Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор и анализ распределённых электротехнических систем постоянного тока, математических моделей и методов решения внешних краевых задач 12
1.1. Особенности распределённых электротехнических систем 12
1.1.1. Ключевые параметры конструкций линий электропередач постоянного тока 12
1.1.2. Основные элементы систем молниезащиты 17
1.1.3. Конструктивные особенности систем рассеивания тумана 22
1.2. Математические модели для исследуемых распределённых электротехнических систем 28
1.3. Основные методы решения внешних краевых задач для исследуемых систем 33
1.3.1. Метод решения внешней краевой задачи для уравнения Лапласа с использованием теорем сложения для гармонических функций в полярных координатах 34
1.3.2. Особенности метода полос 36
1.3.3. Моделирование бесконечно протяженных электрических полей с помощью аналоговых вычислительных машин и численных методов 38
1.3.4. Численный метод решения внешних краевых задач с использованием квазиравномерных сеток 41
1.4. Выводы по проведенному обзору. Цель и задачи исследования 43
Глава 2. Развитие метода инверсии бесконечной области для моделирования электрических полей исследуемых систем 46
2.1. Детализация метода инверсии бесконечной области в пространстве 46
2.2. Особенности метода инверсии бесконечной области в полупространстве 48
2.3.Постановка внешних краевых задач с граничными условиями Дирихле и Неймана в двумерном и трехмерном полупространстве согласно методу инверсии бесконечной области 53
2.4.Конечно-разностная аппроксимация исследуемых краевых задач 56
2.5.Выводы 62
Глава 3. Разработка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для моделирования исследуемых систем согласно методу инверсии бесконечной области 64
3.1. Описание алгоритма расчета внешних краевых задач для распределённых электротехнических систем 64
3.1.1. Особенности алгоритма расчета исследуемых задач в двумерном полупространстве 66
3.1.2. Особенности алгоритма расчета исследуемых задач в трехмерном полупространстве 76
3.2. Структура программного обеспечения 79
3.3. Тестирование метода инверсии бесконечной области на внешних краевых задачах в полупространстве 81
3.3.1. Численные примеры решения двумерных задач 82
3.3.2. Численные примеры решения трехмерных задач 89
3.4. Выводы 94
Глава 4. Исследование электрических полей распределённых электротехнических систем постоянного тока с применением вычислительного эксперимента на основе метода инверсии бесконечной области 95
4.1. Исследование электрических полей воздушных линий электропередачи постоянного тока 95
4.2. Исследование электрических полей элементов систем молниезащиты 103
4.3. Исследование электрических полей систем рассеивания тумана 106
4.4. Выводы 115
Заключение 117
Библиографический список используемой литературы 120
- Математические модели для исследуемых распределённых электротехнических систем
- Особенности метода инверсии бесконечной области в полупространстве
- Тестирование метода инверсии бесконечной области на внешних краевых задачах в полупространстве
- Исследование электрических полей элементов систем молниезащиты
Введение к работе
Актуальность. В генеральной схеме размещения объектов электроэнергетики России до 2020 г. предусматривается сооружение воздушных линий электропередачи постоянного тока напряжением ±500 и ±750 кВ для транспортирования больших потоков электроэнергии на дальние расстояния, что соответствует мировой тенденции. В России как и во всем мире проводятся исследования, направленные на создание более компактных конструкций воздушных линий, которые одновременно обладали бы повышенной пропускной способностью, пониженным влиянием на окружающую среду и в большей степени удовлетворяли бы требованиям технической эстетики.
На Российской конференции по молниезащите, прошедшей в 2007 г., в которой приняли участие представители РАН, предприятий Федеральной сетевой компании Единой энергетической системы, ведомственных НИИ и НТЦ и др., обсуждалась существующая нормативная база, регулирующая процессы проектирования и эксплуатации объектов, отстающая от современных научных достижений. На конференции была отмечена необходимость создания национального стандарта по защите энергообъектов от прямых ударов молнии и грозовых импульсных перенапряжений.
