Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование примесей в искривленных наноструктурах точечными возмущениями на пространствах постоянной кривизны 21
1. Плоскость Лобачевского 21
2. Пространство Лобачевского 31
3. Двумерная сфера 33
4. Трехмерная сфера 49
2 Аномалия, возникающая при сближении рассеивающих центров 60
1. Аномалия в трехмерном евклидовом пространстве 60
2. Аномалия в пространствах ограниченной геометрии 64
3 Аппроксимация точечных возмущений на римановых многообразиях 71
Заключение 81
Приложение
Литература 103
- Пространство Лобачевского
- Двумерная сфера
- Аномалия в пространствах ограниченной геометрии
- Аппроксимация точечных возмущений на римановых многообразиях
Введение к работе
1. Общая характеристика работы
Актуальность темы. В последние десятилетия активно изучаются искривленные наноструктуры. Это связано с невозможностью создания таких структур с идеальными прогнозируемыми формами. Кроме того, нано-объекты нетривиальной геометрической формы обладают весьма интересными физическими свойствами. Помимо исследования квантовых свойств искривленных наноструктур, важно исследовать возмущения на таких поверхностях, в частности, короткодействующими потенциалами. Такие системы можно изучать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание таких объектов сводится к исследованию спектра возмущения оператора Бельтрами-Лапласа (аналога оператора Лапласа для искривленных пространств).
Следует также отметить, что при рассмотрении примесей в искривленных нанообъектах важным вопросом является изучение влияния кривизны и мощности возмущения на электронный энергетический спектр, а при наличии двух центров возмущения - зависимости спектра от расстояния между примесями. Кроме того, при моделировании подобных структур нетривиальной оказывается проблема" выбора.параметров модельного гамильтониана, обеспечивающих максимальную близость математической модели и реальной системы.
Целью исследования является построение и изучение модели искривленной наноструктуры с короткодействующими потенциалами, позволяющей провести часть расчетов в аналитической форме, что существенно уменьшает вычислительные трудности; изучение зависимости спектраль-
ных свойств модельного оператора от кривизны пространства и интенсивности возмущения; проведение численных расчетов и вычисление энергетических уровней; отыскание способов перенормировки параметра интенсивности точечных потенциалов в случае близко расположенных источников возмущения; построение аппроксимации точечных потенциалов гладкими, то есть верификация модели.
Объектом исследования являются математические модели искривленных наноструктур с локализованными примесями, представляющие собой одноцентровые и двуцентровые точечные возмущения гамильтониана свободной заряженной частицы на римановых многообразиях.
Научная задача работы — разработка математического аппарата моделирования искривленных наноструктур на базе спектральной теории операторов в искривленных пространствах.
Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.
Основные результаты, выносимые на защиту
Математическая модель искривленной наноструктуры с малыми пространственно локализованными возмущениями, базирующаяся на рассмотрении потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии.
Рассчитанные в рамках модели потенциалов нулевого'радиуса в пространстве постоянной кривизны спектральные характеристики электрона в искривленной наноструктуре:
а) методика и программа для численного расчета значений точечных уровней;
б) построенные асимптотики точечных уровней электрона;
в) рассчитанная зависимость точечных уровней от кривизны мно
гообразия и интенсивности рассеивающих центров (примесей) в
искривленной наноструктуре.
3. Математическая модель наносистемы в случае близко расположенных
центров:
а) описание аномального поведения точечных уровней, возникающе
го при сближении рассеивающих центров на римановом многооб
разии;
б) способ устранения аномалии путем перенормировки параметров
интенсивности источников возмущения.
4. Обоснование модели потенциалов нулевого радиуса на римановом мно
гообразии путем доказательства теоремы об аппроксимации гамиль
тониана с сингулярными (точечными) потенциалами последовательно
стью гамильтонианов с регулярными потенциалами для произвольных
многообразий ограниченной геометрии.
Научная новизна исследования. Построенные на основе модели потенциалов нулевого радиуса асимптотики точечных уровней для пространств постоянной кривизны являются новым результатом; описание аномалии, возникающей при малых расстояниях между источниками возмущения, и способ ее устранения является новым результатом для пространств ограниченной геометрии, причем, поскольку ранее рассматривался только случай трехмерного евклидова пространства, то результат является новым и для евклидовой плоскости; построенная аппроксимация сингулярных потенциалов регулярными в пространствах ограниченной геомет-
рий является новой, ранее подобная аппроксимация была построена лишь для евклидовых пространств.
Практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств искривленных наноструктур при наличии в них примесей. Указанные в работе перенормировки параметра интенсивности возмущений позволяют получать более точные результаты при использовании модели потенциалов нулевого радиуса в случае малых расстояний между источниками возмущения.
Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:
XXXIII Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2004 г.
Вторая всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи Самара, июнь 2005 г.
