Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретические основы и модельные представления процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками при диагностике методами растровой электронной микроскопии 18
1.1 Принципы работы растрового электронного микроскопа 19
1.2 Основные подходы к оценке эффектов энергетического воздействия электронного зонда на образец 24
1.2.1 Механизмы потерь энергии электронов в веществе 25
1.2.2 Расчет геометрических размеров области взаимодействия электронного пучка с облучаемой мишенью 31
1.2.3 Модельный расчет тепловой нагрузки электронного зонда на исследуемые материалы 34
1.2.4 Оценка ионизационного воздействия зонда на образец 41
1.2.5 Зарядка непроводящих поверхностей при электронном облучении 45
1.3 Теоретические и экспериментальные исследования свойств полярных диэлектрических материалов 49
1.3.1 Общие характеристики сегнетоэлектрических явлений в кристаллах 49
1.3.2 Пироэлектрические измерения 56
1.3.3 Теоретические подходы и модельные представления доменной структуры и переключения поляризации 59
1.3.4 Изучение доменной структуры сегнетоэлектриков в растровом электронном микроскопе: типы контраста и формирование видеосигналов 65
1.4 Основные результаты и выводы 72
2 Стохастические и детерминированные математические модели процессов взаимодействия электронного зонда с полярными материалами 75
2.1 Моделирование транспорта электронов в твердых телах при электронном облучении 75
2.1.1 Концептуальная постановка задачи моделирования случайных электронных блужданий в облучаемой мишени 76
2.1.2 Применение метода Монте-Карло для моделирования взаимодействия электронов с твердым телом 78
2.1.3 Аппроксимация области взаимодействия электронов с веществом и задание функции плотности распределения источника 88
2.2 Математическое моделирование тепловых процессов взаимодействия электронного зонда с полярными материалами 90
2.2.1 Применение аналитических методов в оценках теплового воздействия электронного зонда на исследуемые материалы 92
2.2.1.1 Концептуальная постановка задачи моделирования 92
2.2.1.2 Применение метода источников для моделирования температурной динамики 94
2.2.2 Численное моделирование тепловых процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками 98
2.2.2.1 Математическая постановка задачи моделирования 98
2.2.2.2 Конечно-элементная дискретизация задачи. Общая схема численного решения эволюционной многомерной задачи теплопроводности 101
2.3 Математическое моделирование процессов зарядки сегнетоэлектрических образцов при электронном облучении 108
2.3.1 Концептуальная постановка задачи моделирования 108
2.3.2 Математическая постановка задачи моделирования динамических процессов зарядки диэлектрических образцов при облучении пучком электронов 109
2.3.3 Применение сеточных методов для решения эволюционной задачи моделирования процесса зарядки 112
2.4 Основные результаты и выводы 119
3 Имитационные модели формирования отклика полярных диэлектриков на воздействие электронного зонда 124
3.1 Моделирование равновесной конфигурации и динамики доменной границы в неоднородном тепловом поле 124
3.1.1 Физико-математическая постановка задачи моделирования 124
3.1.2 Решение вариационной задачи о форме фазовой границы в неоднородном тепловом поле методом локальных вариаций 129
3.1.3 Оценка компоненты поляризационного тока, обусловленной движением доменной границы 131
3.1.4 Динамическое моделирование конфигурации фазовой границы методом Монте-Карло 133
3.2 Моделирование пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла на локальное воздействие электронного зонда 137
3.2.1 Математическая формализация пироэлектрического сигнала. Составляющие пиросигнала 139
3.2.2 Модельное представление пироотклика в кристаллах различных конфигураций 150
3.2.3 Модель формирования видеосигнала в режиме пульсирующего электронного зонда 154
3.3 Применение методов математического моделирования для решения задач исследования пироэлектрических свойств сегнетоэлектрических кристаллов в окрестности фазового перехода 157
3.3.1 Моделирование формирования пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла 158
3.3.2 Решение обратной задачи пироэффекта в постановке интегрального уравнения Фредгольма I рода 163
3.4 Имитационное моделирование процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков под действием инжектированных зарядов 170
3.4.1 Теоретическое описание полевых эффектов инжектированных зарядов в сегнетоэлектриках 171
3.4.2 Математическая модель поляризационного тока сегнетоэлектрического кристалла в режиме инжекции электронов под электрод 174
3.4.2.1 Математическая постановка задачи моделирования 174
3.4.2.2 Имитационная модель динамики доменной структуры сегнетоэлектрика под действием инжектированных зарядов 181
3.4.3 Модификация математической модели формирования тока переключения поляризации на основе фрактального подхода 182
3.4.3.1 Фрактальный анализ РЭМ-изображений доменных структур и токов переключения сегнетоэлектрических кристаллов 183
3.4.3.2 Фрактальная модель динамики доменной структуры сегнетоэлектрика в инжекционном режиме 188
3.5 Основные результаты и выводы 191
4 Комплексы программ для компьютерного и имитационного моделирования эффектов последействия электронного облучения на полярные диэлектрические материалы 194
4.1 Система имитационного моделирования транспорта электронов в облучаемой мишени 194
4.1.1 Формализация алгоритма реализации программы моделирования транспорта электронов методом Монте-Карло 196
4.1.2 Структура и основные режимы работы программного комплекса 196
4.2 Программное приложение для моделирования тепловых процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками 199
4.2.1 Формализация алгоритма численного решения эволюционной задачи теплопроводности 201
4.2.2 Описание структуры и функциональных возможностей программного приложения 201
4.3 Программный комплекс моделирования эффектов зарядки при воздействии электронных пучков на диэлектрики 205
4.3.1 Формализация алгоритма программы моделирования динамических процессов зарядки 207
4.3.2 Структура программного комплекса 208
4.4 Программа моделирования конфигурации и динамики доменной границы в поле градиента температуры 213
4.5 Система имитационного моделирования теоретических микрофотографий сегнетоэлектрических доменных структур в пироэлектрическом режиме 216
4.6 Программы моделирования формы пироотклика сегнетоэлектрика в нелинейном режиме и восстановления профиля пирокоэффициента 223
4.7 Программа моделирования тока переключения поляризации сегнетоэлектрика в режиме инжекции электронного пучка 226
4.8 Основные результаты и выводы 227
5 Комплексное исследование динамических процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками на основе вычислительных экспериментов 230
5.1 Инжекционные эффекты воздействия электронного облучения на полярные диэлектрические материалы и анализ результатов моделирования 230
5.1.1 Визуализация электронных траекторий в образцах типичных сегнетоэлектриков 230