К распределенным электротехническим системам постоянного тока относятся также системы рассеивания туманов. Актуальность исследования данной проблемы очевидна, особенно рассеивание теплых туманов (вследствие их термодинамической устойчивости) на автомобильных дорогах и в свете транспортной стратегии РФ" в части повышения уровня безопасности транспортной системы.
Возникшие потребности приводят к необходимости исследования указанных аспектов проблемы с учетом новых технических разработок. Задачи, 1 О генеральной схеме размещения объектов электроэнергетики до 2020 г. : распоряжение Правительства РФ 22 февраля 2008 г. № 215-р // Собр. законодательства РФ. - 2008. - № 11 (Ч. И). - С. 3491-3659. (ст. 1038). 2 Транспортная стратегия Российской Федерации на период до 2030 г. : распоряжение Правительства РФ от 22 ноября 2008 г. № 1734-р // Собр. законодательства РФ. - 2008. -№ 50. - С. 15182-15338. (ст. 5977). связанные с определением электрических полей исследуемых систем, относятся к классу внешних краевых задач, что обуславливает сложность их математического моделирования. При разработке основных положений исследования автор использовал теоретическое наследие ученых различных отраслей науки (К.С. Демирчян, Е.С. Колечицкий, Л.А. Бессонов, Л.Л. Владимирский, Н.Н. Тиходеев, Э.М. Базелян, В. И. Попков, Н.Н. Калит-кин, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, А.Т. Свешников, W. Rison, СВ. Moore, R.B. Adler).
Актуальность выполненного диссертационного исследования также подтверждается тем, что научное исследование проводилось при финансовой поддержке Казанского научного центра РАН: трудовое соглашение от 1 июня 2006 г. № 19ГК/М, за счет средств государственного контракта с Федеральным агентством по науке и инновациям (ФАНИ) № 02.444.11.7341 от 03.04.2006 г. на выполнение работ в 2005-2006 гг. в рамках федеральной целевой научно-технической программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 гг. по приоритетному направлению «Энергетика и энергосбережение».
Цель диссертационной работы — моделирование электрических полей распределенных электротехнических систем постоянного тока на основе развиваемого метода инверсии бесконечной области с разработкой вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для повышения эффективности исследуемых систем.
В соответствии с целью диссертационной работы предстоит решать следующие задачи:
1. Развитие метода инверсии бесконечной области для моделирования электрических полей распределенных электротехнических систем постоянного тока, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных и относящихся к классу внешних краевых задач в двумерном и трехмерном полупространстве.
Разработка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для моделирования электрических полей распределенных электротехнических систем постоянного тока на основе метода инверсии в полупространстве.
Проведение вычислительных экспериментов для исследования электрических полей с применением современной технологии математического моделирования для воздушных линий электропередачи постоянного тока; для систем молниезащиты; для систем рассеивания тумана.
Методы исследований. В работе применялись методы теории дифференциальных уравнений, методы математического моделирования, методы теории потенциала, методы теории алгоритмов, численные методы.
Научная новизна работы состоит в следующем: развит метод инверсии, используемый при решении внешних краевых задач для уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана в двумерном и трехмерном полупространстве (ранее применявшийся при решении внешних задач Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве), позволяющий использовать значения в точках обеих частей двусоставной области при анализе результатов решения; разработаны вычислительные алгоритмы для моделирования электрических полей распределенных электротехнических систем постоянного тока на основе метода инверсии в двумерном и трехмерном полупространстве; установлены для воздушных линий постоянного тока с высокотемпературными проводами при повышении напряжения характеристики районов прохождения линий, а также допустимые расстояния от линий при напря-женрюсти электрического поля не выше допустимых значений; выявлена и обоснована необходимость учета соотношения длин заря женного наконечника и заземленной части стержня для повышения эффек тивности молниеотводов ранней стримерной эмиссии.
