Содержание к диссертации
Введение
1 Геоакустическая эмиссия земной коры 17
1.1 Физическая постановка задачи 17
1.2 Геоакустическая эмиссия в условиях деформационных возмущений 23
1.3 Деформации земной коры в сейсмоактивном регионе . 24
1.4 Выводы 28
2 Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния земной коры 30
2.1 Математическая постановка задачи о напряженном состоянии земной коры 30
2.2 Сосредоточенные силы в неограниченном теле. Решение Кельвина 33
2.3 Сосредоточенные силы в упругом полупространстве. Решение Миндлина 34
2.4 Моделирование земной коры с учетом фрактальных свойств 43
2.5 Реологическая модель горных пород земной коры 50
2.6 Выводы 60
3 Математическое моделирование зон геоакустической эмиссии 62
3.1 Моделирование нелинейного разуплотнения земной коры . 62
3.2 Численный расчет полей деформаций в условиях подготовки землетрясения в земной коре 68
3.3 Вычисление зон геоакустической эмиссии 83
3.4 Алгоритм определения направления акустического излучения 84
3.5 Результаты расчета интенсивности геоакустической эмиссии 87
3.6 Выводы 89
Заключение 91
Список литературы 93
- Геоакустическая эмиссия в условиях деформационных возмущений
- Сосредоточенные силы в неограниченном теле. Решение Кельвина
- Моделирование земной коры с учетом фрактальных свойств
- Численный расчет полей деформаций в условиях подготовки землетрясения в земной коре
Введение к работе
Явление генерации упругих воли, вызванных внезапной перестройкой в структуре материалов, находящихся в напряженно-деформированном состоянии, называется акустической эмиссией. Источником акустической энергии служит поле упругих напряжений. Упругие колебания наблюдаются в разнообразных условиях и в широком диапазоне длин волн (от тысяч километров сейсмических волн в земной коре до нанометров дислокационных подвижек и связанных с ними колебаний в различных средах). Если речь идет об упругих колебаниях в частотном диапазоне примерно 10-20000 Гц, то их называют акустическими. Они и будут рассматриваться в данной работе.
В лабораторных условиях акустико-эмиссионный контроль позволяет изучать процессы деформации и разрушения материалов [76, 7, 64]. Он дает возможность вести наблюдение за поведением сред при изменении нагрузки. При этом основными источниками упругих волн выступают возникающие и растущие трещины. Связь между характеристиками акустических сигналов (интенсивность, амплитуда и т.п.) и параметрами источников акустической эмиссии позволяет использовать акустико-эмиссионный контроль для диагностики материалов, сред и различных технических объектов. Зачастую к методу акустико-эмиссионного контроля существуют следующие подходы. Первый заключается в установлении экспериментальной связи между средней интенсивностью акустических сигналов и дефектов в структуре наблюдаемого объекта. Таким образом, знание о том как себя проявляет тот или иной образец в условиях на-
ВВЕДЕНИЕ 5
гружения, позволяет сделать вывод о механизме трещинообразования в материале. В отличии от данного подхода возможно получить теоретическую закономерность между параметрами развития дефекта и характеристиками излучаемых упругих волн. Далее нужно применять полученные закономерности для акустико-эмиссионного контроля различных сред.
Метод акустической эмиссии используется как одни из методов нераз-рушающего контроля состояния технических систем, поскольку современная регистрирующая аппаратура чрезвычайно чувствительна к любым видам структурных изменений материалов.
В геофизике метод акустико-эмиссионного контроля применяется при изучении состояния горных пород [65, 28, 26]. На камчатском геодинамическом полигоне ИКИР ДВО РАН (Камчатский край, Елизовский район, и. Паратупка) проводит исследование высокочастотной геоакустической эмиссии в открытых водоемах с помощью систем направленных гидрофонов и векторно-фазового приемника. В экспериментах [28] было установлено, что за несколько часов до землетрясения происходит повышение интенсивности геоакустической эмиссии на пунктах наблюдений, расположенных на расстоянии сотен километров от будущего очага. При этом направленность геоакустических сигналов обладают ярко выраженной анизотропией, что позволяют определить направление на источник напряжений. Одним из методов наблюдения за подготовкой сейсмического события может быть измерение интенсивности геоакустической эмиссии горных пород, вариации которой можно рассматривать как предвестник землетрясения. Исследование изменений в различных геофизических полях имеет большое практическое значение для разработки методов оценки сейсмической опасности.
Необходимость обоснования того, что геоакустическая эмиссия является следствием деформационного процесса в области подготовки землетрясения, требует расчета зон геоакустической эмиссии, определяемых
ВВЕДЕНИЕ 6
уровнями деформаций земной коры, и исследования зон дилатансии для случая двойной силы, как возможного источника напряжений в очаге землетрясения.