Межрегиональная научная школа "Материалы нано-, микро- и опто-электроники: физические свойства и применение Саранск, 5-7 октября 2005 г.
Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2005.
XXXIV Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2005 г.
XI научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева., Саранск, май 2006 г.
Третья всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи Самара, июнь 2006 г.
V Всероссийская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2008 г.
XXXVII Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2008 г.
10. VI Всероссийская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2009 г.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 опубликованных статьях [12, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26], в том числе, 2 [14, 24] из Перечня ВАК.
2. Физическая постановка задачи
В последние десятилетия наносистемы открыли новую область исследования в физике твердого тела. Современная технология производства позволяет создавать структуры субмикронных размеров, проявляющие металлические, полупроводниковые или даже диэлектрические свойства. Интерес к подобным системам постоянно возрастает. Это обусловлено уникальными свойствами ряда низкоразмерных систем. Совсем недавно, в мезо-скопических системах были открыты замечательные физические эффекты, имеющие фундаментальное значение: целый [80] и дробный [104] квантовый эффект Холла, эффект Ааронова — Бома в квантовых кольцах' [38], квантование кондактанса в квантовых проволоках [55], квантовый бильярд в периодических массивах квантовых антиточек [7,16, 84,106], экспериментальное обнаружение фрактальной структуры спектра (бабочка Хофштад-тера) в периодических массивах квантовых точек [74, 77]. Математическое
обоснование теоретических построений физиков, связанных с объяснением этих экспериментов, потребовало привлечения мощных методов алгебраической топологии, спектрального анализа, некоммутативной геометрии и др. [29, 45, 66]. Следует сразу отметить, что немалую роль в теоретических работах по объяснению упомянутых выше экспериментов и выявлению новых свойств подобных структур сыграли так называемые модели потенциалов нулевого радиуса, которые будут подробнее описаны ниже.
Помимо чисто академического интереса, мезоскопические системы представляют весьма значительный интерес с точки зрения практического их использования. Совершенно очевидно, что эти структуры обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед современными электронными устройствами: компактность, энергосбережение, быстродействие и т.д. Следствие существования возрастания плотности электронных состояний при уменьшении размерности электронного газа обуславливает принципиальное преимущество применения квантово-размерных мезоскопических структур для лазеров [2]. Одними из наиболее интересных приложений ме-зоскопики в будущем являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры. Сейчас интенсивно ведутся разработки альтернативных концепций устройств квантового компьютера [60].
Для создания квантовых приборов электроники будущего необходимо не только научиться создавать элементы с нанометровыми размерами, но и добиться атомной гладкости поверхности элементов. В природе можно наблюдать пример выполнения этих требований при самоформировании молекул и молекулоподобных объектов типа углеродных трубок. В твердотельной технологии известен ряд способов получения структур с наперед заданными свойствами. В последнее время, благодаря прогрессу в
технологии, стало возможным получение искривленных двумерных слоев [94, 95, 96] и нанообъектов различной формы [93]. Суть предложенного в этих работах метода заключается в следующем. При помощи молекулярно-лучевой эпитаксии выращивается однородная по площади гетерострукту-ра, толщина слоев которой задается с точностью до атомного монослоя. При отсоединении ультратонких напряженных слоев от подложки, пленка приобретает в зависимости от граничных условий новую равновесную форму с минимумом упругой энергии пленки. Эта технология позволяет получать нанотрубки, квантовые рулоны, кольца и спирали с контролируемыми формами и размерами.
Интерес к экспериментальным [65, 83] и теоретическим исследованиям [15, 41, 42, 44, 56, 57, 58, 72, 76, 78, 86] искривленных наноструктур резко возрос в последнее время. В основном это обусловлено двумя причинами. Во-первых, создание нанообъектов с идеальными прогнозируемыми формами является очень трудной технологической задачей. Поэтому исследование влияния отклонений от идеальной формы наноструктур на их различные физические свойства является актуальным. Во-вторых, наноструктуры с нетривиальной кривизной обладают необычными спектральными, магнитными, транспортными и оптическими свойствами. Таким образом предполагается возможным применение этих систем в электронных устройствах нового поколения.
Следует особо отметить, что в последнее время резко возрос интерес к различным физическим свойствам сферических наноструктур. Это связано с тем, что на их основе могут быть созданы оптические и электронные устройства нового поколения. Сферические наноструктуры могут применяться для получения кристаллов, которые имеют фотонную запрещенную
зону и являются фотонными кристаллами [88, 91, 108]. Фотонными кристаллами называют периодические ансамбли наночастиц, в которых показатель преломления изменяется периодически, а интервал частот, для которого невозможно распространение световых волн в кристалле, называют фотонной запрещенной зоной. Такие кристаллы могут быть использованы для управления потоком света и для контроля излучательной рекомбинации (как для ее подавления, так и для усиления).
