Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов решения уравнения Лапласа 19
1.1. Особенности и ограничения методов конформных отображений для плоских областей сложной конфигурации при исследовании электрических полей 19
1.2. Метод конечных разностей как численная реализация решения уравнения Лапласа - недостатки и ограничения метода сеток 22
1.3. Особенности метода конечных элементов (МКЭ) для решения континуальных задач 24
1.3.1. Теоретические предпосылки МКЭ 25
1.3.2 Анализ и выбор численных методов для реализации МКЭ 30
1.4. Методы решения уравнения Лапласа на основе последовательных " приближений 32
1.4.1. Вариационные методы - Ритца и Галеркина [23-27] 32
1.4.2. Метод Треффтца [23-28] 33
1.5. Методы решения задач оптимизации 34
1.6. Обзор пакетов математических программ для моделирования и исследования задач математической физики 42
1.6.1. Пакет FEMLAB для моделирования задач в математической или физической постановке 42
1.6.2. Программный комплекс ELCUT для инженерного моделирования 45
1.6.3. Пакет PDEase2D для численного решения двумерных полевых задач 47
1.6.3. Выводы 49
Глава 2. Разработка моделей электрических полей в системах с биполярным электродом и схем их численного моделирования 50
2.1. Конфигурация межэлектродного пространства - физическая модель межэлектродного зазора (МЭЗ) системы с биполярным і электродом 50
2.1.1. Численная схема расчета поля - неравномерная сетка для А.- моделирования полей с учетом физических неоднородностей пространства МЭЗ 50
2.1.2. Условия перехода к равномерной сетке - преимущества и ограничения разработанного алгоритма 53
2.2. Применение комплексного метода оптимизации Бокса для моделирования электрических полей с неявно заданной целевой функцией 54
2.2.1. Стохастичность многомерных точек области поиска экстремума - особенность канонического алгоритма метода 54
2.2.2. Мультипликативный конгруэнтный алгоритм Д. Кнута генераторов случайных чисел для моделирования пространства параметром МЭЗ 57
2.2.3. Разработка генераторов многомерных детерминированных равномерно-распределенных 1 Рт-чисел для алгоритма Бокса 58
2.2.4. Исследование зависимости скорости сходимости метода оптимизации Бокса от свойств начального комплекса 60
2.3. Выводы 60
Глава 3. Разработка программного комплекса для моделирования электрических полей в системах с биполярным электродом (Electric Fields Analysis) 62
3.1. Общие требования к разрабатываемому Windows-приложению 62
3.2. Разработка структуры комплекса Electric Fields Analysis и его реализация на основе объектно-ориентированного подхода 62
3.2.1. Структура Модели 64
3.2.2. Структура реализации метода сеток 67
3.2.3. Структура реализации блока оптимизации 68
3.3. Структура дополнительных пакетов 69
3.3.1. Структура пакета «Метод оптимизации Бокса» 69
3.3.2. Структура пакета «Равномерно-распределенные числа» 76
3.3.3. Структура геометрического пакета 77
3.4. Разработка алгоритмов визуализации результатов моделирования электрических полей 78
3.4.1. Отображение эквипотенциальных, силовых и линий токов в МЭЗ 78
3.4.2. Применение цветовой палитры для визуализации оценки сходимости итерационного процесса при моделировании поля в МЭ379
3.5. Выводы 79
Глава 4. Исследование характеристик электрических полей в МЭЗ и некоторых физических процессов в системе обработки поверхности с биполярным электродом 81
4.1. Разработка аналитических моделей расчета электрических полей в МЭЗ биполярного электрода на основе методов ТФКП 81
4.1.1. Аналитический расчет распределения электростатического поля в МЭЗ с помощью интеграла Шварца-Кристоффеля 81
4.2. Результаты численного моделирования 86
4.3. Математическая модель механического элемента системы с биполярным электродом (узел "ротор-маятник" установки для обработки функциональных узлов СВЧ-приборов) 87
4.3.1. Численно-аналитическая модель «ротора-маятника» 87
4.3.2. Исследование устойчивости колебательной системы «ротор-маятник» 89
Заключение 92
Список использованной литературы
- Метод конечных разностей как численная реализация решения уравнения Лапласа - недостатки и ограничения метода сеток
- Численная схема расчета поля - неравномерная сетка для А.- моделирования полей с учетом физических неоднородностей пространства МЭЗ
- Разработка структуры комплекса Electric Fields Analysis и его реализация на основе объектно-ориентированного подхода
- Аналитический расчет распределения электростатического поля в МЭЗ с помощью интеграла Шварца-Кристоффеля
Введение к работе
Ф Моделирование электрических полей в межэлектродном пространстве сложной конфигурации как способ повышения ц. эффективности и оптимизации технологических систем с биполярным электродом
В современном СВЧ-приборостроении широко применяются системы на основе биполярного электрода, в которых в результате удаления неровностей на поверхности детали, выступающей в роли электрода, реализуется конечная обработка поверхности. Особые проблемы возникают при «доводке» ф миниатюрных замедляющих и резонаторных систем сложной конфигурации с труднодоступными участками для обработки. Требования по их геометрическим параметрам являются очень высокими с точки зрения обеспечения характеристик всего устройства в целом, особенно в области «коротких» волн СВЧ-диапазона. Многообразие форм электродов, диэлектрических вставок, их взаимное расположение, электрофизические параметры электролита, его динамические характеристики обусловливают возникновение в рабочем пространстве очень сложной конфигурации электрических полей, измерение и управление которыми практически невозможно. Тем не менее, качество поверхности и эффективность процесса обработки, во многом, определяются потенциалами электродов, распределением потенциала в межэлектродном пространстве, картиной силовых линий и т.п. Всё это приводит к необходимости моделирования электрических полей в, межэлектродном пространстве сложной (произвольной) конфигурации и поиска способов оптимизации их характеристик.
