Содержание к диссертации
Введение
1. Вывод уравнений динамики геометрически нерегулярной пластины и геометрически нерегулярной оболочки вращения 20
1.1. Вывод уравнений динамики упругой пластины с односторонними ребрами жесткости 20
1.2. Вывод уравнений динамики цилиндрической оболочки с внешними шпангоутами 30
2. Гидроупругость гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости 39
2.1. Основные положения и допущения 39
2.2. Физическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости 45
2.3. Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости 49
2.4. Формулирование задачи в безразмерном виде 56
2.4.1. Переход к безразмерным переменным и выделение малых параметров задачи 56
2.4.2. Гидромеханическая сила, действующая на вибратор опоры со стороны слоя жидкости 61
3. Решение связанных нелинейных уравнений гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором 63
3.1. Выбор метода решения нелинейной задачи гидроупругости геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости 63
3.2. Решение задач гидроупругости геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений 65
3.3. Асимптотическое разложение гидромеханической силы, действующей со стороны сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости на абсолютно жесткий вибратор опоры 68
3.4. Определение гидродинамического давления в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости 69
3.5. Определение упругих перемещений геометрически нерегулярного статора опоры 71
3.6. Определение гидромеханической силы, действующей на абсолютно жесткий вибратор опоры. Закон движения вибратора опоры 76
3.7. Амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и статора опоры 78
3.8. Решение динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим геометрически регулярным статором 80
3.9. Исследование резонансных колебаний вибратора и статора 86
4. Гидроупругость цилиндрической оболочки со шпангоутами и геометрически регулярной цилиндрической оболочки при пульсирующем течении жидкости внутри неё применительно к длинным трубопроводам 101
4.1. Основные положения и допущения 101
4.2. Физическая модель цилиндрической оболочки со шпангоутами при пульсирующем ламинарном течении жидкости внутри нее применительно к трубопроводам 103
4.3. Математическая модель цилиндрической оболочки со шпангоутами при пульсирующем ламинарном течении жидкости внутри нее 106
4.4. Переход к безразмерным переменным и выделение малых параметров задачи 111
4.5. Решение связанных нелинейных уравнений гидроупругости цилиндрической оболочки со шпангоутами при пульсирующем ламинарном течении жидкости внутри неё применительно к трубопроводам методом возмущений 114
4.6. Решение связанных нелинейных уравнений гидроупругости цилиндрической оболочки при пульсирующем ламинарном течении жидкости внутри неё применительно к трубопроводам 129
4.7. Исследование амплитудных частотных характеристик геометрически регулярной цилиндрической оболочки и цилиндрической оболочки со шпангоутами при пульсирующем течении жидкости внутри 136
Заключение 149
Список литературы
- Вывод уравнений динамики цилиндрической оболочки с внешними шпангоутами
- Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости
- Решение задач гидроупругости геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений
- Физическая модель цилиндрической оболочки со шпангоутами при пульсирующем ламинарном течении жидкости внутри нее применительно к трубопроводам
Введение к работе
Запросы современного машино- и приборостроения ведут к необходимости построения математических моделей систем упругая тонкостенная конструкция-жидкость-твердое тело и исследований на их основе динамических задач гидроупругости. Это связано с тем, что современные машины, приборы и агрегаты, как правило, представляют собой механические системы, включающие в себя абсолютно жесткие, упругие тела и жидкости, со сложными динамическими взаимосвязями между ними. Текущий уровень развития машино- и приборостроения не мыслим без широкого использования в качестве основных элементов машин и приборов, испытывающих динамические нагрузки, упругих тонкостенных пластин и оболочек. Данные тонкостенные элементы в зависимости- от конструкционных и технологических особенностей изделий могут быть подкреплены ребрами жесткости. Такие решения позволяют сохранять необходимую прочность важнейших узлов изделий, а также обеспечивать уменьшение материалоемкости, габаритов и массы машин и приборов, увеличение теплообмена с окружающей средой. Например, пластинка или оболочка могут иметь технологические ребра жесткости для обеспечения жесткости конструкции, отвода тепла или закрепления на них других элементов конструкции. Следует также отметить, что во многих машинах и приборах также широко применяются различные рабочие жидкости с целью снижения трения, охлаждения, восприятия динамических нагрузок, поплавкового или гидродинамического1 подвеса, демпфирования колебаний и ударных нагрузок и т.д.
В конструкциях различных реальных изделий, жидкость, как правило, находится во взаимодействии с упругими тонкостенными элементами [3, 4, 12-17, 19, 20, 24, 31, 32-34, 41-44, 47-51, 53, 55, 56-61, 64, 65, 76, 80-87 92-106, 111, 116-119, 121, 122, 124-129, 131]. При этом условия эксплуатации различных машин и приборов сопряжены со значительными вибрационными и ударными нагрузками. Поэтому в машино- и приборостроении находят широкое применение различные системы виброгашения на базе гидродинамических демпферов и виброопор. В связи с этим актуальным становится проведение исследования динамики взаимодействия ребристых тонкостенных конструкций, входящих в состав гидродинамических демпферов и опор с рабочей жидкостью. Таким образом, уже на этапе проектирования систем виброгашения возникает потребность в расчете и оценке поведения системы ребристая пластина-жидкость при динамических нагрузках, а это сопряжено с постановкой и решением динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера, в состав которого входит ребристая тонкостенная конструкция.