Практическая значимость работы заключается: в разработке программного обеспечения для моделирования электрических полей распределенных электротехнических систем постоянного тока согласно методу инверсии в двумерном и трехмерном полупространстве; в использовании установленных зависимостей между напряженностью электрического поля и расстоянием от энергоэффективных воздушных линий постоянного тока с высокотемпературными проводами для возможности определения зон отчуждения, охранных и санитарно-защитных; в исходной информационной основе для разработки нормативных документов по молниезащите, включающей материалы анализа исследований тупоконечных и остроконечных стержневых молниеотводов, а также результаты моделирования молниеотводов ранней стримерной эмиссии; в предложенной модификации конструкции системы рассеивания тумана за счет добавления управляющих проводов для увеличения количества электрически заряженных частиц в требуемом объеме над автомобильной дорогой для повышения эффективности системы; в использовании отдельных положений диссертации в учебном процессе БГТУ им. В.Г. Шухова при проведении занятий по дисциплине «Электрические процессы в диэлектриках», а также в возможном использовании основных результатов работы и программного обеспечения в учебном процессе при изучении дисциплин «Компьютерное моделирование», «Математические задачи электроэнергетики», «Системы электроснабжения» и др.
Достоверность и обоснованность результатов исследования определяется корректностью математических выкладок и компьютерного моделирования, подтверждается результатами вычислительных экспериментов других авторов, а также результатами натурного эксперимента.
Личный вклад соискателя. Все разделы диссертационной работы выполнены лично автором. В обобщениях и интерпретации полученных результатов принимал участие научной руководитель канд. техн. наук А.Н. Потапенко, которому также принадлежит формулировка подхода, связанного с развитием метода инверсии бесконечной области для решения внешних краевых задач для уравнения Лапласа в полупространстве.
В научных трудах, опубликованных по теме диссертации в соавторстве, соискатель принимал активное участие в постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов, непосредственно осуществляв решение поставленных задач и самостоятельно разработав вычислительные алгоритмы и программное обеспечение. Имеется без соавторов: 5 публикаций, в том числе свидетельство об отраслевой регистрации программной разработки, а также трудовое соглашение на выполнение научно-исследовательской работы за счет средств государственного контракта с ФАНИ.
Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V Школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломасообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2006), XVIII Международная научно-практическая конференция «Научные исследования, наносистемы и ресурсосберегающие технологии в стройиндустрии» (Белгород, 2007), Международная научно-практическая конференция «Образование, наука, производство и управление» (Ст. Оскол, 2007), Международная научная конференция «Эффективные конструкции, материалы и технологии в строительстве и архитектуре» (Липецк, 2007), XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2008» (Москва, 2008), XV Всероссийская научно-методическая конференция «Телематика' 2008» (Санкт-Петербург, 2008).
Связь с научно-техническими программами. Диссертационная работа выполнена с учетом «Приоритетных направлений развития науки, техноло- гий и техники РФ» в части энергетика и энергосбережение; «Перечня критических технологий РФ», в частности, технологий создания энергосберегающих систем транспортировки, распределения и потребления тепла и электроэнергии, а также технологий снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф, утвержденных указами Президента РФ № ГГР-843 и № ПР-842 от 21.05.2006. Часть исследований, связанная с возможностью применения МИ для исследования систем коронируюгцих проводов, выполнена при финансовой поддержке Казанского научного центра РАН: трудовое соглашение от 1 июня 2006 г. № 19ГК/М, за счет средств государственного контракта с ФАНИ № 02.444.11.7341 от 03.04.2006 г.
Публикации результатов. Основное содержание работы изложено в 13 публикациях, из которых 5 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ по научной специальности диссертационной работы, получено свидетельство об отраслевой регистрации программной разработки.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 103 наименований. Работа изложена на 131 стр.; включает 35 рис., 4 табл.