Проблемой моделирования электрических полей занимался ряд исследователей. Особенно хотелось бы отметить работы Волгина В.М. и # Волгиной О.В. [1, 2] (г. Тула, ТГУ, Институт электрохимии РАН им. Фрумкина A.H.) по разработке численных методов расчета электрических полей, Клокова В.В. [3, 4](г. Казань, КГУ) - по разработке аналитических методов на основе ТФКП, Иванова В.Т. [5] (г. Уфа, БГУ) по теории биполярного электрода, Коломейцева В.А. [6] (г. Саратов, СГТУ) - по моделированию и расчету СВЧ-полей сложной конфигурации, научные школы: НПО "Исток"(г.Фрязино), НПО "Титан"(Москва), НПО "Алмаз", НПО "Тантал"(г.Саратов) - теория и методы расчета электрических и магнитных полей для СВЧ-приборов. Однако по-прежнему актуальными остаются задачи, возникающие при использовании систем с биполярным электродом, что затрагивает общую проблему моделирования электрических полей для пространств произвольной конфигурации, включающем проводники 1 и 2 рода и диэлектрики. Разработка аналитических и численных моделей расчета характеристик полей позволила бы разработать эффективные алгоритмы вычислений при моделировании и быстро сходящиеся процедуры оптимизации характеристик, что вообще не рассматривалось исследователями биполярных систем, а это актуально в практическом плане.
В качестве объекта исследования рассматриваются электрические поля, возникающие при обработке поверхностей установками на основе биполярного электрода. Такие схемы являются наиболее перспективными в современных технологиях и, в то же время, объединяющими физические процессы в отдельно рассмотренных упомянутыми исследователями системах. Они оказываются достаточно универсальными, чтобы на примере их исследования создать методику моделирования и анализа подобных систем. Оптимизация характеристик возможна только на основе моделирования и установления физической картины, возникающих электрических полей, адекватной развивающимся процессам в рабочем пространстве. Это приводит, в первую очередь, к необходимости решения смешанной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.
Физические процессы в системах с биполярным электродом
Существуют различные схемы систем с биполярным электродом. [7,8] Некоторые из них представлены на рисунке. "- — ... + ++"
и» d
Рис. 1 Схемы систем с биполярным электродом: а) обработка поверхности труб, б) обработка лопаток турбин, в) полирование листов проката, г) сверление отверстий, д) обработка деталей в авиастроении, е) то же с переменным током
Т.к. обрабатываемая деталь, играющая роль биполярного электрода, помещена между анодом и катодом в электролите, то на ее поверхности одновременно протекают анодные и катодные реакции. Ток к обрабатываемой детали подводится через электролит сразу по всей поверхности. Наличие на детали (биполярном электроде) одновременно катодной и анодной зон, где протекают соответствующие реакции, позволяет путем изменения соотношения площадей в пользу катодной реакции, повысить локализацию анодного растворения.
В биполярной схеме в момент касания одного из электродов инструментов детали короткого замыкания не возникает, так как величина тока в цепи ограничена сопротивлением второго межэлектродного промежутка. Исключение явлений короткого замыкания обеспечивается конструкцией инструмента, которая исключает одновременное касание деталью обоих электродов.