Одними из основных элементов конструкций современных машин, приборов и различных инженерных сооружений являются трубопроводы. Они служат для подвода (отвода) различных жидкостей. Например, это трубопроводы систем гидропривода, систем охлаждения, систем, смазки, систем подачи топлива, систем дозирования и т.д. В большинстве случаев данные трубопроводы состоят из цилиндрических труб с круглым поперечным сечением. При этом толщина стенок трубопроводов значительно меньше их радиуса, т.е. стенки трубопроводов обладают упругой податливостью, а трубопроводы можно рассматривать как цилиндрическую оболочку [33, 34, 56-58, 60-61, 87, 95, 98, 119, 124, 128, 131]. В ряде случаев указанные трубы могут иметь внешние ребра жесткости в виде шпангоутов. Ребра жесткости могут выполняться для увеличения жесткости трубопровода, а также иметь технологический характер, например, для крепления других элементов конструкции, осуществления теплообмена,и т.д. Рассматривая движение жидкости по трубопроводам машин и» приборов можно отметить, что ламинарное движение жидкости по круглым цилиндрическим трубам достаточно широко распространено в различных отраслях современного машино- и приборостроения. Например, с указанным случаем приходится иметь дело в системах гидропривода, системах дозирования, подвода топлива и т.д. [21, 55, 83, 95, 98, 99, 116]. При этом давление в ламинарном потоке может иметь гармоническую составляющую (пульсировать) за счет особенностей работы насосов [21, 55, 60, 61, 74, 87, 95, 98]. Это может приводить к возникновению существенных вибраций трубопроводных систем. На резонансных частотах упругие перемещения стенок трубопроводов будут максимально возможными, а это может приводить к появлению разрывов в жидкости и возникновению вибрационной кавитации в проходящем потоке жидкости. В результате этого могут наблюдаться кавитационные повреждения стенок трубопровода [18, 21, 28, 46, 55, 59, 63, 83, 91, 97, 98, 108, 111, 123].
С учетом сказанного, можно констатировать, что исследование динамики взаимодействия пульсирующего ламинарного потока жидкости с цилиндрической оболочкой, по которой он движется, является актуальной для современного машино- и приборостроения.
Следует отметить, что описанный выше вид кавитационного износа часто встречается на поверхностях деталей, работающих в различных условиях, и в жидкостях с различными физическими свойствами. Например, кавитационные разрушения, вызванные вибрацией деталей, встречаются на поверхности коренных и шатунных подшипников, на деталях топливоподающей системы, в насосах и т.д. [21, 28, 55, 83, 111]. Поэтому необходима разработка методов, позволяющих определять условия возникновения вибрационной кавитации, что напрямую связано с постановкой и решением динамических задач гидроупругости.
Таким образом, представляет несомненный как научный, так и практический интерес математическое моделирование указанных процессов, таких как постановка и решение динамических задач гидроупругости геометрически регулярной и ребристой пластины применительно к, а также задачи гидроупругости ребристой оболочки применительно к трубопроводу, нацеленных на исследование проблем динамики и прочности в различных отраслях машино- и приборостроения.
На сегодняшний день известно значительное число работ [3, 4, 19, 20, 24, 26, 29, 31-34, 39-44, 47-51, 53, 56-61, 64, 66, 71, 80-87, 116-131], посвященных исследованию динамики взаимодействия твердых и упругих тонкостенных конструкций с окружающей средой. Однако в данных работах практически не рассмотрены задачи взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с геометрически нерегулярной пластинкой или оболочкой применительно к гидродемпферу и трубопроводу с пульсирующим ламинарным потоком.
Одной из первых работ, посвященных вопросу взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками, можно считать работу [15]. В ней рассмотрен вопрос о постановке задачи гидроупругости применительно к тонкому слою жидкости, находящейся в щелевом канале одна из стенок которого обладает упругой податливостью.
Приближенный учет влияния упругой податливости элементов конструкций, взаимодействующих с жидкостью, применительно к жидкостному демпферу поплавковых гироскопических приборов осуществлен в работах [65, 66]. В частности, в работе [65] проведено исследование влияния упругой деформации сильфона и кронштейна выносного элемента на вибрационные погрешности акселерометра. В работе [66] проводится приближенный учет упругой податливости корпуса поплавкового акселерометра. Прогиб корпуса прибора, в данной работе, моделируется при помощи двухзвенных балок с прямолинейными звеньями и точкой излома при жесткой заделке обоих концов.
