Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Модели и численные методы гомогенизации пористых пьезоэлектрических материалов 13
1.1. Методы моделирования пористых пьезокомпозиционных материалов 13
1.2. Применения пористой пьезокерамики 17
1.3. Постановки задач электроупругости и конечно-элементные аппроксимации 18
1.3.1. Классическая постановка задач электроупругости 19
1.3.2. Обобщенная постановка задачи электроупругости 25
1.3.3. Полудискретные конечно-элементные аппроксимации в задачах электроупругости 29
1.4. Конечно-элементное моделирование неоднородного поля поляризации пористой пьезокерамики 32
1.5. Развитие и обоснование метода эффективных модулей для определения осредненных характеристик композитных пьезокерамических материалов 36
1.6. Методы генерации представительных объемов 51
Выводы к главе 1 56
ГЛАВА 2. Вычислительные эксперименты по определению эффективных модулей пористых пьезокерамических материалов и их анализ 58
2.1. Анализ экспериментальных данных по влиянию пористости на материальные константы пьезокерамики 58
2.2. Результаты численных экспериментов по определению зависимостей материальных констант от пористости для материалов различной сегнетожесткости 64
2.3. Сравнительный анализ результатов численных экспериментов с известными экспериментальными данными по определению зависимостей некоторых материальных констант от пористости 70
2.4. Результаты численных экспериментов по определению зависимостей полных наборов материальных констант от пористости для пьезокерамики различной степени сегнетожесткости 76
2.5. Пример моделирования одномерного пьезоизлучателя в КЭ пакете ANSYS 91
Выводы к главе 2
ГЛАВА 3. Конечно-элементное моделирование и многокритериальная оптимизация параметров гидроакустических преобразователей на основе пористых пьезокомпозиционных материалов 98
3.1. Некоторые подходы к решению задач оптимизации акустических пьезопреобразователей 98
3.2. Выбор материалов для элементов многослойного пьезоизлучателя 108
3.3. О конструкционном демпфировании пористого материала 110
3.4. Постановка связанной задачи акустики и электроупругости для многослойного пьезоэлектрического преобразователя 113
3.5. Постановка задачи оптимизации многослойного пьезоэлектрического преобразователя 115
3.6. Результаты численного решения задачи оптимизации многослойного пьезоэлектрического преобразователя 118
3.7. Приложение разработанных методов определения эффективных модулей к задаче многокритериальной оптимизации многослойного гидрофона с пьезоактивной перфорированной мембраной 123
Выводы к главе 3 132
ГЛАВА 4. Описание программного комплекса 134
4.1. Программные модули генерации представительных объемов и расчета эффективных модулей пьезокомпозиционного материала 136
4.2. Описание программного комплекса многокритериальной оптимизации подводного многослойного пьезоизлучателя на основе пористой пьезокерамики 140
Структура модели задачи FE projector.mph 144
Выводы к главе 4 155
Заключение 156
Список литературы 159
- Постановки задач электроупругости и конечно-элементные аппроксимации
- Результаты численных экспериментов по определению зависимостей материальных констант от пористости для материалов различной сегнетожесткости
- О конструкционном демпфировании пористого материала
- Описание программного комплекса многокритериальной оптимизации подводного многослойного пьезоизлучателя на основе пористой пьезокерамики
Постановки задач электроупругости и конечно-элементные аппроксимации
Создан программный комплекс, позволяющий генерировать представительные объемы и определять в рамках метода конечных элементов (МКЭ) полный набор эффективных материальных констант пористых пьезокерамических композитов различной связности с возможностями учета неоднородности поля поляризации вблизи пор (стр. 134-140). Созданные программы верифицированы в результате вычислительных экспериментов по расчету комплекса эффективных материальных констант пористых пьезокерамических материалов различной связности и сегнетожесткости и сравнения с известными данными (стр. 64-90).
Разработаны программы для исследования многослойных гидроакустических пьезопреобразователей, предназначенные для решения задач многокритериальной оптимизации многослойного широкодиапазонного акустического излучателя с активным элементом из пористой пьезокерамики (стр. 140-154).