Недавний значительный прогресс в нанотехнологии сделал возможным изготовление сферических наноструктур с размерами от нескольких до сотен нанометров [89, 99, 105]. Исследования сферических наноструктур показали, что они обладают интересными спектральными [51, 107] и оптическими свойствами [35, 85, 98]. Как показано в [87, 98], поглощение оптического излучения сферической металлической наноструктурой хорошо описывается в классическом подходе. Оптические свойства наночастицы зависят от ее размера и геометрии. Влияние формы наноструктуры на спектр поглощения исследовалось в [39].
В [87] на основе классической теории, была разработана теоретическая модель для описания оптических свойств сферических нанооболочек. Было установлено, что пик поглощения является плазменным резонансом электронов в системе, а положение и интенсивность пика поглощения зависят от толщины металлической оболочки и- диаметра диэлектрического ядра [43, 109]. Исследования оптического поглощения наноструктур позволили понять кинетику роста наноструктуры [43] и найти значения таких параметров, как время релаксации электрона и константы электрон-фононной связи [109]. Исследования нелинейного оптического отклика нанооболочеч-ных сферических и сфероидальных систем [67, 79, 97] показали, что обо-
лочка структуры может значительно усиливать нелинейный оптический отклик системы. Отметим, что в случае тонкой металлической или полупроводниковой оболочки (порядка нескольких атомных слоев) в свойствах системы становится важным проявление квантовых эффектов, и использование классической модели для описания оптического поглощения нано-оболочкой является неприменимым [109].
К исследуемым в настоящей работе моделям, относятся также модели движения заряженной частицы на плоскости Лобачевского. Следует отметить, что хотя плоскость Лобачевского экспериментально не реализована, теоретический интерес к различным свойствам этой структуры увеличивается. Исследована геометрическая фаза [40] на плоскости Лобачевского. В [61] изучалась как классическая, так и квантовая динамика заряженной частицы на плоскости Лобачевского: в однородном магнитном,: поле. В случае квантовой динамики* в [61]! найден энергетический'спектр m волновые функции заряженной* частицьь на плоскости Лобачевского; в магнитном поле (см. также [3, 54]). Показано, что замкнутым траекториям в квантовой механике соответствует дискретный спектр, а инфинитному движению — непрерывный спектр частицы. Кроме того, в [61] проведено исследование квазиклассического движения частицы. Показано, что так же, как и для плоского случая дискретный спектр^ полученный в рамках квазиклассического приближения, совпадает с выражением для-спектравжвантовом:пределе; Теория хаоса на, поверхностях постоянной отрицательной кривизны, является: объектом интенсивного исследования [56j 71, 75, 102]. Существует несколько причин для неуменьшающегося интереса к бильярду на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Во-первых, метрика таких поверхностей обуславливает экспоненциальное "разбегание" соседних
траекторий, делая такой бильярд идеальным объектом для изучения классической хаотической динамики. Во-вторых, формула для плотности состояний бильярда на поверхности постоянной отрицательной кривизны является точной, в отличие от аналогичной формулы для евклидова бильярда. Кроме того, поверхность постоянной отрицательной кривизны является привлекательным объектом для исследования хаотической динамики, так как компактная поверхность постоянной отрицательной кривизны по топологии соответствует различным геометрическим объектам, в отличие от поверхностей постоянной положительной или нулевой кривизны. Действительно, в случае поверхностей постоянной положительной кривизны компактная поверхность по топологии является сферой. В случае поверхностей нулевой и отрицательной кривизны для исследования хаоса необходимо сделать систему компактной. Топология компактной поверхности евклидовой плоскости не зависит от способа получения компактной'поверхности, которая всегда является тором. В отличие от поверхностей постоянной положительной и нулевой кривизны, различные способы получения компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны приводят к поверхностям отличающимся по топологии. Поэтому движение классической частицы на поверхности постоянной отрицательной кривизны обладает наиболее хаотическим поведением. В последнее время квантовый эффект Холла на плоскости Лобачевского стал объектом* интенсивного изучения. Так в [41, 42, 78] изучались свойства волновой4 функции Лафлина, в [57] разработаны методы некоммутативной геометрии для исследования квантового эффекта Холла.
В настоящей работе построена модель потенциалов нулевого радиуса для короткодействующих возмущений на искривленной наноструктуре. В
первой главе работы рассматриваются одноцентровые возмущения на четырех пространствах постоянной кривизны: на плоскости Лобачевского, в пространстве Лобачевского, на двумерной и трехмерной сферах. Для каждого случая на основании построенной математической модели получены асимптотики энергетических уровней возмущения, исследована зависимость уровней от кривизны пространства и интенсивности источника возмущения. Отдельно рассмотрены случаи, когда длина рассеяния Л и радиус кривизны а — сравнимые величины (Л ~ а), когда Л и а — величины разного порядка (например, когда а — фиксировано, а Л —» со или наоборот).
