Введение к работе
Актуальность. Реализации любого крупного научно-техни-іеского или народно-хозяйственного проекта, связанного с существенным воздействием на природную среду, должно предшество-тть создание математической модели. позволяющей оценить все юпекты этого воздействия как в перспективе, так и в экстремальных ситуациях. Проведение на основе математического моде-іироваиия серии вычислительных экспериментов позволяет оценить злияние проектируемых изменений и других внешних факторов на зб'ект исследования, предсказать те возможные изменения в эко-югической ситуации, которые могут произойти при реализации іроекта.
Экологическая ситуация в мелких водоемах (небольших озе-эах, водохранилищах, морях) может быстро меняться, при измене-тп внешних факторов, в силу низкой инерции экосистемы. Вместе з тем, сама экологическая ситуация в мелких водоемах очень іапряженная, т.к. проведенные ранее работы, связанными с из'-ітием части стона рек, впадающих в эти водоемы, строительством з них гидросооружении и другие мероприятия, изменили гидрофизические характеристики водоема и привели к ухудшению в нем экологической ситуации. Такая ситуация приводит к выдвижению эазличных проектов реконструкции экосистем таких водоемов, тредлагающих постройку других гидротехнических сооружений, су-кающих или вовсе отделяющих какую-то часть водоема, с целью улучшения в нем экологической ситуации или повышения каких-то эго экономических показателей.
Однако, реализация таких проектов без научно-обоснованной экспертизы может привести к необратимым явлениям в гидрологин зодоема. Поэтому, знание пространственно-временного распределения я изменения гидрофизических характеристик водоема необходимо при экспертизе.
Таким образом, методология математического моделирования, предложенная и обоснованная академиком Л.А.Самарским, является гем инструментом научных исследований, который позволяет дать научно-обоснованную оценку тех или иных мероприятий, их экологических последствий и экономической эффективности.
Цель работы. Целью работы является создание, обоснование и численная реализация на ПЭВМ математической модели гидрофизики мелких водоемов, основанной на применении метода сеток для решения системы квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в частных производных в многосвязной области произвольной формы с краевыми условиями I—III рода на границе.
В качестве примера использования математической модели рассмотрено Азовское море, для которого предлагаются различные проекти рекострукции его экосистемы.
Методы исследования. Основой теоретического исследования рассматриваемых разностных схем и итерационных методов их решения является операторный подход, предложенный академиком А.А.Самарским и развитый его учениками ""s>, а также общая теория устойчивости операторно-разностных схем 6), теория итерационных методов 7> и теория матриц 8>.
Научная новизна. Предложен новый способ построения разностных схем для систем квазилинейных дифференциальных уравне-
11.Самарский А А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1983, 616с.
2 .Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики.- П.: Наука, 1975, 351с.
3).Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.- Ы.: Наука, 1976, 352с.
4>.Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы.- Диф. ур-ния, 1981, т.17, Н7, с 1317-1327
5,.Арделян Н.В., Космачевский К.В., Черниговский СВ. Вопросы построения и исследования полностьо консервативных разностных схем магнитной газовой динамики.-П.: Изд.МГУ, 1987, -112с.
6'.Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. -U.: Наука, 1973, 415с.
.Самарский А.А., Николаев Е.С. Ыетоды решения сеточных уравнений. - Ы., Наука, 1978, - 592 с. '.Маркус U., Цинк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам.- Ы . Наука, 1972, 232с.
ний специального вида [1], к которым, в частности, относится преобразованные уравнения мелкой воды, где разностные операторы по пространству обладают некоторыми наперед заданными свойствами (диссипативность, кососимметрия, монотонность). При разносе нелинейных членов на разные слои по времени и использования неявной разностной схемы удается показать, что в случае применения центрально-разностной схемы разностное решение ограничено, а в случае использования схемы с весами для проти-волотоковой аппроксимации задачи при <г * 1/2 выполняется необходимое условие устойчивости.
Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений с несимметричной исходной матрицей было разработано в рамках теории итерационных методов т> несколько вариантов треугольного 12,4,6,9) и попеременно-треугольного итерационных методов, являющихся для несимметричного случая аналогом метода Зейделя и ПТМ.
Достоинство и новизна предложенных методов в том. что найденный вид оператора В, обеспечивает анализ методов в рамках "энергетического подхода" , в отличии от сходных исследований *>-1С>) в рамках "спектрального подхода", который менее конструктивен.
