Введение к работе
Актуальность работы. Проблема моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени возникает при исследовании излучения электромагнитных волн в многочисленных электрофизических устройствах: мобильные телефоны, микроволновые печи, различные антенные устройства, а также в ряде задач геоэлектроразведки. Высокие требования к точности расчетов вызваны необходимостью обработки сложной геометрии расчетной области в присутствии разномасштабных объектов и наличии сред с высококонтрастными физическими параметрами. При этом естественным оказывается желание построить единообразный подход к решению всех указанных выше задач, учитывая в то же время их специфику.
Решение данной проблемы требует построения трехмерных адаптивных неструктурированных сеток с большим (106 ^ 107) числом узлов, что делает задачу вычислительно сложной. Аппроксимация непрерывных постановок с использованием метода векторных конечных элементов (МКЭ) высоких порядков приводит к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с большим числом степеней свободы. Матрицы получаемых систем являются комплексными, неэрмитовыми, знаконеопределенными и плохо обусловленными. Решение таких СЛАУ часто оказывается невозможным без использования современных многопроцессорных вычислительных систем (МВС), а также эффективных и экономичных параллельных предобусловленных итерационных методов, поскольку прямые алгоритмы требовательны к вычислительным ресурсам и потребляют большое количество памяти.
Важным этапом построения и апробации вычислительных моделей является проведение численного эксперимента, причем обработка полученных результатов может оказаться довольно нетривиальной задачей. Необходимость постобработки решения, представленного в виде коэффициентов разложения по базисным функциям и распределенного по разным процессам, а также вычисления различных целевых функционалов может приводить к отдельным сложным вычислительным проблемам. В связи с этим большую роль приобретает автоматизация процесса построения конечно-элементных аппроксимаций. Не менее важным является и наглядное представление решения в графическом виде. Здесь можно отметить проблему визуализации и построения различных срезов сложных разномасштабных электромагнитных полей, нестационарных по своей природе. Данная задача является алгоритмически сложной и может потребовать использования существенных вычислительных мощностей, включая графические ускорители.
Актуальность задачи подтверждена большим количеством исследований отечественных и зарубежных авторов, посвященных данной тематике. В работах Монка, Алонсо, Хиптмаера, Альбанезе, Дикци- Эдлингера, Хабера, Грейфа, Григорьева А. Д., Урева М. В., Кремера И. А., Соловейчика Ю. Г., Персовой М. Г., Шуриной Э.П. и многих других рассматриваются подходы, связанные с решением задач в пространствах Соболева, использованием конечно-объемных аппроксимаций, переформулировкой задачи нахождения электрического поля E на проблему поиска ряда других вспомогательных функций, построением различных предобуславливателей, а также различными вариантами регуляризации задачи. Здесь можно отметить подходы, связанные с калибровкой на основе деревьев и кодеревьеви регуляризацией при помощи вспомогательных членов.
В настоящее время имеется ряд зарубежных и отечественных пакетов прикладных программ (ППП), таких как Ansoft HFSS, CST Microwave Studio, SPEAG SEMCAD, Radio Frequency Simulator и ряда других, предназначенных для расчета электромагнитных полей высокой и низкой частоты. Тем не менее, многие из перечисленных методов и программных реализаций имеют определенные недостатки либо ограничения на область применимости. Можно отметить также и высокую стоимость лицензии на многие из данных продуктов, достигающую 100000 долларов в год. Поэтому разработка новых экономичных, надежных и эффективных вычислительных методов и программных технологий моделирования гармонических электромагнитных полей является актуальной научной и практической проблемой.
Цель диссертационной работы состоит в комплексном исследовании методов моделирования электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени, включающих оригинальные формулировки задач, построение и исследование конечно-элементных аппроксимаций с высоким разрешением, разработку итерационных методов решения СЛАУ и постобработки полученных решений.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
Построение обобщенных формулировок классических, смешанных и регуляризованных задач для полей с гармонической зависимостью от времени, исследование вопросов их разрешимости, а также конструирование оптимальных по порядку предобуславли- вающих операторов.
Построение и теоретическое и численное обоснование сходимости схем для аппроксимации рассматриваемых постановок задач конечными элементами Неделека высоких порядков, в том числе при наличии сингулярностей в решениях.
Разработка эффективных параллельных предобусловленных итерационных методов для МВС с общей и распределенной памятью, ориентированных на решение больших СЛАУ, возникающих в результате аппроксимации вариационных формулировок иерархическими векторными базисными функциями.
Разработка концепции и реализация параллельного пакета прикладных программ Helmholtz3D, решение методических и практических задач геоэлекроразведки и моделирования СВЧ устройств.
