Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств и основные вариационные принципы 19
1.1. Применение электродинамических концепций к теории акустических полей и волн в телах 19
1.1.1. Уравнения электромагнитных и акустических полей 20
1.1.2. Основополагающие соотношения 23
1.2. Вариационные методы анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе билинейных функционалов 24
1.3. Проекционные методы анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств 29
1.4. Вариационные методы анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе теории возмущений 32
1.4.1. Принцип сравнения в теории возмущений 37
1.5. Вариационные методы синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств 40
1.5.1. Основные понятия теории некорректных задач 40
1.5.2. Методы решения некорректно поставленных задач 42
1.5.3. Решение обратных задач методом подбора 43
1.5.4. Решение обратных задач методом регуляризации 43
1.5.5. Вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов 47
1.6. Выводы 49
Глава 2. Математическое моделирование собственных частот твердотельных акустических резонаторных устройств на базе вариационных методов 51
2.1. Математическое моделирование собственных частот трехмерных твердотельных акустических резонаторов вариационным методом на базе билинейных и квадратичных функционалов 51
2.2. Эффективный численный алгоритм расчета собственных частот трехмерных акустических резонаторов на базе вариационного метода 56
2.3. Теоретические оценки точности математического моделирования собственных частот трехмерных акустических резонаторов 60
2.4. Математическое моделирование собственных частот свободных колебаний твердотельных акустических резонаторов на базе проекционного метода 62
2.5. Математическое моделирование собственных частот твердотельных акустических резонаторов на базе метода возмущений 64
2.6. Выводы 67
Глава 3. Математическое моделирование характеристических параметров твердотельных акустических волноводных устройств 68
3.1. Математическое моделирование элементов матриц рассеяния, проводимостей и сопротивления твердотельных акустических волноводных устройств на базе вариационного метода 68
3.2. Эффективный численный алгоритм расчета элементов матрицы проводимостей на базе вариационного метода 71
3.3. Теоретические оценки погрешности получаемых приближенных решений 76
3.4. Моделирование внутренних задач дифракции в твердотельных акустических волноводах на базе проекционного метода 77
3.5. Математическое моделирование постоянной распространения волны в твердотельных акустических волноводах на базе метода возмущений 80
3.6. Выводы 81
Глава 4. Синтез и оптимизация твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств 82
4.1. Синтез твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов с применением регуляризаторов Лагранжа и Тихонова 82
4.2. Построение регуляризаторов для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений 86
4.3. Оптимизация вычислений: о построении алгоритмов минимизации функционалов с использованием метода динамического программирования 98
4.4. Выводы 102
Глава 5. Результаты моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе вариационных методов 103
5.1. Результаты анализа твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств 103
5.1.1. Результаты нахождения собственных частот и собственных функций колебаний акустических резонаторов вариационным методом 103
5.1.2. Математическое моделирование и сравнение результатов расчета собственных частот акустических резонаторов вариационным методом, проекционным методом и методом возмущений Рэлея-Шредингера 109
5.1.3. Результаты математического моделирования регулярного акустического полоскового волновода 112
5.1.4. Математическое моделирование твердотельных акустических волноводных устройств на связанных линиях 118
5.1.5. Результаты математического моделирования нерегулярных твердотельных акустических волноводных устройств 122
5.2. Результаты синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств 126
5.2.1. Результаты синтеза акустических резонаторов 127
5.2.2. Результаты синтеза и оптимизации четвертьволновых акустических волноводных согласователей 128
5.3. Выводы 130
Заключение 131
Библиографический список 133
Приложение 1. Построение регуляризаторов Лагранжа и Тихонова для
линейных операторных уравнений. Алгоритм градиентной 5-минимизации 149
- Уравнения электромагнитных и акустических полей
- Эффективный численный алгоритм расчета собственных частот трехмерных акустических резонаторов на базе вариационного метода
- Эффективный численный алгоритм расчета элементов матрицы проводимостей на базе вариационного метода
- Построение регуляризаторов для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время твердотельные акустические волноводные устройства и резонаторы используются во многих областях науки и техники, где требуется уменьшение габаритов и веса при одновременном повышении стабильности и надежности радиоэлектронной аппаратуры. Диапазон частот применения твердотельных устройств на упругих волнах очень широк: они используются как в ультразвуковой технике низких частот, так и в микроволновом СВЧ диапазоне. Большой вклад в научные исследования этих устройств внесли Ю.В. Гуляев, В.А. Красильников, А.В. Медведь, И.А. Викторов, В.И. Пустовойт, Н.И. Синицын, Ю.А. Зюрюкин, Б.Д. Зайцев, W.P. Mason, В.А. Auld, Е.Р. EerNisse, H.F. Tiersten и другие отечественные и зарубежные ученые. Так как аналитические методы не позволяют в полной мере произвести адекватное и систематическое изучение параметров реальных акустических устройств, актуальной задачей является трехмерное математическое моделирование и исследование этих устройств на базе универсальных математических методов.
Самым перспективным в этом отношении является вариационный подход, позволяющий строить вычислительные алгоритмы для целых классов задач. Как показано в трудах С.Г. Михлина, М.А. Лаврентьева, А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Р. Куранта, К. Ректориса и других ученых, вариационные методы относятся к наиболее мощным и универсальным методам решения краевых задач математической физики.
Вариационные методы анализа становятся еще более эффективными, если они позволяют непосредственно выражать конкретные параметры моделируемого объекта через стационарное значение функционалов (Г.И. Марчук, В.В. Никольский, Я.Н. Фельд, Э.Л. Куликов), так как при этом удается повысить точность вычисления параметров и теоретически оценить погрешность получаемых расчетных данных. Прежде всего это возможно в случаях использования вариационных методов, базирующихся на билинейных функционалах. Эти же методы оказываются весьма удобными и при использовании их вместе с классическими квадратичными формами функционалов в задачах синтеза и оптимизации.