Методы исследования. При определении эффективных модулей пористых пьезокерамических материалов моделирование представительных объемов двухфазного пористого пьезокомпозита выполнялось с использованием простого случайного метода и метода ОДА (ограниченная диффузией агрегация) Виттена-Сандера [102], уравнений пьезоэлектричества, учитывающих неоднородность поляризации в окрестности пор и программных средств APDL ANSYS.
Формулировка и численное решение связанной задачи акустики и электроупругости в осесимметричной постановке для восстановления амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) эффективности излучателя по току TCR (Transmitting Current Response) и уровня акустического давления в дальнем поле SPL (Sound Pressure Level) выполнялось программными средствами КЭ пакета Comsol Multiphysics. Численное решение связанной задачи многокритериальной оптимизации конструкции излучателя по основным функциональным показателям (целевым функционалам) включало построение множества Парето и его сечений, позволяющих восстановить топологию зоны оптимума варьируемых параметров конструкции – акустических импедансов подложки, согласующего и защитного слоев, пористости пьезоактивного слоя.
Научную новизну разработанных моделей, методов их численной и программной реализации составляют следующие результаты, выносимые на защиту: — полученные математические формулировки и численные решения задач электроупругости для определения полного набора эффективных модулей пространственно неоднородных пьезоэлектрических сред при главных и естественных граничных условиях; — предложенные и реализованные методы генерации представительных объемов двухфазного кубического пьезокомпозита позволили создавать пористые структуры различной связности кластерного типа; — выполненное на элементном уровне модельное описание неоднородности векторного поля поляризации в структуре пористой керамики обеспечило повышение точности определения ее электромеханических свойств и большую согласованность с характеристиками реальной пористой керамики; — разработанный комплекс программ позволил осуществить единую методологию моделирования пористых пьезокерамических материалов на основе метода эффективных модулей, учета микроструктуры, неоднородности поля поляризации и МКЭ; — полученная в результате комплекса численных экспериментов группа эмпирических полиномиальных зависимостей полного набора материальных констант пьезоэлектрических материалов от пористости обеспечила возможность синтеза структуры пористых керамик с требуемыми характеристиками; — разработанные КЭ модели многослойных пьезоэлектрических излучателей продемонстрировали эффективность использования активных элементов из пористой пьезокерамики при возбуждении акустических полей как в нестационарных режимах, так и в режимах установившихся колебаний; предложенные и реализованные методы многокритериальной оптимизации КЭ модели многослойных пьезоэлектрических излучателей позволили дать рекомендации по повышению эффективности их важнейших рабочих характеристик.
Практическая ценность работы состоит в создании и реализации эффективного и универсального инструмента, позволяющего разработчикам пьезоактивных материалов прогнозировать электромеханические свойства создаваемых пористых керамик, и обеспечивающего возможность построения методов численной оптимизации характеристик пьезоэлектрических устройств за счет резкого сокращения числа степеней свободы оптимизируемой конструкции. Реализованный на основе КЭ моделей пространственно неоднородных пьезоэлектрических тел подход к решению задач многокритериальной оптимизации конструкций акустических излучателей с пористым пьезоактивным элементом позволяет целенаправленно выбирать материалы для элементов его конструкции, а также формировать массивы акустических излучателей с заданной полосой приема/излучения и диаграммой направленности.
Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы из 128 источников, приложение. Основное содержание работы изложено на 174 страницах и содержит 59 рисунков и 8 таблиц.
Первая глава диссертации посвящена анализу существующих методов моделирования и области эффективного применения пористых пьезокомпозиционных материалов. В этой основной теоретической главе подробно описана методика определения эффективных характеристик пористых пьезоэлектрических композитов с учетом неоднородности поля поляризации, основанная на методах эффективных модулей, моделировании представительных объемов и применении конечно-элементных технологий.
Результаты численных экспериментов по определению зависимостей материальных констант от пористости для материалов различной сегнетожесткости
Приведенные формулы позволяют вычислить полный набор эффективных модулей для электроупругой композитной среды произвольного класса анизотропии при различных вариантах граничных условий. Использование же тех или иных определяющих соотношений из четырех различных типов задач может оказаться полезным для нахождения эффективных модулей неоднородных пьезоэлектрических структур, совершающих при работе преимущественно одномерные движения, например, для пьезокерамических стержней, прямоугольных и квадратных пластин, дисков с пьезожесткими и пьезомягкими модами колебаний и др.