Научная новизна
-
-
Построены обобщения смешанных и регуляризованных постановок задач электромагнетизма для случая комплексной диэлектрической проницаемости при ненулевой проводимости среды, предложены эффективные спектрально эквивалентные предобуслав- ливающие операторы.
-
Проведено исследование сходимости конечно-элементных решений при использовании элементов Неделека 1-го и 2-го рода высоких порядков и апостериорного анализа ошибки с локальным сгущением неструктурированных тетраэдральных сеток в окрестности сингулярностей. Предложены подходы к автоматизации построения алгоритмов для МКЭ аппроксимаций с применением символьных вычислений и технологий оптимизаций выражений.
-
Предложены эффективные многоуровневые параллельные итерационные методы в подпространствах Крылова для решения больших распределенных СЛАУ, возникающих при дискретизации краевых задач электромагнетизма, ориентированные на вычислительные системы с общей и распределенной памятью. Построенные предобуславливатели включают в себя параллельные алгебраические мультисеточные методы и грубосеточную коррекцию с использованием блочной структуры СЛАУ при аппроксимации вариационных постановок иерархическими базисными функциями высоких порядков.
-
Разработана концепция и программная реализация расширяемого пакета Helmholtz3D, проанализированы и выбраны наиболее
подходящие для построения такого пакета вычислительные технологии и предложен подход к отображению вычислительных алгоритмов на МВС с распределенной и общей памятью.
Практическая значимость. В рамках работы реализован пакет параллельных прикладных программ Helmholtz3D, предназначенный для расчетов гармонических электромагнитных полей в устройствах СВЧ, а также для решения прямых задач геоэлектроразведки.
Исследования были поддержаны грантами РФФИ №11-01-205 и Президиума РАН №2.5, а также ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики" в рамках контракта №11.G34.31.0019.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
-
-
-
Непрерывные и дискретные математические модели электромагнетизма в классической, смешанной и регуляризованной вариационных постановках для решения смешанных краевых задач электромагнетизма с гармонической зависимостью полей от времени, включая построенные оптимальные по порядку предобуславлива- ющие операторы.
-
Методы автоматизированного построения аппроксимаций векторными конечными элементами Неделека первого и второго рода высоких порядков на адаптивных неструктурированных тетраэдральных сетках, учитывающих особенности решений.
-
Алгоритмы декомпозиции области и решения разреженных конечно-элементных СЛАУ электромагнетизма, возникающих как результат аппроксимации вариационных формулировок задач, на МВС с общей и распределенной памятью.
-
Открытый расширяемый пакет прикладных программ Helmholtz3D для решения прямых задач геоэлектроразведки и моделирования различных СВЧ устройств, таких как антенны мобильных телефонов, микроволновые печи и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ, декабрь 2012; семинаре кафедры прикладной математики НГТУ, январь 2013; семинаре по геоэлектрике ИНГГ СО РАН, январь 2013; международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (Новосибирск, 2008); международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2009, 2010, 2012); international conference "Progress in Electromagnetics Research Symposium" (PIERS-2009, Москва, 2009); конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, 2009, 2010, 2012); сибирской конференции по параллельным и высокопроизводительным вычислениям (Томск, 2009, 2011); Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Абрау-Дюрсо, 2010, 2012); международной школе- конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 2011); международной научной конференции "Параллельные вычислительные технологии" (Москва, 2011; Новосибирск, 2012); международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (Новосибирск, 2011); Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Новосибирск, 2011); international Young Scientists Conference "High Performance Computing and Simulation" (Амстердам, 2012); Всероссийской научно- технической конференции "Микроэлектроника СВЧ" (Санкт-Петербург, 2012); Всероссийской конференции "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Новосибирск, 2012); Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2012).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 20 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1—4], 7 статей в сборниках трудов конференций и 9 тезисов докладов.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.
В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работах [5-8] автору принадлежит разработка подходов к решению комплексного уравнения Гельмгольца векторными методами конечных элементов, а также итерационных решателей для СЛАУ электромагнетизма и проведение численных экспериментов с использованием МКЭ. В работах [3, 9] автором исследованы вопросы проектирования модульных алгоритмов и отображения их на существующие аппаратные платформы. В [3] автору дополнительно принадлежит разработка алгоритмов экономичной декомпозиции, получение оценок эффективности разработанных алгоритмов, а также проведение численных экспериментов для СЛАУ электромагнетизма.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 173 страницы, включая 19 рисунков и 14 таблиц.
Похожие диссертации на Методы моделирования гармонических электромагнитных полей
-
-
-