Однако в настоящее время вышеперечисленные методы при математическом моделировании твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств практически не используются, несмотря на значительные успехи применения аналогичных методов в электродинамике (В.В. Никольский, Э.Л. Куликов). Это объясняется тем, что, как считалось, их применение обосновано лишь при достаточно жестких ограничениях, например требовании симметричности или самосопряженности оператора. Хотя и имелись свидетельства тому, что вариационные методы применимы и при менее жестких ограничениях (В.В. Никольский, Э.Л. Куликов), но рецептов того, как построить в общем случае стационарные выражения типа билинейных функционалов с естественными граничными условиями, в акустике до последнего времени практически не было. Вышесказанное можно отнести и к тесно примыкающим к билинейным функционалам методам теории возмущений и проекционным методам.
Таким образом, представляется актуальным и перспективным дальнейшее развитие вышеупомянутых вариационных методов и алгоритмов на их основе, позволяющих решать трехмерные и в общем-то тензорные задачи анализа, синтеза и оптимизации твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств с высокой степенью точности. Актуальность этих исследований подчеркивается и Перечнем критических технологий и Приоритетных направлений развития науки, технологий и техники Российской Федерации, подписанных Президентом РФ В.В. Путиным 30 марта 2002 г., куда включены компьютерное моделирование и проектирование акустических узлов устройств акустоэлектроники.
7 Целью диссертационной работы является развитие вариационных методов трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств; разработка алгоритмов и программ расчета твердотельных акустических устройств, позволяющих расширить круг решаемых трехмерных задач и уменьшить объем вычислительных операций по сравнению с традиционными методами расчета; апробация алгоритмов и программ на тестовых задачах и проведение расчетов параметров конкретных твердотельных акустических устройств с теоретической оценкой точности результатов.
Научная новизна:
Сформулирована общая постановка задачи трехмерного математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств в виде тензорных уравнений теории упругости, записанных в операторной и векторной форме, позволяющая рассматривать трехмерные задачи как с изотропными, так и с анизотропными средами, без ограничений на вид распространяющихся волн в твердотельных акустических устройствах.
Развит вариационный метод на базе билинейных функционалов, позволяющий за счет выбора сопряженной задачи получать функционалы, стационарное значение которых может быть сделано равным практически любому искомому характеристическому параметру или искомой функции исследуемых акустических устройств. Благодаря этому погрешность, получаемая при вычислении стационарного значения функционала, оказывается на порядок меньше погрешности функций сравнения при приближении решения и теоретически легко оценивается.
Для задач акустики развит проекционный метод, позволяющий наиболее эффективным образом переходить от выбранной постановки задачи в виде системы уравнений в частных производных к системе линейных алгебраических уравнений.
4. На базе теории возмущений развит метод и предложены функционалы, позволяющие значительно упростить и ускорить расчеты параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств.
Предложен новый вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов, позволяющий синтезировать устройства с заданной степенью точности.
На базе развитых методов построены эффективные вычислительные алгоритмы расчета с повышенной точностью основных параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств (собственных частот, постоянных распространения, элементов матриц проводимостей, сопротивления и рассеяния).
Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы позволяют с повышенной точностью проводить инженерные расчеты параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств при минимальных затратах машинного времени на ЭВМ. Разработанные алгоритмы являются основой программ машинного проектирования твердотельных акустических устройств, используемых в научно-исследовательских разработках Саратовского государственного технического университета и предприятий электронной промышленности.
На защиту выносятся:
1. Вариационный метод моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств, позволяющий строить билинейные функционалы, стационарное значение которых может быть сделано равным практически любому искомому характеристическому параметру или искомой функции моделируемого объекта. За счет этого повышается точность расчетов параметров и появляется возможность теоретической оценки точности моделирования.
2. Проекционный метод моделирования твердотельных акустических устройств, позволяющий сразу переходить от выбранной постановки задачи в виде системы уравнений в частных производных к системе линейных алгебраических уравнений.
Метод математического моделирования твердотельных акустических устройств на базе теории возмущений и функционалы, позволяющие получить решение быстрее и проще, чем вышеперечисленными вариационными методами.
Новый вариационный метод синтеза твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств (на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов), позволяющий синтезировать устройства с заданной степенью точности.
Построенные новые вычислительные алгоритмы, позволяющие эффективно и с заданной точностью определять значения собственных частот, элементов матриц проводимостей, сопротивления и рассеяния, постоянных распространения твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств.
Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских научно-технических конференциях: «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, СГТУ, 1998, 2000, 2002); «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 1999, 2003); «Современные методы в теории краевых задач», Понтрягинские чтения - X, XI, XII, XIII (Воронеж, ВГУ, 1999, 2000, 2001, 2002); «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, ВГУ, 2000); «Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, НГТУ, 2000); «Методы и средства измерений» (Нижний Новгород, 2000); «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, 2000); 4-м, 5-м,
10 6-м IEEE Saratov-Penza Chapter «Машинное проектирование в прикладной электродинамике и электронике» (Саратов, 2000, 2001, 2002); «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, СамГТУ, 2001); «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, СГУ, 2002); «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Энгельс, 2002); «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, ТГУ, 2002); «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 2002); «Шаг в будущее» (Воронеж, 2002); «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань,
КГТУ, 2002); «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 научных работ. Основные результаты отражены в 19 публикациях.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 153 страницах и состоит из введения, 5 глав и заключения; список использованной литературы включает 161 наименование; в диссертации содержится 29 рисунков.
Краткая историческая справка. Интерес у специалистов в области электронной техники к акустическим волнам обусловлен чрезвычайно низкой скоростью их распространения и соответственно малой длиной волны (примерно в 105 раз меньшей длины электромагнитной волны той же частоты). Как было отмечено в самых ранних исследованиях, реализация малой скорости распространения акустических волн в твердых телах выглядит идеальной при создании линий задержки. Позднее большой интерес стал проявляться к выяснению возможности использования малой длины акустических волн для создания микроминиатюризованных электронных схем. Так, например, были начаты работы по созданию твердотельных акустических волноводных структур и активных акустических устройств. Эти устройства являются аналогами соответствующих электродинамических устройств СВЧ.