5.1.2 Расчет потерь энергии электронов и аппроксимация накопленной дозы облучения 235
5.2 Вычислительные эксперименты по оценке тепловых эффектов взаимодействия электронных пучков с сегнетоэлектриками 238
5.2.1 Инициализация параметров моделирования 240
5.2.2 Расчет температурных конфигураций в модельных образцах при вариации режимов зондирования 243
5.3 Результаты расчета характеристик процесса зарядки сегнетоэлектриков, индуцируемого электронным облучением, с использованием вычислительного эксперимента 249
5.4 Анализ и интерпретация результатов моделирования динамики доменной границы в поле градиента температуры 256
5.5 Исследование особенностей формирования изображения доменных структур сегнетоэлектриков в режиме пироэлектрического зонда 261
5.5.1 Интерпретация результатов модельного эксперимента по расчету видеосигналов 261
5.5.2 Анализ результатов моделирования теоретических микрофотографий сегнетоэлектрических доменов в режиме пирозонда постоянной интенсивности 272
5.5.3 Анализ результатов конструирования РЭМ-изображений доменных структур сегнетоэлектриков в режиме пульсирующего пирозонда 269
5.6 Анализ результатов моделирования нелинейных пироэлектрических свойств сегнетоэлектрических кристаллов в условиях сильного прогрева 274
5.7 Результаты имитационного моделирования процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков в инжекционном режиме и модельный расчет токов переключения 287
5.8 Основные результаты и выводы 295
Заключение 300
Библиографический список 309
- Механизмы потерь энергии электронов в веществе
- Математическая формализация пироэлектрического сигнала. Составляющие пиросигнала
- Система имитационного моделирования теоретических микрофотографий сегнетоэлектрических доменных структур в пироэлектрическом режиме
- Результаты имитационного моделирования процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков в инжекционном режиме и модельный расчет токов переключения
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время методы компьютерного моделирования являются одними из важнейших составляющих в решении различных фундаментальных и прикладных научных задач, позволяющих с помощью программных средств глубоко и всесторонне изучать наблюдаемые физические процессы и явления, проектировать системы имитационного моделирования, алгоритмы проведения и интерпретации результатов вычислительных экспериментов. Интеграция научных областей математического моделирования и физики взаимодействия заряженных частиц с твердым телом позволяет исследовать процессы, которые ранее не поддавались изучению чисто теоретическими или экспериментальными методами.
Исследование явлений, возникающих при облучении диэлектриков электронными пучками средних энергий (1-40кэВ), представляет как фундаментальный научный, так и практический интерес в связи с необходимостью создания новых диэлектрических и композиционных материалов с прогнозируемыми физическими свойствами, а также применением диэлектрических материалов различного функционального назначения в приборах и устройствах, работающих в полях ионизирующих излучений. Одним из распространенных аналитических методов исследования и технологической обработки различных полярных материалов является метод растровой электронной микроскопии (РЭМ). Это обусловлено широким спектром эффектов, наблюдаемых при воздействии электронных пучков на твердые тела, а также высокой чувствительностью полярных диэлектриков к электрическим и тепловым воздействиям электронного зонда, что позволяет получать отклик и создавать способы формирования изображения и исследования электрических свойств образцов. Особую значимость данное направление исследований приобретает в связи с практическими задачами применения аналитических методик растровой электронной микроскопии для исследования и модификации свойств сегнето-электрических материалов, а также созданием сегнетоэлектриков с субмикронными и наноразмерными доменными структурами. Однако при исследовании полярных диэлектриков с помощью методик растровой электронной микроскопии требуется учитывать изменения, которые могут происходить в исследуемых образцах при электронном облучении. Взаимодействие электронного зонда с образцом подлежит тщательному анализу для правильной интерпретации изображения и развития нестандартных методик РЭМ, применяемых для исследования свойств полярных материалов.
Многие эффекты взаимодействия электронного облучения с твердыми телами не всегда удается исследовать экспериментально, ряд результатов имеет качественный характер и получаемые оценки оказываются приближенными. Поэтому на практике часто прибегают к использованию средств и методов математического и компьютерного моделирования, основанных на физических законах взаимодействия излучения с веществом, механизмах формирования изображения в зондовых приборах и верифицированных принципах построения и реализации таких моделей. Специфика взаимодействия электронных пучков с полярными материалами при диагностике и модификации их свойств методами РЭМ приводит к необходимости разработки новых и модификации известных математических методов моделирования физических процессов, протекающих в облученной мишени, а также требует проектирования программных комплексов по проведению вычислительных экспериментов для моделирования карты сопутствующих эффектов с использованием современного программного обеспечения.
Основная цель диссертационного исследования заключалась в разработке математических моделей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов, протекающих в полярных диэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий, а также в проведении комплексных исследований рассматриваемых проблем с применением созданных моделей и алгоритмов на основе вычислительных экспериментов.
В соответствии с целью работы были поставлены и решены следующие научные задачи.
-
Разработка математических моделей инжекционных, тепловых и поляризационных процессов воздействия электронных пучков средних энергий на полярные диэлектрические материалы и вычислительных алгоритмов для их реализации.
-
Создание имитационных моделей, развитие методов и разработка алгоритмов моделирования отклика сегнетоэлектриков на воздействие электронного зонда: движение доменной границы в поле градиента температуры; формирование пироэлектрического тока и растровых изображений доменных структур в пироэлектрических режимах; переключение поляризации и образование видеосигнала в инжекционном режиме.
-
Реализация вычислительных методов и алгоритмов в виде комплексов программ динамического моделирования процессов зарядки, инжекционных и тепловых процессов воздействия электронного облучения на полярные материалы.
-
Разработка прикладных программ и систем имитационного моделирования формирования отклика сегнетоэлектриков на электронное облучение.
-
Постановка, проведение и интерпретация результатов вычислительных экспериментов. Проверка адекватности математических моделей физическим процессам на основе сравнения результатов с решениями эталонных задач и экспериментальными данными.