Вариации интенсивности геофизических полей в сейсмоактивных регионах связывают с изменением напряженно-деформированного состояния в окрестности очагов землетрясений. Поля напряжений и деформаций земной коры исследовали Теркот Д., Шуберт Дж., Николаевский В.Н., Алексеев А.С, Добровольский И.П., Okada Y., Касахара М., Аки К., которые предпринимали попытки расчета и оценки напряженно-деформированного состояния горных пород в окрестности очагов землетрясений.
В работе [1] Алексеевым А.С. предложена физико-математическая модель дилатансии горных пород с источником напряжений в виде простой силы. Длительный процесс подготовки сейсмических событий сопровождается накоплением упругой энергии в земной коре. В результате чего при продолжительной нагрузке и достижения наряжений критических значений может происходит разуплотнение горных пород. Сам по себе механизм разуплотнения связан с нарушением сплошности среды. В качестве простейшей модели данного процесса было рассмотрено упругое полупространство с простой сосредоточенной силы, и введен критерий для точек полупространства, которые попадают в область дилатансии.
Если говорить о возможности повышения интенсивности геоакустической эмиссии, которая является прямым следствием изменения напряженно-деформированного состояния горных пород, то в области дилатансии при подготовке землетрясения будет возрастать амплитуда геоакустических сигналов с увеличением напряжений.
Дилатансия горных пород является одним из возможных механизмов, описывающий геоакустическую эмиссию при подготовке землетрясения. Существенным недостатком является то, что формирование зон дила-
ВВЕДЕНИЕ 7
тансии скорее всего может быть связано с очень длительным периодом времени накопления напряжений в окрестности очага землетрясений.
В целом, источниками акустической эмиссии служит поле упругих напряжений, которое генерируется раскрытием трещин. Вторым наиболее активным процессом, приводящим к акустической эмиссии, является движение по границам неоднородностей и разломов, которые имеются в реальной среде, в данном случае в горных породах. Но процесс раскрытия трещин возникает при разрушении среды [56, 55], и поле напряжений достигают разрушительных значений. В случае наблюдений геоакустической эмиссии при подготовке землетрясения раскрытие трещин на удалении сотен километров маловероятно, хотя и нсисключено. Поэтому сигналы акустической эмиссии являются подвижкой по границам существующих неоднородностей. В связи даже незначительные изменения напряженно-деформированного состояния могут приводит к эмиссии.
Акустическая аппаратура обладает очень чувствительными датчикам, поэтому геоакустические предвестники землетрясений могут проявляется и меньших уровнях деформаций. Поэтому исследование уровней напряжений и деформаций в окрестности очагов землетрясений является ключевым моментом для того, чтобы указать связь между наблюдаемыми эффектами в геоакустической эмиссии и сейсмическим событием. Нужно так же, отметить, что наблюдаемая эмиссии является высокочастотной (6-11 кГц), то и источники, излучающие упругие волны, расположены на расстоянии до сотни метров от станций.
В работе [20] предпринимались попытки оценить радиус деформационного влияние землетрясения. Полученная эмпирическая зависимость радиуса области от энергии землетрясения указывает размер зон вокруг землетрясения, где относительные деформации превышают приливную деформацию 10~8 Земли. Однако, другие уровни деформаций не рассматриваются. То есть не возможно выделить зоны деформаций горных пород,
ВВЕДЕНИЕ 8
превышающие приливные.
В работах [19, 18] строится модель поля деформаций поверхности земной коры с мягким включением. Область очага землетрясения обладает отличными от остальной части пространства физическими свойствами. В результате данная модель дает возможности вычисления напряженно-деформированного состояния в окрестности очага землетрясения.
В работе [90] в качестве модели земной коры предлагается упругое полупространство. Исследуются возможные деформации земной коры при различных механизмах очага землетрясений (сосредоточенные источники, движения по границам разлома и т.п.). Однако, уровни относительных деформаций не рассматривается, а анализируется смещение дневной поверхности земной коры при возможном механизме очага.
Важные результаты по исследованию геодинамики Тихоокеанского Активного пояса получены в работе [38], в которой были использованы методы математического моделирования тектонических процессов с целью изучения современного движения коры и литосферы.
Выполнено математическое моделирование зон геоакустической эмиссии по уровням относительных деформаций земной коры. В состояниях между дилатансией и уровнем приливных деформаций можно выделить зоны, в которых будет повышенная интенсивность геоакустической эмиссии.