В главе 1 проводится обзор и анализ имеющихся в российской и зарубежной литературе данных об основных элементах и ключевых параметрах распределенных электротехнических систем: воздушных линий электропередачи постоянного тока, систем молниезащиты, а также систем рассеивания тумана. Рассматривается современное состояние и новшества.
Описываются существующие математические модели для исследуемых распределенных электротехнических систем.
Помимо этого, в главе 1 дан обзор серии работ из отечественных и зарубежных литературных источников, выполненных за последние годы в области решения внешних краевых задач. Основное внимание в обзоре уделялось центральным идеям и ключевым элементам алгоритмов, тогда как детали их реализации в каждом конкретном случае подробно не рассматривались.
В главе 2 детализируется метод инверсии бесконечной области в пространстве, а также рассматриваются особенности метода инверсии бесконечной области в полупространстве. Формулируется внешняя краевая задача с граничными условиями Дирихле и Неймана в двумерном и трехмерном полупространстве согласно методу инверсии бесконечной области. Приводятся конечно-разностные аппроксимации.
Математические модели для исследуемых распределённых электротехнических систем
Рассмотрим поле постоянных токов в диэлектрической среде. Как в самой среде, окружающем проводники с постоянным током, так и в внутри проводников существуют магнитное и электрическое поля. Эти поля стационарны. Вне источника ЭДС электрическое поле постоянных токов является, так же как и электростатическое поле, безвихревым. Такое поле является потенциальным, т.е. для его характеристики может быть введена функция координат u(x,y,z) — электрический потенциал, — причем Таким образом, электрическое поле в диэлектрической среде, окружающем проводники с постоянными токами, характеризуется уравнениями [39]: где Е — напряженность электрического поля, D — электрическая индукция, є — диэлектрическая проницаемость среды. Для однородной среды, когда є = const, эти уравнения дают div Е - О или div grad и - 0, т.е. потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Итак, в диэлектрической среде такое поле ничем не отличается от электростатического, но граничные условия на поверхности проводников уже не соответствуют тем, которые имеют место в электростатике. В электростатической задаче поверхность каждого проводника является поверхностью равного потенциала. При протекании постоянного тока в проводнике возникает падение потенциала, а значит, поверхность проводника уже не будет равнопотенциальной. Так как на поверхности проводника появляется касательная составляющая напряженности поля в направлении линий тока, линии напряженности электрического поля в диэлектрической среде подходят к поверхности проводника не под прямым углом. Данное обстоятельство значительно осложняет расчет поля, тем не менее, практически во всех случаях его можно не учитывать, поскольку обычно падение напряжения вдоль проводников на длине, сравнимой с расстоянием между проводниками, ничтожно мало по сравнению с разностью потенциалов проводников. В [39] сравнивают между собой касательную Et и нормальную Еп — составляющие вектора Е в диэлектрической среде у поверхности проводов линии передачи.
Полученные числа показывают, что составляющая Et ничтожно мала по сравнению с Еп, и при рассмотрении поля около проводов ею можно пренебречь без опасения внести этим какую-нибудь заметную ошибку. В таком случае граничные условия на поверхности проводников оказываются тождественными условиям в электростатике. Поэтому при рассмотрении электрического поля в диэлектрической среде, окружающей проводники с постоянными токами, можно использовать решения, полученные при рассмотрении соответствующих электростатических задач. Рассмотрим теперь электромагнитные процессы, сопровождающие атмосферный разряд, например, удар молнии в молниеотвод. При этом, как правило, необходимо учитывать неоднородность электрических свойств среды, а также их изменение. При математическом моделировании исследуемых процессов могут изменяться также геометрическая конфигурация и электрические параметры исследуемой разрядной структуры. Заметим, что как высота молниеотвода, так и длина лидерного канала молнии на несколько порядков превышает их диаметр.