Для проектирования аппаратуры на упругих волнах, естественно, требуется выяснить особенности и свойства основных элементов этой аппаратуры. К числу таких элементов относятся не только сами резонаторы и волноводы, но и такие элементы, как периодические системы, волноводные трансформаторы, оконечные нагрузки, переходы и т.п. Особые трудности представляет теоретическая интерпретация свойств таких трехмерных акустических элементов, так как описание акустических волн в твердых телах значительно сложнее описания электромагнитных волн. Так, например, в изотропных неограниченных твердых телах существуют два типа акустических объемных волн (сдвиговые и продольные), в отличие от электромагнитных, имеющих один тип [29, 30]. Перспектива новых применений акустических волн и трудности, возникающие при попытках выяснения свойств акустических структур, явились предметом многочисленных исследований, среди которых следует особо выделить работы о применении методов расчета линий передачи к акустическим волнам [31-50], которые позволяют не только обойти трудности, появляющиеся при попытках решить сложные проблемы прямым путем, но и обеспечивают систематический, удобный для практических целей подход как к решению соответствующих математических задач, так и к пониманию проблемы в целом. Следует отметить, что методы расчета линий передачи СВЧ опираются на совокупность хорошо разработанных и многократно опробованных приемов, возникающих в результате изучения электромагнитных волноводов. Соответствующий математический аппарат электродинамики доведен в ряде случаев до высокой степени совершенства.
Введение элементов метода расчета линий передачи для описания акустических волн относится к 1914 г., когда Баттерворт [51] использовал простые электрические эквивалентные схемы с сосредоточенными параметрами для описания пьезоэлектрического резонатора. Такие исследователи, как Мэзон, Редвуди, Лэмб, Ридер и Уинслоу [52-54] в своих исследованиях использовали отрезки линий передачи для описания акустических волн, ввели понятие акустического импеданса. В этих работах теория линий передачи строится по аналогии с теорией электромагнитных волн в волноводах. В случае акустических волн в качестве основных полей (аналогов Е и Н в электродинамике) были выбраны поле скорости частиц (и) и тензор механических напряжений (Т). Это описание акустических волн с помощью линий передачи основано на аналогии между уравнениями акустики и уравнениями Максвелла. Указанная аналогия подробно рассмотрена в работах [39, 43, 44]. Ввиду важности этого вопроса для точной математической постановки задач, он вкратце излагается.
В случае зависимости от времени вида (ej(Bt) уравнения Максвелла для электромагнитного поля в отсутствие источников имеют следующий вид: rot Н = ісоє Е + j, rot Е = -ісоц. Н, где Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей, а є и ц. -материальные константы, которые понимаются как функции координат, или вообще тензоры с комплексными компонентами.
Уравнения динамики упругих сплошных сред (в общем случае анизотропных) при той же зависимости от времени можно описать линейными уравнениями теории упругости следующим образом: V»T = jopu+F, Vso = j(os:T, где Т - вектор, составленный из компонент тензора напряжений: где и - вектор поля скоростей; р - тензор плотность среды; s - тензор упругой податливости; s: Т = ^s^T,; t - знак транспонирования. Как видно, операторные
13 уравнения динамики упругих сплошных сред представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных о и Т, записанную в форме сходной с уравнениями Максвелла. В этих уравнениях имеются основы использования методов электродинамики для задач, связанных с акустическими волнами. Как было показано в [39, 43, 44] и будет показано ниже, применяемый здесь формализм не является просто переводом акустических явлений на язык других терминов, а предоставляет мощный и эффективный метод решения сложных акустических задач. Этот метод используется для нахождения характеристик распределения волн в различных средах, причем для получения результатов требуется сравнительно меньший объем вычислений, чем при решении по стандартным процедурам. Выигрыш в эффективности от применения данного метода пропорционален сложности задач. С помощью метода расчета линий передачи в акустике уже исследованы различные новые конфигурации волноводов и волноводных структур, фильтров, эффективных элементов связи [55-58]. Отметим, что способ операторной записи уравнений линейной теории упругости для анизотропной среды в форме «уравнений Максвелла» широко используется в настоящей работе.
Заметим однако, что в действительности существование адекватных математических моделей в виде сформулированных краевых задач еще не означает возможности извлекать из них требуемую информацию. Задачи эти (если рассматривать реальные, а не упрощенные объекты) таковы, что нет никакой надежды получать их решения в замкнутой аналитической форме или даже в виде рядов. Математическая теория позволяет, однако, указать некоторые типы алгоритмов (вычислительных процессов), приближающих специального вида представления к искомым решениям с как угодно высокой (а иногда заранее заданной) степенью точности. Одним из важнейших является при этом вариационный подход, позволяющий строить вычислительные алгоритмы для целых классов задач (сущность которого будет подробно
14 пояснена в дальнейшем). Наличие алгоритма вместе с программно реализующей его ЭВМ означает, что реальному устройству (а обычно целому классу устройств) сопоставлена численная модель. Использование различных численных моделей, или математическое моделирование на ЭВМ, нередко называют «мысленным экспериментом». Действительно, здесь можно воспроизвести все конфигурационные, ориентационные, материальные и иные изменения, мыслимые (но, быть может, трудно реализуемые) в обычном эксперименте. Делается это посредством вариаций входных параметров программы, а потому выполнимо в как угодно широких пределах и при отсутствии всяких случайных и систематических погрешностей, свойственных измерительной аппаратуре, применяемой инженерами-разработчиками.
Возникновение и развитие вариационного исчисления тесно связано с задачами механики, физики и т. д. Вариационное исчисление, являющееся одним из основных методов современного естествознания, отсчитывает свое начало от классического результата И. Бернулли (1696 г.), решившего задачу о брахистротроне, то есть о кривой наискорейшего спуска. Классические идеи и классическая идеология вариационного исчисления связаны с фамилиями известных ученых-классиков: Ньютона, Бернулли, Лагранжа, Эйлера, Даламбера, Гамильтона, Рейсснера, Кастильяно, Остроградского, Ляпунова и др. В XX веке возник целый ряд новых направлений вариационного исчисления, связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и особенно вычислительной техники. Большой вклад в развитие вариационного исчисления внесли: С.Г. Михлин, М.А. Лаврентьев, Л.С. Понтрягин, Л.В. Канторович, А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, В.А. Садовничий, В.Л. Бердичевский, Л.С. Полак, Р. Курант, Д. Гильберт, Л. Янг, К. Ректорис, К. Ланцош, Р. Беллман и др. Одним из основных направлений развития вариационного исчисления во второй половине XX века является рассмотрение неклассических задач вариационного исчисления и методов их решения (Г.И. Марчук, Я.Н. Фельд, В.В. Никольский, Э.Л. Куликов). В данной
15 диссертации развиваются вышеупомянутые методы. Новизна разработанного в данной работе подхода видна из списка опубликованных автором работ [59—
Содержание диссертации и порядок изложения материала.