Важно, отметить, что если бы рассматривалось поле деформаций именно вблизи очага землетрясения, то необходимо было бы учитывать механизм очага. Но на большом удалении порядка первых сотен километров данный вопрос не является столь важным. Поэтому не затрагивая механизма очага землетрясения предложена модель земной коры с двумя типами сосредоточенных сил: простая сила и двойная сила.
По мимо появления предвестников в высокочастотной геоакустической эмиссии иа удалении сотен километров от источника деформационных
ВВЕДЕНИЕ 9
возмущений сами сигналы геоакустической эмиссии обладают выраженной анизотропией. Что требует объяснения в рамках выбранной модели земной коры. В этом случае можно по известным диаграмма направленности акустического излучения сдвиговых источников вычислить их пространственное распределение в предположении, что они ориентированы в направлении максимальных касательных напряжений.
В совместных экспериментах по измерению деформаций земной коры и геоакустической эмиссии установлено, что постепенно к моменту наступления сейсмического события сигналы акустической эмиссии начинают затухать. Это обусловлено, тем, что при наблюдаемом уровне деформаций постепенно происходит релаксация напряжений в окрестности станции наблюдений. Релаксации напряжений могут быть описаны с помощью реологических моделей. В зависимость от механических и физический свойств рассматриваемой среды релаксационные процессы будут иметь свой вид. Для математического моделирования напряженно-дефомированного состояния горных пород применяются модели, содержащие комбинации упругих, вязких и пластических элементов [67, 61]. Так же в механике грунтов и осадочных горных пород применяются модели разномодульных [37] и сыпучих сред [58, 57, 60, 59, 63, 62]. В экспериментах известно, что горные породы земной коры проявляют разные свойства при нагружении. Так пределы прочности на сжатие и растяжение могут отличаться на несколько порядков. В связи с этим разработан подход к моделированию таких сред с помощью элемента - жесткий контакт [62].
Относительно геоакустической эмиссии перед землетрясением можно отметить, что резкое изменение напряженного состояния земной коры происходит упруго, а вот дальнейший процесс может быть описан в рамках вязкого приближения среды. Предполагается, что наиболее подходящая модель такого процесса - вязкоупругая модель Максвелла. Свойства
ВВЕДЕНИЕ 10
разномодулыюсти горных пород не учитываются.
Реальные породы земной коры обладают довольно сложным строением. Учет различного рода свойств пород, таких как трещиноватость, неоднородность строения, может быть выполнено с помощью вязкоупругой модели Максвелла для фрактальной среды. В данном случае, классическая производная при конечных деформациях и напряжениях обобщается с помощью дробной производной по Капуто. Получаемые законы релаксации напряжений имеет более затянутый асимптотический вид. Как показывают работы по применению аппарата дробного дифференцирования в реологических моделях [39], возможно установить связь между показателями дробности оператора дифференцирования и фрактальными свойствами среды.
Плотность мощности акустического излучения пропорциональна дис-сипативной функции. В диссертационной работе предложен метод оценки диссипативной функции по закону релаксации напряжений в среде. Важно заметить, что получено обобщение релаксационных законов напряжений в случае, когда модель учитывает фрактальные свойства горных пород. Данный вопрос был решен в рамках вязкоупругой модели Максвелла при постоянных деформациях.
Целью работы является математическое моделирование областей геоакустической эмиссии на основе расчета полей напряженного состояния земной коры в условиях деформационных возмущений. С помощью методов математического моделирования дано объяснение особенностям геоакустической эмиссии: пространственному распределению источников, направленности и интенсивности излучения, которые определяются полем деформаций. Сами геоакустические сигналы при этом не рассматриваются.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
ВВЕДЕНИЕ 11
выбор и обоснование модели среды в приближении упругого однородного полупространства с двумя типами источников напряжений: простая сосредоточенная сила и двойная сила;
построение и нахождение решения вязкоупругой модели Максвелла в трехмерном случае с учетом фрактальных свойств, применяя аппарат дробного дифференцирования;
численное моделирование напряж енно-деформирован ного состояния горных пород с использованием критериев максимальных касательных напряжений и дилатансии;
вычисление пространственного распределения диаграмм направленности акустического излучения в земной коре с помощью упругой модели напряженного-деформированного состояния горных пород;
получение аналитической формулы, описывающей диссипативиые процессы в среде в рамках вязкоупругой модели Максвелла;
Структура работы
В первой главе изложены основные результаты наблюдений геоакустической эмиссии в сейсмоактивном регионе у берегов Камчатки. Приведены результаты геоакустических сигналов полученные с помощью системы направленных гидрофонов и комбинированного приемника. Рассмотрена общая характеристика сигналов в различные периоды деформационных возмущений. Показаны экспериментальные результаты измерения деформаций земной коры в районе пунктов наблюдений. Приведено согласование интенсивности геоакустической эмиссии и деформационных возмущений перед сейсмическим событием. Поставлены вопросы, которые возникли в результате наблюдений геоакустической эмиссии.