Поэтому при использовании метода конечных разностей [40, 41] шаг пространственной сетки h обычно выбирается значительно больше радиуса г0, например, равным средней длине шага при росте разрядной структуры (молнии) как в [41]. В соответствии с методом конечных разностей исследуемая область с тонкой проводящей проволокой, разбивается на ячейки так, что узлы расчетной сетки лежат на границах раздела сред и на оси проволоки. В пределах каждой из ячеек, кроме тех, которые примыкают к проволоке, свойства диэлектрической среды полагаются однородными в [42]. Для каждого узла расчетной сетки уравнение для скалярного потенциала записывается в где Sp— поверхность параллелепипеда, грани которого делят пополам расстояния между соседними узлами; Еп — компонента вектора напряженности электрического поля, нормальная к элементу поверхности ds ; со — круговая частота; j = V-1. Задание электрических свойств среды осуществляется путем присвоения значений относительной диэлектрической проницаемости є и удельной электропроводности у ячейкам расчетной схемы. Граничные условия зависят от вида полеобразующей системы [42]. Записав уравнения вида (1.2) для каждого узла расчетной сетки в разностном виде как и граничные условия, получаем систему уравнений, которую автор [42] предлагает решать итерационным методом. Для учета присутствия в расчетной области тонкой проволоки длиной /о введем систему, в которой в частности проволока расположена вдоль оси Y перпендикулярно земле и одним концом касается ее поверхности. Коэффициенты компонент тензора s узлов, расположенных на проволоке или окружающих ее, согласно [42] вычисляются по следующим формулам: вдоль верхнего края проволоки Перейдем к рассмотрению системы коронирующих проводов над заземленной поверхностью. Для расчета электрических полей и зарядов, возникающих в данной системе в работе [43] используется система уравнений Максвелла, описывающая распределение электрического поля и заряда: где Е — напряженность электрического поля, р — плотность электрических зарядов, и — потенциал поля. Граничные условия: на поверхности проводов задается постоянный потенциал; на поверхности земли потенциал постоянен и равен нулю; в случае возникновения короны, на проводе всегда устанавливается одно и то же значение нормальной составляющей напряженности электрического поля Екр, для которого известна эмпирическая формула Пика. Так как плотность заряда р в коронном разряде мала, можно принять электрическое поле при коронном разряде подобным полю в отсутствии короны Е = впЕ0, где Е0— поле в отсутствии короны, а 0„— новая неизвестная функция [44]. В соответствии с этими предположениями система (13) распадается на две независимые системы уравнений. Уравнения начального приближения
Особенности метода инверсии бесконечной области в полупространстве
Начнем изложение данного раздела с рассмотрения особенностей исследуемых задач в полупространстве. Так, расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, которой может быть какая-либо металлическая стенка или, например, земля, сводится при помощи метода зеркальных изображений к расчету поля нескольких проводников при отсутствии проводящей среды. [39, 71]
Разберем плоскопараллельное поле прямолинейного провода, расположенного на расстоянии Но от плоской поверхности проводящей среды (рис. 6). Это соответствует, например, проводу, подвешенному на высоте HQ над поверхностью земли.
В результате электростатической индукции на поверхности проводящей среды появляется отрицательный заряд. Плотность его меняется с изменением координаты х. Поле определяется как зарядом провода, так и всем зарядом, распределенным по поверхности проводящей среды.
Несмотря на то, что распределение плотности заряда на поверхности проводящей среды неизвестно, данную задачу весьма просто можно решить по методу зеркальных изображений. Это искусственный прием расчета, в котором, устранив мысленно проводящую среду, вводится дополнительный провод, являющийся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд той же величины, что и заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 6). Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию из линейных проводов с зарядами на единицу длины +Х и —А, а значит плоскость, расположенная посередине между действительным проводом и его зеркальным изображением, является поверхностью равного потенциала и = 0 [39]. В реальных условиях именно поверхность проводящей среды совпадает с этой плоскостью и также является поверхностью равного потенциала.