-
Комплексные исследования процессов взаимодействия электронного облучения с полярными диэлектриками при параметрах, отвечающих различным объектам исследования и режимам сканирования, на основе проведенных вычислительных экспериментов.
Новизна научного исследования.
-
Предложен обобщенный подход к моделированию тепловых эффектов воздействия сфокусированного электронного зонда на полярные диэлектрики, основанный на численном конечно-элементном решении нестационарного уравнения теплопроводности, с учетом определенной с помощью метода Монте-Карло аппроксимации области взаимодействия электронов с веществом. Разработана система компьютерного моделирования, позволяющая проводить динамическое моделирование тепловых процессов в образцах при различных параметрах вычислительного эксперимента, отвечающих различным объектам исследования и режимам сканирования.
-
Разработана комбинированная математическая модель процесса зарядки при диагностике сегнетоэлектриков методами РЭМ, основанная на детерминированном диффузионно-дрейфовом подходе, с учетом собственной радиационно-стимулированной проводимости облученного образца при наличии первоначального распределения объемной плотности зарядов, определенного с помощью метода Монте-Карло. Предложен оригинальный программный комплекс, предназначенный для трехмерного динамического моделирования процесса зарядки с одновременным расчетом и визуализацией основных электрических характеристик.
-
Разработана математическая модель конфигурации 180-градусной доменной границы сегнетоэлектрика с фазовым переходом П-го рода в поле градиента температуры на
основе вариационного подхода. Предложена методика расчета конфигурации границы и формирования поляризационного тока с использованием метода локальных вариаций. Разработан метод стохастического компьютерного моделирования движения доменной границы в неоднородном тепловом поле.
-
Предложена математическая модель формирования пироэлектрического отклика сегнетоэлектрического кристалла на локальное воздействие постоянного и пульсирующего электронного зонда. Разделение пироотклика в модельном представлении на две компоненты и анализ соответствующих вкладов позволили наглядно интерпретировать факторы, влияющие на формирование результирующего пиросигнала, а также оптимизировать расчеты модельных зависимостей.
-
Разработан метод расчета растровых изображений доменных структур сегнето-электриков, в основе которого лежат законы формирования видеосигнала для пироэлектрического режима РЭМ. Получены новые научные данные о возможностях использования пироэлектрического отклика в качестве видеосигнала. Установлена роль скорости сканирования электронного зонда в формировании контраста изображения продольных и перпендикулярных доменных границ; определены критерии, ограничивающие разрешение изображения. Методами математического моделирования впервые исследован характер изображений доменов, полученных в режиме пульсирующего теплового зонда при различных способах детектирования отклика кристаллов, являющегося видеосигналом.
-
Предложена вычислительная схема реализации модели, предназначенной для исследования особенности формирования отклика пироэлектрика в окрестности фазового перехода при наличии зависимостей пироэлектрических и теплофизических характеристик от температуры. Представлен вычислительный алгоритм решения обратной задачи восстановления профиля пирокоэффициента сегнетоэлектрика по экспериментальным данным пироэлектрического тока.
-
На основе анализа основных механизмов переключения поляризации сегнетоэлек-трических образцов, индуцированных электронным облучением, предложена оригинальная модель формирования тока переполяризации, воспроизводящая основные особенности экспериментальных импульсов в инжекционном режиме. Предложена модификация модели формирования тока переключения поляризации сегнетоэлектрика, как конечной среды с фрактальным характером, основанная на численном решении дифференциального уравнения с дробной производной по времени. Разработаны вычислительная схема и система имитационного моделирования динамики доменной структуры сегнетоэлектри-ков в режиме инжекции электронного пучка.
Методы исследования. Для решения научных задач использованы средства и методы математического и компьютерного моделирования. Технологии компьютерного моделирования сосредоточенных воздействий на полярные материалы основаны на фундаментальных законах природы, использовании принципов аналогии, иерархических и вариационных принципах моделирования. Теоретические методы применены в сочетании с алгоритмическими и графическими возможностями современных математических пакетов прикладных программ. Для расчетных оценок области электронного возбуждения в твердых телах использован метод Монте-Карло. Построение моделей тепловых и зарядовых эффектов воздействия электронного зонда основано на применении сеточных методов решения эволюционных задач математической физики. Для решения задачи о моделировании конфигурации доменной границы использованы метод Монте-Карло и метод локальных вариаций. Задача о восстановлении профиля пирокоэффициента в постановке
интегрального уравнения решена методом регуляризации. Для оценок фрактальных характеристик сложных систем использованы методы фрактального анализа двухмерных изображений и временных рядов; математический аппарат решения дробно-дифференциальных уравнений.
Теоретическая значимость исследования состоит в разработке научных и методологических подходов к математическому описанию динамических процессов взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектрическими материалами; в многоаспектном анализе отклика исследуемых физических систем, находящихся в неравновесных условиях электронного облучения. Методы математической формализации исследуемых систем, разработанные с использованием детерминированных, стохастических и имитационных подходов и концепций, а также прикладные программы по математическому моделированию служат целям создания фундаментальной теории, описывающей механизмы взаимодействия электронных пучков с полярными материалами, а также эффекты последействия.
Практическая значимость исследований заключается в научном обосновании уже используемых и в возможности разработки новых методик электронного зондирования полярных диэлектриков; в выработке практических рекомендаций для подбора оптимальных режимов исследования морфологии, потенциального контраста и модификации свойств полярных диэлектриков методами растровой электронной микроскопии.
Проведенные вычислительные эксперименты показали, что в ряде случаев электронный зонд не только регистрирует существующий потенциальный рельеф, но и сам оказывает влияние на формирование наблюдаемого контраста, создавая «активные» режимы зондирования. Изучение подобных режимов и их теоретическое обоснование позволяют решать принципиально новые задачи, заключающиеся в создании и комплексном анализе доменной структуры сегнетоэлектриков с заранее заданной конфигурацией и размерностью.
Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных результатов и адекватность математических моделей обеспечиваются использованием фундаментальных принципов при формализации процессов и явлений, применением современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых физических систем, совпадением результатов с решениями эталонных задач. Для верификации полученных результатов моделирования использованы также известные данные, основанные на экспериментальных методиках растровой электронной микроскопии с вариацией режимов аналитического исследования полярных диэлектриков.
Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы были получены автором при проведении исследований, выполнявшихся в 2001-2013 гг. в рамках следующих НИР: «Исследование взаимодействия электронного зонда РЭМ с сегнетоэлектрическими материалами» - НИР по заданию Министерства образования и науки РФ вузу на проведение научных исследований по тематическому плану (per. №01200101676, инв. №02200501048), 2001-2004гг.; проект «Исследование процессов инжекции и релаксации электронных пучков в полярных материалах» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (per. №01200509108, инв. №02200601858), 2005г.; проект «Воздействие тепловых полей и высококонцентрированных потоков энергии на неорганические материалы» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (per. №01200962619, инв. №02201254310), 2009-2011гг.; «Исследование физических
свойств, структуры и процессов самоорганизации диэлектрических систем» - НИР по государственному заданию Министерства образования и науки РФ вузу в части проведения научно-исследовательских работ (per. №01201052379), 2012г.; а также в рамках плана научно-исследовательской работы кафедры математического анализа и моделирования ФГБОУ ВПО «АмГУ» по теме «Разработка численных алгоритмов исследования и компьютерное моделирование физических систем» (per. №01201251796), 2012-2013гг.
Математические модели и программные средства, отраженные в диссертации, используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «АмГУ» при выполнении научно-исследовательских работ, в курсовом проектировании, при написании выпускных квалификационных работ студентов, обучающихся по направлениям подготовки 010400.62 -«Прикладная математика и информатика», 010900.68 - «Прикладные математика и физика». Полученные в диссертации модели взаимодействия концентрированных потоков энергии с твердыми телами, описание физических систем, находящихся в неравновесных условиях электронного облучения, во многом расширяют существующие представления о динамических свойствах этих систем и являются важной составной частью учебных курсов «Моделирование физических процессов», «Компьютерное моделирование систем», «Математические методы обработки данных».
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на 30 различных конференциях, симпозиумах, на заседаниях научных школах и семинарах: Всероссийской научной Internet-конференции «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2001); XV Международной научно-практической конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ангарск, 2002); III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X региональных научных конференциях «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование» (Благовещенск, Хабаровск, Владивосток, 2002-2011); XVI Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков «Процессы переключения в сегнетоэлектриках и сегнетоэла-стиках» (Тверь, 2002); региональной школе-симпозиуме «Физика и химия твердого тела» (Благовещенск, 2003); Международной научно-практической конференции «Моделирование: теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2003); научном семинаре математико-физико-химического факультета университета прикладных наук им. Бойта (Берлин, Германия, 2004); Международных научно-практических конференциях «Fundamental Problems of Opto and Microelectronics» (Хабаровск, 2004, и Владивосток, 2005); Международной конференции «Оптика кристаллов и наноструктур» (Хабаровск, 2008); Российском симпозиуме по РЭМ и аналитическим методам исследования твердых тел (г. Черноголовка, XVI, 2003 и XXI, 2009); научном семинаре факультета материаловедения Харбинского технического университета (Харбин, КНР, 2008); Международных симпозиумах "Micro- and nano-scale domain structuring in ferroelectrics" (Екатеринбург, 2005 и 2009); Международной научной конференции «Физика диэлектриков» (Санкт-Петербург, 2008); XVIII Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков «Процессы переключения в сегнетоэлектриках и сегнетоэластиках» (Санкт-Петербург, 2008); XV Международной конференции "Dynamic system modeling and stability investigation' (Киев, Украина, 2011); Международной конференции "International Conference on Applied Mathematics and Interdisciplinary Research" (Тяньцзйнь, КНР, 2011); Международной научной школе-конференции "Asian School-Conference on Physics and Technology of Nanostructured Materials" (Владивосток, 2011); XVI Международном симпозиуме «Нано-физика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 2012); Всероссийской молодежной научной конференции «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образова-
ниє» (Благовещенск, 2012); Международном симпозиуме "11 International Symposium on Ferroic Domains and Micro- to Nanoscopic Structures and 11th Russia/CIS/Baltic/Japan Symposium on Ferroelectricity" (Екатеринбург, 2012).
Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах кафедр «Математический анализ и моделирование» и «Теоретическая и экспериментальная физика» Амурского государственного университета.
Публикации. По материалам диссертации опубликованы 64 работы, в том числе одна монография, 23 статьи - в ведущих рецензируемых отечественных и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК РФ (статьи [4, 5, 10, 16, 21] и переводные версии статей [2, 3, 7, 8, 12, 15, 23] в журналах, цитируемых международными базами Web of Science и Scopus), 33 статьи - в региональных журналах и в сборниках материалов Всероссийских и Международных конференций, получены 7 свидетельств о государственных регистра-циях программ для ЭВМ.
Личный вклад автора состоит в определении концепции работы и направлений исследований, в создании математических моделей, выборе методов решения, проведении компьютерных экспериментов, анализе и интерпретации полученных результатов. Все исследования, результаты которых изложены в диссертации, проведены лично соискателем или под его научным руководством. Из совместных публикаций в диссертацию включен только тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Вклад соискателя в подготовку работ, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем. В монографии оригинальные исследования соискателя представлены в третьей и пятой главах; кроме того, автором подготовлена первая обзорная глава и осуществлена общая редакторская и научная правка монографии.
Работы [9, 58] опубликованы в соавторстве с научным консультантом диссертации, при определяющем вкладе диссертанта в представленные результаты.
В совместных публикациях [2-5, 7, 12, 27-30, 32-34, 36] автором разработаны алгоритмы и программно реализованы принципиально новые математические модели: формирования изображения доменных структур сегнетоэлектриков в пироэлектрическом режиме [2-5, 27, 30, 32], движения доменной границы в поле градиента температуры [28-29], формирования тока переключения поляризации в инжекционном режиме [7, 34, 36], нелинейного пироотклика и восстановления профиля пирокоэффицента [12, 33]. Соавторам данных работ принадлежат оригинальные методики экспериментального зондирования сегнетоэлектриков в РЭМ (А.А. Согр, И.Б. Копылова) и результаты экспериментального исследования пироэлектрических свойств полярных диэлектриков (А.А. Согр, П.И. Кушнарев, СВ. Барышников).
