Содержание к диссертации
Введение
1 Двумерная плоская задача 25
1.1 Постановка задачи 25
1.2 Построение математической модели 27
1.2.1 Вывод модельных уравнений дисперсии 27
1.2.2 Исследование гидродинамической подсистемы 32
1.2.3 Исследование задачи для концентрации 36
1.3 Конечноэлементная формулировка задачи определения концентрации 38
1.3.1 Сведение области к прямоугольной 39
1.3.2 Вывод уравнений для конечных элементов 40
1.3.3 Вычисление матриц конечных элементов 44
1.4 Анализ результатов численных расчетов . 48
1.4.1 Сравнение с известными экспериментальными данными. 57
2 Трехмерная осесимметричная задача . 59
2.1 Постановка задачи. 59
2.2 Построение математической модели 61
2.2.1 Вывод модельных уравнений 61
2.2.2 Исследование гидродинамической подсистемы 65
2.2.3 Исследование задачи для концентрации 68
2.3 Конечноэлементная формулировка задачи определения концентрации
2.3.1 Сведение области к прямоугольнику. 70
2.3.2 Вывод уравнений для элементов 71
2.3.3 Вычисление матриц элементов 73
2.4 Анализ численных расчетов 75
2.5 Сравнение с известными экспериментальными данными 76
3 Трехмерная задача 78
3.1 Постановка задачи 78
3.2 Построение математической модели 80
3.2.1 Вывод уравнений базовой модели дисперсии 80
3.2.2 Исследование гидродинамической подсистемы. , 85
3.2.3 Исследование задачи для концентрации. 90
3.3 Пример русла особого вида 92
3.4 Численное решение 93
3.4.1 Вычисление матриц элементов 96
3.5 Анализ результатов численных расчетов 99
4 Заключение 106
Список литературы 107
Приложение 122
- Исследование гидродинамической подсистемы
- Анализ результатов численных расчетов
- Конечноэлементная формулировка задачи определения концентрации
- Вывод уравнений базовой модели дисперсии
Введение к работе
Актуальность разработки математических моделей, описывающих процесс распространения вещества в потоке, обусловлена широким их применением при изучении различных технических и природных процессов. Например, при планировании водохозяйственных мероприятий необходим контроль за ПДК и количественная оценка качества воды, что требует анализа динамики загрязнения и самоочищения в водоёмах. При этом процесс разбавления и переноса вещества является наиболее существенным фактором снижения концентрации загрязнений в водной среде. Другой пример - оценка последствий аварий, связанных с попаданием токсичных загрязняющих веществ в открытые водоемы. Таким образом, математические модели, описываю- -щие процесс рассеяния примеси в водных потоках, играют важную роль в системах прогнозирования и наблюдения за качеством поверхностных вод, а также при оценке антропогенного воздействия на водные экосистемы.
Детальный учет процессов распространения вещества в потоке в общем случае требует решения начально-краевых задач для двух- и трехмерных уравнений Навье-Стокса и конвекции-диффузии, что представляет собой весьма трудоёмкую задачу, требующую привлечения значительных вычислительных ресурсов. Особенностью многих естественных водотоков (реки, каналы) является их протяженность, слабая искривленность и относительная мелководность. Это может быть использовано для значительного упрощения математического описания рассматриваемых процессов без существенной потери точности результатов, поэтому задача построения редуцированных моделей, адекватно описывающие процесс рассеяния примесей, оказывается весьма актуальной.
Целью исследования является построение и анализ редуцированных математических моделей процесса распространения вещества в стационарных, протяженных слабоискривленных потоках вязкой жидкости; получение модели, позволяющей адекватно описать процесс рассеяния примеси без необходимости решения системы нелинейных уравнений в частных производных.
Для получения таких редуцированных моделей применяется метод малого параметра, в качестве которого используется величина, характеризующая геометрическую форму потока. В предположении пассивности примеси в полученных моделях удается найти явное решение для поля скорости и давления. Уравнение распространения вещества решается численно, с помощью метода конечных элементов.