В более общем виде постановка и решение динамических задач гидроупругости для жидкостных демпферов поплавковых приборов рассмотрена в работах [12-15, 17, 64, 83]. В указанных работах разрабатывался подход, связанный с совместным использованием теории цилиндрических оболочек [25, 38, 52, 89, ПО, 114] и современных методов гидродинамики [30, 69, 70, 72, 74, 115]. В рамках данного подхода упругие тонкостенные элементы конструкции прибора рассматриваются как цилиндрическая оболочка [12-15, 17, 64, 83]. При этом в указанных работах показано крайне существенное влияние упругой податливости элементов жидкостного демпфера прибора на его динамику и вибрационные погрешности.
Однако, целый ряд приборов имеет в своей конструкции поплавки с технологическими ребрами жесткости. Поэтому становится актуальной постановка более общей задачи - динамической задачи гидроупругости геометрически нерегулярной тонкостенной конструкции применительно к жидкостному демпфированию в поплавковых приборах навигации. Данная задача была рассмотрена в работах [81, 85] с помощью привлечения теории ребристых оболочек [2, 7, 8, 22, 23, 35, 36, 45, 54, 77-79, 109]. При этом показано, что наличие технологических ребер может сказываться как положительно, так и отрицательно на динамику и вибрационные погрешности приборов.
С другой стороны, в различных изделиях современного машино- и приборостроения находят широкое применение гидродинамические демпферы (опоры). В частности, в слабонагруженных устройствах приборного типа получили распространение так называемые гидродинамические демпферы (виброопоры) [101,103, 105, 107], работающие за счет периодических колебаний основания (вибростенда). В связи с этим представляют интерес исследования динамики данных опор с учетом упругой податливости элементов их конструкций, взаимодействующих с рабочим слоем жидкости. При этом, для рассмотрения наиболее общего случая необходимо проведение исследования с учетом возможности подкрепления упругих элементов демпфера ребрами жесткости.
При постановке указанной задачи необходимо учесть влияние, как вязкости жидкости, так и инерции ее движения. В ранних работах [39, 65, 66, 120] инерция движения поддерживающего и демпфирующего слоя жидкости либо совсем не учитывалась, что соответствует ползущим течениям при числе Рейнольдса стремящемся к нулю, либо учитывалась с помощью метода итераций, что соответствует малому по сравнению с единицей числу Рейнольдса.
В работах [9-11] применен метод осреднения инерционных членов уравнения динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Но данный метод эффективен при малых числах Рейнольдса. Более точно учет влияния инерции жидкости, осуществлен в работах [12-15, 17, 64, 83] для режима установившихся гармонических колебаний.
Задача установившегося ламинарного движения жидкости под действием гармонически изменяющегося перепада давления в цилиндрической трубе рассмотрена в [74]. В известной монографии [112] проведено исследование о приведении в движение покоящейся- в круглой цилиндрической трубе вязкой несжимаемой жидкости под действием внезапно приложенного заданного перепада давления. В указанных работах рассматривается осесимметричное ламинарное движение жидкости. При этом стенки трубы считаются абсолютно твердыми. Однако, хорошо известно, что толщина стенки трубы значительно меньше ее радиуса, а, следовательно, трубу необходимо рассматривать, как упругую цилиндрическую оболочку. Кроме того, упругая податливость труб подтверждается практикой. В связи с этим становится актуальным проведение исследования о динамике взаимодействия цилиндрической оболочки с пульсирующим ламинарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Кроме того, возможен случай, когда оболочка-труба имеет ребра жесткости на ее внешней поверхности. Данный случай актуален, так как на практике используют трубы, подкрепленные внешними ребрами жесткости [21, 95]. Ребра жесткости могут выполняться для увеличения жесткости трубопровода, а также иметь технологический характер, например, для крепления других элементов конструкции, осуществления теплообмена и т.д.
Учитывая вышесказанное, следует отметить, что запросы современного машино- и приборостроения приводят к необходимости построения математических моделей сложных механических систем, состоящих из разнородных тел, и имеющих в своем составе геометрически регулярные и нерегулярные упругие тонкостенные конструкции, взаимодействующие с жидкостью. Исследование данных моделей неразрывно сопряжено с необходимостью постановки и решения динамических задач гидроупругости тонкостенных конструкций подкрепленных ребрами жесткости.
Таким образом, можно определить цель исследования и сформулировать задачи исследования, направленные на постановку и решение динамических задач гидроупругости применительно к демпферам и трубопроводам, имеющим ребра жесткости.
Исследования, выполненные в работе, проводились в рамках комплексной- внутривузовской научно-технической программы СЕТУ 01В «Математическое моделирование в естественных науках», грантов РФФИ № 06-08-00043а и № 08-01-00290а и приняты для использования ФГУП «Саратовский агрегатный завод».
Цель работы. Построение математических моделей гидроупругости ребристых тонкостенных конструкций и исследование на их основе динамики гидродинамических демпферов и трубопроводов в условиях вибрациш
Согласно данной цели сформулированы задачи исследования:
1. Постановка динамических задач гидроупругости гидродинамического демпфера в виде опоры, в состав которой входит, тонкостенный статор, в том числе подкрепленный ребрами жесткости, а также разработка математической модели данной опоры в условиях воздействия вибрации.
