Введение к работе
з
Актуальность проблемы. Изучение пространственных взаимоотношений между взаимодействующими объектами сложноструктурированных многокомпонентных систем является предметом исследования многих научно-естественных и социо-экономических дисциплин. В качестве самостоятельного класса задач можно выделить моделирование случайных систем пространственно распределенных дискретных объектов. Задачи, связанные со свойствами таких случайных систем, решаются методами стохастической геометрии и теории случайных точечных полей, развитие которых в значительной степени стимулировалось запросами прикладных исследований. Примерами применения указанных методов являются анализ распределения эпицентров землетрясений в геофизике, изучение пространственного размещения географических объектов, анализ пространственной структуры растительных сообществ, моделирование распределения месторождений полезных ископаемых в геологии, моделирование нейронных сетей в нейрофизиологии, пространственный анализ социо-экономических систем и многие другие.
Общим для указанных задач является то, что, во-первых, случайные события происходят в физическом пространстве и, во-вторых, эти события не являются независимыми. Предполагается, что локализация случайных событий в рассматриваемой области мала и наблюдаемая конфигурация объектов может рассматриваться как частная реализация случайного точечного поля. Отметим, что для задач, в которых случайные точки образуют поток событий (на временной оси), существует хорошо разработанная теория случайных точечных процессов (потоков), которая, как и теория временных рядов, допускает обобщение на случай многомерного параметра. В отличие от случайных процессов, где имеется естественная упорядоченность событий, модели случайных точечных полей требуют поиска новых подходов и разработки специальных методов, которые позволяли бы строить и проверять согласие моделей и экспериментальных данных.
Методы анализа точечных структур тесно связаны со стохастической геометрией, которая предлагает математические модели для данных, соответствующих точечным конфигурациям. Примерами таких данных являются карты расположения деревьев в лесу, местоположения археологических находок, расположение гнездовий птиц и многие другие объекты в географии, астрономии, биологии, медицине.
Несомненным источником идей для пространственной статистики явились теоретические результаты, наработанные в задачах статистической физики. Модели, которые используют физики, чтобы описать большие молекулярные системы, оказались достаточно универсальны, чтобы быть полезными для описания пространственных данных различной природы. Идея использовать микроописание системы взаимодей-
ствующих объектов, чтобы предсказать ее макроповедение, успешно реализуется во многих науках, являясь основой имитационного и статистического моделирования.
Теоретические основы для применения статистических методов, базирующихся на моделях случайных точечных полей, были заложены в работах Б. Рипли и развиты усилиями представителей немецкой математической школы (Фрайберг, Германия). Важные результаты в области стохастической геометрии и теории случайных пространственных точечных процессов получены в работах М.Бартлетта, П.Диггла, Ю.Бесага, Б.Рипли, И. Мекке, Д.Штояна, К.-Х.Ханиша, И. Маттеса, Е. Огаты, Д. Дели, Д. Вери-Джонса, О. Калленберга, Д. Кендалла, Р. Майлза, А. Бэддли, Е.Иенсен, И. Молчанова, Е. Мёллера и других. Известна своими работами в области стохастической геометрии группа, возглавляемая акад. Р.В. Амбарцумяном в Армении.
Часто полигоном для опробования новых методов стохастической геометрии и статистического анализа пространственных данных являются задачи лесной экологии. Интерес экологов к математическим методам пространственной статистики обусловлен той значительной ролью, которую играет пространственная структура растительного сообщества в общей структуре функциональных единиц лесной экосистемы. Изучение пространственной структуры древесного яруса растительных сообществ является важной частью исследования всего комплекса разнообразных взаимодействий элементов лесной экосистемы. Кроме того, пространственная структура закономерно связана с процессами, протекающими в растительном сообществе. Неслучайно интерес к изучению пространственной структуры значительно вырос в последнее время, так как развитие методов анализа данных о пространственной структуре сделало возможным математически строго отвечать на вопросы, которые раньше не могли быть поставлены в практической плоскости.