В настоящей диссертационной работе на базе вариационных методов развивается математический аппарат моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств, который может служить основой для проведения разнообразных теоретических экспериментов на основе решения как прямых задач, так и задач синтеза и оптимизации. Развиваемые вариационные подходы к решению твердотельных акустических задач помогают упорядочить и систематизировать усилия, необходимые для решения поставленных проблем.
Среди вариационных подходов, развитых в данной работе, следует выделить: 1) вариационные методы анализа на базе билинейных функционалов, 2) проекционные методы, 3) вариационные методы анализа на базе теории возмущений, 4) вариационные методы синтеза на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов. Поясним несколькими словами выбор каждого из них.
1) Как известно [89-92], под вариационным методом прежде всего понимается прием, сводящий непосредственное решение данной системы уравнений относительно неизвестных (о и Т) к нахождению функций и и Т, доставляющих стационарное значение некоторому функционалу I(u, Т). Вариационные методы становятся еще более эффективными тогда, когда стационарное значение функционала совпадает с искомой величиной, в качестве которой может выступать, например, или некоторый характеристический параметр моделируемого объекта (число), или распределение поля в некоторой области (функция) [6, 46, 47, 69, 93, 94]. Такая возможность появляется при использовании так называемых билинейных функционалов. Отметим, что при этом процесс нахождения функций и и Т может быть, вообще говоря, не связан непосредственно с вариационным методом. Для этой цели могут быть использованы любые подходящие методы, причем не только теоретические, но и экспериментальные. В конечном итоге, это существенно повышает гибкость вариационных методов и в известной мере лишает смысла противопоставление вариационных методов остальным [66].
Однако следует отметить, что энергетические методы, приводящие к построению билинейных функционалов и известные к настоящему времени, применимы лишь при достаточно жестких ограничениях. Например, в работах [90, 94, 95] при формулировке энергетического метода требуется, чтобы оператор, порождающий данную задачу, был симметричен. В работе [6] требуется, чтобы этот оператор имел сопряженный. Хотя и имеются свидетельства тому, что вариационные методы применимы и при менее жестких ограничениях, накладываемых на свойства операторов, (см., например [46, 47, 90, 91, 94, 96-98]), тем не менее рецептов тому, как построить в общем случае стационарные выражения типа билинейных функционалов с естественными граничными условиями, до последнего времени практически не было [46, 47] и в механике твердого тела билинейные функционалы не использовались [99-113]. В работах [46, 47] для задач с пьезоэлектриками и носителями заряда впервые были приведены общие подходы к построению билинейных функционалов общего типа.
В настоящей работе подобные достаточно общие приемы предложено использовать для твердотельных акустических структур при замене краевой задачи для данного операторного уравнения соответствующей вариационной, приводящей к построению билинейных функционалов, таких, что для них краевые условия задачи оказываются естественными, а их стационарное значение может быть сделано равным или практически любому характеристическому параметру моделируемого объекта, или самому искомому решению. В работе получены билинейные функционалы для проведения
17 математического моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств.
Проекционный подход [6, 80, 86, 114], сущность которого будет подробно пояснена в дальнейшем, позволяет указать некоторые типы алгоритмов (вычислительных процессов), приближающих специального вида представления к искомым решениям с как угодно высокой (а иногда заранее заданной) степенью точности. Иногда не делается различий между словами «проекционные методы» и «вариационные методы», причем даже отдается предпочтение последнему термину. В настоящей работе такой подход построен для моделирования твердотельных акустических резонаторов и волноводов [80, 86].
Под теорией возмущений обычно понимают методы, позволяющие получить решение некоторой задачи, отклоняющейся от уже исследованной [6]. Большей частью малость рассматриваемых отклонений является основным положением этой теории. Однако на базе метода Рэлея-Шредингера (взятом из квантовой механики) в электродинамике построен алгоритм, в котором порядок возмущения уже никакой роли не играет [94, 115]. В настоящей работе подобный алгоритм построен и используется для анализа твердотельных акустических волноводных структур и резонаторов [71, 72, 74]. Ради справедливости отметим, что в ряде случаев пространственно малых возмущений функционалы сравнений с нулевым и квазистатическим приближениями могут быть предпочтительней билинейных функционалов ввиду своей простоты и, как следствие, простоты вычислений [72].
Предложенные в настоящей работе вариационные методы синтеза на базе одновременного использования билинейных и квадратичных функционалов создают универсальную внешнюю оболочку на базе квадратичных функционалов типа «невязки», внутрь которой входят билинейные функционалы, через которые определяются основные параметры
18 твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств [77, 79,
Порядок изложения материала диссертационной работы следующий.
В первой главе диссертации дается постановка в операторной форме задач моделирования твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств и формулируются общие вариационные принципы анализа и синтеза этих устройств.
Вторая глава диссертации посвящена вопросам моделирования собственных частот трехмерных акустических резонаторных устройств путем построения функционалов и эффективных численных алгоритмов на их основе с теоретическими оценками точности нахождения собственных частот.
Третья глава диссертации посвящена вопросам моделирования элементов матриц проводимостей, сопротивления и рассеяния трехмерных твердотельных акустических волноводных устройств путем построения функционалов и эффективных численных алгоритмов на их основе с теоретическими оценками точности. Здесь же рассмотрено нахождение постоянной распространения волны в регулярном волноводе.
В четвертой главе диссертации изложена методика синтеза и оптимизации твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на базе вариационных методов, рассмотрены вопросы, связанные с построением регуляризаторов Лагранжа и Тихонова для линейных операторных уравнений, а также вопросы, связанные с построением оптимальных алгоритмов синтеза.