Причины, вызывающие одновременное протекание катодной и анодной реакций на поверхности детали, связаны с появлением поверхностных зарядов разных знаков при протекании тока через границу неоднородных сред: + + R +
Рис. 2 Стационарное электрическое поле в проводнике, состоящем из участков с разными удельными
СОПрОТИВЛеНИЯМИ (P2>Pl)-
Скачок нормальной составляющей вектора Е, происходящий при протекании тока через границу различных сред
Л„ = Е2п - Еи = Е1н
Поверхностная плотность появляющихся зарядов:
К Pi )
Если р2 » р,, то a = 0Е2„ = s0pj2.
Если электрический ток течет из среды с меньшим удельным сопротивлением в среду с большим удельным сопротивлением, то поверхность раздела заряжается положительно, а при обратном направлении тока -отрицательно.
Стационарные заряды (и, соответственно, стационарное электрическое поле) на границе двух сред возникают вследствие скопления здесь заряженных частиц при установлении стационарного режима и непрерывно обновляются в процессе прохождения тока. Т.к. биполярный электрод находится внутри электрического поля и силовые линии проходят через него, то его поверхность несет положительные и отрицательные заряды. Соответственно, протекают катодные и анодные электрохимические реакции.
Распределение плотности тока по поверхности детали оказывает определенное влияние на скорость и точность технологического процесса. Существенное влияние на распределение плотности тока оказывает исходная геометрия межэлектродного зазора, кинематика движения инструмента, электропроводность электролита, поляризуемость электродов (эти параметры и являются группой параметров для оптимизации технологического процесса). Исследованию распределения тока по биполярному электроду посвящены работы [5,7,8].
Распределение плотности тока на биполярном электроде зависит еще от таких специфических факторов, как взаимное расположение (мы исследуем конкретную технологическую установку) всех трех электродов, соотношение удельной электропроводности раствора и суммарной поляризуемости биполярного электрода (что можно варьировать в процессе оптимизации).
В работе [9] показано, что поверхность биполярного электрода в среде электролита можно представить эквипотенциальной поверхностью. Так как биполярный электрод в целом электрически нейтрален, то уменьшая расстояние между катодом и биполярным электродом, можно уменьшать площадь, занимаемую положительным зарядом, вследствие чего плотность заряда возрастает. Для отрицательных - наоборот. Для электрохимической системы это приведет к увеличению скорости анодного растворения. Изменить соотношение этих площадей можно так же, изменяя потенциал биполярного электрода с помощью делителя напряжения.
Рассмотрим модель ячейки с биполярным электродом.
Рис. 3 Общий вид схемы с биполярным электродом
Уравнения для потенциала электрического поля [5]: д2и дги Л дхг ду2 = /.. [и+с>**;, ( дгГ Um - потенциал биполярного электрода; сь Сг, Сз - поляризации электродов.
деталь электролит ротор-маятник + + + +U0
Рис. 4 Общая схема исследуемой установки. -Uq- катод, +Uq- анод, штриховкой обозначен изолятор.
На рисунке 4 представлена схема установки, осуществляющей электрохимическую обработку поверхности детали. Установка представляет собой инструмент с расположенными на нем анодом и катодом, и деталь, которая в результате явления электростатической индукции становится биполярным электродом. Инструмент и деталь помещены электролит (проводящую среду 2-го рода), который прокачивается через межэлектродный зазор (МЭЗ). Причем, перед попаданием в МЭЗ электролит проходит через функциональный элемент установки «ротор-маятник».
Рис. 5 Принципиальная схема комбинированного разрезания с ротационным газонасышепием среды: 1-корпус; 2-алмазиыи круг; 3-кольцевая спираль; 4-ротор маятник; 5-фланец; 6-обрабатываемая деталь; 7- соило.
Ток к детали подводится через электролит сразу по всей поверхности. В биполярной схеме в момент касания одного из электродов инструментов детали короткого замыкания не возникает, так как величина тока в цепи ограничена сопротивлением второго межэлектродного промежутка. Исключение явлений короткого замыкания обеспечивается конструкцией инструмента, которая исключает одновременное касание деталью обоих электродов.
На детали появляются поверхностные заряды разных знаков при протекании тока через границу неоднородных сред. Непосредственно обрабатывается поверхность детали в МЭЗ. При этом под воздействием протекающего тока материал детали окисляется, и его ионы попадают в электролит. Благодаря прокачке электролита через МЭЗ, растворенные ионы покидают зону обработки, и, таким образом, характеристики электролита в МЭЗ не изменяются во времени.
Наиболее существенной характеристикой эффективности системы является время обработки детали, определяемое следующим соотношением: t = f{a0,ak,i],Kv, х, 1/эф (х, у, j(x, у))), где ао - начальный зазор между катодом и деталью, м, cik - конечный зазор, м, г\ - выход по току, Kv - объемный электрохимический эквивалент обрабатываемого материала, м3/(А-с), % - удельная электропроводность электролита в межэлектродном зазоре (МЭЗ), См/м, иэф - эффективное напряжение, В, которое очень сложным образом может зависеть от различных электрофизических параметров: распределения плотности тока j(x,y), А/м в МЭЗ, геометрии взаимного расположения электродов и т.д. Эффективное напряжение, зависящее от распределения поля в МЭЗ является самой трудно определяемой характеристикой.
