Введение к работе
Актуальность работы
Расчёт статических и стационарных физических полей в неоднородных средах включают математические постановки многих инженерных задач. А так как последние имеют тенденцию к усложнению, требования к точности расчётов непрерывно растут и стимулируют создание все более совершенных программных средств для компьютерного моделирования. Одно из направлений такого развития — универсализация проблемно-ориентированных пакетов прикладных программ и комплексов. Ясно, что оно возможно в условиях единого подхода (метода) к решению широкого круга математических постановок задач, представляющих интерес. Разработка такого метода является актуальной задачей в связи с тем, что теория известных методов оказывается зачастую весьма сложной, либо недостаточно разработанной. По этой причине последние во многих случаях применяются необоснованно и, следовательно, не всегда эффективно.
Особенно остро проблема ощущается при расчёте магнитной реакции тонких пластин и оболочек, которые находят весьма широкое применение в технике: в приборостроении, электромашиностроении, судостроении и т.д. Эта задача является одной из самых сложных задач теоретической электротехники. Использование традиционных методов приводит здесь к системам линейных алгебраических уравнений колоссальной размерности и весьма плохой обусловленности. В связи с этим в настоящее время непрерывно ведутся исследования в области разработки эффективных методов решения указанной задачи. Наиболее известными отечественными и зарубежными учёными, занимавшимися исследованиями в этой области являются Л. А. Цейтлин, И. П. Краснов, А. М. Вишневский, В. Я. Лаповок, L. Krahenbiihl, F. Rogier, A. Nicolet, L. Kettunen, О. Chadebec и многие другие. Однако, в большинстве своём полученные вышеназванными специалистами математические и численные модели либо не имеют строго математического обоснования, либо слишком сложны для реализации, и поэтому применимы на практике лишь для решения узкого класса расчётных областей (в основном это плоскопараллельные и осесимметричные постановки).
Вышесказанное свидетельствует об актуальности разработки новой строго обоснованной математической модели для решения задач дифракции стационарного магнитного поля в присутствии как массивных намагничиваемых тел, так и тонких намагничивающихся оболочек и создания эффективных численных алгоритмов решения задачи в последнем случае.
Цели и задачи исследования
Целью работы является разработка математической модели, предостав-
ляющей единый подход к задачам расчёта стационарного магнитного поля в присутствии массивных тел и тонких оболочек, её математическое обоснование, а также эффективная численная и программная реализация в случаях, представляющих наибольшие трудности для известных численных методов и программных комплексов.
Научная новизна
В представленной диссертационной работе впервые развит метод ортогональных проекций для решения задач расчёта стационарного магнитного поля в присутствии массивных тел и тонких намагничивающихся оболочек. Обоснована корректность полученной математической модели. Для задач расчёта магнитной реакции тонких оболочек получены системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) наименьшей размерности. Предложены системы координатных функций, позволяющие избавиться от сингулярных интегралов при формировании СЛАУ и получить расчётные формулы, удобные для программной реализации. Для решения рассматриваемых задач разработаны новые численные алгоритмы, реализованные в виде пакета программ. Разработан способ сведения задачи расчёта вихревых токов на бесконечной пластине с отверстиями к расчёту плотностей распределения простого слоя зарядов на пластинах в форме отверстий, имеющих конечные размеры.
Практическая значимость
На основе разработанных численных алгоритмов создан программный пакет, позволяющий выполнять расчёты стационарного магнитного поля в присутствии тонких намагничивающихся оболочек. Пакет может найти практическое применение в электромашиностроении и приборостроении при расчётах параметров экранов, предназначенных для защиты персонала и чувствительного оборудования от воздействия низкочастотных магнитных полей, и параметров других устройств, содержащих тонкие ферромагнитные пластины и оболочки. Разработаны эффективные алгоритмы для решения задачи магнитной дефектоскопии, которые могут применяться при проектировании и поверке устройств контроля состояния стальных канатов в промышленности, строительстве и транспорте.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Представление краевых задач для магнитного поля в присутствии массивных намагничиваемых тел и тонких оболочек как задач ортогонального проектирования первичного поля на некоторое подпространство векторных полей с конечной энергией.
Приведение формул для вычисления элементов основной матрицы СЛАУ к удобному для численной реализации виду посредством исполь-
зования подходящих систем координатных функций в задачах расчёта магнитной реакции поверхностей.
3. Преобразование задачи расчёта вихревых токов на бесконечной идеаль
но-проводящей пластине с отверстиями к расчёту зарядов на пластинах
в форме отверстий.
4. Программная реализация разработанных численных алгоритмов.
Апробация работы
Теоретические положения и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 55 и 56 научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2006, 2007); Всероссийском смотре-конкурсе научно-технического творчества студентов высших учебных заведений «Эврика-2006» (Новочеркасск, 2006); V и VI школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России (Ростов-на-Дону, 2006, 2007); третьей, четвёртой и пятой ежегодных конференциях студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН (Ростов-на-Дону, 2007, 2008, 2009); VI и V Всероссийских научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных «Молодежь XXI века — будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, 2007, 2008); III Всероссийской школе-семинаре «Математические методы и биомеханика в современном университете» (пос. Див-номорское, 2007); Международной конференции «Lyapunov Memorial Conference 2007» (Харьков, Украина, 2007); Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007); второй Международной конференции «Matrix Methods and Operator Equations» (Москва, 2007); Международных конференциях 52, 53, 54 «Internationales Wissenschaftliches Kolloquium» (Ильменау, Германия, 2007, 2008, 2009); Всероссийской конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна ВЗМШ-2008» (Воронеж, 2008); Международной конференции «XII International Scientific Kravchuk Conference» (Киев, Украина, 2008); VI Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2008); Международных конференциях «Days on Diffraction» (Санкт-Петербург, 2008, 2009).
Результаты обсуждались на семинарах Института электрических машин, приводов и железных дорог ТУ г. Брауншвейг (Institut fiir Elektrische Maschi-nen, Antriebe und Bahnen, Technische Universitat Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig) (Брауншвейг, Германия, 2009) и комплексного отдела проблем механики, физики, химии и нанотехнологий ЮНЦ РАН (Ростов-на-Дону, 2009).
Разработанный программный пакет представлялся на Всероссийской выставке-ярмарке «ИННОВ-2007» (Новочеркасск, 2007) и межрегиональной выставке «Информационные технологии в технике и образовании» (Новочеркасск, 2010).
Публикации
Материалы диссертации опубликованы в 24 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах [1, 2], 16 статей в сборниках (основные из них — [3-9]) и б тезисов докладов.
Структура и объем диссертации