В пятой главе диссертации приведены численные результаты трехмерного математического моделирования конкретных твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств на основе алгоритмов, сформулированных в предыдущих главах. Проведено сравнение методов, теоретических результатов и экспериментальных данных, а также даны теоретические оценки погрешности моделирования.
Уравнения электромагнитных и акустических полей
В настоящее время в акустике для расчета сложных акустических устройств предложены и успешно применяются вариационные методы, базирующиеся на квадратичных формах функционалов [106, 112, 113]. В то же время в электродинамике уже давно показано, что наиболее эффективным при построении вычислительных алгоритмов является использование билинейных функционалов [94].
Эта эффективность объясняется тем, что стационарное значение билинейного функционала может быть сделано равным любому искомому параметру задачи, благодаря чему погрешность, получаемая при вычислении стационарного значения через функционал, оказывается на порядок меньше погрешности функций сравнения при приближении решения [6, 66]. Таким образом, на базе билинейных функционалов можно строить эффективные вычислительные алгоритмы с повышенной точностью вычисления. Кроме этого, на этом пути оказывается возможной теоретическая априорная и апостериорная оценка точности находимого приближенного решения
При этом точность этих методов оказывается не хуже точности метода конечных элементов, где повышенная точность так же получается за счет интегрирования в функционале, и теоретическая оценка это подтверждает. Ведь, в принципе, метод конечных элементов является лишь частным случаем метода Ритца для определенного выбора так называемого базиса. Отметим, что в случаях сильной осцилляции полей (особенно в СВЧ диапазоне) и жесткого выбора базиса (в тензорной анизотропной среде) метод конечных элементов не дает никаких преимуществ [122].
Почему же билинейные функционалы, несмотря на доказанную их эффективность, практически не используются в акустике, и имеются лишь единичные примеры их использования. Это связано с тем, что большинство способов их построения накладывает определенные ограничения на операторы задачи, как например в [90], где способ построения основывается на эрмитовости операторов и т.п., а в работах, где эти ограничения пытаются обойти, не даются общие принципы построения билинейных функционалов и не рассматривается тензорная среда [123]. Однако, в работах [46, 47] уже были предложены достаточно удобные и, в то же время, снимающие ограничения на операторы, способы, на которые мы и будем опираться в дальнейшем.
Ниже развивается достаточно общий вариационный метод построения билинейных функционалов с естественными граничными условиями для расчета параметров твердотельных акустических волноводных и резонаторных устройств с тензорной средой, стационарное значение которых может быть сделано равным любому параметру задачи, намечаются пути построения и использования таких билинейных функционалов, и кроме этого, строятся апостериорные теоретические оценки точности вычислений.
В достаточно общем случае физические процессы в тензорном твердотельном объеме V, ограниченном поверхностью S, можно описать системой линейных тензорных уравнений теории упругости [39, 61] р - плотность среды; s - тензор упругой податливости; s: Т = виТ;, t - знак транспонирования, V«, Vs - символические операторы [39], g,G, f - известные векторные функции, w - оператор импеданса, со - частота. Здесь поверхность S представлена как S = S, +S2 -S3. Отметим, что данный вид разбиения поверхности дает возможность рассматривать граничные условия практически любого вида. Например, если S = S,, a S2 = S3 = 0, то это означает, что на всей поверхности S задано условие (1.2.2) для S,. Естественно, возможны и другие варианты. (1.2.3) Задачу (1.2.1)—(1.2.2) удобно рассматривать в операторной форме [64]: Lu = р (u = u(r), г = (x,y,z), г є V), Mu = q (u = u(r),r = (x,y,z),reS), где u - искомый вектор-столбец с компонентами {и,Т}; р и q - заданные векторы с компонентами {-F,0} и {g, G,f } соответственно; L и М — матричные операторы вида представленную в операторной форме, можно свести к нахождению функции и, доставляющей стационарное значение билинейному функционалу : l(u,Ti) = (Lu-p,4)v-(u,9)v+(Mu-q,Pri)s-(Ru,H;)s, (1-2.4) где (., . )v, (.,. )s обозначают скалярное произведение, а операторы Р, R определяются из обобщенной формулы Грина: Здесь ті является решением сопряженной линейной задачи: Путем непосредственного варьирования функционала (1.2.4) легко показать, что стационарное значение билинейного функционала (1.2.4) равно а подбором функций ср и \/ его можно реально изменять и сделать равным любому параметру исходной задачи (собственная частота, элементы матрицы проводимости и т. д.) либо искомому решению (поля Т и и). Здесь U0 И Г0 -точные решения соответственно задач (1.2.3) и (1.2.6). Например, если у = 0, (p = -J8(r-r ) (J - единичный тензор, S(r-r ) - функция Дирака), то l(u0,r0)=u(r ) - искомое решение задачи. Если же ср = 0 и ц/ = 0, то можно получить функционал для определения собственных значений рассматриваемой задачи. Возможны и другие случаи. Такой прием преобразования билинейного функционала в дальнейшем окажется очень полезным. Отметим, что граничные условия задач (1.2.3) и (1.2.6) являются для билинейного функционала (1.2.4) естественными граничными условиями. Для задачи (1.2.1)—(1.2.2) функционал (1.2.4) имеет следующий вид [76]: I(D,T,D\T ) = [[(V.T-jcopu + sU-jcosiT -Fu -uF dV v — _ _ _ (1 2 7) - J[(u-g)T +g T]ndS-[[u (T-G)+uG ]ndS- [[(и-f - w: Т)Т +f T]ndS oj 02 bj где знак ( ) над функциями означает комплексное сопряжение, п - нормаль к поверхности S, а знак ( ) над функциями означает их принадлежность к задаче, сопряженной относительно задачи (1.2.1) в смысле Лагранжа [124, стр. 17], которая в развернутой форме представляется в виде линейной системы уравнений V T = joop u — Fj , Vsu = jcos :T , (1.2.8) с граничными условиями на Sj: о =g , на S2: Т = G и на S3: u =f + w: Т . Подставляя в формулу (1.2.7) точное решение задачи (1.2.1)—(1.2.2), получим [69] l(o0,T0,oJ,To )=-Ju0F dV- [g T0ndS- jo0G ndS- jf T0ndS. 2 V s, s2 s3 v / Таким образом, отыскание решения {о0 то} задачи (1.2.1)—(1.2.2) эквивалентно отысканию функций, доставляющих стационарное значение функционалу (1.2.7). Следовательно, функционал (1.2.7) является эквивалентной вариационной формулировкой задачи анализа рассматриваемого устройства. При этом выбором сопряженной задачи (т. е. подбором функций F, и g\G\f ) стационарное значение (1.2.9) функционала (1.2.7) может быть сделано равным практически любому искомому параметру моделируемого объекта. Рассмотренный вариационный метод позволяет в принципе решать как трехмерные задачи о свободных колебаниях, так и задачи о возбуждении, канализации и прочей полезной обработке сигналов во многих типах твердотельных акустических устройств. Кроме того, использование вариационного метода позволяет во многих случаях построить апостериорные оценки погрешности получаемого решения [59, 60].