Для того чтобы получить структуру двухфазного кубического пьезокомпозита, максимально приближенную к реальной керамике, в работе использовались следующие методы генерации представительных объемов: простой случайный метод, метод начальной концентрации, и метод ОДА (ограниченная диффузией агрегация) Виттена-Сандера.
В основе перечисленных способов лежат методы Монте-Карло [50, 54, 71], используемые для решения широкого класса задач с помощью случайных последовательностей. При построении представительного объема двухфазного кубического пьезокомпозита любым из предложенных способов композитная структура генерируется случайным образом; композит является бинарным, и каждая его частица может быть материалом или наполнителем (порой). В математическом представлении — это трехмерная матрица размером NxNxN, ячейки которой имеют значения «0» или «1». Если частица композита является материалом, то соответствующая ячейка будет помечена как «0», если наполнителем — как «1».
Суть простого случайного метода генерации кластеров состоит в следующем. На первом шаге задается некоторая концентрация наполнителя композита рп, и затем, по формуле N„=[N3p„], ([ . ] — целая часть числа), определяется число ячеек, являющихся наполнителем. Далее, в специальной программе, с помощью генератора случайных чисел, определяются координаты ячеек наполнителя xn , yn , zn , и уже по найденным координатам генерируется бинарный композит. На рисунке 1.6.1 показаны структуры представительных объемов, сгенерированных простым случайным методом при 10% и 60% пористости (наполнителя).
Дальнейшее рассмотрение структуры матрицы и наполнителя будем осуществлять, опираясь на термины и положения теории перколяции (протекания), описывающей возникновение бесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов [6, 24, 26, 98].
При реализации метода начальной концентрации на первом этапе задается некоторое начальное значение концентрации р, например, равное 2%. Затем последовательно перебираются все ячейки решетки. Для каждой ячейки генерируется значение концентрации рє в пределах от 0 до 100 (%), причем это число может принимать как целое, так и вещественное значение. Если для произвольной ячейки выполняется условие рє р, то она становится наполнителем. В рамках метода начальной концентрации задаваемое значение концентрации наполнителя р не совпадает точно с величиной отношения числа ячеек, принадлежащих наполнителю Nn, к полному числу ячеек N. Погрешность отношения NnlNр не превышает 1% уже при размерности решетки более 30. Используя метод начальной концентрации, можно определить порог протекания, оценив все образовавшиеся кластеры. Если имеется хотя бы один протекающий кластер, то значение р принимается равным порогу протекания: р = рс. В противном случае значение р увеличивается на малую величину Ар, затем повторяется процедура генерации нового кластера. Модель композита, полученного с помощью метода начальной концентрации, приведена на рисунке 1.6.4.
Отметим, также, что при данном методе генерации представительного объема получаемый композит всегда обладает протекающими кластерами.
Особый интерес при генерации моделей пористых композитов представляет метод ОДА Виттена-Сандера. В 1981 году Т. Виттен и Л. Сандер предложили простую модель диффузионной агрегации частиц. Компьютерная модель ОДА представляет собой поле, заполненное частицами, совершающими броуновское движение. На это поле вносится центр агрегации, к которому «прилипают» Рисунок 1.6.5 — Модель представительного объема, метод ОДА случайно прикоснувшиеся частицы, и начинается рост фрактального кластера. Такой процесс называется «ограниченным агрегацией», поскольку концентрация частиц предполагается настолько малой, что они не контактируют друг с другом, и рост структуры происходит со скоростью одной частицы в единицу времени. Рассмотрим подробнее процесс формирования фрактальной структуры. В одну из ячеек случайным образом помещается частица, которая служит зародышем будущей кластерной структуры. Затем, в также случайно выбранную ячейку, помещается другая частица, которая начинает «двигаться» по ячейкам случайным образом. За один шаг пометка о принадлежности к наполнителю снимается с ячейки и переносится на выбранную смежную с ней ячейку. Частица может двигаться в любом из шести возможных для трехмерного пространства направлений. Если частица при движении достигает границы решетки, она отражается и продолжает движение до тех пор, пока не окажется по соседству с первой. Тогда частица останавливается и закрепляется в данной ячейке, а в решетку запускается следующая частица. Количество запускаемых в решетку частиц вычисляется однозначно в зависимости от заданной концентрации наполнителя. Пример кубического композита, сгенерированного с помощью описанного метода, приведен на рисунке 1.6.5, а его центральное сечение изображено на рисунке 1.6.6. Характерной положительной особенностью данного метода является то, что в результате образуется только один кластер, поскольку все ячейки являются связанными по условию. Соответственно, задача по определению протекания такого кластера сводится к линейной, и решается несоизмеримо быстрее, чем в других методах. Однако реализация предложенного метода генерации композита требует существенных временных затрат.