2. Решение поставленных динамических задач гидроупругости гидродинамического демпфера в виде опоры с упругим тонкостенным геометрически регулярным или ребристым статором.
3. Постановка динамической задачи гидроупругости цилиндрической оболочки с внешними ребрами жесткости в виде шпангоутов, внутри которой происходит пульсирующее движение вязкой несжимаемой жидкости, а также разработка математической модели данной механической системы.
4. Решение поставленной динамической задачи гидроупругости цилиндрической оболочки, подкрепленной внешними шпангоутами, внутри которой происходит пульсирующее движение вязкой несжимаемой жидкости.
5. Исследование динамических характеристик гидродинамического демпфера с упругими геометрически регулярным и ребристым статором и трубопровода, подкрепленного внешними шпангоутами.
Научная новизна. Главной особенностью предлагаемой работы является, развитие нового подхода для исследования- динамики гидродинамических демпферов и трубопроводов, применяемых в машинах и приборах, на базе постановки и решения динамических задач гидроупругости тонкостенных геометрически регулярных и нерегулярных конструкций. Данный подход связан с построением и исследованием математических моделей сложных механических систем, состоящих из упругих тонкостенных конструкций, твердых тел и жидкости, наиболее полно приближенных к. оригиналу, разработкой подходящих форм записи разрешающих дифференциальных уравнений и методов их интегрирования, приемлемых для современной инженерной практики в машино- и приборостроении. Поставленные в рамках предлагаемого подхода динамические задачи гидроупругости оказываются весьма информативны, и позволяют, в широком диапазоне параметров, наиболее полно анализировать динамический отклик элементов машин и приборов на динамические нагрузки. Разработанные в работе подходы дают возможность получения новых результатов, служащих ключом к пониманию причин и условий возникновения резонанса колебаний в исследуемых машинах и приборах, и, как следствие, вибрационной кавитации на поверхности тел, взаимодействующих с жидкостью.
Новые научные результаты работы состоят в следующем:
1. Представлена новая математическая модель гидродинамического демпфера, в которой впервые учтена упругая податливость статора и возможность его подкрепления ребрами жесткости совместно с упругой податливостью подвеса абсолютно твердого вибратора, а также инерция движения слоя вязкой несжимаемой жидкости.
2. Выведены новые уравнения динамики цилиндрической оболочки с ребрами жесткости, представляющими собой внешние шпангоуты, а также уравнения ребристой балки-полоски.
3. Предложена новая математическая модель трубопровода, в которой учтена упругая податливость трубы как цилиндрической оболочки с внешними ребрами жесткости в виде шпангоутов и ее взаимодействие с протекающим в ней ламинарным пульсирующим потоком вязкой несжимаемой жидкости.
4. Получены аналитические решения сформулированных задач гидроупругости гидродинамических демпферов и трубопроводов с ребристыми тонкостенными элементами конструкций, построены их амплитудные частотные характеристики (АЧХ) и фазовые частотные характеристики (ФЧХ).
5. Показано наличие двух резонансных частот у вибратора и трех резонансных частот у статора демпфера для режима установившихся вынужденных гармонических колебаний. При этом выявлено, что наличие ребер жесткости у статора приводит к сдвигу резонансных частот в высокочастотную область и подавлению амплитуд колебаний вибратора и статора на средних и высоких частотах.
6. Установлено, что наличие произвольных ребер жесткости существенно искажает форму колебаний оболочки. При вынужденных колебаниях под действием гармонически пульсирующего потока жидкости показано, что у гладкой оболочки на главной моде наблюдаются четыре резонансные частоты.
В первом разделе диссертации рассмотрен подход теории ребристых пластин и оболочек, связанный с применением обобщенных функций для описания поверхностей ребристой тонкостенное конструкции. С помощью данного подхода осуществлен вывод уравнений динамики ребристой пластины и осуществлен переход. к уравнениям динамики ребристой балки-полоски, а также получены уравнения динамики цилиндрической оболочки, имеющей внешние ребра жесткости в виде шпангоутов.
Во втором разделе приведены основные положения и допущения, принимаемые: при постановке: динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим статором; имеющим ребра жесткости. Представлена новая физическая модель гидродинамического демпфера (опоры), включающая упругий ребристый статор, абсолютно жесткий вибратор с упругой связью и тонкий слой рабочей жидкости между вибратором и статором. Сформулирована динамическая задача гидроупругости для рассматриваемой механической системы. Введен в рассмотрение комплекс безразмерных переменных и выделены малые параметры системы. В качестве малых параметров выбраны относительная толщина слоя рабочей жидкости и относительная амплитуда колебания вибратора. Осуществлена запись задачи гидроупругости в безразмерном виде. При этом записаны уравнения динамики тонкого слоя жидкости, представляющие собой уравнения гидродинамики в нулевом приближении по относительной толщине слоя рабочей жидкости.