Вид целевой функции свидетельствует о необходимости решения задачи расчета характеристик элетрических полей в конфигурационно сложном межэлектродном пространстве.
Распределение плотности тока по поверхности детали оказывает определенное влияние на скорость и точность технологического процесса. Существенное влияние на распределение плотности тока оказывает исходная геометрия межэлектродного зазора, кинематика движения инструмента, электропроводность электролита, поляризуемость электродов (эти параметры и являются группой параметров для оптимизации технологического процесса). Также существенное влияние на скорость и качество технологического процесса оказывают колебания, возбуждаемые в технологической среде функциональным элементом установки «ротором-маятником». Поэтому важной задачей становится определение условий, при которых «ротор-маятник» совершает гармонические или квазигармонические колебания, и определение условий перехода в стохастический режим, которого следует избегать.
Распределение плотности тока на биполярном электроде зависит еще от таких специфических факторов, как взаимное расположение (мы исследуем конкретную технологическую установку) всех электродов, соотношение удельной электропроводности раствора и суммарной поляризуемости биполярного электрода (что можно варьировать в процессе оптимизации).
Фактически поставленная задача сводится к решению уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями в некоторой двумерной области. Причем на электродах (аноде и катоде) задается краевое условие 1-го рода (значение потенциала), а на остальных границах - краевое условие 2-го рода (производная потенциала по нормали равная нулю). Полученное решение используется при решении задачи оптимизации.
Задачи исследования
Цель и основные задачи диссертационного исследования
Целью диссертационной работы является разработка математических моделей расчета характеристик полей, возникающих в межэлектродном пространстве, включающем, в общем случае, проводники 1 и 2 рода и диэлектрики. Эти модели должны явиться алгоритмической основой программного комплекса по моделированию, исследованию и оптимизации характеристик полей в системах с биполярным электродом.
С точки зрения полевого описания системы могут рассматриваться как двумерные, что позволяет сформулировать следующие задачи исследования:
1. Изучение возможности аналитического решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерном случае методом конформных отображений.
Создание численной двумерной модели токов в межэлектродном зазоре.
Разработка программного обеспечения на основе современных объектно-ориентированных технологий программирования для моделирования и исследования электрических полей, возникающих в конфигурационно сложном межэлектродном пространстве.
Разработка эффективного метода оптимизации, учитывающего высокую конструктивную размерность модели (размерность пространства варьируемых параметров) и неявный вид функции цели.
Научная новизна работы
Предложен метод приближенного аналитического решения смешанной задачи для уравнения Лапласа. Показано, что, разбивая исследуемую двумерную область на достаточно простые подобласти определенной конфигурации с линейными границами, возможно получить приближенное аналитическое решение смешанной задачи для уравнения Лапласа.
Разработана модификация метода сеток, отличающаяся возможностью управления масштабом сеточного покрытия области, что позволяет учитывать неоднородности среды: наличие в исследуемой области электродов, проводников и диэлектриков с различными физическими свойствами.
Разработаны эффективные по скорости сходимости модификации численных методов оптимизации (стохастических - Бокса) применительно к задачам с большим количеством зависимых параметров, отличающиеся от канонических применением разработанных генераторов: случайных чисел на основе алгоритмов Д.Кнута и детерминированных многомерных равномерно-распределенных последовательностей LPT - чисел.
Разработаны и применены в задачах исследования оригинальные алгоритмы визуализации результатов моделирования, позволяющие, в частности, получать картину эквипотенциальных линий и линий направлений тока для моделируемого поля.
Установлено распределение напряженности электрического поля в межэлектродном зазоре (МЭЗ), и, в частности, распределение по поверхности электрода. На основании этого и параметров подвижности ионов электролита получено распределение плотности тока в МЭЗ.
Определены области динамической устойчивости основного функционального элемента системы с биполярным электродом (узел «ротор-маятник» установки для обработки функциональных узлов СВЧ-приборов: определяет, в основном, эффективность технологического процесса - его длительность) и выявлены условия перехода системы в стохастический режим.
С помощью разработанного программного обеспечения проведено моделирование электрических полей для типичных конфигураций электродов.
Научная ценность и практическая значимость работы Научная ценность работы состоит в разработке и апробации методов решения двумерных полевых задач, возникающих при исследовании систем на основе биполярного электрода.