ВВЕДЕНИЕ 12
Во второй главе рассматриваются математические модели напряженно-деформированного состояния горных пород. В качестве модели земной коры было выбрано упругое однородное полупространство и рассмотрена постановка задачи классической теории упругости. В упругом однородном полупространстве с сосредоточенным источником напряжений в виде простой силы рассматривается решение для вектора смещения. Приводятся формулы полей напряжений для простой сосредоточенной силы и двойной силы. Предпринята попытка построения модели механики твердого тела с учетом фрактальных свойств. В классическое уравнение теории упругости вводятся операторы дробного дифференцирования.
Предложена трехмерная реологическая модель Максвелла для вычисления релаксации поля напряжений. Фрактальные свойства горных пород учитываются с помощью обобщения трехмерной вязкоупругой модели Максвелла. Выполнена замена операторов дифференцирования на оператор дробного дифференцирования по Капуто в вязкоупругой модели Максвелла. При постоянных деформациях получено решение обобщенной вязкоупругой модели в терминах функции Миттаг-Леффлера.
В третьей главе выполнены численные расчеты зон дилатансии в случае сосредоточенного источника в виде двойной силы. Показан вид ди-латансной области в окрестности очага землетрясения. Вычисленные зоны геоакустической эмиссии по уровням относительных деформаций земной коры сопоставлены с зонами дилатансии. Численное моделирование пространственного распределения зон геоакустической эмиссии показывает, что они имеют больший размер нежели области нелинейного разуплотнения. В этом случае, дано подтверждение возможности появления геоакустических предвестников на удалении сотен километров от землетрясения. Для конкретных сейсмических событий вычислены сдвиговые деформации и сопоставлены с наличием повышения интенсивности гео-
ВВЕДЕНИЕ 13
акустической эмиссии за несколько часов до землетрясения.
Приведен алгоритм вычисления пространственного распределения анизотропии акустических сигналов по направлению максимальных касательных напряжений. По вычисленному полю напряжений определены направления акустического излучения. Указана возможность сопоставления данных модельных вычислений с экспериментальными результатами для локации области повышенных напряжений.
Выражение релаксации напряжений в вязкоупругой модели Максвелла при постоянных деформациях позволяет получить закон диссипатив-ной функции, которая описывает интенсивность акустической эмиссии в среде.
В заключении приведены основные результаты и выводы работы.
Достоверность результатов
В работе применяются методы линейной теории упругости для математического моделирования напряженно-деформированного состояния полупространства. Используется вязкоупругая модель Максвелла для трехмерных сред. Для обобщения классических моделей теории упругости на среды с фрактальными свойствами использован аппарат дробного дифференцирования. Используются известные принципы формирования диаграмм направленности акустического излучения сдвиговых источников. Получено хорошее согласие расчетов с данными геоакустических наблюдений в отношении размеров пространственных зон эмиссии и распределения акустического излучения по направлениям.
Практическая ценность
Работа выполнена по планам научных исследований Института кос-мофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, в
ВВЕДЕНИЕ 14
рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 16 и проекта Президиума ДВО РАН №06-1-Ш6-070. Результаты работы заложили основу понимания процессов формирования высокочастотной геоакустической эмиссии в областях деформационных возмущений и используются при анализе экспериментальных данных. Установленная связь диаграммы направленности геоакустического излучения с осью наибольшего сжатия может быть использована в технических системах акустического контроля для локации источников напряжений. Результаты работы в целом могут быть использованы при разработке методов оценки уровня сейсмической опасности.
Личный вклад
Автором работы созданы алгоритмы и программы для вычисления полей напряжений в различных случаях сосредоточенных источников. В явном виде получены выражения компонент тензора напряжений для задачи Миидлина в случае двойной сосредоточенной силы. Найдено аналитическое решение для напряжений в рамках трехмерной реологической модели Максвелла. На основе модели Миидлина и реологической модели Максвелла дано объяснение наблюдаемым особенностям геоакустической эмиссии.
