Введение к работе
Актуальность темы исследований. Применение сеточных методов для моделирования физических полей в областях со сложной геометрической конфигурацией границ вызывает определенные трудности. Эти трудности значительно возрастают при решении задач в областях, границы которых со временем изменяют свое положение или форму. Между тем такого рода задачи имеют важное прикладное значение. Например, моделирование роста кристаллов и кристаллических слоев приводит к задаче Стефана в областях со сложной, изменяющейся во времени конфигурацией. Численное решение этой задачи позволяет оптимизировать процесс выращивания кристаллических структур, например, для нужд микро и наноэлектроники.
Задачи моделирования физических полей в областях с подвижными границами не ограничиваются ростовыми процессами. Подвижность границ необходимо учитывать при моделировании электрических и магнитных полей в электромеханических устройствах. Формально к задачам с подвижными границами относятся многие задачи проектирования технических устройств. При разработке этих устройств геометрические параметры расчетной области (геометрические размеры) должны иметь значения, обеспечивающие оптимальные для данного устройства характеристики. Поиск оптимального решения должен выполняться путем расчета физических полей при различных формах границы или при ее перемещении, движении. Следовательно, задачи оптимизации технических характеристик разрабатываемых устройств в ряде случаев также можно рассматривать как задачи с движущимися или изменяющимися границами. Поэтому решение задач моделирования физических полей в областях с подвижными границами является актуальным.
В общем случае при нахождении физических полей в областях с подвижными границами необходимо учитывать возможность изменения дифференциальных уравнений, с помощью которых описываются моделируемые поля. Это резко усложняет решаемую задачу. Однако часто, например, при достаточно медленном движении границ, вид уравнений, описывающих поле, сохраняется. В дальнейшем это условие предполагается выполненным.
Моделирование ростовых процессов является практически значимой задачей, которая относится к задачам с подвижными границами. Типичным примером ростового процесса является термомиграция. Она представляет собой миграцию макровключений (обычно жидкофазных) в твердом теле, обусловленную полем градиента температуры. В технологии изготовления полупроводниковых приборов и материалов электронной техники моделирование процесса термомиграции позволяет решать широкий круг задач. Распространены и находят практическое применение одномерные модели термомиграции, которые удовлетворительно описывают некоторые конкретные процессы и позволяют получить важные результаты, подтверждаемые экспериментально. Значительно более сложными являются двумерные модели, более адекватно отражающие исследуемый процесс. При их применении обычно используется метод конечных разностей (МКР). Однако детальные исследования показали ограниченные возможности этого метода. Необходимость совместного решения уравнений теплопроводности и диффузии при учете граничных условий на движущейся, постоянно изменяющей свое положение и форму межфазной границе, составляет основную сложность задачи. Это приводит к росту погрешности конечно- разностных двумерных моделей термомиграции, что снижает достоверность результатов, полученных при их использовании. Еще большие трудности возникают при построении трехмерных моделей термомиграции. Это требует разработки эффективных численных методов для построения более адекватных компьютерных моделей термомиграции. К таким методам можно отнести метод точечных источников поля (МТИ), который является одним из перспективных, но, к настоящему времени, слабо разработанным методом моделирования физических полей. Применение этого метода позволит значительно повысить точность компьютерных моделей и перейти к построению эффективных трехмерных моделей термомиграции, с помощью которых возможно исследование закономерностей процесса в наиболее полном виде.
Метод точечных источников поля является перспективным инструментом численного решения граничных задач для уравнения Лапласа и других уравнений математической физики. Идея метода состоит в представлении приближенного решения задачи в виде суперпозиции полей точечных источников поля, зарядов, расположенных за пределами области решения на некотором удалении от ее границы. Основные положения МТИ были представлены в работах В. Д. Купрадзе и М.А. Алексидзе в 1964 г., но эти работы не нашли последующего развития и практического применения. В настоящее время интерес к методу, особенно в зарубежной научной литературе, значительно возрос. Получен ряд новых результатов. Можно привести множество примеров практической реализации метода при решении научно- исследовательских и прикладных задач. Тем не менее, до настоящего времени область применения метода не соответствует его перспективным возможностям. Это объясняется отсутствием систематического, всестороннего исследования возможностей метода. Полученные теоретические и прикладные результаты носят разрозненный характер. Значительная часть работ ограничивается исследованием свойств МТИ при решении стандартных задач, например граничной задачи для круговой области. Весьма скромные результаты получены для МТИ при решении трехмерных граничных задач. Представленные в литературных источниках конкретные научно- технические задачи, решаемые с помощью МТИ, не отличаются полнотой и законченностью. Это относится и к публикациям, в которых рассматриваются проблемы теоретического обоснования метода. Все это ограничивает использование МТИ для широкого круга пользователей и подтверждает актуальность работы по обоснованию и практической реализации метода для решения конкретных прикладных задач, при моделировании физических полей, в том числе в задачах с подвижными границами.