Практическая значимость работы состоит в следующем: 1. Разработанный программный комплекс позволяет моделировать электрические поля в межэлектродном зазоре биполярного электрода, протекание токов, а так же выявлять картину силовых линий поля и рассчитывать характеристики его распределения. Технологии объектно-ориентированного программирования, реализованные в программном обеспечении, позволили повысить его гибкость (комплекс является открытым для наполнения другими программными модулями и алгоритмами), эффективность и адаптируемость к широкому кругу новых модельных задач.
Разработана модельная основа для решения задач оптимизации в системах с биполярным электродом по их конструктивным и электрофизическим параметрам.
Развитые в работе методы программирования, математические модели и численные методы моделирования электрических полей, а так же разработанное программное обеспечение используются в учебном процессе на кафедре технической физики и информационных технологий ЭТИ СГТУ в следующих курсах специальности ПВС: «Вычислительная математика», «Моделирование физических систем», «Объектно-ориентированное программирование», «Интернет-технологии».
Методы исследования и достоверность научных результатов Достоверность полученных результатов определяется корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием основных теоретических результатов и выводов экспериментальным данным, а так же результатам, полученным другими авторами. Аналитическое решение получено методом конформных отображений на плоскости. Численное моделирование проводилось на основе методов сеток и конечных элементов.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
Численная модель для расчета электрических полей, возникающих в межэлектродном пространстве биполярного электрода, отличающаяся от известных возможностью учета неоднородностей исследуемой области, элементы которой могут принадлежать к одному из трех типов: электродам, проводникам и диэлектрикам.
Программный комплекс, позволяющий производить количественный расчет характеристик полей, анализ физических процессов, оптимизацию их, отличающийся от известных модульностью структуры и объектно-ориентированным подходом при реализации. Это позволяет адаптировать разработанное программное обеспечение по расчету электрических полей к моделированию систем с достаточно произвольной конфигурацией электродов.
Метод приближенного аналитического решения смешанной задачи для двумерного случая, основанный на разбиении исследуемой области на простые подобласти различной конфигурации с линейными границами, в которых потенциал может быть найден аналитически, позволяет, «сшивая» решения, получить полное аналитическое описание электрического поля и сформулировать целевую функцию для задачи оптимизации системы в целом.
Достаточно произвольные амплитуды внешнего воздействия рабочей средой на «ротор-маятник» для частот, превышающих его резонансную, сохраняют гармонический характер колебаний системы, а при частотах воздействия, меньших резонансной, переход системы в стохастический режим реализуется при малых амплитудах внешнего воздействия.
Результаты по распределению напряженности электрического поля в МЭЗ, и, в частности, распределение по поверхности электрода, а так же распределение плотности тока в МЭЗ.
Апробация работы
Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: международные конференции «ИТО» (Москва - 2003, 2004), «Технологии Интернет - на службу обществу» (Саратов - 2003, 2004, 2005), «Динамика технологических систем» (Саратов - 2004). По результатам исследований автором получены 2 диплома II степени на Всероссийских конкурсах на лучшие научно-технические и инновационные работы учащейся молодежи вузов РФ по математическому моделированию в области естественных наук (2003 и 2004 гг.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ (из них 3 — в центральной печати), список которых приведен в конце списка литературы.
Метод конечных разностей как численная реализация решения уравнения Лапласа - недостатки и ограничения метода сеток
Первая работа, где рассматривалась схема типа метода конечных элементов, принадлежит известному математику Р. Куранту [13]. Построение метода с использованием физических соображений и его название "метод конечных элементов" содержатся в статье, написанной инженерами [14]. Такое сочетание специальностей авторов характерно для работ по методу конечных элементов. В последующем было опубликовано много статей и книг, посвященных этому методу и его различным модификациям. Метод конечных элементов реализован в больших универсальных компьютерных пакетах программ, которые имеют широкое применение.
Первые разработки метода конечных элементов (МКЭ) были выполнены в 50-х годах для решения задач сопротивления материалов. В 60-е годы математики получили строгие формулировки для этого метода, после чего он становится общим средством изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея как универсальное средство решения задач такого типа. После подробного математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи МКЭ часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости.
Кратко остановимся на связях и сравнении МКЭ с методом конечных разностей, этих наиболее распространенных и эффективных численных методов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем в МКЭ. Однако достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ МКЭ является более простым, его методы применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.