В первой главе диссертации на основе анализа существующих методов моделирования пористых пьезокомпозиционных материалов предложены модели их гомогенизации в представительном объеме на основе метода эффективных модулей. Предложены перколяционные модели представительных объемов двухфазных композитов, поддерживающие кластерную структуру материала одной из фаз, и дано описание алгоритмов их генерации, позволившие разработать эффективные программные средства генерации представительных объемов пористого материала различной связности. Разработано модельное описание структуры пористого пьезокерамического материала с неоднородной поляризацией пьезокерамики в окрестности пор, позволяющее получить уточненное описание его поведения на уровне макрообъемов. Сформулированный набор из пяти краевых задачи электроупругости с граничными условиями, обеспечивающими постоянство электромеханических полей для однородной среды, позволяет в результате их численного решения получить полный набор эффективных констант пьезоэлектрического композиционного материала.
О конструкционном демпфировании пористого материала
В связи с тем, что одной из целей исследования является разработка и построение численного метода оптимизации устройств на основе пористых пьезоматериалов, данные экспериментов, полученные на основе описанной методики, аппроксимировались максимально упрощенной полиномиальной моделью по методу наименьших квадратов. Характер изменения материальных констант от пористости позволил ограничиться линиями первого и второго порядка, причем выбор в пользу более простой функции производился, если среднеквадратичное отклонение погрешности аппроксимации не превышало 2%.
Сравним полученные зависимости на примере материала средней сегнетожесткости с известными экспериментальными данными, представленными в работах [5, 8, 18-22, 42, 53, 59, 63, 67, 103-104]. На графиках синие линии соответствуют зависимостям, полученным для представительного объема, сгенерированного простым случайным методом, а красные — методом Виттена-Сандера. Как и ранее, зависимости, полученные без учета неоднородности поля поляризации, помечены кружками; треугольники соответствуют неоднородной поляризации; экспериментальные данные обозначены ромбами. На рисунке 2.3.1 представлена зависимость относительной диэлектрической проницаемости от пористости, в сравнении с экспериментальными данными, полученными в [53, 59]. Исходя из графиков, приведенных на рисунке 2.3.1, можно сделать вывод о том, что как для простого случайного метода генерации представительного объема, так и для метода Виттена-Сандера, зависимости 3p) носят линейный характер. При этом результаты, полученные с учетом гипотезы о неоднородности поля поляризации, отличаются от данных, полученных без учета данной гипотезы, не более чем на 1-2%. Видно, что все четыре зависимости очень близки, и лучше согласуются с экспериментальными данными из [53]. Значения, полученные в [59], убывают сильнее с ростом пористости, давая уже при 38% существенное расхождение с данными модельных экспериментов и результатами работы [53] около 35%.