В третьем разделе исследуются вынужденные гармонические колебания гидродинамического демпфера (опоры) при наличии переносного виброускорения. Для решения динамической задачи гидроупругости применяется метод возмущений. Решение представляется в виде асимптотического разложения по относительной амплитуде колебаний вибратора. Рассматривая нулевое приближение по относительной амплитуде колебаний вибратора, осуществлена линеаризация задачи и найдены законы распределения скоростей и давления в тонком слое рабочей жидкости, прогибы статора и закон движения вибратора. При этом для определения прогиба статора применялся метод Бубнова-Галеркина. Получены выражения для амплитудных частотных характеристик вибратора и статора. Также в данной главе, как частный случай, рассмотрена постановка динамической задачи гидроупругости для гидродинамического демпфера (опоры) с геометрически регулярным упругим статором. При этом вследствие, упрощения уравнения динамики статора, произведено его точное решение в виде бесконечного ряда по тригонометрическим функциям. Проведено численное исследование резонансных колебаний в гидродинамических демпферах (опорах) со статорами, имеющими различное количество ребер жесткости и со статором, не имеющим ребер жесткости.
В четвертом разделе рассмотрена постановка и решение динамической задачи гидроупругости применительно к упругому ребристому трубопроводу с гармонически пульсирующим ламинарным потоком жидкости. Трубопровод представляется в виде упругой цилиндрической оболочки, имеющей ребра жесткости в виде внешних шпангоутов. Для рассматриваемой механической системы сформулирована динамическая задача гидроупругости в размерном виде. Введены в рассмотрение безразмерные переменные и выделены малые параметры задачи. В качестве малых параметров выбраны относительный радиус оболочки и относительная амплитуда прогибов оболочки. Сформулирована задача гидроупругости в безразмерном виде в нулевом приближении по относительному прогибу ребристой оболочки. Осуществлено решение задачи гидроупругости, при этом решение представляется в виде асимптотического разложения по относительному прогибу оболочки. Рассматривая нулевое приближение, осуществлена линеаризация задачи и найдены законы распределения скоростей и давления в потоке жидкости, а также упругие перемещения ребристой оболочки. При «этом для определения перемещений ребристой оболочки применялся метод Бубнова-Галеркина. Найдены выражения для амплитудных частотных характеристик перемещений и прогиба. Как частный случай рассмотрена постановка динамической задачи гидроупругости для геометрически регулярной цилиндрической оболочки. При этом вследствие, упрощений уравнений динамики оболочки, произведено их точное решение в виде бесконечных рядов по тригонометрическим функциям. Проведено численное исследование резонансных колебаний в рассматриваемой механической системе.
В заключении приведены основные выводы, сделанные по результатам проведенного диссертационного исследования.
Вывод уравнений динамики цилиндрической оболочки с внешними шпангоутами
Для вывода уравнений динамики цилиндрической оболочки, имеющей поперечные ребра жесткости в виде односторонних шпангоутов, рассмотрим оболочку, координатная поверхность которой является круговым цилиндром радиуса R (см. рис. 1.4).
Оболочка имеет вдоль своей длины п ребер жесткости в виде шпангоутов высотой hpj и длиной 0-. Внутренний радиус оболочки R\, внешний радиус R2, а ее длина Радиус координатной поверхности оболочки R, а ее толщина h0 - 2{R - Rx) « R. Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат OrOs, полюс О которой находится в центре начального поперечного сечения оболочки. Тогда координатная поверхность оболочки в декартовой системе координат ,г/,С описывается параметрическими уравнениями f = s,rj = RcosO, = Rs md.
Текущее ребро характеризуется высотой h , длиной є0,- и продольной координатой начала ребра s.-. При этом высота ребра скачкообразно изменяется при движении вдоль оболочки. Нормальная к координатной поверхности координата z, внутренней поверхности оболочки постоянна: ,=- . (1-18)
Часть внешней поверхности оболочки постоянна z2 = —, а расположенные вдоль оси Os на интервалах s s SJ+S0J (j = 1,2,...,ri) ребра, ограниченны по высоте поверхностями
Как и ранее, ступенчатый характер изменения высоты ребра опишем с помощью разностей функций Хевисайда по продольной координате.
Таким образом, общее уравнение, описывающее внешнюю поверхность оболочки, с учетом (1.19) можно представить в виде h п j = \ І- К-ЛГ,, ( PJ (1.20) где АГ = r[s — Sj)-r[s-Sj -E0j), T{s) -единичная функция Хевисайда по продольной координате; s - точка появления ребра по продольной координате.