Несмотря на значительный прогресс методов пространственной экологии, многообразие и сложность факторов, влияющих на возобновление, рост и отпад деревьев и приводящих к специфической пространственной организации древостоев, настолько велики, что построение исчерпывающей системы моделей и методов далеко от завершения. В настоящей работе мы систематизируем модели и методы, которые могут быть использованы для изучения особенностей пространственной структуры популяций и сообществ растений, и предлагаем ряд новых инструментов теоретического характера, существенно расширяющих палитру методов математического моделирования.
Необходимо подчеркнуть роль компьютерных вычислений в методах стохастической геометрии и статистического анализа пространственных данных. В последние два десятилетия с увеличением мощности компьютеров и их большей доступностью растет интерес к применению компьютерных программ для реализации статистиче-
ских методов и методов стохастической геометрии. Причем, компьютерные методы используются не только в их традиционном амплуа, на стадии анализа данных, но и для изучения свойств математических объектов, где теоретические инструменты либо слишком грубы, либо просто отсутствуют. Более того, такие программы особенно важны, когда исследуют свойства реальных систем и, следовательно, упрощающие предположения могут быть слишком ограничительны. В настоящее время имеется ряд пакетов программ, которые включают методы анализа пространственных данных и моделирования пространственных систем, однако далеко не все разработанные методы доступны потенциальным пользователям.
Таким образом, три взаимосвязанные проблемные области: модели случайных точечных полей и статистические методы, основанные на этих моделях, математическое моделирование популяций растений как системы взаимодействующих объектов, а также программные средства, необходимые для реализации новых методов моделирования, являются активно развивающимися областями исследования и определяют актуальность настоящей работы.
Цель работы. Целью работы является развитие методов стохастической геометрии, включающие вероятностно-статистические модели, описывающие различные особенности пространственной структуры случайных точечных систем, а также разработка эффективных процедур анализа пространственных данных и применение их для анализа различных экологических проблем.
Задачи исследования.
В диссертации были поставлены и решаются следующие задачи:
-
в рамках направления, связанного с анализом пространственной структуры растительных сообществ, разработать методы и классы моделей, описывающих случайные системы пространственно распределенных взаимодействующих объектов, которые в наибольшей степени отвечают характеристикам природных систем;
-
предложить и изучить свойства статистических процедур диагностики пространственной структуры, которые учитывают особенности пространственной структуры одновозрастных и разновозрастных многовидовых популяций древесных растений;
-
предложить вероятностно-статистические модели, позволяющие учесть иерархию взаимодействия объектов в системе, и разработать теоретические аспекты моделирования пространственно распределенных систем локально взаимодействующих объектов, включающих как симметричное так асимметричное взаимодействие;
-
разработать методы параметрического оценивания для моделей случайных точечных полей с локальным взаимодействием и изучить их свойства;
-
разработать методы проверки согласия моделей случайных точечных полей с
учетом возможных альтернатив;
6) разработать комплекс программных средств, реализующий методы моделирования и статистического анализа пространственно распределенных точечных систем.
Методы исследования. В работе используются методы стохастической геометрии и случайных точечных полей; методы теории оценивания и проверки гипотез; базовые положения популяционно экологии растений. Для численного исследования свойств алгоритмов обработки данных применяются методы статистического моделирования. Для реализации алгоритмов используются среды и языки программирования С, C++, R.
Научная новизна.
-
Предложены модели случайных точечных полей с локальным взаимодействием, вероятностная структура которых управляется небольшим числом параметров и которые способны воспроизводить широкий спектр регулярных, кластерных и смешанных регулярно-кластерных точечных конфигураций.
-
Впервые предложены модели, способные описывать и анализировать пространственную структуру с учетом асимметричного взаимодействия между объектами.
-
Предложен новый класс процедур оценивания параметров моделей случайных точечных полей в условиях, когда метод максимального правдоподобия не может быть применен непосредственно, изучены свойства оценок параметров вероятностных моделей, получаемых новым методом.