Остальные совместные работы опубликованы в соавторстве с учениками соискателя. Автору диссертации в этих работах принадлежит ведущая роль в построении математических моделей физических процессов и вычислительных алгоритмов для их реализации. Аспирант А.В. Сивунов принимал участие в разработке систем компьютерного моделирования инжекционных и тепловых процессов в облученных материалах. Аспиранту Т.К. Барабаш принадлежат результаты исследования фрактальных и мультифрактальных свойств динамических характеристик сегнетоэлектрических материалов.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка. Рукопись диссертации содержит 329 страниц основного текста, 108 рисунков, библиографический список из 280 наименований.
Механизмы потерь энергии электронов в веществе
Так как изображение в РЭМ строится по информации, получаемой из то чек матрицы положений пучка на образце, по которому он сканирует, то, оче видно, для получения растровых изображений с высоким пространственным разрешением первым требованием является малый диаметр пучка. В идеальном случае диаметр области считывания информации пучком на образце должен равняться диаметру пучка. В действительности, однако, это не реализуется из за явления рассеяния электронов. В общем случае рассеяние просто означает взаимодействие между электроном пучка и атомами и электронами образца, ко торое проявляется в изменении траектории и (или) энергии электрона. При об суждении рассеяния ключевым понятием является сечение т, которое опреде ляется следующим образом [117]: где N — число соударений в единице объема, см" ; пм - число атомов, содержащихся в единице объема мишени, см"3; пР - число частиц, падающих на единицу площади, см"2. Из сечения для данного процесса можно рассчитать среднюю длину свободного пробега, или среднее расстояние, которое проходит электрон между определенными соударениями. Средняя длина свободного пробега Я равна [88, 116]: где А — атомный вес, г/моль; N0 — число Авогадро (6.02-10 моль" ); р — плот-ность, г/см ; а — сечение, см .
Так как а у = Ха/} для средних длин свободного пробега относительно каждого из взаимодействий можно записать: — = —. Длина пробега электро X І Xj на до взаимодействия — случайная величина, распределенная по закону: p{s) exp(—s/X). Таким образом, для длины свободного пробега имеем [88]: s = -X\n(l-Ci)=-X\n(Z)), (1.3) где , є [0,1 J — равномерно распределенная случайная величина.
Средняя длина свободного пробега для всех возможных событий Хр получается из рассмотрения всех возможных актов рассеяния и рассчитывается по выражению [35]: \/Я =\/Я1 +\/Я2 + 1//L, +, см.
Процессы, обусловленные упругим рассеянием электронов Как правило, рассматривают два вида рассеяния электронов: упругое и неупругое. Если имеет место упругое рассеяние, то изменяется направление вектора скорости электрона, а ее величина остается фактически постоянной и кинетическая энергия электрона не меняется. Образцу передается от электрона пучка энергия менее 1 эВ, которая пренебрежимо мала по сравнению с его первоначальной энергией. Электрон отклоняется от направления падения на некоторый угол (может принимать значения в пределах от 0 вплоть до 180, но его типичное значение составляет величины порядка 5). Упругое рассеяние происходит в результате столкновений электронов высокой энергии с ядрами атомов, частично экранированных связанными электронами. Сечение упругого рассеяния часто описывают с помощью модели Резерфорда [116]: r2 фф0)=1.62.1(Г2. -сГ , (1.4) где а( (р0) - вероятность рассеяния на угол, превосходящий ф0; Z- атомный номер рассеивающего атома; Е - энергия электрона (кэВ).
Сечение Резерфорда, рассчитанное как сечение электрона на атомном ядре в первом Борновском приближении, можно вычислить и по формуле где ф - угол рассеяния (система центра масс); Z - атомный номер рассеивающего атома; Е - энергия налетающей частицы; е — заряд электрона; v — скорость электрона; тс - масса электрона.
В случае использования приближения непрерывных потерь часто применяется сечение по модифицированной модели Резерфорда, учитывающее вклад процессов упругого и неупругого взаимодействия в изменение направления движения, что позволяет адекватно описать траекторию первичного электрона.
В отличие от экранированного сечения Резерфорда (1.6), (1.7) в нем член Z заменен на Z(Z + 1) для учета отклонения в процессе неупругих взаимодействий [104]:
При приближении ф к нулю сечение рассеяния возрастает до бесконечности. Исследование уравнения (1.7) показывает сильную зависимость от атомного номера и энергии пучка, причем сечение рассеяния возрастает как квадрат атомного номера и уменьшается обратно пропорционально квадрату энергии пучка. Для актов упругого соударения, в результате которых происходит рассеяние на углы больше 2, можно рассчитать величину средней длины свободного пробега между актами рассеяния. Так как средняя длина свободного пробега и сечение рассеяния обратно пропорциональны друг другу, то видно, что средняя длина свободного пробега возрастает при уменьшении атомного номера и возрастании энергии электрона. При прохождении различных материалов данной толщины вероятность упругого рассеяния больше в материалах с большим атомным номером и при низких энергиях пучка [117].
Сечение Резерфорда с экранированием может сильно отличаться от точного решения уравнения Дирака при рассеянии электронов на большие углы в области энергии 1 кэВ, в особенности для тяжелых атомов. Решение релятивистского уравнения Дирака при условии, что падающий электронный пучок не поляризован (составлен из частиц с разными спинами) дает сечение рассеяния Мотта [15].
Существуют также подходы, позволяющие уточнить сечение Резерфорда при помощи эмпирической поправки к сечению - например при помощи множителя tc Лилеквиста к длине свободного пробега (относительно упругого взаимодействия).
Эффекты, вызванные неупруггш рассеянием электронов
Вторым из основных видов рассеяния является неупругое рассеяние. При неупругом рассеянии энергия передается атомам и электронам мишени и кинетическая энергия электрона пучка уменьшается. Имеется множество возможных процессов неупругого рассеяния. Представляющие наибольший интерес в растровой электронной микроскопии и рентгеновском микроанализе: возбуждение плазмонов, эмиссия медленных вторичных электронов, ионизация внутренних оболочек, тормозное или непрерывное рентгеновское излучение, возбуждение фотонов.
1) Возбуждение плазмонов. Электрон пучка может возбуждать волны в «свободном электронном газе», который существует между ионами в твердом теле.
2) Возбуждение электронов проводимости, приводящее к эмиссии медленных вторичных электронов. Взаимодействие электрона пучка с твердым телом может привести к высвобождению слабо связанных электронов зоны проводимости. Эти вылетевшие электроны называются вторичными электронами, большинство которых имеет начальную кинетическую энергию 0-50 эВ.