Итак, суть метода зеркальных изображений заключается в замене проводящей среды зеркальным изображением провода с изменением знака заряда, в этом случае в области над проводящей средой поле будет как и в действительных условиях.
Метод зеркальных изображений применим и при любом числе проводов, протянутых параллельно друг Другу и плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду (рис. 7). В этом случае каждый провод должен быть зеркально отражен в поверхности проводящей среды с изменением знака заряда, т.е. подбирается такая система зарядов вне исследуемой области, что их действие обеспечивает граничные условия. В поле совокупности действительных проводов и их зеркальных изображений плоскость, расположенная на месте поверхности проводящей среды, — поверхность равного потенциала, поскольку заряды противоположных знаков помещены симметрично относительно этой плоскости. Значит, полученное поле и есть действительное поле в верхней полуплоскости над поверхностью проводящей среды.
Метод зеркальных изображений также может быть использован, когда проводящая среда ограничена двумя плоскостями (рис. 8), сходящимися под
Поле внутри двугранного угла определяется как поле от знакочередующихся 2п зарядов ±Х, расположенных зеркально по отношению друг к другу. Подчеркнем, что заряды противоположных знаков размещены симметрично по отношению к плоскостям МХМ2 и М3М4, поэтому это плоскости равного потенциала, а поле этой системы совпадает с действительным полем.
Метод зеркальных изображений всецело может быть применим и для заряженных тел любой формы, расположенных в диэлектрической среде около плоскостей, ограничивающих проводящую среду. [39]
Перейдем к задачам, сформулированным согласно методу инверсии бесконечной области [72-74]. Проанализируем поля только для двумерных областей D2, но результаты аналогичны и для D3.
В качестве примера рассмотрим в области D2 = Dc и С u D поле двух проводов (рис. 9) радиусом 0,03 м, расстояние между которыми 2Н\ = 4 м, а радиус области R=\,5H\. Эквипотенциальные линии строились таким образом, что разность потенциалов между соседними линиями была постоянной.
Линия нулевого потенциала (см. рис. 9, а) расположена посередине между проводами и проходит через геометрический центр области Dc, а значит и D , так как область D2 является двусоставной. Однако в центре области D находится точка, которой ставится в соответствие бесконечно удаленная точка, следовательно, она принимает такое же значение, т.е. нуль, что соответствует истине, поскольку суммарный заряд системы заряженных тел равен нулю (в частности для линейного диполя), и решение задачи обращается в нуль на бесконечности.
Таким образом, отталкиваясь от положений метода зеркальных изображений, и согласно методу инверсии бесконечной области можно рассматривать только верхнее полупространство.
Тестирование метода инверсии бесконечной области на внешних краевых задачах в полупространстве
Проведем сравнительный анализ результатов расчета задачи по методу инверсии бесконечной области с экспериментальными данными [85 J, полученными на испытательной биполярной ВЛ постоянного тока, расположенной в Куньмин (Kunming), Китай, для которой расстояние между полюсами равно 22 м, минимальное расстояние от полюса линии до земли составляет 18 м, при этом полюс — 6 х LGJ-630/45, с диаметром каждого провода 3,36 см и расстоянием между соседними проводами полюса 45 см (рис. 11, а). Эксперимент проводился при напряжении ±500 кВ. Задача согласно методу инверсии бесконечной области ставится следующим образом: где ф — потенциал на проводах полюса. При этом разностная задача имеет вид: Распределение напряженности электрического поля под проводами ВЛ постоянного тока на уровне земли представлено на рис. 12. Как видно из рисунка, относительная погрешность отклонения результатов расчета задачи, сформулированной в соответствии с методом инверсии бесконечной области, и данных натурного эксперимента составляет в среднем 11%. Оценивая эффективность метода инверсии бесконечной области, сопоставим результаты расчета задачи по методу инверсии с результатами согласно другим подходам, в частности, если область, где ищется решение, берется ограниченной, а на границе области Г2=Г21иГ22 (рис. 11, 6) ставятся те же граничные условия, что и на бесконечности, то, получаем задачу в искусственно ограниченной области следующего вида: Приняв при расчете, что искусственно ограниченная область и двусоставная область, полученная в соответствии с методом инверсии, имеют одинаковое количество узлов — [TIR /2] (R — радиус двусоставной области), при R = 2H\, максимальном шаге сетки 0,01м, заданной допустимой погрешности ее — 0,001 время расчета задачи по методу инверсии составило 2 % времени расчета задачи в искусственно ограниченной области. Е, кВ/м При сравнении физических данных натурного эксперимента с результатами моделирования (рис. 12) точность результатов расчета задачи согласно методу инверсии бесконечной области выше.