В подавляющем большинстве работ, посвященных методу потенциалов нулевого радиуса, при исследовании возмущения не учитывалось влияние расстояния между источниками возмущения, и, значит, не рассматривалось взаимодействие частицы с потенциалами при их сближении. Впервые необходимость такого исследования возникла в рамках теории ионизации молекул в работе Т. К. Ребане и Р. И. Шарибджанова [32]. При этом было замечено, что при сближении рассеивающих центров возникает аномалия, заключающаяся в следующем. Рассмотрим возмущение в пространстве Ш.3 , сосредоточенное в точках а и Ь и характеризуемое длиной рассеяния I. Тогда, при Ъ —> а основное состояние этого возмущения при I > О стремится к — со , то есть происходит падение на центр. Такая аномалия отсутствует в одномерном случае. А именно, в этом случае, основное состояние стремится к возмущению,точечным потенциалом, сосредоточенным в точке а, и характеризуемым длиной рассеяния 1/2. Анализ, проведенный в [32], показывает, что для использования модели потенциалов нулевого радиуса при малых расстояниях между а и Ъ, необходимо перенормировать пара-
метр а интенсивности потенциалов, учитывая при этом его зависимость от расстояния между рассеивающими центрами. Недавно было показано, что такая поправка необходима не только в теории ионизации молекул, но также в теории хранения ультрахолодных нейтронов [50] и при исследовании электронных свойств нанотрубок [49].
Во второй главе работы проведено исследование упомянутой аномалии для пространств более общего вида — многообразий ограниченной геометрии [100]. Показано, что аномальное поведение уровней энергии возмущений на таких пространствах также имеет место и найдена необходимая поправка, учитывающая зависимость интенсивности возмущения от расстояния между центрами.
В последней главе диссертации исследован вопрос о верификации модели потенциалов нулевого радиуса, суть которого заключается в следующем. Корректное математическое описание, модели потенциалов нулевого радиуса, как правило, дается при помощи теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Однако, подход теории расширений, давая строгий анализ, в то же время, ставит вопрос о выборе параметров расширений, обеспечивающих необходимое соответствие модели и реальной задачи. Это обоснование модели возможно путем аппроксимации точечных потенциалов гладкими. В рамках данной работы нас интересует решение этого вопроса для пространств ограниченной геометрии. Что касается моделей в R3(R2), то исчерпывающее описание процесса построения такой аппроксимации изложено, например, в монографии [4]. Также решение задачи об аппроксимации можно найти в работах [30], [92] и др.
3. Модель потенциалов нулевого радиуса
Для описания взаимодействия свободно движущейся заряженной частицы с точечными источниками используется модель потенциалов нулевого радиуса. Идея использования данной модели восходит еще к 1931 году, когда в широко известной работе Р. де Л. Кронига и В. Г. Пенни [82] была построена модель нерелятивистского электрона, движущегося в жесткой кристаллической решетке. В этой работе был рассмотрен случай одномерного евклидова пространства. Позже, в работах Л. Томаса [103], Г. Бете и Р. Пайерлса [47], было рассмотрено взаимодействие нерелятивистской частицы с малым источником в пространстве М3. В последующие десятилетия исследования в этой области продолжались. Так, в статье Г. Брей-та [48] был использован так называемый псевдопотенциал Ферми, неявно введенный еще Э. Ферми [36] при изучении движения нейтронов в водо-родосодержащих средах. Исследования в этом направлении также были продолжены в работах [18, 68].
Несмотря на тридцатилетнее развитие данной модели, математически строгое ее обоснование впервые было дано лишь в 1961 году в работе Ф. А. Березина и Л. Д. Фаддеева [9]. Здесь было предложено определять гамильтонианы, описывающие точечные взаимодействия, как самосопряженные расширения симметрических операторов, а для получения явного вида резольвент расширений использовать формулу М. Г. Крейна.
Систематическое описание модели потенциалов нулевого радиуса можно найти в монографиях С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крона и X. Холь-дена [4], А. И. Базя, Я. В. Зельдовича и А. М. Переломова [6], Ю. Н. Демко-ва и В. Н. Островского [17]. Также широко известными работами по данной тематике являются работы С. Альбеверио [5], Б. С. Павлова [31], П. Экс-
нера [40] и др. Обширная библиография по данному вопросу приведена в монографии [4].
Опишем математический аппарат построения модели потенциалов нулевого радиуса более подробно. Движение свободной заряженной частицы на некотором евклидовом пространстве X описывается оператором Лапласа -А.