Для вывода уравнений динамики геометрически нерегулярной оболочки, как и ранее, применим вариационный интегральный принцип Гамильтона [1, 23, 27, 54] как было отмечено выше, вариационные принципы позволяют наиболее естественным и непротиворечивым способом получить не только уравнения динамики оболочки, но и оценить соответствующие им граничные и начальные условия. Принцип Гамильтона в цилиндрической системе координат запишется в виде: (1.21) ди: duz Ч?я -((1.22) dzdCl, He) Ро а5є; + GQSQ + тхоГі J Q dt dt где L — функция Лагранжа; q - вектор поверхностных усилий; її = nsU + ngV + nW - вектор упругих перемещений координатной поверхности оболочки (ns,n0,n — продольное и окружное направления в координатной поверхности оболочки и нормаль к ней); р0 - плотность материала оболочки; її - вектор упругих перемещений точек оболочки, отстоящих от координатной поверхности на расстоянии z; 7S, 70, TsQ 33 компоненты тензора напряжений; s s, є#, у\е — компоненты тензора упругой деформации; сЮ. = RdQds.
Таким образом, на основе континуального подхода были получены необходимые далее уравнения динамики геометрически нерегулярных пластинки и оболочки с ребрами жесткости ступенчато изменяющейся высоты. При этом полученные уравнения позволяют, в частном случае при отсутствии ребер жесткости, осуществлять переход к хорошо известным уравнениям для геометрически регулярной пластины и замкнутой цилиндрической оболочки.
Одной из широко распространенных в машино- и приборостроении схем движения жидкости следует признать ее циркуляцию в щелевом канале, образованном двумя непроницаемыми параллельно расположенными поверхностями. При этом во время эксплуатации элементы конструкции, образующие канал, и жидкость в нем подвержены воздействию значительных вибрационных нагрузок [9-17, 2Ґ, 55, 66, 83]. Причем одна из поверхностей может деформироваться вследствие упругой податливости элемента конструкции, образующего ее. Данные конструкционные решения характерны для гидродинамических опор, гидравлических демпферов [9-17, 21, 29, 39, 40, 69, 83, 92-94, 99-106, 107], систем охлаждения различных агрегатов и двигателей, систем гидравлического привода, смазки и подачи топлива [21, 28, 53, 55, 59, 82, 83, 97, 111].
С другой стороны, современный уровень развития машино- и приборостроения не мыслим без широкого использования тонкостенных конструкций, которые позволяют существенно снижать массовые и габаритные характеристики изделий при сохранении-достаточной прочности и жесткости. При этом часто основные несущие поверхности тонкостенных конструкций являются геометрически нерегулярными. Например, данные конструкции могут иметь ребра жесткости, высота которых скачкообразно изменяется. Ребра жесткости могут выполняться для увеличения жесткости конструкции, а также иметь технологический характер, например, для крепления других элементов конструкции.
Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости
Рассмотрим механическую колебательную систему, представленную на рис. 2.1. Введем в рассмотрение декартовую систему координат Oxyz, связанную с координатной поверхностью упругой геометрически нерегулярной пластины (статора).
Закон движения основания, на котором установлена опора, представим в виде х0 =0, у0 =0, zQ=E:f:Q(cot), (2.4) тогда проекции вектора виброускорения WQ на оси координат могут быть записаны как х0 = 0,у0 = 0, z0 =E:(u2f:_,(cDt),. (2.5) здесь Ez - амплитуда колебаний основания в вертикальном направлении; Егсо — амплитуда виброускорения; со - частота колебаний; t - время; f:Q(cDt) - закон движения. Штрих означает производную функции по ее аргументу.
Принимая во внимание, что абсолютно жесткий вибратор 1 совершает гармонические колебания вдоль оси Oz закон движения вибратора в введенной системе координат Oxyz представим в следующем виде z = S(t) = S0+zmf:(a)t), (2.6) здесь So - среднее значение ширины щелевого зазора д; zm - амплитуда колебаний абсолютно жесткого вибратора в вертикальном направлении; /. (со t) - закон движения вибратора.
Проекции вектора абсолютного ускорения вибратора Wx на оси введенной декартовой системы координат представляются как х = 0, у = 0, zQ + z = Е:й)2/:0(Ш) + zm0)2f"{at). (2.7) Следовательно, уравнение движения вибратора с учетом переносного виброускорения (2.5) имеет вид m](z0+z)+n]z = N3, (2.8) здесь Wi — масса вибратора; щ — коэффициент упругой жесткости подвеса вибратора; N3 — сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости в зазоре опоры.
Вектор, абсолютного ускорения единицы объема жидкости в зазоре виброопоры состоит из переносного виброускорения вибрирующего основания, локального и конвективного ускорения единицы объема жидкости W3=W0+ + {v.v)7, (2.9) где V - оператор Гамильтона; V - вектор скорости единицы объема жидкости.
Динамика сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в зазоре между абсолютно жестким вибратором и упругим геометрически нерегулярным статором, описывается уравнениями Навье-Стокса и уравнением неразрывности. Данные уравнения в вектором виде записываются как [5]: W3=-1-Vp + VAV, (2.10) Р V-F = 0, здесь р - гидродинамическое давление жидкости; v - кинематический коэффициент вязкости жидкости; р - плотность жидкости; А - оператор Лапласа; W3 — вектор абсолютного ускорения единицы объема жидкости; V — вектор скорости единицы объема жидкости.