Исследование гидродинамической подсистемы
При моделировании распространения примеси на отдельном участке реки наиболее часто применяются двумерные плановые модели [28], [36], [87], [88], [99], [94], [102], [109], [111], [112], [126]. Концентрация вещества при этом полагается постоянной по глубине. Такая двумерная постановка очень близка к задаче о рассеянии примеси в потоке жидкости через осесимметричную трубу, которой посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ [54], [77], [83], [84], [91], [92], [98], [117]—[119]. В рамках настоящей работы были получены упрощенные модели как для двумерной, так и для осесимметричной задач.
Систематическое изучение диффузии вещества в протяженных потоках началось с работ Тейлора [117]—[119]. В [117], [118] были опубликованы данные экспериментов по распространению перманганата калия в воде, протекающей через прямую длинную трубку. Рассматривались как ламинарные [117], так и турбулентные [118] течения. Было установлено, что степень продольного рассеяния примеси определяется двумя факторами: молекулярной диффузией и неоднородностью конвективного переноса вещества, вызванного зависимостью продольной скорости от радиальной (поперечной) координаты. Радиальный сдвиг скорости приводит к резкому усилению продольной дисперсии, в то время как поперечная диффузия, наоборот, задерживает продольное рассеяние вещества. Для ламинарного течения в прямой круглой трубе эффективный коэффициент продольной дисперсии К равен, согласно работам Тейлора [117] и Ариса [77]: где R— радиус трубы, Ucp — средняя скорость течения жидкости. Поскольку значение К нетрудно определить экспериментально [54], то использование формулы (0.8) позволяет получить коэффицент молекулярной диффузии D. Обсуждению такого метода измерения D посвящена статья [119]
В работе Ариса [77] задача о тейлоровской дисперсии исследовалась с помощью метода моментов. Из уравнения конвекции-диффузии были получены уравнения для моментов распределения примеси, которые можно решать последовательно при начальных и граничных условиях, следующих из уравнения для концентрации. Окончательные результаты при этом совпадают с результатами Тэйлора.
В дальнейшем эта задача, получившая название "задачи о тейлоровской дисперсии" (Taylor dispersion problem), исследовалась многими авторами. В [83], [84] изучено продольное рассеяние примеси на начальных этапах после ввода вещества в поток. В [94], [126] рассматривается двумерная плановая задача о распространении примеси в канале. При этом вводится криволинейная система координат, переводящая произвольную область течения в прямоугольник. В [94] проведено экспериментальное исследование процесса для канала синусоидальной формы. В [126] учитывается влияние распределения глубин в канале на процесс рассеяния вещества. В работе [122] предложен явный численный метод (метод дробных шагов) решения двумерной задачи распространения вещества в искривленном канале. В [99] проведено сравнение численных результатов, полученных этим методом с экспериментальными данными для канала синусоидальной формы, которое показало хорошее совпадение результатов. В [124] рассмотрена двумерная модель распространения вещества от линейного источника, помещенного вдоль русла. Исследование проведено для стационарного и осциллирующего течений. При этом рассматривается продольное вертикальное сечение потока.
В работах Смита [107], [108], [110], [Ш], [112], предложены различные модели для описания процесса переноса примесей в реках и в прямых трубках. В [107] теоретически проанализировано влияние граничной адсорбции на рассеяние примеси в речном канале со сдвигом. В [108] приводятся математические преобразования, с помощью которых на основании натурных данных о концентрации примеси, полученных в разное время в одной точке можно построить аналитическую аппроксимацию. В [110] задача о распространении вещества в трубке исследуется методом моментов, предложенным Арисом [77]. В [111] рассмотрена зависимость степени разбавления примеси от места расположения источника загрязняющих веществ в реке и наличия притоков. В [112] изучен случай источника с меняющейся во времени интенсивностью.