Формально, возмущение оператора Лапласа некоторой конечной совокупностью потенциалов, сосредоточенных в точках qi,q2, ^п, задается выражением вида
А:=1
где Єк — константы связи, которые должны рассматриваться как бесконечно малые [4], [9], [90]. Далее мы будем использовать систему единиц, в которой Л - 1, М = 1/2.
Для придания строгого математического смысла выражению (1) используется так называемый метод сужения-расширения. Суть этого метода заключается в следующем.
Рассмотрим S — сужение —А на область D — {/ є D(H) : /() = 0, к = 1,2, ...,п}. Хорошо известно, что S — замкнутый симметрический оператор с индексами дефекта (п, п), а дефектное пространство S порождено функциями х —> G(x, <&; z), где G(x, у] z) — функция Грина оператора —А (интегральное ядро резольвенты). Важным свойством функции Грина является следующее.
Теорема 1 В евклидовом пространстве X размерности d = 2,3 функция Грина оператора Лапласа —А представима в виде
GP(x,y;z) = F0(x1y) + F1(x,y\z), (2)
где Fi(x,y;z) непрерывна на X х X, a Fq имеет вид
1 F0(x,y) = -—ln\x-y\ (d = 2)
F0(x,y) = ^\x-y\-1 (d = 3)D
(3) (4)
Самосопряженные расширения оператора S, описывающие возмущения Н, образуют некоторое семейство операторов НА, параметризуемое самосопряженными комплексными матрицами А. Резольвенты расширений S могут быть описаны с использованием упомянутой выше формулы М. Г. Крейна для резольвент (см. [4], [9], [31] и др.), из которой вытекает следующая удобная формула для описания функций Грина возмущений
GA(x, у; z) = G(x, у; z) - ]Г [Q(z) - A]7^G\qh у- z)G(x, qf, z), (5)
где G(x, y;z) — функция Грина исходного оператора, a Q{z) — так называемая Q -матрица Крейна
f F^qu^z) G(qi,q2,z) ... G(qi,qn,z)\
„, , G(q2,qbz) Fifaq^z) G(q2,qn,z)
\G(qn,qi,z) G(qn,q2,z) ... Fi(qn,qn,z) J
Уровни энергии (точечные уровни) возмущенного оператора НА определяются как решения уравнения
det[Q(z) - А] = О
(6)
Q(z) -а = 0
(7)
для одноцентрового возмущения. В этом случае параметр а характеризует интенсивность источников возмущения и связан с длиной рассеяния Л
18 следующим образом:
27Г1 (8)
СК = :—-, d=3.
47гЛ
В связи с тем, что в последнее время в квантовой физике все большее внимание привлекают искривленные наноструктуры, возникает необходимость исследования свойств квантово-механичсских гамильтонианов в пространствах с более сложной геометрией (то есть в пространствах, отличных от евклидовых). Наряду с исследованиями на физическом уровне строгости [58, 64, 70, 81], существуют работы, посвященные теоретическому исследованию подобных систем. Так, в работе М. А. Шубина [100] была доказана существенная самосопряженность оператора Шредингера на ри-мановых многообразиях ограниченной геометрии. В [73] приведен явный вид функции Грина свободного гамильтониана (в том числе и для искривленных пространств), а в работах [10, 52, 53] исследованы свойства этой функции на римановых многообразиях ограниченной геометрии. Следует также упомянуть работььпо исследованию структуры спектра невозмущенного гамильтониана на пространствах со сложной геометрией [34, 63].
В настоящей работе исследуется модель потенциалов нулевого радиуса для описания возмущений на многообразиях ограниченной геометрии [100]. Такие пространства охватывают достаточно широкий класс многообразий. К ним относятся, например, пространства постоянной кривизны и все компактные римановы многообразия. Многообразия ограниченной геометрии определяются следующим образом. Отображение ехрж : ТХХ —» X, где ТХХ — касательное пространство к X, будем называть экспоненциальным отображением (см., например, [46]), если ex.px(v) = ^(t), где *y(t) — геодезическая на X с началом в точке х и начальной скоростью v Є ТХХ
(т(0) — х, 7(0) = v). Обозначим через гх точную нижнюю грань радиусов всех шаров, на которых экспоненциальное отображение определено. Определим радиус инъективности, как следующую величину Тіщ = inf rx. Назовем многообразием ограниченной геометрии риманово многообразие X, радиус кривизны которого строго положителен и каждая ковариант-ная производная риманового тензора кривизны ограничена.
Модель потенциалов нулевого радиуса на многообразиях ограниченной геометрии строится аналогично приведенному выше построению для евклидовых пространств. При этом в качестве исходного оператора вместо лапласиана —А рассматривают оператор Бельтрами-Лапласа А^в — div grad. В общем случае, если X — риманово многообразие, dl2 — gapdxadxP — его метрика, оператор А^в имеет вид
ALB = div grad = -V2 а 1/2^_ д
дхаУ у дх<*'
где g — detH^Q-jsll. Этот оператор можно рассматривать как оператор на L2(X,fi) с областью определения D(Alb) = Co3(Xifi)J где М ~ мера Римана-Лебега.