Во введенной декартовой системе координат с учетом переносного виброускорения скалярная форма уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности (2.10) имеют вид Граничные условия, соответствующие уравнениям (2.11), представляют собой условия прилипания вязкой жидкости к поверхностям абсолютно жесткого вибратора и упругого геометрически нерегулярного статора, образующим щелевой зазор. Данные условия в рассматриваемом случае выражаются в совпадении скорости жидкости со скоростями движения этих поверхностей: =0, =0, — при z = 5Q +zmf,{(Dt) + -±; at h при z = W + — (2.12) K = w,yw K_aw dt y dt "" dt Здесь U - проекция упругого перемещения геометрически нерегулярного статора на ось Ох; V - проекция упругого перемещения геометрически нерегулярного статора на ось Оу\ W - упругое перемещение геометрически нерегулярного статора по нормали (т.е. его прогиб).
Принимая во внимание гипотезы Кирхгофа скорости проекций упругих перемещений геометрически нерегулярного статора на оси Ох и Оу можно выразить через скорость прогиба и представить в виде (2.13)
Кроме того, для уравнений (2.11) ставятся условия свободного истечения жидкости на торцах. Условия свободного торцевого истечения жидкости в направлении оси х и в противоположном направлении принимают вид условий совпадения давления на торце с давлением в окружающей жидкости. Данные условия записываются в виде [13, 83] р = Ръ -pz0(z-h0/2) при х- , (2.14) р = р0- pzQ (z - h0/ 2) при х = -,
С другой стороны, должны быть сформулированы и условия отсутствия торцевого истечения жидкости в направлении оси у и в противоположном направлении, которые примут вид [13, 83] = 0 при 7 = 0, (2.15) — = 0 при у = Ь. ду (2.16)
Следует заметить, что вместо второго условия (2.14) можно использовать условия симметрии задачи гидромеханики (когда они имеют место). Данные условия запишутся в следующем виде др дх = 0 при х - О.
Аналогичное замечание справедливо и для условий (2.15)
Уравнения динамики упругого геометрически нерегулярного статора опоры представляют собой полученные нами в первой главе уравнения движения упругой прямоугольной в плане пластины со ступенчато изменяющейся толщиной (1.13). Осуществляя подстановку найденных интегралов по переменной z, а также, учитывая переносное виброускорение, запишем указанные уравнения в следующем виде:
Решение задач гидроупругости геометрически нерегулярной пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений
Проведем решение сформулированной динамической задачи гидроупругости гидродинамической виброопоры с упругим геометрически нерегулярным статором (2.32), (2.33), (2.34), (2.39), (2.40), (2.43) методом возмущений. Решение представим в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра Л = zm /8 « 1, характеризующего амплитуду колебаний вибратора. Таким образом, представим гидродинамическое давление, скорости движения жидкости и прогибы статора в виде следующих асимптотических разложений: С/#=(У#0+Л/#1+-, (3.1) ис=иС0 + лио+—3 и2=и20 + ли2Х+---.
Подставим разложения (3.1) в уравнения динамики сдавливаемого слоя жидкости (2.32), уравнения динамики упругого геометрически нерегулярного статора (2.39), в граничные условия для скоростей на непроницаемых поверхностях вибратора и статора (2.33) со снесением их на невозмущенную поверхность, в граничные условия для давления на торцах (2.34), в выражения для нормального напряжения, действующего на статор (2.38) и в граничные условия шарнирного опирання статора на торцах (2.40).
Приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях Л, в нулевом приближении по Л, получим уравнения гидродинамики тонкого сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости Re = _ + , (3.2) дт д% дс дс dU4Q dUCQ = Q с граничными условиями на непроницаемых поверхностях вибратора и упругого геометрически нерегулярного статора: = 0 0 = Г при = 1 /,0=0, 0= - приС = 0: #о СО (33) zm дт а также граничные условия для давления, соответствующие свободному торцевому истечению жидкости Р0=0при = 1, (3.4) Р0 =0при = -1.
Уравнение динамики упругого геометрически нерегулярного статора опоры с учетом выражения для нормального напряжения (2.38) в нулевом приближении по Л примет вид
В правую часть уравнения движения абсолютно жесткого вибратора опоры (2.8) входит подлежащая определению сила (2.41), действующая на вибратор со стороны сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в щели между ним и упругим ребристым статором. Подставляя разложение (3.1) в (2.41) запишем одночленное разложение по X для данной силы: Ъ I N3 =2Ьр0-т(о2Е:/: 0(т) + т-\ \ Р0(т,)ЩсІу. (3.7) W" о-1 Следовательно, уравнение движения абсолютно жесткого вибратора (2.8) в нулевом приближении по X запишется как mxzQ + m{z + nxz = 2bp0 -mzQ + ibpVZ [PQ(r, )d . (3.8) o V -i
Таким образом, для нахождения силы, действующей на вибратор со стороны сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости и определения закона движения абсолютно жесткого вибратора опоры необходимо разрешить задачу гидроупругости (3.2)-(3.6) и найти гидродинамическое давление в нулевом приближении по X для режима установившихся гармонических колебаний. Другими словами, для исследования динамики абсолютно жесткого вибратора и упругого геометрически нерегулярного статора гидродинамической опоры достаточно первого члена асимптотического разложения (3.1).