Ряд работ [91], [92], [102], [104] посвящен получению асимптотических приближений к решению двумерного уравнения конвекции-диффузии. В [102], [104] такое приближение получено с помощью метода центрального многообразия (соответственно для каналов со слабо и сильно меняющейся шириной вдоль течения). В [91], [92] предложен метод, в основе которого лежит введение двух масштабов времени и представление решения в виде суммы двух функций, одна из которых описывает рассеяние примеси вскоре после начального момента времени, а вторая — после того, как примесь равномерно распределится по ширине потока в результате диффузии. В [115] для анализа асимптотического поведения распределения концентрации предлагается использовать интегральные преобразования (Лапласа по времени и Фурье в направлении течения).
Анализ результатов численных расчетов
В отличие от одномерного случая определение даже стационарного двумерного поля скорости сопряжено со значительными трудностями. Поэтому в упомянутых выше работах постановка задачи, как правило, ограничивается уравнением для концентрации с соответствующими начально-краевыми условиями, при этом скорость потока входит в уравнение как заданное векторное поле. Такой подход вполне оправдан, например, для труб постоянного сечения или прямых каналов, когда известно точное решение уравнений Навье-Стокса. Для специальных случаев, в частности труб переменного сечения, следует, наряду с уравнением для концентрации, рассматривать и уравнения Навье-Стокса. В статьях [87], [88], [109] предлагаются промежуточные решения. В [87], [88] двумерная область потока делится на зоны, в каждой из которых гидродинамические характеристики водотока считаются постоянными. В [109] предлагается дополнять уравнения переноса членами, которые суммарно учитывают сложную форму водотока.
В общем случае для определения поля скорости необходимо численно решать двумерные уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности или уравнения движения жидкости записанные в терминах функция тока - вихрь. Монографии [39], [63] посвящены численному решению таких задач методами конечных элементов и конечных разностей соответственно. Численному определению поля скорости в двумерных потоках или трубках посвящены работы [89], [123], [127], [128]. Однако расходы на получение численного решения весьма велики, при этом зачастую точность входных данных для экологических задач, гораздо ниже достижимой численной точности. Поэтому большое значение имеют методы, позволяющие получить приближенное поле скорости в явном виде.
Одним из таких методов исследования течений в трубах и открытых потоках является метод малого параметра. Впервые эта техника для труб переменного сечения была применена Блазиусом [82]. Решение разыскивается в виде степенных рядов по малому параметру, которые затем подставляются в исходные уравнения. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра получают набор краевых задач для членов степенных рядов, для которых можно найти аналитическое решение. Решение для каждого последующего приближения определяется с учетом предыдущего. В работах [60], [61], [95], [96], [97], [101], [121] рассматриваются различные модификации метода малого параметра. В качестве малого параметра выступает величина, связанная с геометрическими характеристиками области течения. В [60] рассматривается течение вязкого газа в [101] — стационарного, а в [95] — осциллирующего потока вязкой жидкости через осесимметричные трубки. В [97], [121] найдено асимптотическое решение для течений в трубке, полученной вращением поперечного сечения при движении вдоль оси. Представляет интерес применение малого параметра для совместной системы уравнений Навье-Стокса и уравнения для концентрации. Это позволяет согласованно проводить асимптотические разложения и последовательно получать приближения для скорости и концентрации одного порядка. Такой подход применен в [12], [17], [98]. В [98] рассматривается распространение вещества в трубе, полученной движением окружности вдоль спирали. Для получения приближенного решения методы, предложенные в работах [82] и [92] используются совместно. В [12], [17] рассматривается двумерное распространение вещества в реке в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно.