Кроме того, отличительной особенностью треугольных методов является экспериментально наблюдающаяся быстрая сходимость на начальных итерациях, что позволило использовать для их ускорения многосеточную процедуру {11, 14 J. Предложенный вид несамосопряженного попеременно-треугольного оператора В, позволил использовать его в качестве переобуславливателя при решении сильно несимметричных задач методом GMRES (т), что повысило эффективность этого алгоритма.
Для реализации в виде ППП этих алгоритмов был проведен модульный анализ итерационных схем [51, используемый в дальнейшем для построения ППП по принципу "сверху-вниз" [8, 10J и
". Albrecht P., Klein М.Р. Extrapolated iterative methods for linear systems.-SIAM J.Humer. Anal., 1984, v.21, 1, p.192-201
10>.Hadjidimos A. Accelerated overrelaxation method.-Math. Сотр. , 1978, v'.32, p. 149-157.
создан ППП "ЭКОМОД", предназначенный для решения задачи математического моделирования гидрофизических характеристик мелкого водоема.
Практическая и теоретическая ценность. Предлагаемый под ход к построению, разностных схем может быть применен не ТОЛЬКі для решения уравнений "мелкой воды" [3], но и к другим задачам, уравнения которых удовлетворяют условиям, описанным в [1 Используемый для оценки роста разностного решения метод расширяет набор уже известных методов исследования устойчи вости разностных схем, а предложенные для решения систем ли нейных алгебраических уравнений с несамосопряженнон исходно; матрицей итерационные методы, представляют самостоятельный ин терес и могут быть использованы при составлении ППП дл: численного решения задач линейной алгебры.
Расчеты течений, перепада уровня и распространения заг-рязнения в Азовском море, проведенные с помощью ППП "ЭКОМОД" сравнивались с результатами натурных наблюдений и показали хо рошее количественное и качественное совпадение. После такс: проверки адекватности математической модели и алгоритмов е реализации, были проведены расчеты гидрофизических характеристик Азовского моря, моделирующие два варианта построил дамбы в гирле Таганрогского залива [7] и в Керченском пролив [9], что позволило провести научно-обоснованную экспертиз; этого проекта.
Реализация результатов работы. Математическая модель гид рофизикл мелкого водоема реализована в виде пакета прикладна программ, написанного на языке PASCAL для ПЭВМ [12]. Модульна структура пакета и развитый интерфейс с пользователем позволп ет проводить на нем экспертизу различных вариантов реконструк ции экосистемы мелкого водоема.
В качестве исходных данных вводится геометрия конкретног водоема, значения глубин в узлах сетки, аппроксимирующей это водоем, указываются точки впадання рек и участки открытой гра ницы, задаются расходы и ширина рек, скорость и направлена ветра над водоемом, шаги сетки по пространству и времени, на чальное состояние переменных, используемых в расчете [13 J .
В случае моделирования каких-то гидросооружений в водое ме, указываются точки сетки, через которые они проходят,
правила их эксплуатации формализуются в специальном алгоритме, описывающим их функционирование [15].
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на международных конференциях:
IFIP 1TG 2.5 Working Conference 6, 1991 (IFIP)
Math. Modelling and Appl. Math., 1992 (IMACS)
Int. Syfnp. on Hyd. , Chem. and Biol. Proc. of Transform, and Transport of Cont. in Aquatic Environments, 1993 (IAHS)
на Всесошных, Республиканских и региональных конференциях и школах-семинарах:
Численные методы механики вязкой жидкости, г. Кунгур, 1976
Математическое моделирование и проблемы рационального природопользования, п.Абрау-Дюрсо, 1986-1992
Географические и экономические проблемы изучения и освоения южных морей, г.Ленинград, 1987
научная сессия Даг. филиала АН СССР, г.Махачкала, 1988
Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС, г.Рига, 1990
Комплексы программ математической физики, г.Ростов н/Д, 1990
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент, г. Казань-, 1991
Численные методы механики вязкой жидкости, г.Новосибирск, 1992
а также на научных семинарах:
лаборатории разностных методов ВМК МГУ, 1981 (рук. с.н.с. Е.С.Николаев)
кафедры вычислительной математики КГУ, 1986 (рук. проф. Д.Д. Ляшко)
отдела численных методов института математики АН БССР, 1987 (рук. проф.В.М.Абрашин)
ВЦ СО АН СССР, 1991 (рук. проф. В.В.Шайдуров)
ИММ РАН, 1994 (рук. акад.А.А.Самарский)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы.
Структура и об"ем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, изложена на 245 страницах машинописного текста, включает 46 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 2?5 наименований.