-
Разработан метод оценивания параметров случайных точечных полей, допускающий реализацию с помощью стандартных пакетов программ.
-
Разработан статистический критерий, обобщающий классический критерий Пирсона хи-квадрат, для проверки гипотезы полной пространственной случайности. Новый критерий обладает большей мощностью, чем статистические критерии, известные в литературе, когда в качестве альтернативы рассматриваются точечные поля, проявляющие регулярно-кластерных свойства.
-
Впервые задачи проверки согласия модели и пространственных данных рассмотрены с позиций задачи проверки нескольких гипотез одновременно. Предложен метод контроля вероятности ошибки первого рода для критерия, основанного на построении области типичности функционалов от реализаций случайного точечного поля.
Основные положения и результаты, выносящиеся на защиту: 1) Предложен и исследован класс моделей, описывающих пространственно распределенные системы взаимодействующих объектов, применимый к широкому кругу задач, возникающих в популяционной экологии растений. Изученные в работе маркированные гиббсовские точечные поля используются как в качестве описания простран-
ственной структуры растительного сообщества, так и в качестве моделей, позволяющих воспроизводить специфические особенности взаимного расположения деревьев с учетом сложных механизмов взаимодействия между соседними деревьями.
-
Модели гиббсовских точечных полей применимы для анализа большого разнообразия точечных конфигураций и допускают изучение в рамках наиболее информативного подхода, основанного на анализе функции правдоподобия. Предложенные новые методы оценивания параметров моделей случайных точечных полей применимы в ситуациях, когда модель не может быть полностью специфицирована.
-
Естественная иерархия пространственных взаимоотношений растений описана в рамках пространственных моделей с локальным взаимодействием с помощью нового класса многомерных точечных процессов с иерархическим потенциалом взаимодействия.
-
Потеря мощности критериев значимости, описанная в литературе, когда точечный паттерн имеет смешанные регулярно-кластерные свойства, может быть устранена с помощью применения критериальной статистики пирсоновского типа, которая обобщает классический тест хи-квадрат на случай зависимых данных.
4) Разработанные методы диагностики моделей гиббсовских точечных полей, а также проверки согласия моделей и данных позволяют выдвигать и проверять биологические гипотезы на основе экспериментальных данных.
Теоретическая и практическая значимости работы. Статистические методы случайных точечных полей - активно развивающаяся область теории вероятностей и математической статистики. Описанные в диссертационной работе методики являются вкладом в развитие теоретических и прикладных аспектов стохастической геометрии и пространственной статистики. Методы построения и идентификации вероятностно-статистических моделей, предлагаемых в диссертационной работе, расширяет инструментарий исследователя, позволяя анализировать различные классы моделей, учитывающие специфические характеристики объекта.
Разработанные алгоритмы и статистические методы имеют практическую ценность для анализа экспериментальных данных, получаемых в ходе натурных исследований. Программная реализация методов оформлена в виде пакета программ и получено свидетельство о государственной регистрации программ SPPS (Spatial Point Pattern Statistics) - программный комплекс моделирования и анализа точечных структур. Кроме того, некоторые программы были включены в пакет программ Spatstat (). Разработанные программы используются в учебном процессе и научной работе ряда учреждений (биологический факультет МГУ, Центр по проблемам экологии и продуктивности лесов РАН, Институт леса им. В. Н. Сукачёва СО РАН, Пущинский государственный естественно-научный институт).