Работа выполнена в соответствии с: приоритетными направлениями развития науки, технологий и техники РФ «Информационно-телекоммутационные технологии и электроника» (утверждено Указом Президента РФ от 30.03.02 г.); научными направлениями ЮРГТУ (НПИ) «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» и «Кристаллы и структуры для твердотельной электроники» и выполнялась в рамках госбюджетных НИР вуза: «Развитие методов математической физики и вычислительной математики для решения комплексных проблем электродинамики», «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках» и «Разработка моделей процессов массо- и теплопереноса в микроразмерных ростовых ячейках» (коды ГРНТИ 27.35.33; 29.19.00; 47.09.29; 29.03.77; 29.19.15), а также в рамках грантов РФФИ «Разработка теории и физических основ методов кристаллизации нанослоев и гетероструктур на основе ZnO из молекулярных потоков в ультратонких ростовых ячейках» № 07-08-05056-6, «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» № 08-08-00886.
Цель работы заключается в повышении эффективности компьютерных моделей физических полей в областях с подвижными границами, применяемых для оптимизации процессов изготовления кристаллических структур для нужд микро- и наноэлектроники и электромеханических устройств, достигаемое путем использования метода точечных источников поля (МТИ).
Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:
теоретические и экспериментальные исследования устойчивости и сходимости МТИ при моделировании потенциальных полей, оценка погрешности метода;
исследование потенциальных возможностей МТИ при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах;
исследование возможности совместного использования МТИ и сеточных методов, например, метода конечных разностей при численном решении граничных задач математической физики;
разработка одномерных моделей термомиграции, позволяющих исследовать влияние разнообразных факторов на кинетику процесса и на его устойчивость;
разработка теоретических основ для построения двумерных и трехмерных моделей термомиграции, включающих в себя алгоритм учета изменения формы мигрирующего включения.;
разработка комплекса вычислительных программ на базе МТИ для моделирования потенциальных полей и использование этого комплекса для решения конкретных задач инженерной практики: моделирования термомиграции, электрических и магнитных полей в технических устройствах.
Методы исследования. Методом исследования физических полей в расчетных областях с подвижными границами, в том числе полей, описывающих термомиграцию и электромагнитные поля, является численное моделирование рассматриваемых процессов с использованием МТИ. Анализ корректности разрабатываемых моделей производится путем получения теоретических оценок условий единственности, устойчивости и сходимости решений и сопоставления этих оценок с результатами численных и физических экспериментов.
Достоверность полученных результатов подтверждается согласованием полученных с помощью численных моделей результатов с априорными оценками, с данными других исследователей, а также с данными, полученными экспериментально (расхождение по скорости термомиграции не превышает 5%). Выводы, полученные с помощью разработанных моделей, находятся в логическом соответствии с известной физической интерпретацией полученных данных. Полученные результаты обсуждались на конференциях различного уровня и получили положительные оценки.
Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующем:
предложены теоретические оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа, которые отличаются от известных большей точностью, возможностью их применения для областей со сложной конфигурацией, а также для оценки погрешности решения трехмерных задач;
предложен вариант реализации МТИ, отличающийся от известных использованием при моделировании искомого поля точечных зарядов двойного слоя, диполей, или совместным использованием диполей и зарядов простого слоя;
разработаны модели, различающиеся типами зарядов, моделирующих поле и способами их определения, которые расширяют возможности использования МТИ при численном решении нестационарных задач, при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах;
предложены компьютерные модели, которые отличается от известных комбинированным использованием МТИ и сеточного метода;
построены математические модели термомиграции, которые, в отличие от известных, включают в себя алгоритм учета изменения формы мигрирующего двумерного или трехмерного включения и могут быть использованы при исследовании кинетики и устойчивости процесса;
построена физико-математическая модель диффузионной модификации на- носенсоров, отличительной чертой которой является учет двух механизмов массо- переноса (поверхностного и объемного) в условиях продолжающегося роста виске- ров;
создан и зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ комплекс на базе МТИ для моделирования потенциальных физических полей при решении конкретных задач инженерной практики, который отличается тем, что позволяет моделировать термомиграцию, электрические и магнитные поля в технических устройствах, диффузионную модификацию наносенсоров.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы состоит в обосновании устойчивости и сходимости МТИ при решении широкого круга краевых задач для уравнения Лапласа и других уравнений эллиптического типа, в первую очередь- при решении задач в областях с подвижными границами. Эти качества делают МТИ перспективным методом численного моделирования полей различной физической природы, позволяя ему в ряде случаев составлять конкуренцию таким признанным численным методам, как метод конечных разностей, метод граничных элементов, что также свидетельствует о практической значимости работы.