Ниже приведем зависимости (Рисунок 2.3.2), полученные для упругих модулей материала средней сегнетожесткости в сравнении с экспериментальными данными из [63, 67]. Зависимости относительного упругого модуля c1E1 хорошо аппроксимируются линейными функциями пористости в случае простого случайного метода генерации представительного объема; зависимости, соответствующие методу Виттена-Сандера, носят квадратичный характер. Необходимо отметить, что характер зависимостей не изменился с учетом гипотезы о неоднородности поляризации; однако, данные, полученные с учетом этой гипотезы, и соответствующие второму методу генерации пор, лучше других согласуются с экспериментальными, полученными в [63]. Представленные в [67] экспериментальные зависимости модуля c11 с ростом пористости также убывают по квадратичному закону, однако, в этом случае расхождение с данными [63] и результатами численных экспериментов составляет не менее 25%. Для модулей c1E2 , c1E3 и c3E3 при обоих способах построения представительного объема пористой структуры, а также с учетом и без учета неоднородности поляризации, получены квадратичные зависимости модулей от пористости. Наименьшая погрешность модуля c1E2( p) в сравнении с экспериментальными данными [63] наблюдается при учете неоднородности поляризации и с использованием метода Виттена-Сандера. При построении зависимостей сЕ3 и с33 от пористости данные, лучше согласующиеся с экспериментальными, получены при использовании простого случайного метода генерации представительного объема. Однако стоит отметить, что погрешность при определении модуля сЕ3 составила не более 10%, тогда как для модуля с33 она превысила 40% уже при значении/?=0.5. Линейная зависимость относительного упругого модуля сЕ4(р), полученная при простом случайном методе, показала наилучшее соответствие экспериментальным данным [63], при этом максимальная погрешность составила не более 7%. Упругий модуль сЕ6(р) изменялся по линейному закону для первого метода генерации пор. Однако, зависимость, лучше всего соответствующая экспериментальным данным, была получена в случае метода Виттена-Сандера и при учете неоднородности поля поляризации; максимальная погрешность не превышала 2-3%, тогда как данные, соответствующие простому случайному методу показали отклонение от экспериментальных более, чем на 20%. После вычисления полных наборов эффективных модулей cEaf , е , є по известным формулам находились такие важнейшие характеристики пьезокерамики, как пьезомодули деформаций: d =efa\cEf)x . В силу того, что известные на сегодняшний день результаты экспериментов по определению пьезомодулей напряжений достаточно скудны, ниже приведены только зависимости, полученные для пьезомодулей деформаций в сравнении с экспериментальными данными [42, 50, 59]. Будем рассматривать их относительные изменения r(d3j) = dfj(p)ld3j, где 7 = 1, 3. Проанализируем графики зависимостей продольного (рисунок 2.3.3, а) и поперечного (рисунок 2.3.3, б) пьезомодулей деформаций, представленные ниже, и сравним их с экспериментальными зависимостями, полученными в [42, 50, 59]. На рисунке 2.3.3 (а) приведены зависимости относительных величин пьезомодуля r(d3l) от пористости для пьезокерамики средней сегнетожесткости в сравнении с экспериментальными данными [42, 50, 59].
Описание программного комплекса многокритериальной оптимизации подводного многослойного пьезоизлучателя на основе пористой пьезокерамики
Часто используемый, особенно, в ранних работах подход к моделированию частотных характеристик акустических пьезопреобразователей, основанный на построении эквивалентной электрической схемы и анализе уже не самого преобразователя, а эквивалентной схемы [33, 85, 93], обладает существенным недостатком, который заключается в том, что преобразователи усложненной конструкции (Tonpilz, Langevin, flextensional) с дополнительными конструктивными элементами уже не могут быть достаточно просто трансформированы в эквивалентную схему. Другой проблемой этого подхода является корректный учет действия на преобразователь акустической среды. Это заставляет использовать более эффективные подходы, которые позволяют корректно формулировать и решать связанные задачи пьезоэлектричества— акустики и, возможно, оптимизации.
Возможности таких систем конечно-элементного моделирования, как Abaqus, ANSYS, Comsol Multiphysics решать связанные задачи пьезоэлектричества, акустики и оптимизации позволили выполнить моделирование акустических характеристик различных конструкций излучателей [44] и гидрофонов. Так, в работе [70] решена задача моделирования акустического излучателя в форме таблетки, включая определение частотных характеристик уровня звукового давления в прямом луче, диаграммы направленности и коэффициента преобразования управляющего потенциала TVR. Аналогичный подход и инструменты численного анализа использовались в работе [28] при моделировании ультразвукового воздействия на взвесь в жидкости микрочастиц с целью их ускоренного растворения.
Для получения оптимальных характеристик многослойного пьезоэлектрического излучателя за счет лучшего согласования импедансов слоев экспериментально подбирались различные материалы, что позволило обеспечить требуемую равномерность частотной характеристики уровня звукового давления в ближнем поле [30].