Использование метода инверсии позволяет аккуратно учесть граничные условия на бесконечности, а значит можно получить данные как на расстоянии от исследуемых систем, так и вблизи них. При одинаковых затратах ресурсов использование метода инверсии бесконечной области эффективно с вычислительной точки зрения. Теперь сопоставим результаты вычислительного эксперимента в соответствии с методом инверсии бесконечной области с результатами, полученными аналитически. Решением задачи (2.2)-(2.4) с учетом дополнительного краевого условия: о построении картины поля прямолинейного заряженного провода, расположенного на расстоянии Щ от плоской поверхности проводящей среды (см. также раздел 2.2), с которой совпадает граница Е12, является потенциал произвольной точки М [71, 39]: где А, — линейная плотность заряда провода; 1\ — расстояние от точки М до геометрической оси провода; U — расстояние от точки М до зеркального отображения геометрической оси провода. В [71] делалось допущение, что расстояние от провода до проводящей поверхности Н0 много больше радиуса провода / о, а константа Со полагалась равной нулю. При расчете разностной задачи (2.17)-(2.20), (2.25), поставленной в соответствие непрерывной задаче (2.10), которая сформулирована согласно методу инверсии бесконечной области, и с учетом линии симметрии, полагалось, что шаг пространственной сетки h = 0,01, радиус двусоставной Укажем, что средняя относительная погрешность отклонения численного решения задачи от аналитической зависимости (3.2) составляет 3,05 % (см. рис. 13). Подчеркнем, что на рис. 13, б представлены результаты расчета не только из области Dc, но и из D , представляющая собой отображение неограниченной области, при этом последние хорошо совпадают с точным решением при сравнении. В ходе вычислительного эксперимента рассматривались и данные, полученные другими авторами, например, работа [47], в которой приводятся расчетные формулы приближенного решения задачи для уравнения Лапласа (2.2) с граничными условиями (3.3), (3.4), (3.1) и (2.4) Уточним, центр окружности Г{ с радиусом г\ находится в точке (9j(—/1з0), центр эллипса Г2 с полуосями а2, Ъ2— в точке О2(-12,0), большая ось эллипса перпендикулярна прямой х = 0. Результаты вычислений, проведенных при а2 = 3, Ь2-2, г\=2, 1\ = 5, /2=16 в безразмерном виде, приведены на рис. 14 только для у 0 в силу симметрии.
Исследование электрических полей элементов систем молниезащиты
Изучая эволюцию воздушно-капельных дисперсий под влиянием коронного разряда, А.А. Палей исследовал электрические поля, возникающие в коронирующих проводах над землей [43, 34, 100, 101]. При этом отмечалась важность для практических задач зависимости области распространения заряда на аэрозольных частицах, инициируемого коронным разрядом, от геометрических и электрических параметров системы электродов, исследования электрического поля и плотности генерируемых электрических зарядов в широком диапазоне варьируемых электрофизических параметров. В работах рассматривалась система из трех электродов, различные взаимоположения которых создают достаточно большое разнообразие в части топологии силовых линий электрических полей.