3) Ионизация внутренних оболочек. Электрон, обладающий достаточно высокой энергией, при взаимодействии с атомом может вызвать освобождение сильно связанного электрона с внутренних оболочек, оставляющего атом ионизированным в высокоэнергетическом состоянии. Последующая релаксация этого возбужденного состояния приводит к эмиссии характеристического рентгеновского излучения и появлению Оже-электронов.
4) Тормозное или непрерывное рентгеновское излучение. Электрон пучка с высокой энергией может претерпевать торможение в кулоновском поле атома. Потеря энергии электронного пучка при таком торможении преобразуется в квант рентгеновского излучения, которое называется тормозным рентгеновским излучением. Так как энергетические потери в процессе этого торможения могут принимать любые значения, то тормозное рентгеновское излучение образует непрерывный спектр с энергией от нуля до энергии электронов пучка. Поскольку образование такого непрерывного рентгеновского излучения зависит от направления влета электронов пучка, угловое распределение излучения является анизотропным.
5) Возбуэ/сдение фононов. Значительная доля энергии, приносимая на образец электроном пучка, передается твердому телу за счет возбуждения колебаний решетки (фононы), т. е. за счет нагрева. В случае, когда электронный пучок падает на массивную мишень, область, в которой он отдает энергию, находится в хорошем тепловом контакте со всей массой образца, действующей в этом случае как эффективный тепловой сток. За счет этого предотвращается значительное увеличение температуры в бомбардируемой области. Для токов пучка порядка 1 нА в массивных образцах наблюдается обычно увеличение температуры на 10С или менее. В тонких образцах или при высоких токах пучка (1 мкА) может происходить существенный нагрев. При увеличении энергии значения всех сечений рассеяния уменьшаются.
Математическая формализация пироэлектрического сигнала. Составляющие пиросигнала
Изменение теплового поля кристалла, вызванного действием на него сканирующего электронного зонда, повлечет за собой изменение поляризации кристалла и приведет к протеканию в цепи короткозамкнутого образца поляризационного тока. Как было показано ранее (глава 1), формула для вычисления пиросигнала в случае трех пространственных переменных определяется скоростью изменения температуры в каждой точке кристалла (1.29). Таким образом, задача о форме пиросигнала сводится к задаче о распространении тепла в образце от локального источника.
В литературе, описывающей аналитические методы теории теплопроводности, широко представлены линейные модели диффузионных процессов переноса [134, 135]. К диффузионным процессам переноса относятся такие процессы, в которых возникновение потоков энергии или массы не связано с макроскопическим движением частиц, участвующих в тепловом хаотическом движении. К таким процессам, в частности, относятся диффузия, сопровождающаяся переносом массы, и теплопроводность, обусловливающая перенос энергии. В движущихся средах эти процессы следует рассматривать с учетом конвективного переноса энергии или массы.
Функция (3.32) (функция Грина) описывает температурное поле в различных точках пространства в любой момент времени, если в начальный момент времени в точке M (x ,y ,z ) мгновенно выделилось количество теплоты Q0 =рс. Функция (3.32) является фундаментальным решением уравнения теплопроводности. В частности, решение задачи Коши (3.29) с помощью функции G может быть записано в виде
Решением задачи Коши для неоднородного уравнения в общей постановке является суперпозиция решений (3.33) и (3.36).
С помощью фундаментального решения (3.32) можно определить температурное поле от непрерывного действующего точечного источника тепла постоянной мощности W, который начинает действовать в момент времени t = О и движется с постоянной скоростью v, например, в направлении оси Ох.
На рисунке 3.66 показан поверхностный график распределения производной температуры по координате х\ который и будет определять РЭМ-видеосигнал от точечного пиродомена, находящегося в нейтральной матрице. На рисунке 3.7в представлено расчетное изображение точечного домена, создаваемого движущимся зондом конечного размера. Изображению домена соответствуют два пика противоположного контраста. В случае пироактивной матрицы с пирокоэффициентом противоположного знака результат будет отличаться удвоением амплитуды и константой, равной пироотклику матрицы.
Для моделирования формы пироотклика и исследования особенностей формирования изображения доменной структуры сегнетоэлектриков в режиме пирозонда необходимо иметь четкое представление о распространении тепла в кристалле от движущегося точечного теплового источника.
На рисунке 3.7 представлено радиальное распределение продольной компоненты градиента температуры. При г и 1 наблюдается смена его знака, что обеспечивает обратный поток тепла.
Эта компонента пиросигнала обусловлена накоплением тепла в образце, т.е. имеет смысл кумулятивной составляющей.
Если тепловое поле достигло границы кристалла, то диффузия тепла через эту границу вызывает уменьшение кумулятивного пиросигнала. Изменение сигнала определяется составляющей пиротока 12, которая связана с утечкой тепла за пределы пироактивной области и может быть охарактеризована как диффузионная компонента
Движение среды следует учитывать при исследовании теплового поля в системе отсчета, связанной с движущимся зондом. Если считать, что границы домена и кристалла неподвижны относительно среды, третий член в правой части формулы (3.41) будет равен нулю.
Таким образом, задача моделирования формы пироотклика связана с исследованием влияния диффузионной составляющей на итоговый сигнал при наличии границы. Такими границами могут являться либо граница кристалла, либо доменная граница. Поэтому пироэлектрический сигнал определяется характером теплового поля и расположением границ.
Для того чтобы получить общие представления о поведении модели будем рассматривать в качестве границ S плоские и цилиндрические границы, считая при этом, что плоская граница соответствует междоменной, а цилиндрическая - границе кристалла.
Геометрия модельного образца показана на рисунке 3.8.
Для источника тепла, действующего вблизи поверхности кристалла, задача формулируется для полупространства. Дополняя полупространство до безграничного пространства и удваивая источник, можно считать, что удвоенный тепловой зонд действует в полном пространстве. Возможность дополнения рассматриваемого образца до безграничного связана с тем, что тепло не передается через границу кристалла.