Рассмотрение гамильтонианов на многообразиях ограниченной геометрии интересно тем, что многие свойства этих операторов переносятся с евклидовых пространств. Так, например, в работе [59], можно найти доказательство следующей теоремы, которая является обобщением Теоремы 1
Теорема 2 На римановом многообразии ограниченной геометрии X размерности d = 2,3 функция Грина оператора Белътрами—Лапласа пред-ставима в виде
G(x,y;z) = F0(x,y) + F1(x,y;z), (9)
20 где Fi(x,y;z) непрерывна на X х X, a Fq имеет вид
F0(x,y) = ~]np(x,y) (d = 2) (10)
F0(x,y) = ~p{x?y)-1 (d = 3) (11)
Здесь p(x, у) — геодезическое расстояние между точками х и у.
Пространство Лобачевского
В последние десятилетия активно изучаются искривленные наноструктуры. Это связано с невозможностью создания таких структур с идеальными прогнозируемыми формами. Кроме того, нано-объекты нетривиальной геометрической формы обладают весьма интересными физическими свойствами. Помимо исследования квантовых свойств искривленных наноструктур, важно исследовать возмущения на таких поверхностях, в частности, короткодействующими потенциалами. Такие системы можно изучать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание таких объектов сводится к исследованию спектра возмущения оператора Бельтрами-Лапласа (аналога оператора Лапласа для искривленных пространств).
Следует также отметить, что при рассмотрении примесей в искривленных нанообъектах важным вопросом является изучение влияния кривизны и мощности возмущения на электронный энергетический спектр, а при наличии двух центров возмущения - зависимости спектра от расстояния между примесями. Кроме того, при моделировании подобных структур нетривиальной оказывается проблема" выбора.параметров модельного гамильтониана, обеспечивающих максимальную близость математической модели и реальной системы.
Целью исследования является построение и изучение модели искривленной наноструктуры с короткодействующими потенциалами, позволяющей провести часть расчетов в аналитической форме, что существенно уменьшает вычислительные трудности; изучение зависимости спектральных свойств модельного оператора от кривизны пространства и интенсивности возмущения; проведение численных расчетов и вычисление энергетических уровней; отыскание способов перенормировки параметра интенсивности точечных потенциалов в случае близко расположенных источников возмущения; построение аппроксимации точечных потенциалов гладкими, то есть верификация модели.
Объектом исследования являются математические модели искривленных наноструктур с локализованными примесями, представляющие собой одноцентровые и двуцентровые точечные возмущения гамильтониана свободной заряженной частицы на римановых многообразиях.
Научная задача работы — разработка математического аппарата моделирования искривленных наноструктур на базе спектральной теории операторов в искривленных пространствах.
Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса. Основные результаты, выносимые на защиту 1. Математическая модель искривленной наноструктуры с малыми пространственно локализованными возмущениями, базирующаяся на рассмотрении потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии. 2. Рассчитанные в рамках модели потенциалов нулевого радиуса в пространстве постоянной кривизны спектральные характеристики электрона в искривленной наноструктуре: а) методика и программа для численного расчета значений точечных уровней; б) построенные асимптотики точечных уровней электрона; в) рассчитанная зависимость точечных уровней от кривизны многообразия и интенсивности рассеивающих центров (примесей) в искривленной наноструктуре. 3. Математическая модель наносистемы в случае близко расположенных центров: а) описание аномального поведения точечных уровней, возникающего при сближении рассеивающих центров на римановом многообразии; б) способ устранения аномалии путем перенормировки параметров интенсивности источников возмущения. 4. Обоснование модели потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии путем доказательства теоремы об аппроксимации гамильтониана с сингулярными (точечными) потенциалами последовательностью гамильтонианов с регулярными потенциалами для произвольныхмногообразий ограниченной геометрии.
Двумерная сфера
Сначала опишем поведение точечных уровней двуцентровой задачи на евклидовой прямой. Сразу отметим, что такое поведение мы не считаем аномальным. Оно вполне ожидаемо. Итак, пусть — оператор Лапласа в R1. Рассмотрим возмущение Н, сосредоточенное в точках ji, q2 Є Ш1 и проанализируем поведение точечных уровней возмущения при малых расстояниях между и ф- Здесь и всюду на протяжении настоящей главы, для простоты изложения мы будем предполагать, что Л = diag(o;, а) (см. формулу (5)). Физически это означает, что мы рассматриваем лишь локальные взаимодействия заряженной частицы с точечными потенциалами и интенсивности точечных потенциалов, сосредоточенных в этих точках, совпадают. Для одномерного евклидового пространства вид функции Грина и Q-матрицы Крейна хорошо известен (см., например, [4]) Для анализа поведения точечных уровней мы сначала получим явную формулу для точечного уровня возмущения оператора Н , сосредоточенного в точке qi. Такое возмущение мы обозначим через Н1. Для нахождения точечных уровней рассмотрим уравнение Q{z)— а = 0. Воспользовавшись формулой (2.2), получим Всюду в данной работе мы будем рассматривать только положительную ветвь квадратного корня.