Как показывают натурные эксперименты, неравномерное распределение глубин в водотоке оказывает существенное влияние на процесс рассеяния примеси [53]. Для учета этого фактора на практике используются квазитрехмерные модели. Примесь предполагается равномерно распределенной по глубине потока, а в качестве модельного берется двумерное плановое уравнение диффузии. Однако скорость при этом предполагается зависящей от глубины h(x,y) в данной точке потока, т.е. и = u(x,y,h(x,y));v = v{x,y,h(x,y)). Такой подход позволяет рассматривать влияние на процесс распространения загрязняющих веществ неравномерной глубины потока [4], [23], [25], [76]. Другой подход состоит в том, что неравномерность распределения скорости в зависимости от глубины потока компенсируется изменением величины коэффициента турбулентной диффузии Dy [53], [75], [102]
Трехмерные модели. С увеличение размерности задачи резко возрастает сложность модели. Во-первых, как уже неоднократно отмечалось, увеличиваются вычислительные трудности. Во-вторых, повышаются требования к точности входных данных. Получение детальной трехмерной картины начального распределения вещества или подробной карты дна потока для природных объектов является весьма непростой задачей.
Таким образом, с учетом возрастающей погрешности в начальных данных переход от двумерной задачи к трехмерной не всегда ведет к существенному повышению точности. По этой причине в задачах речной экологии трехмерные модели применяются относительно редко [18], [31], [32], [53], [67], [105].
В работах [103] и [98] рассматривается распространение вещества в трубах с существенно трехмерной геометрией. Отметим, однако, что, в отличие от двумерного случая, трехмерное распространение вещества в речных потоках значительно отличается от рассеяния примеси в трубах. Это связано с тем, что поперечное сечение речного русла имеет различные масштабы в вертикальном и горизонтальном направлениях. Отношение между характерной глубиной и характерной шириной в реках колеблется в пределах 0.1-0.005 [21], [62], В силу этого горизонтальное перемешивание примеси в естественном потоке гораздо слабее вертикального [71]. Эксперименты показали, что в реках полное вертикальное перемешивание осуществляется в пределах первого километра, а в ряде случаев и на меньшем расстоянии [125], в тоже время натурные исследования смешения вод рек Маккензи и Большая Медвежья показали, что полное горизонтальное перемешивание наблюдается лишь на расстоянии 500 км. от места слияния обеих рек [100]. При этом в горизонтальном перемешивании главную роль играет не диффузия, а конвективный перенос. Особые трудности при трехмерном моделировании возникают в связи с необходимостью определения трехмерного поля скорости, которое оказывает существенное влияние на процесс распространения вещества [90]. Поэтому часто рассматривают упрощенное уравнение конвекции-диффузии вида [31], [53], [67].
Конечноэлементная формулировка задачи определения концентрации
В общем случае при решении полной трехмерной задачи поле скорости необходимо определять из системы (0.1)-(0.4), к которой также добавляется уравнение для свободной поверхности. Поскольку построение теории вязких жидкостей фактически сводится к всестороннему исследованию уравнений Навье-Стокса [40] система (0.1)-(0.4) хорошо изучена [40], [43], [54], [70]. Существует множество алгоритмов получения численного решения этой системы, основанных на методах конечных элементов [33], [39] или конечных разностей [63]. Однако затраты на получение такого решения весьма высоки, при этом в задачах водной экологии точность этих методов зачастую значительно превосходит точность доступных исходных данных. Так, например, для нестационарной задачи трудности с определением начальных условий возникают уже для одномерного случая [26]. По этой причине упрощенные модели, полученные при некоторых предположениях и позволяющие получить приближенное поле скорости в явном виде, имеют большое значение. Как и в двумерном случае, с этой целью можно использовать метод малого параметра. В [5], [62] с помощью этого метода получена упрощенная модель для течения на повороте открытого русла. В качестве малого параметра взято отношение характерной глубины потока к его ширине. Рассмотрены русла с различной формой поперечного сечения и для некоторых из них получены явные формулы для приближенного поля скорости. Результаты работы [62] используются в [67] при моделировании распространения вещества на повороте водотока.
В [105] исследуется рассеяние плавучей примеси в мелководном канале. При этом вводится еще один малый параметр — отношение характерной глубины потока к длине рассматриваемого участка. Решение ищется в виде рядов по степеням обоих параметров. Исследовано влияние плавучести на характер продольной дисперсии.