Целевой функционал представляет собой сумму квадратов невязок между желаемой и симулируемой частотными характеристиками электрического импеданса, вычисленную в некотором конечном наборе частот. В качестве оптимизируемых параметров дизайна использованы параметры материалов всех входящих в модель слоев, включая также параметры их Рэлеевского демпфирования. Учитывая их большое количество, процедура оптимизации выполнена пошагово — с добавлением слоев к активному на каждом следующем шаге. На завершающем шаге преобразователь помещается в акустическую среду.
Отмечается и особо исследуется чувствительность целевого функционала к каждому варьируемому параметру. В частности, установлено, что наибольшее влияние на характер толщинных колебаний оказывают следующие параметры активного слоя: элементы матриц с33,е33,е33, а также fiDK параметр Рэлеевского демпфирования; модули упругости, коэффициенты Пуассона и pDK подложки и согласующего слоя. Адекватность оптимизированной модели излучателя подтверждается сравнением расчетных и экспериментально снятых частотных характеристик электрического импеданса, уровня звукового давления в дальнем поле и диаграмм направленности.
Работа [90] посвящена разработке метода оптимизации пьезоэлектрической пластинки путем нахождения оптимального распределения свойств функционально-градиентного материала вдоль главного направления поляризации. Фактически, рассматривается пьезоэлектрический материал с изменяющейся по толщине пористостью, заполненной пассивным наполнителем (термореактивный пластик). Целью оптимизации является генерация требуемой моды колебаний на заданной частоте и получение максимально возможного уровня амплитуд смещений на исполнительной поверхности. Оптимизация 2D конечно-элементной модели выполняется с использованием непрерывной пространственной зависимости параметров материала (рисунок 3.1.2) и метода последовательного линейного программирования.
Таким образом, все материальные константы материала являются кусочно-линейными функциями, заданными в каждом слое материала.
Для получения заданной моды колебаний пьезоэлемента с генерируемой структурой используется так называемый Modal Assurance Criterion (MAC), согласно которому близость получаемой на каждой итерации моды колебаний W и требуемой моды 4 ref оценивается величиной, пропорциональной скалярному произведению их дискретных представлений
В работе принималось, что величина MAC, близкая к 0.9, свидетельствует о тесной корреляции мод, тогда как МАС 0.05 отвечало полностью некоррелирующим модам. Целевые функционалы формулируются как взвешенные суммы квадратов невязок между получаемыми и желаемыми собственными частотами, и как взвешенная сумма относительных мощностей мод колебаний.
Одна из немногих работ, в которых проблема многокритериальной оптимизации акустических пьезопреобразователей рассмотрена с использованием двух различных подходов — генетического алгоритма, минимизирующего комплексный целевой функционал, и диаграмм Парето, представлена Bo Fu с сотрудниками [49]. В качестве целевых критериев использованы максимум амплитуды колебаний и минимум затрачиваемой при этом электрической мощности. Параметрами дизайна являются размеры слоев (непрерывные переменные) и типы материалов (дискретные переменные). Для уединенного преобразователя, описываемого аналитической моделью, сформулирована задача оптимизации с ограничениями. Оптимизация с помощью генетического алгоритма выполняется по результатам предварительного анализа фронта Парето.
В статье [94] рассмотрена задача оптимизации многослойного мощного пьезопреобразователя путем варьирования размеров и расположения 102 пьезоэлемента в сэндвиче. Оптимизируемыми параметрами являются частота резонанса и антирезонанса, эффективный коэффициент электромеханической связи, механическая добротность. Метод использует эквивалентную электрическую схему преобразователя. Показано, что увеличение толщины электродов с целью снижения нагрева снижает коэффициент электромеханической связи и механическую добротность системы. Таким образом, оптимальная толщина электродов определяется в результате некоторого компромисса, определяемого ограничениями на количество генерируемого тепла, добротность и коэффициент электромеханической связи. Показано также, что наилучшие показатели имеют преобразователи, в которых пьезоэлемент размещен посередине между согласующими слоями равной толщины.
В работе [31] проводится сравнительное исследование традиционной многослойной конструкции мощного пьезоизлучателя и конструкции, использующей активный элемент в виде кольца, выполненного из пьезокомпозита со структурой 1–3. «Псевдопористая» структура создавалась по специальной технологии; поры общим объемом около 12% заполнялись полимером (рисунок 3.1.3).
