Введение к работе
Актуальность работы. Многолетние исследования колебаний показали, что все источники, вне зависимости от природы излучаемых ими волн, можно разделить на группы в зависимости от их частоты, а также то, что для исследования излучателей, принадлежащих одной и той же группе, можно применять схожие методы. При этом большой интерес вызывают низкочастотные источники, так как именно в этот диапазон попадает достаточно много излучателей волн, которые может воспринимать человек.
Авторами основополагающих трудов по изучению волн различной природы, а также их источников являются Д.Ф. Араго, П. Делярош, Г.Р. Герц, П.Н. Лебедев, Дж.К. Максвелл, А.С. Попов, Дж.У. Стретт (Рэлей).
Широкое изучение основных свойств волновых колебаний и их источников, развитие соответствующих модельных представлений и математических методов происходит еще в XIX столетии. Опыт, накопленный исследователями, обобщен и систематизирован в основополагающих работах ряда отечественных и зарубежных авторов: Л.М. Бреховских, X. Бриммера, Дж.Р. Вэй-та, В.Л. Гинзбурга, A.M. Гончаренко и В.А. Карпенко, В.Ю. Завадского, Л.Н. Захарова, ОН, Ржевкина, Л. Кампа, Ю.П. Лысанова, Л.М. Лямшева, С.Л. Пекериса, Е. Скучика, И. Толстого и К. Клея.
Для описания источников низкочастотных колебаний и изучения созданных ими полей чаще всего используется модель монополя — точечного ненаправленного излучателя. Однако многие реальные излучатели в большей или меньшей степени являются направленными, то есть амплитуда и фаза создаваемого ими давления волны оказываются зависящими от направления на точку наблюдения. Причем направленность излучателей оказывает существенное влияние на формируемое ими поле.
Вообще говоря, для описания направленности источников используются различные модели: параметрические и непараметрические. Однако при использовании непараметрических моделей, в которых рассматривается непрерывное распределение монопольных или дипольных излучателей по поверхности или объему реального источника, функцию распределения в общем случае сложно описать с помощью некоторой относительно компактной системы числовых характеристик. Параметрические модели в основном базируются на дискретном размещении небольшого количества монопольных излучателей вдоль некоторой линии, по некоторой поверхности или какому-либо объему. В качестве параметров таких моделей обычно выступают мощности отдельных монополеи и геометрические характеристики их расположения в пространстве. Однако в результирующие выражения для полей таких модельных источников часть из этих параметров входит нелинейным образом, что значительно затрудняет решение обратных задач, которые связаны с опре-
делением параметров моделей на основании измерений амплитуды и фазы создаваемых ими полей.
В ряде случаев избежать этих трудностей можно с помощью точечной параметрической мультипольной модели направленных излучателей. Согласно этой модели, поле направленного монохроматического излучателя в однородном неограниченном пространстве описывается выражением:
N п
ф(г, 0, >) = Е CnmhV{kr)Pt\cos Є)еіт\ (1)
n=0 т—-п
где ф — потенциал поля скоростей давления волн; г, в, уэ — сферические координаты точки наблюдения, центр системы координат совмещен с излучателем; Спт — комплексные мультипольные моменты, описывающие направленные свойства источника; N — порядок мультипольности модели (наибольший порядок удерживаемых в выражении для потенциала мультиполей); г — мнимая единица; к = ш/с — волновое число; w — круговая частота излучателя; с —фазовая скорость распространения волн в среде; hn — сферические функции Бесселя третьего рода порядка п; Р„ ~ присоединенные полиномы Лежандра.
Считается, что (1) представляет собой потенциал поля (функцию источника) модельного направленного точечного излучателя, эквивалентного исходному реальному излучателю. Направленность модельного излучателя полностью определяется параметрами Спт, имеющими смысл моментов элементарных сферических мультиполей, из которых состоит разложение. При этом модуль параметра представляет собой производительность, а его аргумент — начальную фазу колебания соответствующего мультиполя.
Условием применимости описанной точечной мультипольной модели излучателя для описания реального монохроматического источника конечных размеров является выполнение соотношений d < є/7/(1 + є) и 0.15є/(1 + є) и kL < є, где L — линейный размер излучателя; d = L/r; є —малая величина.
В общем случае задача определения поля источника сводится к решению краевой задачи, учитывающей не только модель источника, но и особенности среды распространения сигнала.
Очевидно, что самым простым является случай однородного пространства, когда фазовая скорость распространения волны с, а следовательно, и значения параметра к являются постоянными. В этом случае задача имеет точное решение, которое найдено и хорошо исследовано для различных моделей излучателей. Однако в общем случае фазовая скорость распространения колебаний является функцией координат области распространения сигнала с = c(x,y,z), и большинство реальных сред являются неоднородными. Задача определения поля источника в неоднородной среде решена лишь для ненаправленных излучателей. В связи с этим актуальным является изучение по-
лей, создаваемых направленными низкочастотными излучателями, описываемыми параметрической мультипольной моделью в неоднородных областях.