В связи с этим заметим, что уравнение (2.3) имеет решение только при положительных а. Выражая из этого уравнения z, имеем Теперь найдем точечные уровни энергии возмущения, сосредоточенного в точках #1 и #2 Для этого решим уравнение det[Q(z) — Л] = 0, получим Из (2.4) сразу следует, что при qi — qi Таким образом, как и следовало ожидать,при малых расстояниях между центрами один из точечных уровней стремится к нулю, а другой стремится к уровню возмущения гамильтониана точечным потенциалом, сосредоточенным в qi и характеризуемым параметром интенсивности 2а. Теперь перейдем к описанию поведения точечных уровней при сближении источников возмущения в трехмерном евклидовом пространстве (см. [32] или [17]). Мы по-прежнему будем рассматривать задачу двух центров, то есть будем исследовать поведение точечных уровней возмущения НА квантово-механического гамильтониана Н, сосредоточенного в точках q\, q i Є X , где X = М3 — пространство Евклида. Как известно, в евклидовом пространстве квантово-механический гамильтониан свободной заряженной частицы имеет вид где А — самосопряженный лапласиан на L2(X). Вид функции Грина и Q -функции также хорошо известен [4] Разрешая уравнение det[Q(z) — Л] = 0 относительно z, получим Непосредственной проверкой убеждаемся, что при малых р данное уравнение имеет одно решение, которое при р —» 0 стремится к — со, то есть происходит так называемое падение на центр.
Такое поведение точечных уровней можно назвать аномальным, поскольку, оно противоречит интуитивному представлению о поведении уровней при р —» 0. А именно, следовало ожидать, что при р — 0 один из точечных уровней будет стремиться к уровню возмущения гамильтониана точечным потенциалом, сосредоточенным в qi и характеризуемым параметром интенсивности 2а, а другой — будет либо отсутствовать, либо стремиться к нулю. Как показано выше, в одномерном случае так и происходит. В работе [32] для устранения аномалии было предложено перенормировать параметр а, а именно, считать его зависящим от расстояния между центрами р. Точнее, было предложено сделать замену где 0 = 0(/о) — функция, ограниченная при всем изменении р от 0 до -foo. Сделав указанную поправку к а, видим, что теперь один из точечных уровней по-прежнему отсутствует, а другой стремиться к — 1б7Г202(О) .
Аномалия в пространствах ограниченной геометрии
В данном параграфе мы проанализируем поведение точечных уровней двуцентровой задачи при малых расстояниях между центрами для случая риманового многообразия ограниченной геометрии X размерности d — 2,3. Точки, в которых сосредоточенно возмущение, по-прежнему будем обозначать через q\ и 2, геодезическое расстояние между ними через Р- Обозначим через so нижнюю грань спектра оператора Н , и обозначим через Єї нижнюю грань спектра возмущения оператора Н сосредоточенного в точке q±. Всюду ниже мы будем предполагать, что є\ єо, то есть уравнение Q(z) — а имеет решение на интервале (—со, Єо) Заметим, что этого всегда можно добиться выбрав нужным образом параметр а. При этом, нетрудно видеть, что такие а существуют и заполняют некоторый отрезок (конечный или бесконечный).