На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования термомиграции линейных и плоских зон, для расчета двумерных и трехмерных потенциальных полей с помощью метода точечных источников поля. Комплекс программ и другие результаты диссертации могут найти применение, например, в технологии производства полупроводниковых структур для микро и наноэлектроники, при проектировании технических устройств, работа которых определяется потенциальными полями (тепловыми, электрическими, магнитными и т.д.), в вузах, при обучении по специальностям, учебные планы которых предполагают изучение численных методов моделирования потенциальных полей, а также при чтении лекций и выполнении курсовых и дипломных работ.
Теоретические и программные разработки диссертации нашли практическое применение в проектно- конструкторской деятельности и научно-исследовательской работе ЮРГТУ, ВЭлНИИ, НВКВУС, НПЦ «Нанотех», ООО «Элемент- Преобразователь», в учебном процессе ЮРГТУ, что подтверждается документально.
Основные результаты работы, выносимые на защиту
-
-
Предложены теоретические оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа для двумерных и трехмерных областей со сложной конфигурацией, позволяющие прогнозировать точность разрабатываемых компьютерных моделей.
-
Предложен вариант реализации МТИ, основанный на использовании точечных зарядов двойного слоя, диполей, или на совместном использовании диполей и зарядов простого слоя, что позволяет получать более устойчивые и более точные численные решения краевых задач в областях с подвижными границами.
-
Разработаны модели с использованием МТИ, различающиеся типами зарядов, моделирующих поле и способами их определения, которые могут использоваться при численном решении стационарных и нестационарных задач, при моделировании физических полей в неоднородных и нелинейных средах.
-
Предложено и апробировано комбинированное использование МТИ и сеточного метода, что позволяет повысить эффективность компьютерных моделей физических полей.
-
Разработаны компьютерные модели термомиграции дискретных и плоских зон с использованием МТИ, позволяющие исследовать кинетику процесса и его устойчивость при различных режимах и механизмах кристаллизации и растворения.
-
Компьютерные модели потенциальных полей в технических устройствах различного назначения, построенные с помощью разработанного комплекса программ для ЭВМ при использовании МТИ.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на: V и VI международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (г. Воронеж, 2007, 2008, 2009 гг.); IX, XII, XIII национальных конференциях по росту кристаллов (НКРК- 2000, 2006, 2008, Москва, ИК РАН); VI и VII международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (ВНЦ РАН); IV, V и VI международной науч.- практ. конференциях «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2005- 2008); IV, V и VI международных науч.-практ. конференциях «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 20052008); Совещании по росту кристаллов, пленок и дефектам структуры «Кремний- 2002» (Новосибирск, 2002); Российской конференции по материаловедению и физико-химическим основам технологий получения легированных кристаллов кремния «Кремний- 2000» (Москва, 2000)»; 15, 21 международных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2002; Саратов, 2008); конференции «Нанотехнологии- производству- 2006» (Фрязино, 2006), .); XII Всесоюз. науч. конф. по микроэлектронике, г. Тбилиси, 1987; II Всесоюз. науч. конф. по моделированию роста кристаллов, Рига, 1987; VIII Всесоюзной конференции по росту кристаллов, Харьков, 1992; II, III, IV и V конференции «Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники» (Дивноморское, 1995, 1996, 1997, 1998); 2-м Рос. симпозиуме «Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур» (Обнинск, 1997); «Конференции по электронным материалам» (Новосибирск, 1992); VII Всесоюз. конф. по росту кристаллов (Москва 1988); VII Всесоюз. конф. по процессам роста и синтеза п/п кристаллов и пленок (Новосибирск, 1986); конференции E- MRS 1995 Spring Meeting (Strasbourg, 1995); конференции 44th Scientific Colloquium (Ilmenau, 1999), а также на ряде научных семинаров и конференций,проводимых в ЮРГТУ(НПИ), Новочеркасску 1990-2009 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 95 работ, среди которых одна монография (в соавторстве), 32 статьи в ведущих научных журналах из списка ВАК, 6 авторских свидетельств и патентов, 4 свидетельства о гос. регистрации программы для ЭВМ. В автореферате приведен список основных публикаций из 76 наименований.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 315 наименований и приложения. Общий объем работы составляет 355 страниц, в тексте содержится 99 рисунков, 2 таблицы.
Похожие диссертации на Метод точечных источников поля для компьютерного моделирования физических полей в задачах с подвижными границами
-