Цель работы — построение математических моделей, описывающих низкочастотные источники в неоднородных областях, постановка и решение краевых задач для наиболее важных частных случаев, выбор и модификация чи.сленных способов решения поставленных задач, создание соответствующего комплекса программ, изучение основных свойств полей рассматриваемых излучателей с помощью численного моделирования.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
построить математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях;
поставить и решить краевые задачи нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого параметрической мультипольной моделью, в случаях:
-
неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний;
-
однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами;
-
многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью;
выбрать и провести необходимую модификацию численных способов решения поставленных краевых задач;
создать комплекс программ для реализации численных способов решения поставленных задач и исследования полученных результатов;
проверить адекватность построенной модели путем сравнения полученных на ее основании результатов численных расчетов с данными натурного эксперимента, приведенными в литературе;
провести вычислительные эксперименты с целью исследования влияния на поле направленного низкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.
Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием методов теории дифференциальных уравнений и теории функций комплексных переменных, а также сравнением с известными из литературы данными.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
-
Построены математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.
-
Поставлены и решены краевые задачи нахождения поля мультипольного излучателя в следующих областях:
неоднородном полупространстве с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний;
однородном слое с неидеальными границами, окруженном однородными полупространствами;
многослойной области как модели представления слоя с произвольной вертикальной неоднородностью.
-
Разработан комплекс программ для реализации моделирования поля направленного низкочастотного излучателя в указанных выше волноводах.
-
Получены и проанализированы результаты численных экспериментов исследования влияния на поле направленного низкочастотного излучателя таких факторов, как его направленность и частота, степень неоднородности пространства, расстояние от источника и от точки наблюдения до границы области.
Практическая значимость результатов:
получены соотношения, которые могут быть использованы для вычисления полей направленных низкочастотных излучателей в неоднородных волноводах с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны;
разработан программный комплекс, с помощью которого могут быть выбраны наиболее подходящие условия наблюдения полей направленных излучателей в неоднородных областях с произвольным законом изменения фазовой скорости распространения волны;
полученные результаты могут быть применены к исследованию конкретных объектов, которые могут быть описаны рассмотренной моделью, например, корпуса судов, гребные винты кораблей, акустические системы, звуковещательные станции, расположенные на поверхности земли, некотором возвышении над землей, на воде, самолетах, вертолетах и т.д.;
полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач, связанных с прогнозом ослабления мощности волны при ее приземном распространении: определение шума вблизи аэропортов, железных дорог и современных автострад, прогноз максимального и среднего уровней шума при небольших взрывах и выстрелах орудий.
Результаты, выносимые на защиту.
-
Математические модели, описывающие направленный излучатель в неоднородных областях.
-
Постановки и решения краевых задач нахождения поля направленного низкочастотного излучателя, описываемого точечной мультипольной моделью, в случаях:
неоднородного полупространства с абсолютно жесткой или абсолютно мягкой границей и волноводным или антиволноводным распространением низкочастотных колебаний;
однородного слоя с неидеальными границами, окруженного однородными полупространствами, или многослойной области как модели представления слоя с произвольной неоднородностью;
3. Результаты численного анализа влияния на поле направленного низкочастотного излучателя в полупространствах с волноводным и антиволноводным распространением колебаний таких факторов, как направленность и частота источника, степень неоднородности пространства, расстояние от излучателя и от точки наблюдения до границы области.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:
Третья межвузовская научно-техническая конференция, посвященная памяти заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, проф. Леонида Ивановича Кудряшева, г. Самара, Самарский государственный университет, 24-25 февраля, 2006 г.
XI школа-семинар академика Л.М.Бреховских, совмещенная с XVII сессией Российского Акустического общества, г. Москва, 2006 г.
Третья Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2006 г.
Четвертая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2007 г.
Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагаринские чтения", г. Москва, МАТИ — Российский государственный технический университет имени К.Э. Циолковского, 1-5 апреля, 2008 г.
Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета, г. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2010 гг.
Пятая Международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности", г. Санкт-Петербург, 28-30 апреля, 2008 г.
Пятая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 29-31 мая, 2008 г.
Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, Самарский государственный технический университет, 1-4 июня, 2009 г.
Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики", г. Воронеж, Воронежский государственный университет, 22-24 июня, 2009 г.
Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, проф. Д.Д. Ивлева, г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 июля, 2009 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе 2 статьи в журналах из перечня ВАК.
Личный вклад соискателя: выбор математических моделей; поиск точных и приближенных решений поставленных задач; создание комплекса программ; выбор численных способов решения поставленных краевых задач; проведение вычислительного эксперимента.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Объем работы —187 страниц, включая 88 рисунков и графиков и список литературы из 129 наименований.