Фундаментальный принцип МКЭ заключается в разбиении изучаемой области на элементарные области конечных размеров (конечные элементы). В каждом таком элементе неизвестная функция аппроксимируется полиномом, степень которого меняется в зависимости от аппроксимируется задачи, но остается обычно невысокой (от 1 до 6). Для каждого элемента аппроксимирующий полином определяется его коэффициентами. Коэффициенты могут быть определены значениями функции в частных точках, называемых узлами элемента. Если известна функция в каждом узле, то имеется возможность ее аппроксимации на всей области. Можно также сказать, что неизвестная функция А(х,у ) зависит от М параметров А уА ,...уА являющихся неизвестными, которые функция принимает в каждом узле каждого элемента. Определение параметров А уА2,...уА является этапом определения A(xjSyZ). Зная вариационное представление задачи, min JF(A)=J J /Q [Al5...,AM,x,y,z]dxdydz J заменяют тройной интеграл на сумму интегралов на каждом конечном элементе области: Ne F{A)= fFe(A), е=\ где N - число элементов разбиения и F - часть F на элементе с номером е. На каждом элементе с номером е функция А может быть заменена ее аппроксимацией A=P(Aerx,yyz) , интегрирование которой дает F(A) в виде функции одних только параметров элемента е: F (A)=F(Ae) Суммируя, получают Ne ДЛ)= ZF (,4)= ,..., ), е=\ принимая во внимание, что некоторые из узлов 1, 2,..., М являются общими для нескольких элементов и что вклад каждого элемента должен учитываться в выражении для функции F относительно величин А уА ,...,АМ неизвестной функции в этих узлах, когда объединяют элементы для всей области.
Численная схема расчета поля - неравномерная сетка для А.- моделирования полей с учетом физических неоднородностей пространства МЭЗ
Для ускорения вычислений можно использовать те же формулы, но видоизмененные для равномерной сетки. Использование равномерной сетки позволяет уменьшить объем вычислений на 4 умножения на каждой итерации. ТИг ,Л (g0 + r pr + (g0 + Є, Р, + (g0 + Є, р, + (g„ + Єь ph ( . u(x,y) = -, r—; N І ч—7 ч І/.о; [e0 + er)+ [є0 + є,)+(є0 +є,)+[є0+єь) Li(Xt y\ _ ("о + ar К + (O-Q + cr, )U, + (a0 + a, p, + (O-Q + ah )Uh „ (70+0-,) + 0+0-,)+(0-0+0-,)+(0-0+0-4)
Разработанный механизм использовался в разработанном Windows-приложении. В котором все исследуемое пространство разбивается на одинаковые ячейки, в которых заданы свойства (проводимость и т.п.) и начальные значения потенциалов. Затем вычисляются параметры электрического поля на основе метода последовательной верхней релаксации [59]. Этот метод был выбран, как обеспечивающий наилучшую сходимость.
Алгоритм расчета следующий: если ячейка - электрод, то ее потенциал не изменяется; если ячейка - проводник, то потенциал выражается формулой (2.9); если ячейка - изолятор, то потенциал вычисляется по формуле (2.8). В 1964 году Бокс создал метод оптимизации, который является модификацией симплексного метода Нелдера-Мида, позволяющий учитывать ограничения. Решаемая задача состоит в минимизации функции f(x) = f(xl,x2,...,xn), где х определяется явными ограничениями /, х, и,, при і = 1,2,...,л (2.10) а также неявными ограничениями g,( ) &,, при / = l,2,...,w (2.11)
Если целевая функция f(x) выпукла и функции g-ДЗс) тоже выпуклы, то задача будет иметь единственное решение. Значения /. и и. являются нижней и верхней границами переменных. Если в конкретной задаче заданные переменные теоретически не имеют ограничений, то предположение о наличии у них "безопасных" границ, т.е. границ, включающих оптимум, позволит применить комплексный метод.
Данный метод является итерационным. В нем предполагается, что известны значения п и т, I. и и. и начальная точка 5?,, удовлетворяющая всем ограничениям (2.10 и 2.11). В первую очередь необходимо выбрать к точек, которые удовлетворяют ограничениям, а также вычислить целевую функцию во всех к точках. Множество этих точек называется комплексом. Бокс обнаружил, что к должно быть больше (л+1) - числа точек, используемых в симплексном методе Нелдера-Мида и положил к=2п.
Предполагается, что точка х , удовлетворяющая всем ограничениям, задана. Остальные точки, удовлетворяющие неравенству (2.10), могут быть выбраны следующим образом: x.=l+r(u+l) (2.12) для 7-1,2,...,« и /=2,3,...,к, где г - псевдослучайная равномерно распределенная переменная в интервале (0;1).