Тепловое поле в точке х, г в момент времени / от точечного мгновенного источника, действующего в неограниченном пространстве в точке х , г в момент времени / , задается согласно выражению (3.32):
Автор работы [257] показал, что для электронного зонда РЭМ размер теплового источника соответствует не диаметру зонда, а области диффузии электронов, в которой происходит потеря их энергии. Данную область при соответствующих ускоряющих напряжениях можно считать полусферической и для расчета теплового поля вполне корректной является сферическая аппроксимация формы источника с удвоением его мощности. Однако при расчете пиротока по формуле (1.29) в полном пространстве результат необходимо удвоить.
Аналитическое описание процесса теплопроводности зависит от большого числа переменных и постоянных параметров. Это обстоятельство затрудняет численные расчеты. Становится весьма сложным привести результаты в единую систему, представить влияние отдельных факторов на течение процесса. Поэтому в теории теплопроводности при решении задач удобно нормировать переменные, использовав безразмерные комплексы или критерии подобия, которые конструируются на основе соответствующих зависимостей математической модели [135]. При этом происходит уменьшение числа определяющих параметров в аналитическом решении задачи, что и облегчает его числовую обработку. Использование нормированных величин делает модель универсальной, применимой к множеству подобных явлений.
Система имитационного моделирования теоретических микрофотографий сегнетоэлектрических доменных структур в пироэлектрическом режиме
Реальные доменные границы имеют более сложную форму, чем форма модельного кристалла, представленного на рисунке 3.8. С целью исследования основных закономерностей формирования пироэлектрического изображения на основе вычислительных экспериментов проведены проектирование и реализация прикладной программы, предназначенной для конструирования теоретических микрофотографий произвольных доменных конфигураций [198].
Основное программное приложение предназначено для конструирования теоретического изображения сегнетоэлектрических доменов, полученного растровым методом при помощи регистрации пироэлектрического сигнала от точечного теплового зонда, т.е. программа позволяет ответить на вопрос: «В каком виде было бы представлено изображение сегнетоэлектрических доменов в РЭМ, если бы в качестве видеосигнала был использован пироэлектрический сигнал, снимаемый с образца?».
Расчет основан на вычислении суперпозиции пиросигналов для каждого положения зонда на матрице изображения по всем позициям границ доменов. Программа предназначена для моделирования в нормированных переменных в соответствии с критериями Фурье и Пекле.
Математическая постановка задачи моделирования пироэлектрического отклика для зонда постоянной интенсивности (п. 3.2.1) и пульсирующего теплового зонда (п. 3.2.3) подробно описаны в разделе 3.2 главы 3.
Для определенности будем считать, что модельный расчет проводится по отношению к сегнетоэлектрическим кристаллам со 180-доменными стенками. Исходные растровые двумерные изображения доменной структуры соответствуют поверхностному распределению поляризации: черные области отвечают за положительные домены с направлением вектора спонтанной поляризации Ps «головой вниз» и белые области - за отрицательные домены с соответствующим направлением Ps - «головой вверх». Для задания пространственной доменной конфигурации предположим, что все домены имеют цилиндрическую форму, соответствующую такому полярному состоянию, при котором состоялось полное прорастание доменов сквозь кристалл (рисунок 4.13).
Предположим, что «сканирование» исходной доменной структуры происходит следующим образом: слева направо и сверху вниз, как это характерно для электронного зонда РЭМ. Далее осуществляется перевод черно-белого изображения в матрицу пирокоэффициентов, в нормированном виде соответствующих значениям у = ±1, одновременно считывается размерность матрицы двумерного изображения: NxM, і = 1, N, j -1, M. При «сканировании» доменной структуры определялись координаты местоположения границ (p,q). Для каждой позиции движущегося зонда (i,j) на границах вычислялось температурное поле. Моделирование проводилось для теплового поля, описываемого уравнением (3.37).
Дискретность растрового рисунка приводит к тому, что наклонная граница является ступенчатой и представляет собой набор элементов с взаимно -перпендикулярными ориентациями границ. Вследствие этого вклад в поток тепла дает лишь одна из компонент градиента температуры (4.1) в зависимости от ориентации элемента границы (рисунок 4.14), которые назовем «продольный» и «поперечный» соответственно.
Для реализации модели необходимо учесть направление ориентации элементарной площадки, определяемое знаком изменения пирокоэффициента в зависимости от того, состоялось ли пересечение зондом границы (находится ли зонд за границей или впереди нее). Изменение знака пирокоэффициента при пересечении зондом границ с различной ориентацией иллюстрируется на рисунке 4.15.
Таким образом, диффузионная компонента h рассчитывается по выражениям (3.43, 4.2), причем интегрирование по поверхности заменяется суммированием по элементарным компонентам hk с выбором составляющей градиента температуры — (для продольного элемента границы), либо — (для поперечит дуного элемента границы). Учет толщины кристалла d проводится интегрированием вглубь кристалла по третьей координате z в пределах от нуля до d. Геометрия модельной конфигурации показана на рисунке 4.16.
Кумулятивная компонента в нормированном виде определяется знаком пирокоэффициента в месте нахождения зонда Ix (i, j) = sign(y/ 7 j согласно соотношению (3.60). Следовательно, полный ток можно записать в виде
Яркость соответствующего элемента теоретической микрофотографии определяется величиной пиротока и для получения результирующей микрофотографии матрицу значений пирооткликов необходимо перевести в черно-белое растровое изображение («градации серого»). Итоговое изображение представляет собой расчетную микрофотографию доменной структуры, построенную на основных законах формирования видеосигнала в режиме пирозонда. Вычислительный эксперимент в данном случае позволяет моделировать процесс формирования видеосигнала и поточечное отображение на экране дисплея микрофотографии доменной структуры в РЭМ (глава 5).
Для наглядного представления возможностей визуализации доменной структуры с помощью пульсирующего теплового зонда методику расчета теоретической микрофотографии доменной структуры требуется модифицировать к случаю использования пульсирующего пирозонда [179]. Для соответствующих расчетов были использованы соотношения (3.68) - кумулятивная и (3.71) -диффузионная компоненты пиротока. В зависимости от способа регистрации сигнала выражение для пиротока было преобразовано к одному из следующих соотношений: 1) регистрация амплитуды пиросигнала: / = /j +/2; 2) регистрация синфазной составляющей: /=7,+Re(/2); 3) регистрация ортогональной составляющей: I = Im(/2) 3. Управление режимами работы программы
Для управления режимами работы программы разработана прикладная программа, позволяющая импортировать и экспортировать данные в виде растровых изображений, проводить обработку данных с учетом вариации значений параметров моделирования.