Основные положения, выносимые на защиту
математическая модель и методика расчета зон геоакустической эмиссии, позволяющие объяснить особенности пространственного распределения источников сигнлов в условиях деформационных возмущений
алгоритм расчета формирования анизотропии направленности гео-
ВВЕДЕНИЕ 15
акустических сигналов в упругом полупространстве
решение вязкоупругой модели Максвелла с учетом фрактальных свойств горных пород для оценки интенсивности геоакустической эмиссии
Апробация работы
Основные результаты и выводы, приведенные в диссертации, докладывались на 7 российских конференциях: VI Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи, Москва, 2006; Региональная молодежная научная конференция "Исследование в области наук о Земле (география, геология, геофизика, геоэкология, вулканология) " , г. Петропавловск-Камчатский, 2006; IV Международной конференции "Солнечно-земные связи и предвестники землетрясений" , Камчатский край, Елизовский район, п. Паратунка, 2007; IX Всероссийская конференция с участием иностранных ученых "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" , г. Барнаул, 2007; I Научно-техническая конференция "Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока России" , г. Петропавловск-Камчатский, 2007; Региональная молодежная научная конференция "Исследование в области наук о Земле (география, геология, геофизика, геоэкология, вулканология) - 2008" , г. Петропавловск-Камчатский, 2008; VII Всероссийская конференция молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" , г. Новосибирск, 2009.
ВВЕДЕНИЕ 16
Список работ, опубликованных по теме диссертации
По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 4 статьи в ведущих рецензируемых журналах, входящих в список ВАК, 5 статьи в материалах и трудах конференций и 1 программная разработка, зарегистрированная в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. Основные результаты работы были опубликованы в работах [10, 11, 12, 13, 32, 49, 50, 51, 52]. Вычислительные алгоритмы были зарегистрированы в программе для ЭВМ [48].
Геоакустическая эмиссия в условиях деформационных возмущений
Результаты наблюдений геоакустической эмиссии в искусственных водоемах показывают, что не все сейсмические события, происходящие на Камчатке, сопровождаются эмиссионными возмущениями. При этом существует область, где происходят сейсмические события, но ни одно из них не имеет ярко выраженных повышений геоакустической эмиссии.
На рис. 1.5 показаны эпицентры землетрясений по признаку наличия (кружок) или отсутствия (крест) повышения интенсивности геоакустической эмиссии. События группируются в разных областях, которые во многом повторяются для станций наблюдений на р. Карымшина и оз. Микижа. Нужно отмстить, наличие области, где происходят землетрясения, но отсутствуют какие-либо геоакустические предвестники. Таким образом, энергия геоакустических сигналов существенно зависит не только от параметров сейсмического события (энергетического класса и расстояния до гипоцентра), но и от его местоположения. Данный факт является следствием неоднородности геодинамического полигона полуострова Камчатка, сложного геологического строения земной коры, системы региональных разломов.
Экспериментальные исследования связи геоакустической эмиссии с деформационными процессами сейсмоактивного региона были даны работах [21, 31, 17]. В районе пунктов наблюдений геоакустической эмиссии был установлен лазерный деформограф. Синхронные записи геоакустической эмиссии и деформографа показаны на рис. 1.6. В моменты роста деформаций наблюдаются всплески геоакустической эмиссии.
Однако, лучшая корреляция была получена между скоростью деформаций и интенсивностью геоакустической эмиссии. На рис. 1.7 показан расчет скорости деформаций и ее сопоставление с геоакустическим сигналов, из которого следует, что амплитуда акустических возмущений лучше соответствует скорости деформаций.
Расчеты корреляции между рядами деформации, скоростей деформации и интенсивности геоакустической эмиссии указывают на то, что геоакустическая эмиссия в большей степени является следствием скорости изменения напряженно-деформированного состояния и в меньшей определяется уровнем деформаций [31].
Деформационные процессы в окрестности землетрясений определяют ориентацию трещин и подвижек по границам неоднородностей горных пород. При этом за счет особенностей диаграмм излучения упругих волн сдвиговыми источниками [24] формируется анизотропное распределение акустических сигналов [28]. В работах [28, 27] подробно исследована анизотропия сигналов направленных гидрофонов и комбинированного приемника.
Пример анизотропии сигнала геоакустической эмиссии, предваряющего землетрясение 12.05.2002 (К = 11.1, D = 218 км, ) 12.05.2002 в 22 : 15 : 29 по UT, 53.69 N, 160.88 Е, D = 218 км, Я = 26 км, К — 11.1, приведен на рис. 1.8. Направления прихода сигнала испытывают сильные флуктуации. Наблюдается флуктуации потоков геоакустических импульсов с различных направлений. Векторное сложение потоков дает возможность получения диаграммы направленности излучения.
На рис. 1.8 показано, что наиболее сильное излучение принято северным датчиком, более слабое - восточным, и совсем слабое - южным. Таким образом, векторное сложение амплитуд сигналов дает направление на эпицентр землетрясения, которому предшествовал данный геоакустический сигнал. Расчетный азимут - 63, фактический - 57.