Точки, выбираемые в соответствии с уравнением (2.12) для данного /, будут автоматически удовлетворять неравенству (2.10). Если эти точки также удовлетворяют неравенству (2.11), то они принимаются в качестве начальных точек комплекса. Если точка, выбранная в соответствии с уравнением (2.12), не удовлетворяет неравенству (2.11), то она смещается на половину расстояния до центра тяжести множества уже принятых точек, т.е. формируется точка х = - (2.13) где с=Л2 . (2Л4)
Если точка в соотношении (2.13) все еще не является допустимой, то описанная процедура повторяется вновь до тех пор, пока точка не станет допустимой. Если функция g,(3c) выпукла, то в конце концов ограничения будут выполняться. Конечно, поскольку точка х, находится внутри области ограничений, то комплекс будет состоять из допустимых точек.
Разработка структуры комплекса Electric Fields Analysis и его реализация на основе объектно-ориентированного подхода
После того, как все точки комплекса получены, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти точку с наибольшим значением целевой функции xt,, и центр остальных точек комплекса хо. 2. Получить точку хг, отразив точку х/, относительно ТОЧКИ Хо с коэффициентом отражения а 1. 3. Проверить, является ли точка хг допустимой. Если не выполняется явное ограничение, то соответствующая координата устанавливается равной этому ограничению. Если не удовлетворяется неявное ограничение, то полученная точка смещается к центру комплекса на половину расстояния и шаг 3 снова повторяется. 4. Вычисляется значение целевой функции в полученной точке f(xr) и сравнивается с наибольшим значением целевой функции для точек комплекса/ ). 5. Если f(xr) f(xh), то смещаемся на половину расстояния к центру комплекса и возвращаемся на шаг 3. В противном случае заменяем «худшую» точку комплекса на полученную, и упорядочиваем точки комплекса. 6. Вычисляем среднеквадратичное отклонение значений целевой функции для точек комплекса и диаметр комплекса. Если полученные величины достаточно малы, то завершаем вычисление минимума, в противном случае возвращаемся на шаг 1. 7. Алгоритм поиска минимума представлен на рисунке 16.
Точка комплекса описывается с помощью класса ComplexPoint. Такая точка определяется значением целевой функции и набором значений зависимых величин, количество которых может быть различным для разных задач. Соответственно, класс содержит методы для получения (GetTarget()) и установки (SetTarget()) значения целевой функции, получения (GetDependQ) и установки (SetDepend()) значения зависимой величины, добавления (AddDepend()) и удаления (ClearDepends()) зависимых величин. Также в класс необходимо добавить методы для сравнения двух точек комплекса (operator , что необходимо для сортировки комплекса), перемещения точки на половину расстояния к заданной точке (MoveToCenter()) и отражения точки от заданной (ReflectQ).
Метод Бокса подразумевает, что ограничения могут быть явными и неявными, поэтому для их описания добавлены два класса. Для описания явных ограничений используется класс Constraint, который содержит информацию о минимальном (min) и максимальном (max) допустимых значениях. Для описания неявных ограничений используется абстракный класс ImplicitConstraint, с методом (CheckPoint()), который проверяет удовлетворяет ли заданная точка функциональному ограничению. Конкретные реализации неявных ограничений должны наследоваться от ImplicitConstraint и зависят от конкретной задачи оптимизации.
И, наконец, две ключевые сущности - это объект, который собственно реализует комплексный метод оптимизации Бокса (класс BoxOptimizer), и объект, который моделирует оптимизируемую сущность (абстрактный класс Optimizable). Класс BoxOptimizer содержит набор точек комплекса и набор методов, реализующих алгоритм метода оптимизации. Абстрактный класс Optimizable содержит два метода для получения (GetCurrentValues()) текущих и установки (SetCurrentValuesO) новых значений зависимых величин. Эти методы должны быть реализованы для каждой конкретной задачи.
Поподробнее остановимся на классе BoxOptimizer. С помощью открытых (public) методов можно делать следующие операции: добавлять явное (AddExplicitConstraint()) и неявное (AddImplicitConstraint()) ограничения, получать количество точек комплекса (GetComplexSize()), конкретную точку комплекса (GetComplexPoint()), средне-квадратичное отклонение значения целевой функции (GetSigma()) и диаметр комплекса (GetDiameter()). С помощью метода DoStep() можно выполнить отдельную итерацию в алгоритме Бокса. Такой интерфейс позволяет пользователю этого класса самому решать, когда будет достигнута необходимая точность.
Отдельные операции, присутствующие в алгоритме, реализуются в виде закрытых (private) методов класса BoxOptimizer. Это следующие операции: подготовка точки комплекса (PrepareComplexQ), выполнение итерации с точкой (ProcessComplexO), генерация координат следующей точки комплекса (GenerateRandomPoint()), вычисление координат центра комплекса (CalculateCenterPoint()), «сжатие» комплекса, т.е. перемещение «худшей» точки к центру (ComplessComplexO), «расширение» комплекса, т.е. отражение «худшей» точки относительно центра (ExpandComplex()), упорядочивание точек комплекса (SortComplex()).