Эффективный численный алгоритм расчета собственных частот трехмерных акустических резонаторов на базе вариационного метода
Погрешность найденных при математическом моделировании собственных частот (Д в) можно сравнительно просто оценить по формуле типа Вайнштейна [59]: Таким образом, если m-oe собственное число резонаторной акустической твердотельной системы находится на основе стационарных свойств функционала (2.1.8), то погрешность приближенного решения задачи удобно оценить при помощи формулы (2.3.4). Данный метод справедлив, если касательные компоненты полей непрерывны на всех поверхностях S; внутри объема V (при этом даже возможны наличия разрывов нормальных компонент соответствующих полей). Следует отметить, что оценки (2.3.4) менее точны, чем оценки, построенные по Като (2.3.2). Однако, с вычислительной точки зрения, достоинством изложенной методики (2.3.4) является то, что при определении погрешности вычислений не требуется предварительное знание собственных частот резонатора, ближайших к искомому значению, нахождение которых представляет собой самостоятельную достаточно сложную задачу.
Отметим, что двойные оценки точности вычисления можно получить, также учитывая тот факт, что при минимизации основного функционала для нахождения собственных частот обычно метод Трефтца приводит к значениям меньше истинных, а метод Ритца - к значениям не меньшим истинных, если функции сравнения (и и Т) удовлетворяют граничным условиям [91]. В заключение отметим, что представленный вариационный метод расчета собственных частот является достаточно универсальным. И достоинством такого подхода является как сравнительно высокая точность получаемых собственных частот на выбранном заранее интервале, так и то, что на этом пути оказывается возможной теоретическая оценка точности расчетных данных.
Математическое моделирование собственных частот свободных колебаний твердотельных акустических резонаторов на базе проекционного метода Для акустического резонатора с неоднородной и вообще анизотропной средой (изотропия выступает как частный случай) и со свободной поверхностью соотношения (1.3.10) упрощаются [86]: Для нахождения собственных частот исследуемого резонатора используется условие: определитель системы (2.4.2) приравнивается нулю. Затем могут быть найдены собственные векторы а и Ь и определены представления полей (1.3.8). Если резонатор нерегулярен из-за сложной конфигурации оболочки (рис. 3, а), то на рис. 3 показано построение расширенного базиса V0, охватывающего область задачи V, в виде параллелепипеда (рис. 3, б) или сферы (цилиндра) (рис. 3, в). в) Рис. 3. Построение расширенного базиса VQ, охватывающего область задачи V С учетом этого вместо системы (2.4.1) получим [86]: (2.4.3) wN3aN+(QM-Q)bN=0, Q3aN+(oNMbN=0. где Q - матрица, составленная из коэффициентов Qkn = j f[T5kTn ]ds. S+SM Численная модель (2.4.3), представленная здесь, удобна для проведения математического моделирования и эксперимента [80]. На модели можно воспроизвести все конфигурационные, ориентационные, материальные и иные изменения, мыслимые и немыслимые в обычном эксперименте. Делается это посредством вариаций входных параметров программы, а потому выполнимо в как угодно широких пределах и при отсутствии всяких случайных и систематических погрешностей, свойственных измерительной аппаратуре. В качестве обобщения полученных результатов рассмотрим путь распространения проекционных моделей для резонаторов на проекционные модели волноводов. В случае волновода можно сосредоточить внимание на его отрезке длиной /. Тогда изучение резонатора, получаемого для выделенного отрезка, дает информацию о свободных волнах волновода. Пусть резонатор -полуволновой (/=А,/2), тогда его поле u, Т, а следовательно, и все базисные функции оп, Тп должны иметь компоненты с продольной зависимостью где uk, un - векторные функции, составленные из компонент векторов uk и оп, лишенных продольной зависимости; S - поперечное сечение волновода. Аналогично преобразуются Mkn. Мы видим, что все интегралы (матричные элементы) в (2.4.1) становятся двукратными. Что касается coN, то эта величина теперь имеет смысл собственной частоты резонатора, длина которого равна половине длины волны для интересующего нас волновода. Можно взять заранее заданную величину со, подставив ее в (2.4.1) вместо coN, а длину резонатора 1=1.12 рассматривать как неизвестную. Тогда она будет находиться как один из корней характеристического уравнения, представляющего собой равенство нулю детерминанта для системы (2.4.1). В данном случае неизвестная X = A,N (или, что то же, Гы=2тг/А,к) будет входить в элементы детерминанта, а вместо wN надо внести требуемую частоту со. Это означает, что остается неизменной алгебраическая форма (2.4.1) и все аналогичные формы. Наконец, все рассуждения обобщаются и на комплексные постоянные распространения Г. При этом только учитывается, что функция e"irz остается периодической, если z отсчитывать на некоторой оси в комплексной плоскости; этому соответствует комплексная длина волны X и комплексная длина отсеченного отрезка волновода; последняя входит в базисные функции оп, Тп, а также в соответствующие собственные значения соп. Внешне же система уравнений (2.4.1) и другие алгебраические формы не изменяются.
Эффективный численный алгоритм расчета элементов матрицы проводимостей на базе вариационного метода
Покажем, как общая вариационная формулировка при определенном способе выбора граничных условий сопряженной задачи превращается в билинейный функционал, стационарное значение которого становится равным искомому параметру задачи - элементу матрицы проводимости, с помощью которой предлагается описывать сложную волноводную систему, и приведем здесь же один из возможных универсальных алгоритмов нахождения стационарного значения функционала - элемента матрицы проводимости [85].