По статистике [28] в среднем отклонение расчетных направлений от фактических составляет 27.8. Из анализа данных комбинированного приемника было установлено, что отклонение от направления на эпицентр составляет 10 — 20 [36]. На рис. 1.9 показаны примеры анизотропии геоакустических сигналов, зарегистрированных комбинированным приемником.
Сосредоточенные силы в неограниченном теле. Решение Кельвина
Пусть в неограниченном упругом теле действуют массовые силы J Q(x), распределенные в ограниченной области V. Действие сил вызывает деформацию тела, убывающую по мере удаления от области V и принимающую па бесконечности нулевое значение. Массовые силы будет иметь вид сосредоточенных источников расположенных в начале координат. 1. Рассматриваемая краевая задача Кельвина имеет решения в виде ядер деформаций, которые зависят от типа сосредоточенного источника. Ядра деформации выражаются через вектор Галеркина. Обозначим R = (х2 + у2 + Напряжения, задаваемые вектором Галеркина, стремятся к нулю на бесконечности. Подставляя выражения вектора Галеркина в систему (2.9) будем получать аналитические решения для упругого пространства. Всевозможные комбинации решений Кельвина для неограниченного пространства позволяют получить аналитическое решение для ограниченных областей: полупространства, четверть пространства и т.п. Задача Миндлина заключается в определении поля перемещений, вызванного произвольно ориентированной силой, приложенной в точке с упругого полупространства. Плоскость z = О свободна от напряжений. Для задачи Миндлина решение может быть получено комбинацией ядер деформации задачи Кельвина в зависимости от типа сосредоточенной силы. Решения задачи Миндлина в этом случае по аналогии с задачей Кельвина могут быть названы ядра деформации для полупространства [881. Обозначим RY = (х2 + у2 + (z - с)2)\ R2 = (х2 + у2 + (z + с)2) 2. Постоянный сомножетель опускается. Вектор Галеркина для простой сосредоточенной силы:Миндлина [87]. Упругое полупространство ограничено плоскостью z = О и совпадает с положительным направление оси OZ. Граница полупространства свободная. Сосредоточенный источник расположен вблизи свободной границы.
Простая сосредоточенная сила находится в точке (0, 0, с) рис. 1 а. Двойная сила получается суперпозицией простых сил. В этом случае в явном виде получаются формулы вектора Галеркина для двойной силы и аналитическое решение тензора напряжений. В случае двойной силы поле напряжений будет выражаться через разность вектора Галеркина для простой силы в двух точках полупространства Н(—/г/2,0, с) — Н(/г/2,0,с). При h — 0, F — оо поле напряжений определяется величиной, которая называется вектором Галеркина для двойной силы дН/дх. В Н стоит модуль простой силы F, а в дН/дх - величина двойной силы М = F -h Вектор Галеркина для двойной силы в направлении оси ОХ [88]: Подстановка вектора Галеркина (2.15) в (2.8) и (2.8) дает решение для компонент тензора напряжений в случае сосредоточенного источника в виде двойной силы. В литературе в явном виде формулы тензора напряжений для двойной силы не приводятся. Тензор напряжений в случае двойной силы направленной по оси ОХ имеет вид:
Горные породы земной коры обладают сложной структурой. Разломы и трещины существуют на различных масштабах в земной коре. Одной из подходящих моделей такой вложенности трещин на различных масштабах может служить фрактальное множество. Для учета фрактальных свойств реальной среды предполагается использование операторов дробного дифференцирования в замен классической производной. Попытки обобщить уравнения диффузии и волнового уравнения на случай дробных производных [54, 40] позволили получить решения задач и проводить экспериментальную проверку полученных моделей. В настоящем разделе предпринята попытка формальной замены операторов дифференцирования для получения статического уравнения вектора смещения, которая в частном случае при целой степени дробного оператора дифференцирования переходит в классическое уравнение 2.1.
В работе предполагается, что учет фрактальных свойств земной коры позволит уточнить пространственное распределение областей напряжений и деформаций. Однако, существует довольно много вопросов связанных с математическим решением поставленной задачи. Моделирование напряженно-деформированного состояния сплошной среды с фрактальными свойствами можно выполнить с помощью замены классических производных дробными производными. Уравнение равновесия имеет вид
Моделирование земной коры с учетом фрактальных свойств
Условие тождества а = /3 необходимо для согласования размерностей напряжений и деформаций. Дополнение уравнения 2.20 граничными условиями дает краевую задачу в случае фрактальной среды. Краевые условия будут зависеть от типа дробного оператора. Вопрос о решении такого рода задачи остается открытым. Но позволяет высказать предположение, что введение дробных операторов позволит учесть фрактальные свойства среда и получить более точное напряженно-деформированное состояние земной коры. Формальная замена операторов дифференцирования довольно широко применяется при обобщении классических уравнений на дробные порядки. Но в этом случае и сами физические величины, входящие в данные уравнения могут уже иметь не классическую размерность.
