Математическое моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования для областей со сферической симметрией Парфёнова, Юлия Алексеевна

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Однородные и неоднородные задачи математического моделирования потенциальных полей в областях со сферической симметрией представляют большой теоретический и практический интерес. Этими задачами в разное время занимались Лаврентьев М.М., Мусхелишвили Н.И., Страхов В.Н., Уфлянд Я.С. Для их решения Лаврентьевым М.М. и Уфляндом Я.С. разработан метод интегральных преобразований. Методы теории функций комплексного переменного успешно использовал Мусхелишвили Н.И.. Моделирование процессов граничного управления методом конечных элементов описано в работах Сергиенко И.В., Дейнека В.С.

В диссертационной работе предлагается метод векторных операторов преобразования, который дополняет классические методы и дает ряд преимуществ, в частности, позволяет найти решение задачи в замкнутом виде. Замкнутый вид решений открывает новые возможности в исследовании моделей потенциальных полей и процессов граничного управления. Применение разработанного нами нового метода моделирования позволило найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей неоднородных сред со сферической симметрией, интерпретировать гравитационные и магнитные аномалии полей. Наличие замкнутого выражения для решения модельной задачи важно с теоретической и практической точек зрения, так как возникает возможность сравнить в модельном случае теоретическое значение потенциала со значением, полученным с помощью численных методов.

Метод операторов преобразования позволяет также:

упростить вычислительные схемы итерации и регуляризации при решении задач кусочно-однородных сред;

редуцировать исследование неоднородных потенциальных полей к однородным;

получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: слагаемые интерпретируются как последовательные отражения от экранов;

изучать асимптотические свойства решения.

Целью работы является построение моделей потенциальных полей в сферически-симметричных областях. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

построить векторные операторы преобразования;

найти в замкнутой форме структуру потенциальных полей кусочно- неоднородных сред со сферической симметрией;

найти математическую интерпретацию гравитационных и магнитных аномалий полей;

разработать вычислительные алгоритмы, основанные на полученных аналитических формулах, реализовать алгоритмы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для моделирования потенциальных полей.

Методы исследования

Поставленные задачи решались разработанным автором методом векторных операторов преобразования. Наряду с ним использовался аппарат действительного и комплексного анализа: гармонический анализ; интегралы, зависящие от параметра; регуляризирующие алгоритмы.

Научная новизна

Основные результаты диссертации получены впервые:

для моделирования потенциальных полей в однородных и неоднородных средах сконструированы векторные операторы преобразования в круге и в шаре;

сконструированы граничные операторы преобразования - новое средство для интерпретации граничных наблюдений потенциальных полей в однородных и неоднородных средах;

предложены регуляризирующие алгоритмы в математическом моделировании потенциальных полей;

разработан новый единый подход к математическому моделированию кусочно-однородных потенциальных полей, заключающийся в интерпретации этих полей как возмущений однородных полей с аналитическим представлением этих возмущений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая ценность работы заключается в создании векторного варианта метода операторов преобразования для математического моделирования неоднородных потенциальных полей: полей напряжений в твердом теле, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Практическая ценность работы заключается в применении найденных формул для исследования математических моделей неоднородных сред при создании регуляризирующих операторов, позволяющих интерпретировать результаты граничных наблюдений полей напряжений, гравитационных и магнитных полей аномалий, фильтрационных течений.

Обоснованность результатов диссертационной работы состоит в использовании аппарата классического действительного и комплексного анализа. Достоверность научных положений, результатов и выводов диссертации подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся:

векторные операторы преобразования для областей c круговой симметрией;

модели фильтрационных течений и доказательство фильтрационной теоремы об окружностях;

аналитическое представление граничного управления в шаре и его реализация в среде MatLab;

новые выражения для скалярных потенциалов и их нормальных градиентов в моделях гравитационных и магнитных аномалий;

аналитическое выражение для интерпретации полей напряжений в круглой пластине.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

1. 1. III, IV и V Международные научно-технические конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» - Пенза, 2009-2011.

   2. XVII Международная конференция «Математика. Образование» - Чебоксары, 2009.

   3. XVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» - Ростов на Дону, 2010.

   4. II Международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» - Москва, 2011.

   5. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» - Орел, 2011

   6. III Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» - Самара, 2012

   Публикации

   По материалам диссертации опубликованы в 22 работы, в том числе 7 статей в изданиях из Перечня ВАК. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса.

   Личный вклад автора

   Основные результаты диссертации получены лично автором. В работах, выполненных совместно с научным руководителем, Яремко О.Э. принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

   Структура и объем диссертации

   Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованных источников из 138 наименований и приложения. Работа без библиографического списка содержит 117 страниц текста.

   Похожие диссертации на Математическое моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования для областей со сферической симметрией

   Методы моделирования гармонических электромагнитных полейБутюгин, Дмитрий Сергеевич

   

   Разработка и реализация методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в задачах электроразведки Персова Марина Геннадьевна

   

   Численно-аналитические методы моделирования распределения электростатических зарядов, полей и емкостей пластин неканонической формы на основе томографического подхода и базисных разложенийКулешова Елена Олеговна

   Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сеткахВагин, Денис Владимирович

   

   Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений Саядян Дмитрий Левонович

   

   Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода ортогональных проекцийШапошников Кирилл Сергеевич

   Метод точечных источников поля для компьютерного моделирования физических полей в задачах с подвижными границамиКнязев, Сергей Юрьевич

   

   Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования стационарных физических полей в линейных кусочно-однородных и нелинейных средах;Пашковский Александр Владимирович

   

   Аппроксимация поля скоростей при моделировании течений жидкости вихревыми методамиБогомолов Дмитрий Валерьевич

   Моделирование потенциальных полей в кусочно-однородных средах методом точечных источниковЩербаков, Антон Андреевич