Имитационные модели распространения примеси в водных потоках играют важную роль при оценке качества воды и величины антропогенного воздействия на состояние водной среды. В основе большинства таких моделей лежит численное решение уравнения турбулентной диффузии. Размерность используемой модели зависит от целей, для которых она предназначена. Если объектом моделирования является очень длинный участок потока, система каналов или эстуарий, то, как правило, ограничиваются одномерной моделью. Если представляет интерес распределение примеси по ширине потока применяют двумерные модели. Трехмерные модели обычно используют при учете влияния осаждения, рельефа дна и при моделировании процессов, происходящих вблизи гидротехнических сооружений. При решении уравнения турбулентной диффузии необходимо иметь информацию о поле скорости потока, которая определяется либо с помощью натурных экспериментов, из эмпирических формул или в результате численного решения уравнений Навье-Стокса. В последнем случае вычислительная сложность задачи резко возрастает, при этом достижимая численная точность много больше точности имеющихся начальных экспериментальных данных. Поэтому особое значение имеют упрощенные модели для определения поля скорости.
Характерной особенностью речных потоков является их большая протяженность и малая, по сравнению с шириной, глубина. Это позволяет получить упрощенные модели процесса распространения вещества с помощью метода малого параметра. Его применение к уравнениям Навье-Стокса позволяет найти явные формулы для компонент скорости, наиболее сущест- -, венных для данной геометрии потока. Применение метода к уравнению турбулентной диффузии дает редуцированное уравнение, которое в двумерном случае совпадает с уравнением, полученном Тейлором в результате экспериментальных исследований.
Развита методика вывода уравнений математических моделей, описывающих перенос пассивной примеси стационарным протяженным слабо искривленным потоком вязкой жидкости, основанная на методе малого параметра. Предложенный подход позволяет свести исходную (нелинейную) систему уравнений к последовательности редуцированных уравнений типа конвекции-диффузии с известным полем скорости. На основе предложенной методики получены и исследованы математи ческие модели для следующих случаев: двумерного потока, заданного своей горизонтальной проекцией. осесимметричного потока через трубу кругового сечения переменного радиуса. трехмерного мелководного потока в открытом канале с недеформи-руемой свободной границей (исследован случай русла специального вида). В первом и втором случаях получены и исследованы также уравнения второго приближения. Доказаны основные теоремы о характере решений. 3. На основе разработанных компьютерных программ проведено деталь ное численное исследование полученных моделей. Особое внимание уделено изучению влияния на рассеяние вещества коэффициента по перечной диффузии, а также (для последней модели) воздействия на пряжений, заданных на поверхности потока.
Вывод уравнений базовой модели дисперсии
Как видно из результатов, при больших значения параметра Ре (порядка 104), из-за преобладания в уравнении (1.86) эллиптической части, наблюдается некоторая численная неустойчивость, которая проявляется в виде "второй волны". Эта неустойчивость может быть преодолена уменьшением шага по времени [69].
Рис.8 показывает зависимость результатов численных расчетов от плотности пространственной сетки при одинаковом шаге по времени для различных значений параметра Ре. На рис. 9 приведены графики зависимости концентрации вещества на оси потока у — О относительно подвижного сечения х — u{x)t в различные моменты времени при различных значениях параметра Ре. Здесь й(х) = l/{2h(x)) — средняя скорость потока в сечении с координатой х. Численные эксперименты показали, что в случае сильной поперечной диффузии можно использовать сетку по пространству с большим шагом, чем при слабой диффузии.
На графиках рис.10 показано изменение со временем количества итераций, необходимых для достижения требуемой точности. Как видно, при сильной и умеренной диффузии (Ре 10) количество итераций со временем заметно уменьшается. Рис. 12-15 показывают влияение на распространение вещества диффузионного числа Пекле и формы русла. Во всех расчетах использовалось начальное распределение (1.84) с параметрами /= 0.09, ж = 0.12. Расчетная область разбивалась сеткой 161 х 321 с шагом по пространству 0.00625. Шаг по времени был выбран равным 0.005, что обеспечивало устойчивость численного решения для всех рассматриваемх значений параметра Ре.