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на многих международных и всероссийских конференциях, а также выносились на семинары с участием специалистов - мировых лидеров в данной области. Список (с 2000 г.) конференций и семинаров, выступление на которых с устными докладами входили в программу и были заслушаны участниками, включает:
International Conference on Spatial Statistics in the Agro-Bio- and Geosciences (Фрайберг, Германия, 2000),
11th International Workshop on Stereology, Stochastic Geometry and Related Fields (Перт, Австралия, 2001),
International Workshop on "Spatial Statistics, Image Analysis and Signal Processing Within Bioscience and Thechnology"; (Смоген, Швеция, 2004),
5th European Conference on Ecological Modelling (Пушино, Россия, 2005),
International Conference on Stochastic Geometry and its Applications(BepH, Швейцария, 2005),
1-я Международная конференция "Математическая биология и биоинформатика" (Пушино, 2006),
International Workshop on Spatial and Spatio-temporal Modelling in Biology, Ecology and Geosciences (Смоген, Швеция, 2006),
International Workshop on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and their Applications (Райзенбург, Германия, 2007)
III Всероссийская научная конференция "Принципы и способы сохранения биоразнообразия" , (Пущино, 2008),
2-я Международная конференция "Математическая биология и биоинформатика" (Пущино, 2008),
Национальная конференция "Математическое моделирование в экологии" (Пущино, 2009).
Большой семинар кафедры теории вероятностей (рук. ак. А.Н. Ширяев), МГУ, (Москва, 2010).
International conference "Spatial Statistics 2011- Mapping Global Change"(Эншеде, Голландия, 2011)
Большой семинар Института Стохастики (рук. проф. Д. Штоян), Технический университет, (Фрайберг, Германия, 2011)
II Национальная конференция "Математическое моделирование в экологии" (Пущино, 2011)
7th International Conference on Stereology, Spatial Statistics and Stochastic Geometry (Прага, Чехия, 2012)
3-я Международная конференция "Математическая биология и биоинформати-
ка" (Пущино, 2012),
Поддержка работы грантами:
Грант РФФИ №04-01-00622-а "Статистическое моделирование систем случайных множеств с локальным взаимодействием и его применение в экологии" , 2004-2005, руководитель.
Грант РФФИ №12-04-01527-а "Разработка моделей пространственно-временной структуры лесных экосистем" , 2012-2014, руководитель.
Hong Kong Research Council, проект "Goodness of fit testing the complete spatial randomness against mixtures of regular and clustered spatial point processes" , 1998, исполнитель, руководитель С. Чиу (S.N. Chiu).
Australian Research Council, проект "Extrapolating and interpolating of spatial patterns" , 2001-2002, исполнитель, руководитель А.Бэддли (A. Baddeley).
INTAS проект 01-0633 "Silvicultural Systems for Sustainable Forest Resource Management" (SILVICS), 2001-2005, исполнитель, руководитель с российской стороны А.С. Комаров.
The Royal Swedish Academy of Sciences, Research Grant Programme, проект "Bayesian analysis of spatial point patterns evolving in time 2005-2007, со-руководитель.
DAAD (Германия), программа "Научные стажировки ученых" , проект "Computer-intensive methods in Stochastic Geometry" 2006, со-руководитель.
Публикации. Основные работы, изданные в реферируемых журналах, в которых отражены результаты диссертации: [1-16]. К тематике диссертации относятся также работы [17-26], соответствующие главам в монографиях, публикациям в сборниках статей и трудах конференций.
Личный вклад автора. Все работы, в которых отражено основное содержание диссертации, за исключением [1-2], инициированные соавтором (проф. Д. Штояным), были спланированы при прямом участии автора. Автору принадлежат постановки задач, разработка и участие в программной реализации алгоритмов, доказательство теорем, анализ данных и интерпретация результатов, а также основной вклад в оформление текстов статей. В работах [5] и [12] основной соавтор являлся аспирантом. В работах [3], [6], [9], [12] соавторы отвечали за биологическую составляющую работы. В работе [1] автору принадлежит теорема о связи функции условной интенсивности и корреляционной функции точечного поля и идея использовать конструкцию специального маркирования для задачи определения сходимости алгоритмов к стационарному состоянию и диагностики моделей. В работе [4] автору принадлежит утверждение о связи методов оценивания и получение представления функции псевдо-правдоподобия для точечных полей. В работе [16] доказательство первой теоремы получено соавтором, доказательство других утверждений получено совместно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав,