В работах [81, 82] предпринимается попытка получить уравнения механики твердого тела с помощью аномальных физических размерностей напряжений сг и деформаций . Устанавливается связь между размерностями Хаусдорфа-Безиковича твердого тела и величинами сг , є . Подход с использованием физических величин определенных для фрактальной сплошной среды может быть использован для моделирования деформационных процессов в земной коре, которая представляет собой среду с разломами и трещинами разных масштабных уровней [84]. Макроскопические деформации в твердых телах сопровождаются поэтапными мезоструктурными изменениями. Примерами такого нерегулярного поведения могут служить проскальзывание в металлах и горных породах, накопление повреждений в бетонных материалах, прерывистое движение по неоднородным границам. Данные явления представляют собой разные физические процессы, но в них наблюдается симметрия на разных масштабах. Экспериментальное подтверждение фрактальной структуры в средах с микротрещинами, порами и шероховатыми поверхностями приводится в работе [80]. Фрактальные множества характеризуются самоподобной структурой и нецелочисленной размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Механические величины определены в предположении целой размерности. Попытки расширить определение механических величин во фрактальной среде предпринимались в работе [91].
Рассмотрим деформацию тела на фрактальном множестве. Пусть под действием внешних сил тело получило деформацию. Тогда на каждом масштабном уровне п наблюдений удельная работа на единицу объема равна Wn. с другой стороны полная энергия L в теле на зависит от масштабного уровня, так как действующие силы уравновешены. Тогда должно выполняется следующие выражение: где ft - размерность Хаусдорфа-Безиковича деформированного тела, которая равна [L]Su}. Таким образом работа W имеет аномальную размерность [-Р][]- ш-1. Величина W является масштабно-инвариантной. Для определения напряжения на фрактальном множестве используют отношение силы на размерность поверхности. В классическом случае размерность напряжений равна [.F][L] 2. На макроуровне напряжения не учитывают микроструктурных особенностей деформированного тела. В реальной ситуации материалы, металлы, горные породы и другие твердые тела обладают микронеоднородностями, описание которых может быть проведено с помощью фрактальной геометрии. Например, пористые среды могут иметь поры с различными характерными размерами. Тогда на каждом масштабном уровне напряжения в такой структуре могут зависеть от фрактальных свойств поверхности. Напряжения могут быть определены на фрактальном множества с размерностью Аа 2. Введение напряжения на фрактальном множестве можно выполнить если предположить, что напряжения на п микроуровне равно ап.
С другой стороны силы действующая на твердое тело не зависит от масштабного уровня. В качестве примера иллюстрирующего выражение 2.22 можно привести ковер Серпинского. Макроуровень соответствует затравке ковра Серпинского. Размерность Хаусдорфа-Безиковича ковра Серпинского равна ACT = In 8/In 3 га 1.893. При п — оо, So — S , а напряжение на фрак тальном множестве будет равно т . Напряжение т имеет аномальную размерность [F] [Ь] и называется фрактальным напряжением, где da = 2 — Аа. Выбирая линейный характерный размер 6, получаем, что Деформации твердого тела могут быть обусловлены различными механизмами на микроуровнях.
В классической представлении поле смещений не допускает разрывов. Однако, разрывы в твердом теле могут быть локализованы на большом количестве поверхностей, которые зависят от рассматриваемого масштаба. Таким образом, можно считать, что деформируемое тело не обладает фрактальной структурой, а деформации при этом будут иметь фрактальное распределение. Пусть А = l — d- фрактальная размерность деформированной части твердого тела. Так как А 1, то de ограничено нулем снизу (соответствует Евклидовому пространству, для которого деформация определяется на всей поверхности) и единицей сверху ( соответствует локализации напряжений на поверхностях разрыва). Таким образом, можно рассматривать соотношение аналогичное 2.22, но только для деформации є: где и - полное удлинение.