Физические параметры кристалла и условия экспериментального наблюдения: толщина d, усл. ед.; объемная плотность мощности источника/ усл. ед.; коэффициент тепловой диффузии а", усл. ед.; скорость сканирования v, усл. ед. и частота пульсаций зонда со, усл. ед. (в случае воздействия источника постоянной интенсивности и пульсирующего теплового зонда соответственно).
Результаты имитационного моделирования процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков в инжекционном режиме и модельный расчет токов переключения
Инициализация параметров математической модели
Расчет тока переключения для данной модели можно проводить в размерных величинах. Поскольку, всем параметрам, определяющим состояние модели, можно указать численные значения исходя из физического смысла прикладной задачи, приведем соответствующие оценки в таблице 5.5.
Значение параметра т2 определено в предположении, что поверхностная плотность инжектированных зарядов, необходимая для старта процесса переполяризации в кристалле ТГС GSI =1.7-10 Кл/м при плотности тока j = 0.5 10 А/м (в соответствии с экспериментальными данными [165]).
Вычисление площади под экспериментальной кривой тока [165] позволяет оценить стартовое значение плотности поверхностных зарядов, которое оказалось примерно равным: GS, 2PS/4. Полагая стартовое время переполяризации равнымт2, из последнего соотношения значение Тз будет величиной порядка 4т2. Как видно из дифференциального уравнения (3.107), определяющего поляризационный ток, параметр її влияет только на амплитуду тока, поэтому он может быть выбран эмпирически из анализа значения максимума на кривой тока переключения.
Для вычисления значения /0, указанного в таблице 5.5, проведено моделирование транспорта электронов методом Монте-Карло в программном приложении, представленном в разделе 4.1, при значении энергии ускоряющего напряжения Ео=\ 5кэВ.
Для реализации фрактальной модели проведем расчет фрактальных характеристик РЭМ-изображений доменных структур и фрактальных параметров тока переключения по данным физического эксперимента на примере типичного сегнетоэлектрического кристалла триглицинсульфата. Подобный апостериорный количественный анализ данных натурного эксперимента свидетельствует о фрактальности процесса переключения поляризации сегнетоэлектриков в режиме токов электронно-стимулированной поляризации и служит основанием для разработки модифицированной по отношению к исходной, детерминированной модели (3.103), (3.107) фрактальной математической модели, сформулированной в постановке (3.117) —(3.119).
Рассмотрим применение описанных в п. 3.4.3.1 главы 3 фрактального и мультифрактального методов для анализа растровых изображений доменных структур. Тестирование разработанных программ, реализующих фрактальный и мультифрактальный методы анализа двухмерных структур, было проведено на примере абстрактных математических фракталов «Ковер Серпинского» и для деидритоподобной структуры — фрактала Микина (абсолютная погрешность не превышала значения 0.01).
Результат фрактального анализа методом фрактальной параметризации растрового изображения продемонстрирован на рисунке 5.56. На вставке к рисунку 5.56 приведен фрагмент микрофотографии РЭМ-изображения типичной доменной структуры. График на рисунке 5.56 демонстрирует зависимость числа квадратов N, покрывающих кластер, от их размера г, построенную в двойном логарифмическом масштабе. Полученное дробное значение размерности = 1.86 характеризует самоподобие исследуемого изображения доменной структуры.
Носителем фрактальной меры является множество VP, представляющее собой объединение фрактальных подмножеств 4Ja. Все множество х характеризуется фрактальной размерностью D, а каждое из подмножеств vFa - величиной f(a D). Анализ данного спектра позволяет определить набор размерностей, образующих исследуемое множество точек, а также оценить ширину фрактального спектра (Да «1). Таким образом, представленное на рисунке 5.56 изображение доменной структуры кристалла ТГС имеет самоподобное строение с распределением фрактальной размерности в диапазоне 1.7-2.7. Значение ( 7 = 0)«1.86 соответствует фрактальной размерности, вычисленной по программе анализа изображений, использующего метод покрытий.
Несмотря на то, что методы анализа изображений достаточно наглядны и алгоритмически привлекательны, для их использования существуют весьма серьезные ограничения. Так как фотография является двухмерной проекцией реального объекта, то ее фрактальная размерность не может превышать 2. В ряде работ, как, например в [215], исследовался вопрос: можно ли восстановить истинную размерность объекта по размерности его проекции. Исследователи пришли к следующему заключению: размерность образа совпадает с истинной фрактальной размерностью, если размерность частицы меньше двух. В случае, когда истинная фрактальная размерность больше двух, проекция должна обладать фрактальной границей, однако сама фрактальной не будет. Таким образом, применение методов анализа двухмерных структур в большинстве случаев ограничено объектами с размерностью меньше двух, а при ее увеличении точность измерений существенно ухудшается.
Расчет фрактальной размерности в данном случае позволяет численно оценить степень изрезанности и шероховатости наблюдаемых границ. В течение процесса переключения кристалла ТГС под действием электронного облучения изображение доменной структуры изменялось. При повышенных ускоряющих напряжениях заметное боковое движение границ не наблюдается, а наблюдается «эрозия» доменов, связанная с возникновением новых областей переполяризации. Из анализа данных можно заключить, что фрактальная размерность изменяется в последовательных стадиях переключения в диапазоне значений от 1.75 до 1.96.
Однако не только доменные структуры сегнетоэлектриков, но и динамические характеристики процесса переключения поляризации отличаются фрактальными свойствами. Для количественной оценки фрактальных свойств кривая импульса тока переключения поляризации была проанализирована методами фрактального анализа временных рядов (п. 3.4.3.2 главы 3). Проведенная программная реализация метода /.S-анализа позволяет для данного набора экспериментальных данных токовых зависимостей оценить величину фрактальной размерности процесса переключения.
На рисунке 5.58 представлен результат расчета показателя Херста методом / -анализа. Значение показателя Херста оказалось равным //=0.73. Применение методики R/S-анализа подтверждает, что рассматриваемый процесс переключения поляризации сегнетоэлектрика носит не случайный характер, а в процессе формирования последующих состояний системы учитываются предыдущие состояния, т.е. присутствует так называемый эффект памяти. Самоорганизованное движение доменных границ носит персистентный характер.