Следует отметить, что А.А. Палей проводил натурные эксперименты для системы из трех проводов на автомобильной дороге Токио-Нагано [34], полагая, что подобная система является оптимальной для анализа электрического поля, возникающего при коронном разряде, а вариация ее электрических и геометрических параметров позволяет подобрать максимальную по размеру рабочую зону ионизации воздушной среды. Для расчетов задачи, поставленной в соответствии с методом инверсии бесконечной области, были взяты геометрические параметры системы проводов, представленные в исследованиях А.А. Палея, —L = —, —- = —. Используя хорошо проверенный факт, что электрическое поле при коронном разряде подобно полю в отсутствии его, будем, как и в [43, 100, 101], анализировать электрическое поле без объемных зарядов, решив уравнения начального приближения математической модели, описанной в разделе 1.2. Учитывая, что ток коронного разряда обратно пропорционален квадрату длины силовых линий, а также что ток коронного разряда пропорционален разности между создаваемым и критическим напряжением (I U\U -U )), можно оценить концентрацию электрически заряженных частиц во всей области короны [43]. Перейдем к исследованию плоскопараллельного электрического поля [100-102, 98]. Задача согласно методу инверсии бесконечной области записывается в общем виде как система уравнений (2.10). Как упоминалось ранее в главе 2, в виду наличия симметрии на границе "Е\ из области Зная поле потенциала, по (1.1) находим составляющие Ех и у напряженности электрического поля, откуда можно определить модуль напряженности, а также направление вектора Е в любой точке поля. Среди линий напряженности остановимся подробнее на сепаратрисах как силовых линиях, проходящих через точки покоя — особые точки, в которых напряженность электрического поля обращается в нуль.
При этом сепаратрисы разделяют области силовых линий каждого из проводов, вдоль них плотность заряда от короны равна нулю. Физически важно, что электрически заряженные частицы, которые движутся вдоль силовых линий, не могут пересечь сепаратрис. Рассмотрим при различных электрофизических и геометрических параметрах конфигурации силовых линий электрического поля, так как именно они в основном определяют распределение объемного заряда по пространству. Начнем со случая с одним проводом (рис. 27). При наличии только верхнего провода все силовые линии идут по направлению к земле. Как видно из рис. 27, 28, а в последующем и из рис. 29, 31, численные результаты расчетов задачи, сформулированной в соответствии с методом инверсии бесконечной области, совпадают с данными исследования А.А. Палея [43, 100]. Перейдем далее к случаю с одноименно заряженными проводами, расположенными по углам треугольника (рис. 29) при напряжении на нижних управляющих проводах меньшем, чем на верхнем. При этом отмечается увеличение длины отдельных силовых линий верхнего коронирующего провода. Хотя это и приводит к уменьшению тока коронного разряда и концентрации ионов во всей области короны, А.А. Палей [43, 100] подчеркивает, что такая схема подачи напряжений на провода выгодна для разворота силовых линий поля верхнего провода и соответственно объемного электрического заряда, поскольку ионы от верхнего коронирующего провода не попадают в область силовых линий нижних проводов, и как бы выталкиваются из части пространства. Заметим, что в работах [43, 100] не исследовалась система горизонтально расположенных проводов при тех же напряжениях, рассматривалась лишь система с треугольным расположением. Сопоставим картины электрических полей, представленных на рис. 29, 30. При расположении проводов на одной прямой на высоте Нх и расстоянии друг от друга 2/0 (рис. 30) кардинальных изменений картины поля не прослеживается: точка покоя находится между центральным и управляющим проводами, но наблюдается больший разворот силовых линий поля центрального провода в сравнении с рис. 29.
При управлении распределением зарядов от короны заземленными или положительно заряженными нижними проводами часть тока от коронирующего верхнего провода замыкается на нижние управляющие провода, уменьшается длина силовых линий верхнего провода, следовательно, увеличивается ток коронного разряда, в том числе и к земле [43, 100]