На рис.12 изображены поля распределения концентрации для различных значений параметра Ре в момент завершения расчета t = 0.9. Значения числа Пекле менялось от 1000 до 0.5. На рис. 13 показан процесс распространения вещества (представлены поля концентрации в различные моменты времени) при наибольшем и наименьшем значениях параметра Ре. На рис. 14 показаны графики распределения базового поля концентрации и поправки к ней в различные моменты времени и для различных значнений Ре. В таблицах 1-6 представлены значения базовые поля концентрации и поправки в момент t — 0.9 и для различных значений параметра Ре. Из результатов расчетов видно, что при незначительной диффузии (Ре 1) распределение вещества определяется течением жидкости. Такой результат полностью совпадает с ожидаемым (напомним, что в экспериментальных методиках визуализации течений в качестве маркеров применяют слабодиффундирующие вещества). При существенном влиянии диффузии (Ре 1) можно приближенно считать, что вещество равномерно распределено по ширине потока в пределах полосы, которая движется со средней скоростью потока. Такая картина наблюдалась и в экспериментах Тэйлора [117], [118], в которых исследовалось распространение перманганата калия в потоке через узкие трубки при малых скоростях. В расчетах также наблюдалось, что увеличение поперечной диффузии препятствует продольному рассеянию примеси, что соответствует данным [54]. Для промежуточных значений параметра Ре процессы конвективного переноса по продольному направлению и поперечной диффузии конкурируют, и мы наблюдаем сложную картину распределения вещества в потоке. Рис.15 демонстрирует влияние формы русла на распространение вещества. На нем изображено поле распределения концентрации в момент окончания расчётов. Параметр Ре во всех расчётах был равен 10. На основе предложенного подхода был проведен вычислительный эксперимент, моделирующий распространение загрязнения в течении реки Дон на участке от железнодорожного моста (места впадения реки Темерник) до моста по ул. Всесоюзная. На рис.16 и 17 приведены фрагмент карты-схемы рассматриваемого участка и его аппроксимация, полученная по восьми опорным точкам. Длина рассматриваемого участка L и его характерная полуширина Я принимались равными 5500м и 120м соответственно; таким образом малый параметр е = 0.0218. Характерная скорость течения U полагалась равной 0.5м/с [65]. Начальное распределение примеси имеело вид (1.85). Представлены результаты расчётов для двух случаев: 1) залповый сброс загрязняющих веществ с сильной диффузией (Ре = 1) из одного источника у берега (рис.16); 2) сброс примеси с умеренной диффузией (Ре = 10) из двух источников, расположенных у берега и вблизи центральной линии потока (рис.17). На рис. 18 показано сравнение результатов, полученных с помощью численного решения базовой и уточняющей задач, с экспериментальными данными, приведенными в работе [99]. В работе [99] рассматривался канал синусоидальной формы с полушириной 0.145м и длиной 20м. Длина волны равна 1.9м, амплитуда — 0.29м. Глубина русла изменялась вдоль потока. Измеренная средняя скорость течения U равнялась 0.35м/с, расход Q был равен 0.00396лі3/с. Примесь вносилась в начальный момент времени на расстоянии 0.16м от входного сечения потока и на расстоянии 0.153м от левого берега. Коэффициент поперечной диффузии используемой примеси соответствовал значению параметра Ре — 1.13, что отвечает случаю сильного перемешивания вещества. На рис. 18 показаны изменения с течением времени значения концентрации примеси в отдельных точках потока. Приведены данные эксперимента и данные, полученные в результате моделирования процесса. Как видно из графиков, на начальном этапе распространения примеси наблюдается расхождение между расчетными и экспериментальными результатами. Это связано с тем, что модель не учитывает центробежные силы, возникающие из-за искривления русла.
