения, окончательно будем иметь: Рассмотрим стационарную диффузию радона в грунте с фрактальными свойствами. В этом случае уравнение (3.4) запишется в виде: А вместо граничных условий (3.5) будем иметь [63,90]: Краевые условия на внешних границах: Здесь d,QZ - оператор Римана-Лиувилля производной дробного порядка а (1 а 2), который действует по следующему правилу /115/: Общее решение уравнения миграции радона в атмосфере можно записать следующим образом: С учетом второго краевого условия (3.10) С% = 0, поэтому выражение (3.11) можно записать так: Подставим решение (3.12) в граничные условия (3.9) получим условия на константу интегрирования С\\ Теперь найдем общее решение уравнения переноса радона в грунте с фрактальной организацией. Для этого воспользуемся преобразованием Лапласа для изображения F(p): Подставляя в операторное уравнение (3.14) выражения (3.13) получим для уравнения F(p): Делая обратное преобразование выражения (3.15) с учетом соотношений: специальная функция Миттаг-Леффлера, найдем: Найдем константу Сі из (3.16) с помощью асимптотической формулы разложения функции Миттаг-Леффлера /13/