Для определения гидродинамического давления в слое жидкости-рассмотрим уравнения движения жидкости в зазоре виброопоры (3.2) для режима установившихся гармонических колебаний вибратора и статора опоры. Далее будем учитывать, что в этом случае закон движения абсолютно твердого вибратора опоры можно представить в виде /=(r) = sin(T + ), (3.9) а закон прогиба геометрически нерегулярного статора опоры записать как U3Q=fu3 )sm(r + (pu3). (ЗЛО) Согласно второму уравнению системы (3.2) гидродинамическое давление в слое жидкости не зависит от координаты С, а, следовательно, давление является функцией координаты и времени т, в то же время проекции скорости движения жидкости являются функциями двух координат С ё, и времени т. Другими словами, для рассматриваемой задачи искомые функции давления и проекций скорости движения жидкости могут быть представлены в виде гармонических функции по времени с коэффициентами, зависящими от соответствующих координат TQ = Ат cosT + B-p sin г. (3.11)
Здесь под Г0 понимаются Р0, Uс0, U , причем коэффициенты АТ,ВТ для Р0 зависят только от , для U r0, U Q они зависят от % и ".
Тогда рассматривая первое уравнение системы (3.2) совместно с граничными условиями (3.3) можно получить следующее выражение для проекции скорости U Q
Физическая модель цилиндрической оболочки со шпангоутами при пульсирующем ламинарном течении жидкости внутри нее применительно к трубопроводам
Введем в рассмотрение следующую физическую модель трубопровода, подкрепленного ребрами жесткости, представленную на рис. 4.1. В рамках данной модели будем полагать, что трубопровод представляет собой замкнутую геометрически нерегулярную цилиндрическую оболочку - 1. Внутренняя поверхность данной оболочки, находящаяся в контакте с потоком жидкости - 2, является геометрически регулярной (то есть не имеет ребер жесткости). Внутренний радиус оболочки Ru а ее длина . При этом внутренний радиус оболочки считается значительно меньше, чем ее длина t» Rx. Внешняя поверхность оболочки является геометрически нерегулярной и имеет п ребер жесткости ступенчато изменяющейся высоты. Ребра представляют собой внешние шпангоуты. Радиус координатной поверхности оболочки R, а ее толщина на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна hQ - 2(R-R\)« R Высота j-го ребра равна h , а его длина є0 . Геометрически нерегулярная оболочка на торцах имеет шарнирное опирание.
Течение жидкости внутри оболочки происходит под действием гармонически изменяющегося по времени давления на торцах. При этом движение жидкости будем считать осесимметричным, а для жидкости принимаем модель вязкой несжимаемой жидкости.
Вязкая несжимаемая жидкость 2 полностью заполняет сечение оболочки-трубы, разрывы в жидкости отсутствуют. Закон изменения давления на торцах считается известным (гармоническим).
Далее при исследовании для потока жидкости в геометрически нерегулярной цилиндрической оболочке, принята модель вязкой несжимаемой жидкости. Учет вязкости необходим, так как именно она определяет демпфирующие свойства жидкости. Жидкость принята несжимаемой, в связи с тем, что характерная скорость течения ее значительно меньше скорости звука (число Маха значительно меньше единицы) [13, 74, 83, 112].
Если бы частота колебаний перепада давления на торцах была столь велика, что возникающая при этом скорость течения жидкости была бы соизмерима со скоростью звука (число Маха было бы не менее 0,5), учет сжимаемости был бы необходим. Однако, частоты колебаний перепада давления на торцах, таковы, что скорости движения жидкости в оболочке весьма малы по сравнению со скоростью звука в ней, и жидкость можно считать несжимаемой.
Также в рамках рассматриваемой физической модели будем учитывать, что длина геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки-трубы значительно больше ее внутреннего радиуса, а внутренний радиус значительно больше толщины оболочки ho, то есть » R\, R\ » ho. Упругие перемещения оболочки будем считать малыми, то есть прогиб оболочки, вызванный ее взаимодействием с жидкостью, являются малым и значительно меньшим, чем толщина оболочки. Температура потока жидкости и упругой геометрически нерегулярной цилиндрической оболочки считаются постоянными.
Таким образом, физическая модель представляет собой совокупность ребристой цилиндрической оболочки 1, взаимодействующей с осесимметричным потоком вязкой несжимаемой жидкости 2, находящимся внутри данной оболочки.
В предлагаемой физической модели возможен переход к частному случаю - геометрически регулярной цилиндрической оболочке. Для осуществления перехода можно положить высоты ребер равными толщине оболочки, то есть h \ для j=\,...,n, или длину ребер равной нулю, то есть slj = 0 для у =1,...,п.