Если на некоторых участках регулярных волноводов ввести в рассмотрение клеммные плоскости Sa(a = l,2,...N), перпендикулярные осям соответствующих регулярных волноводов, то, как известно [132], свойства волноводного трансформатора, заключенного между клеммными плоскостями Sa, могут быть описаны матрицей проводимостей:
При нахождении элементов матрицы проводимостей Y будет использоваться вышеизложенный подход, который напоминает известный экспериментальный способ определения параметров многополюсников . Для решения поставленной задачи воспользуемся стационарными свойствами функционала (1.2.7). Рассмотрим такой режим работы устройства для задачи (1.2.1) - (1.2.2), когда лишь на одно сечение Sp «падает» волна п типа с единичной амплитудой тангенциональной составляющей поля.
Аналогично для сопряженной задачи пусть только на сечение Sa «падает» волна k-типа с единичной амплитудой, т.е. считаем: где Ya - искомый элемент матрицы проводимостей. На основе стационарных свойств функционала (1.2.7) можно строить различные алгоритмы с целью определения элементов матрицы проводимостей Y [85]. Рассмотрим практически важный случай, когда известны ортонормированные системы функций {ит} и {Тп} для области, образованной из объема V при заполнении его средой с р = const и s = const. Представим поля, входящие в следующий функционал
При принятых в соответствии с (3.2.4) обозначениями функционал (3.2.3) принимает такой вид [85]: вводя обозначения: нетрудно получить следующую систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений (3.2.4): где и, Г, и , и, V, Мк(а) и т.д. - матрицы, составленные соответственно из элементов oin,r„(p,uin,,o,n,uiV,Mjk(a) и т.п. Из (3.2.8) получаем: Определяя по формулам (3.2.9) коэффициенты разложений (3.2.4), нетрудно затем по формуле (3.2.6) вычислить численное значение искомого параметра Y . Причем с учетом (3.2.7) выражение (3.2.6) упрощается до такого
Предлагаемый вариационный подход для определения элементов матрицы проводимости удобно использовать для моделирования и других 3-х мерных задач в акустических волноводных системах [64, 85]. И достоинством такого подхода является как сравнительно высокая точность получаемых расчетных данных, так и то, что на этом пути оказывается возможной теоретическая оценка точности находимого приближенного решения [59, 60]. 3.3. Теоретические оценки погрешности получаемых приближенных решений Можно оценить погрешность приближенного вычисления элементов матрицы проводимостей, проводимого по формуле (3.2.3), следующим образом [59, 60]. Представим подставляемые функции в процессе вычислений в следующем виде: D = U0+5D, и =и;+5о\ Т = Т0+6Т, Т =Т0 +8Т\ (3.3.1) где поля с индексом «0» - точные решения задач (1.2.1) и (1.2.8). Подстановка функций сравнения в виде (3.3.1) в (3.2.3) дает следующий результат: I = 1стац + ДІ = 1стац + (L6u,8u )+ ДФ, (3.3.2) где ДФ = J(8u-5T )n lS+ J(6U -5T)ndS+ J((5o- w:8T)-5T )ndS, 5u = 8u vSTy , 8u = v5Ty Ограничимся рассмотрением случая, когда используются пробные функции, удовлетворяющие граничным условиям. В этом случае погрешность определяется величиной AI = (L8U,8U ). Для оценки численного значения величины AI воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, согласно которому имеем [60]:
Совершив преобразования, подобные проведенным в работе [133], из (3.3.3) получим [60]: (3.3.4) выражения правой части формулы (3.3.4) выражаются через функции сравнения, например: Построенные выше стационарные выражения для элементов матриц проводимости, сопротивления и рассеяния могут непосредственно использоваться для решения соответствующих дифракционных задач. Представленные оценки в виде стационарных функционалов позволяют при этом найти решение задачи с желаемой степенью точности [59, 60].
Построение регуляризаторов для решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
Классические методы не позволяют находить устойчивые приближенные решения для плохо обусловленных систем. Поэтому на основании Приложения 1 будем строить решение в этом случае с помощью регуляризаторов. Отметим, что алгоритмы решения плохо обусловленных систем применимы и к хорошо обусловленным. Другими словами, эти алгоритмы универсальны. Дана система линейных алгебраических уравнений общего вида где х0 - решение точной системы Сх = у0. Таким образом, в случае, когда система имеет единственное решение, х0 единственное решение; в случае, когда точная система имеет бесчисленное множество решений (неединственность), х0 - решение с минимальной евклидовой нормой \\xf =х +... + х2п, так называемое нормальное решение; в случае, когда точная система не имеет решений (несовместность), х0 единственное или нормальное псевдорешение (чебышевская точка), т.е. либо единственное, либо нормальное решение точной системы, правая часть которой есть проекция упр на множество значений матрицы С элемента у0. Если ввести показатель несовместности точной системы H = inf Сх-у0, (4.2.4) хєл " " v / то первым двум случаям отвечает ja = 0, а третьему ju. 0. Нормальное решение совместной системы линейных алгебраических уравнений, когда последняя имеет бесчисленное множество решений, определяется единственным образом. Для любой матрицы С и вектора у0 є Y ортогональная проекция упр вектора у0 на множество значений матрицы С определяется единственным образом. Пример 1. Рассмотрим вырожденную совместную систему уравнений: Система имеет неединственное решение. Найдем ее нормальное решение х т.е. решение с минимальной нормой. Средствами аналитической геометрии находим точку пересечения прямой и перпендикуляра к данной прямой, проходящего через начало координат; получим Она формально невырожденная: detCh =0,0119 0. Любым классическим методом найдем ее решение с точностью 10"3: 0,65 wh5 v0,25y Результаты решения системы (4.2.5) классическими вычислительными методами для различной точности исходных данных при h 8 приведены в табл. 4.1. Как видим, при любых h 0, 8 0 вычисляется единственное решение xh5, но устойчивости (4.2.3) здесь нет. Этот пример наглядно иллюстрирует трудности решения плохо обусловленных систем. Точная матрица С является оператором контроля. Семейство приближенных матриц B = {Ch} для различных значений h 0 определяет оператор Cv контроля. Задача приближенного устойчивого решения уравнения (4.2.1), по существу, есть задача построения обратного оператора к Cv. Так как плохообусловленные системы уравнений (4.2.1) являются близкими к вырожденным системам, то речь идет об обратном операторе, т.е. о так называемом операторе синтеза Rv. Рассмотрим применение общей схемы построения тихоновских операторов с помощью регуляризаторов для этого случая. Обратим еще раз внимание на то, что оператор синтеза Rv строится не для точной матрицы С (т.е. не для оператора контроля), а для семейства приближенных матриц {Ch}, т.е. для оператора контроля (см. 2.5). Напомним, что задача (4.2.1) регуляризована, если выделен класс корректности К по А.Н.Тихонову КсХ такой, что задача решения системы (4.2.1) в классе К имеет единственное решение, непрерывно зависящее от исходных данных.