Для реализации метода Бокса необходим генератор чисел, которые используются для формирования начального комплекса. Поэтому в пакет введен абстрактный класс Generator, реализация которго может использовать различные алгоритмы. Например это могут быть случайные числа или LPT числа.
Аналитический расчет распределения электростатического поля в МЭЗ с помощью интеграла Шварца-Кристоффеля
В качестве целевой функции возьмем плотность тока между обкладками, а в качестве параметра оптимизации возьмем проводимость среды. Положим оптимальное значение плотности тока равной 1 А/мм . Вычисленное с помощью разработанного ПО значение проводимости среды равно 3 См/мм, что соответствует точному аналитическому решению.
Эффективность электроалмазной резки [65] существенно повышается при возбуждении колебаний элемента конструкции электрода инструмента (ЭИ). Вызванные динамикой вращения ЭИ волновые явления трансформируются в пульсирующий режим течения среды в МЭЗ, который можно использовать в качестве «инструмента», интенсифицирующего физические процессы в контактной зоне [66].
При воздействии на "ротор-маятник" струи технологической среды его колебания описываются уравнением: J e+bdQ + mco2l2s.mQ = p(t) (48) dt dt где 9 - угол отклонения, J - момент инерции ротора, кг-м , b - параметр, определяемый сопротивлением среды, кг-м2/с, т - масса ротора, кг, со - частота вращения ЭИ, с"1, / - характерный размер ротора, м, P(t) - момент сил давления струи, кг-м /с , зависящий от времени. Для исследования уравнения (4.8) перейдем к безразмерному времени ml2 х = J cot и, поскольку внешнее периодическое воздействие можно разложить в ряд Фурье, будем считать его гармоническим. В результате получим уравнение: d2e ne.dQ dx dx + 25— + sin0 = PosinQr (4.9) где 8 = ==, 0=-3-. IcoyjJml2 \тГ Очевидно, уравнение (4.9) зависит от 3-х безразмерных параметров: Р , 5, Q. Следовательно, поведение системы, описываемой уравнением (4.8), также определяется значениями этих 3-х параметров.
Решение уравнения (4.9) будем искать в виде ряда: е = Акъ\п{к1х + фк) (4.10) Сначала рассмотрим только первый член ряда (4.10). В результате получим: (л,П2 - 2J, (Л,))2 + 4SAfn2 =Р2, (4.11) где J () - функция Бесселя. Далее, добавим к первой гармонике одну из высших, т.е. будем искать решение в виде Q=Axsm{Q.t+ )+А зіп(Шґ+ф,) , где =2,3,..., предполагая также, что А «А . Подставляя это выражение в (4.10), получим для к - четных А=0, для к - нечетных: Akk2Cl2 =2J0(Ak)Jk(Ax) + 2J0(Aiyi(Ak) (4-12)
Таким образом, уравнение (4.9) допускает квазигармоническое решение, если уравнение (4.11) имеет единственное решение для А и решение уравнения (4.12) удовлетворяет условию А «А для всех возможных к.
В областях параметров, где указанные условия не выполняются, возможно появление стохастических режимов [67,68]. Некоторые сочетания параметров и соответствующие им области возможной стохастичности представлены на рис. 30.
Для подтверждения установленных качественных закономерностей поведения системы "ротор-маятник" было прведено численное моделирование. Уравнение (40) решалось методом Эйлера (его применение по сравнению со схемами более высокого порядка не приводит к потере принципиальных закономерностей). Разностная схема имеет следующий вид: Ум = У І + (- 25УІ -sin / + оsin Qti )At xM=Xl+y,At, (4.13) tM=t,+At, где і - "номер" момента времени, t. - соответствует текущему значению т, х. - О, у. - в, At - шаг по безразмерному времени. При этом параметр 8 - полагался фиксированным, а параметры внешнего воздействия Р и Q - изменяющимися.
В результате численного моделирования можно сделать следующие выводы: при достаточно больших частотах (Q 1) имеют место периодические колебания, незначительно отличающиеся от гармонических при довольно произвольных изменениях амплитуды внешнего воздействия; при небольших частотах (Q 1) картина колебаний зависит от амплитуды внешнего воздействия: при малых амплитудах колебания также незначительно отличаются от гармонических, а при больших внешних воздействиях (PQ l) возможно появление негармонических периодических и стохастических колебаний; появление стохастических режимов возможно только при достаточно малых значениях параметра 8, связанного с сопротивлением среды.
На рис. 25 представлена карта режимов системы "ротор-маятник", полученная в результате численного моделирования на основании модели (4.10).