Прежде чем сформулировать теорему, описывающую аномалию, возникающую при неограниченном сближении центров на пространстве X, приведем две леммы, первая из которых доказана в [11]. Лемма 1 Зафиксируем лакуну I спектра оператора Н. Для z Є I рассмотрим собственные числа cti(z),..., an(z) матрицы Q(z), упорядоченные в порядке возрастания (п — число точек возмущения). Тогда, 1. Функции OL\{Z),..., cvn(z) являются вещественно-аналитическими во всех точках из I, кроме возможно конечного их числа, в которых они непрерывны. 2. Эти функции строго возрастают в I. D
Лемма 2 Пусть G(x,y;z) — функция Грина оператора Бельтрами— Лапласа X, где X — многообразие ограниченной геометрии. Тогда если z є Ш и z — оо \G(x,y; z)\ — 0 при всех фиксированных х, у Є X : х ф У- Доказательство. Из [101] известно, что при z Є Ж и z 0 функция Грина выражается через пропагатор следующим образом оо G{x,y]z)= [ P0{x,y;t)etzdt. о Известно также [69], что где Ср 0 — некоторая константа. Тогда, получим Здесь С 0 — также некоторая постоянная. Оценка для полученного интеграла хорошо известна (см., например, [33]). Именно, для любого 5 0 найдутся постоянные С\ = С\{5) и Сг — C2{S,z) такие, что при р(х, у) 6, а С2(б, z) — +оо при z — —сю . Доказываемое утверждение сразу следует из полученной оценки. Теорема 13 Пусть е\ SQ . Тогда, 1. Возмущение НА имеет не более двух и не менее одного собственных чисел, лежащих ниже єо. Обозначим через в- меньшее из них, а если таких чисел два, то через є+ наибольшее из них. Тогда, є_ Єї, а если є+ существует, то є+ Є\ . 2. Если р достаточно велико, то собственное число е+ существует. 3. Є-(р) — —оо при р —» 0. 4
Если є+ существует при всех достаточно малых р 0, то є+(р) — Доказательство. 1. Рассмотрим матрицу Здесь для простоты через Q(z) мы обозначили функцию F\(x,y; z) из (9). Собственные числа /J i(z), p.i{z) этой матрицы имеют вид Из определения Єї, Є-, є+ следует, что Из того, что функции /І, /іі и /І2 — возрастающие, получим, что, если е_ и є+ существуют, то Докажем существование Є-. Рассмотрим функцию p,(z). Согласно Лемме 1 эта функция строго возрастает, непрерывна и при z = є\ Єо обращается в нуль. Следовательно, существует точка S такая, что е\ 6 єо и д() = а 0. Отсюда и из неравенств (2.5) следует, что fii(5) а 0. С другой стороны Так так /І(ЄІ) = 0 И строго возрастает, то существует lim fi(z) = А, А є z— —оо (—00,0) . Кроме того, согласно Лемме 2, при 2 —» —со C?( ?i, 25 )1 — О-Имеем где —оо А 0. Таким образом, существует точка EQ такая, что Ц\(5 ) = 0, а при z — 0 Ді( ) — —оо. Значит, найдется є_ єо такое, что /Лг(є-) = 0 (это следует из непрерывности fii(z)). 2. Теперь рассмотрим функцию p2{z). Аналогично предыдущему получим Согласно теореме Шубина (см. [100]) для функции Грина на римановых многообразиях ограниченной геометрии справедлива следующая оценка где є фиксировано для каждого z, а 6 — произвольно.
Аппроксимация точечных возмущений на римановых многообразиях
Оценку интеграла в правой части неравенства можно получить следующим образом. Разобьем область интегрирования Br х Вг на множества Вг х (Br \ В2г) и Вг х В2ЕГ Интеграл по первому множеству будет сходиться к нулю при г0 в силу регулярности подынтегральной функции. Используя Леммы 3 и 5, можно оценить второй интеграл некоторой функцией Fq(e, z), сходящейся к нулю при є і О.
Таким образом, получаем следующую сходимость по норме Гильберта Доказательство второго разложения полностью аналогично доказательству, приведенному выше.
Для проверки последней асимптотики, найдем асимптотику функции Здесь мы воспользовались тем фактом, что, p(Oq(s,x),Qq(e,y)) ер(х:у) при є і О (ввиду гладкости поля геодезических в пространствах ограниченной геометрии и непрерывности функции Qq(e,x) по каждому из аргументов). Также нами было использовано разложение D(z) = DQ(Z) + о(є), которое легко проверить. , Таким образом, нами доказаны все утверждения леммы. Теперь сформулируем основные результаты данной главы в виде следующей теоремы.
В диссертационной работе построена математическая модель искривленных наноструктур с помощью точечных возмущений гамильтонианов на римановом многообразии.
При помощи модели короткодействующих потенциалов исследована зависимость спектральных свойств примесей в искривленных наноструктурах от кривизны поверхности и мощности примеси.
Следует отметить, что построенная в работе модель позволяет получать аналитические решения и дисперсионное уравнение в явном виде для модельного оператора, что резко уменьшает вычислительные трудности. Получение явных асимптотик энергетических уровней позволяет описывать поведение энергетического спектра реальной системы.
Основную трудность при использовании модели потенциалов нулевого радиуса составляет выбор параметров модельного оператора, обеспечивающий соответствие модельной и реальной задачи. Для решения этой проблемы в работе предложен способ построения аппроксимации сингулярных точечных потенциалов гладкими.
В работе также исследовано аномальное поведение энергетических уровней возмущения оператора Бельтрами-Лапласа двумя точечными потенциалами, расположенными в пространстве ограниченной геометрии. Предложен способ устранения данной аномалии, заключающийся в перенормировке параметра интенсивности потенциалов, учитывающей расстояние между рассеивающими центрами. Применение данных поправок обеспечивает близость математической модели и реальной физической задачи.