Класс корректности К можно задать с помощью специального оператора R из вспомогательного пространства U в X, причем так, чтобы некоторое «простое» множество а с U переводилось в К. Элементы пространства U носят название управлений - это параметры регуляризации, х = Ru, и є а. Оператор R носит название регуляризатора. Он определяет специфическую замену неизвестных в (4.2.1). В результате такой замены получается вспомогательная, так называемая регуляризованная система уравнений
Приближенное решение регуляризованной системы (4.2.7) носит название терминального управления и обозначается uhS. Терминальному управлению uh5 соответствует устойчивое приближенное решение исходной задачи (4.2.1) xhg = Ruh5. Рассмотрим два класса регуляризаторов. Тихоновский регуляризатор. Его определим с помощью следующей задачи: R: uh x = argmin{uChx-y52E + x2E}, (4.2.8) где и 0 - скалярное управление. Часто задают и = 1/сс, а 0. Тогда задача (4.2.8) переписывается в виде mm{Chx-y8 + axC}. (4.2.9) Решение задачи (4.2.8), т.е. регуляризованный элемент, можно записать в матричной форме следующим образом: x = Ru = (E + uC;ch)-,c;(uy8). (4.2.10) Из (4.2.10) видно, что тихоновский регуляризатор - нелинейный оператор. Он переводит всякое множество ог = (0;г], т.е. 0 u r, где r = const 0, в класс корректности K = R(CT). Так как из всех и є о- величина невязки ChRu-ys будет наименьшей при и = г, то терминальное управление uh5 = г. Его значение определяется некоторым фиксированным алгоритмом минимизации невязки лишь до выполнения ChRu-y8 v, (4.2.11) где v - заданная точность, причем v = v(h, 5). На практике можно положить v = n + h + 5, (4.2.12) где jj, = const 0 - показатель несовместности точной системы, (4.2.4). Лагранжев регуляризатор (4.2.7) определим следующим образом: R: uk x=argmin{-2Re(Chx,u)E+xf}. (4.2.13) хєХ " с v Здесь управление и є Y. Это управление является многопараметрическим при m 1. Регуляризатор (4.2.13) можно найти явно: x = Ru = c;U, (4.2.14) где C h - транспонированная и комплексно сопряженная матрица к Ch. Лагранжев регуляризатор (4.2.14) является линейным оператором. Всякий шар о = {и: u r}cY оператор R = C h переводит в класс корректности К = R(cr). chc;lU иєсг, ChRu Терминальное управление uh5 определяется некоторым фиксированным алгоритмом минимизации невязки лишь до условия v, (4.2.15) где v 0 - заданная точность, аналогичная точности в (4.2.11) и (4.2.12). Вывод. Сравнение (4.2.10) и (4.2.14) позволяет сказать, что многопараметрический лагранжев регуляризатор приводит к более простому вычислительному алгоритму, чем однопараметрический тихоновский регуляризатор. Поэтому разберем подробно алгоритм первого из них. Алгоритм лагранжевой регуляризации. Шаг 1. Найти транспонированную и комплексно сопряженную матрицу С,,. Шаг 2. Найти матрицу Bh = ChC . Здесь r 0 - радиус (4.2.16), є 0 - машинная точность минимизации, причем є h + 8, где 6 - точность задания правых частей уравнений (4.2.1), h - точность задания матрицы коэффициентов системы (4.2.1); нормы в (4.2.17) следующие: llylj = тахіу; І Одновременно по терминальному управлению uh8 находится точность приближенного решения JBhuh8 -у8 , которая должна удовлетворять условию Bhuh8-ys v=i + h + 8. (4.2.18) Если неравенство (4.2.18) не выполняется, то необходимо увеличить радиус шара и г на некоторую величину Н и снова искать терминальное управление (4.2.17) для нового радиуса г = г + Н. Так поступают до тех пор, пока будет выполняться условие (4.2.18). Шаг 5 (окончательный). Определить вектор xhS=c;uh5J (4.2.19) являющийся устойчивым приближенным решением системы (4.2.1) с точностью v. (4.2.18). Уточнение к шагу 4. Поиск терминального управления uh5 (4.2.17) может быть произведен различными способами. Рассмотрим подробно два из них. Первый - алгоритм приближенного решения регуляризованной системы Bhu = y8, (4.2.20) основанный на методе Гаусса - Жор дана с выбором главного элемента. Второй - алгоритм минимизации невязки системы (4.2.20) методом проекции на шар т = {и: и г} градиента. Первый алгоритм состоит в следующем. Систему линейных алгебраических уравнений (4.2.20) решают методом исключения Гаусса с выбором главного (разрешающего) элемента и пересчетом коэффициентов по формулам Жордано. Так поступают до тех пор, пока разрешающие элементы превосходят величину v = \х + h + 6. Как только очередной разрешающий элемент будет меньше v, процесс решения системы (4.2.20) прерывается, свободные переменные обнуляются и находится приближенное решение, которое будет терминальным управлением. Это решение определяется базисными переменными, а остальные (свободные) переменные кладутся равными нулю. Второй алгоритм отыскания терминального управления основывается на минимизации в шаре а = {и: и г} функционала