На макромасштабе относительная деформация постоянна, и удлинение и определяется произведением ефо. С увеличением пространственного разрешения деформации локализуются в отдельных областях. В пределе Ъп — 0, еп — оо получаем, чтобы смещение и сохраняло свою физическую размерность необходимо, чтобы фрактальная деформация є была умножена на фрактальную размерность Ь0 \ Приходим к соотношению, связывающему относительную деформацию є и фрактальную деформацию
Численный расчет полей деформаций в условиях подготовки землетрясения в земной коре
В задачах прогноза важную роль играет правильность определения зоны подготовки землетрясений и возможной формы данной области. При этом в анализе аномалии различных геофизических полей после произошедшего землетрясения мало уделяется внимания соотношениям между интенсивностью предвестника, его эпицентральным расстоянием и напряженно-деформированным состоянием в районе предвестника. Поэтому оценка областей деформационного влияния в сейсмоактивной области является необходимым для сопоставления с истинностью тех или иных предвестников. Относительно наблюдений геоакустический эмиссии этот вопрос требует данных оценок.
В работе [20] предложена модель напряженно-деформированного состояния в окрестности очагов землетрясений в приближении упругого однородного изотропного полупространства с мягким включением. Рассмотрение именно такой модели земной коры основано на двух моделях подготовки землетрясений: диффузионно-дилатантной и модели лавипно-неустойчивого трещинообразования [89]. В результате было получено соотношение для радиуса проявления предвестников: где М - магнитуда готовящего землетрясения. Величина приливной деформации Земли 10""8 ограничивает деформации очага землетрясений снизу. Радиус деформационного влияния описывает зоны появления предвестников при деформациях горных пород 10 8.
На рис. 3.5 приведены деформационные радиусы для различных маг-иитуд землетрясений. Область влияния деформаций для землетрясений М — 5 составляет 100 — 150 км, и около 300 км - для землетрясений М = 6. Однако, полученные оценки не дают представления о возможной форме зоны влияния на поле деформаций как отдельного землетрясения, так и группы сейсмических событий.
В качестве моделей очага землетрясений рассматриваются сосредоточенные силы [22, 23]. Формы деформационных областей могут определятся ориентация силового источника в области готовящегося землетрясения.
На примере модели Миндлина простой сосредоточенной силы рассмотрим возможные формы деформационных областей. Рассмотрим отдельные компоненты тензора деформаций на поверхности z = 0 в зависимости от ориентации сосредоточенной силы. Параметры упругой среды выбраны как для случая зон дилатансии, рассмотренного в предыдущем разделе. На рис. 3.6 указаны уровни напряжений соответствующие напряжениям на рис. 3.7, 3.8, 3.9.
По закону Гука напряжения могут быть пересчитаны в относительные деформации. На рис. 3.6 указаны уровни относительных деформаций для компонент тензора деформаций. Расчетные графики компонент тензора деформаций єхх,уу,є2г приведены на рис. 3.11, 3.12, 3.13.
Рассмотрим поле сдвиговых деформаций на свободной поверхности, определяемое недиагоиальной компонентой тензора напряжений. Сосредоточенная сила ориентирована под углом к свободной поверхности. Поле напряжений в упругом полупространстве определяется суперпозицией решений задачи Миндлина для простой силы. Скомбинируем решения задачи Миндлина для силы F, лежащей в плоскости XOZ. верхности. Диагональные компоненты тензора напряжений описывают сжатия и растяжения. По отношению к первым прочность пород значительно выше [71, 72], поэтому можно не рассматривать. А растяжения в интересующей нас области пространства, которая будет рассмотрена ниже, не возникают.
В земной коре простая сосредоточенная сила может возникать на сочленении тектонических плит или блоков. Такая модель источника напряжений может быть использована для описания деформаций в области движения океанической плиты под континент у берегов Камчатки. Определим значения силы, вызывающей землетрясения с энергией
Для сейсмических событий с 11 К 12 геоакустические сигналы во многих случаях оставались на уровне фоновых шумов, либо имели мало интенсивный предвестник. Наиболее существенное повышение интенсивности геоакустической эмиссии происходило перед сейсмическими событиями К 12 [28]. Рассмотрим зоны относительных сдвиговых деформаций для землетрясений, перед которыми геоакустические сигналы уверенно регистрировались в пунктах наблюдений (таблица 3.2).
Выберем параметры упругой среды аналогично работе [1]: коэффициент Пуассона и = 0.25, модуль Юнга- 8.7-Ю10. Результаты вычислений по формуле педиагонального компонента тензора напряжений аху в рамках модели Миндлина приведены на рис. 3.15, 3.16, 3.17, на которых штриховкой показаны пространственные зоны по уровням относительных деформаций: . Напряжения пересчитываются в деформации по линейному закону Гука. Изменение угла действия силы к горизонтальной поверхности не меняет существенно ни формы, ни размеров зон. Видно, что зоны относительных сдвиговых деформаций по уровню больше Ю-8, который выше приливных деформаций Земли, для сейсмических событий с К 12 простираются на расстояния до 200 км, что хорошо согласуется с результатами наблюдений геоакустической эмиссии.
