Содержание к диссертации
Введение
1 Траектории—утки многомерных систем 35
1.1 Устойчивые и неустойчивые медленные интегральные многообразия 36
1.2 Системы со скалярной быстрой переменной 47
1.2.1 Существование траекторий-уток многомерных систем 47
1.2.2 Асимптотические представления 59
1.3 Системы с векторной быстрой переменной 79
1.3.1 Существование и свойства траекторий-уток 80
1.3.2 Модель одномодового лазера 82
1.3.3 Модель Лоренца-Хакена 86
1.4 Интегральные многообразия быстрых движений 88
2 Моделирование критических релсимов при помощи траекторий—уток 98
2.1 Самовоспламенение в пористых средах 98
2.1.1 Автокаталитическая реакция горения 100
2.1.2 Реакция первого порядка 114
2.2 Трехфазная модель самовоспламенения изоляции 125
2.2.1 Случай Ф = 1 127
2.2.2 Общий случай 135
2.3 Двухфазная модель самовоспламенения изоляции 139
2.3.1 Качественный анализ системы 141
2.3.2 Асимптотика критических условий 145
2.4 Модель каталитического реактора 150
2.4.1 Условия бифуркации 152
2.4.2 Устойчивость цикла 155
2.4.3 Бифуркация периодического решения 158
2.4.4 Траектория-утка в модели каталитического реактора 160
2.5 Трехмерная модель автокаталатора 169
2.5.1 Анализ особых точек системы 172
2.5.2 Траектория-утка в модели автокаталатора 179
3 Интегральные многообразия со сменой устойчивости 184
3.1 Системы без сингулярных возмущений 184
3.1.1 Вспомогательные неравенства 186
3.1.2 Существование функции а(у) 187
3.1.3 Существование интегральной поверхности 193
3.2 Интегральные многообразия со сменой устойчивости систем со скалярной быстрой переменной 195
3.2.1 Вспомогательные неравенства 197
3.2.2 Существование функции а(у, є) 198
3.2.3 Существование медленного многообразия 203
3.2.4 Модель полупроводникового лазера 205
3.3 Дифференциальные свойства интегральных поверхностей со сменой устойчивости 208
3.4 Случай векторной быстрой переменной 210
3.4.1 Вспомогательные неравенства 212
3.4.2 Существование функции а(у, є) 213
3.4.3 Существование медленного многообразия 216
4 Критические явления и интегральные многообразия со сменой устойчивости 219
4.1 Управление процессом горения для автокаталитической реакции 220
4.2 Управление процессом горения для реакции первого порядка227
4.2.1 Управление процессом горения за счет теплоотвода 231
4.2.2 Управление уровнем запыленности в реакторе 236
4.3 Интегральная поверхность со сменой устойчивости в модели трехмерного автокаталатора 238
4.4 Максимальная температура безопасного горения 246
4.4.1 Затягивания потери устойчивости в скалярных неавтономных дифференциальных уравнениях .251
4.4.2 Максимальная температура горения 253
4.5 Три типа бегущих волн горения 256
Заключение 265
Литература 267
- Существование траекторий-уток многомерных систем
- Двухфазная модель самовоспламенения изоляции
- Интегральные многообразия со сменой устойчивости систем со скалярной быстрой переменной
- Интегральная поверхность со сменой устойчивости в модели трехмерного автокаталатора
Введение к работе
Актуальность работы. Работа посвящена математическому моделированию критических явлений в химических системах на основе новых методов геометрической теории сингулярных возмущений.
Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.
Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Аносова Д. В., Андронова А. А., Боголюбова Н. Н., Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вишика М. И., Дмитриева М. Г., Дородницына В. А., Емельянова С. В., Ильина А. М., Кащенко С. А., Кобрина А. И., Коровина С. К., Красовского Н. Н., Крей-на С Г., Крылова Н. М., Ломова С. А., Люстерника Л. А., Мартынен-ко Ю. Г., Маслова В. П., Митропольского Ю. А., Мищенко Е. Ф., Моисеева Н. Н., Найфэ А. X., Нейштадта А. И., Новожилова И. В., Понт-рягина Л. С, Розова Н. X., Хапаева М. М., Чернышова К. И., Bonet С, Chang Н. С, Cole J., Howes F. A., Kelley A., Miller J., O'Malley R. E., Schneider K. R., Smith D. R., Van Dyke M. и многих других авторов (см. [2, 3, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 32, 33, 43, 48, 49, 54, 56, 58, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 74, 92, 96, 124, 154, 169, 197]).
Следует отметить, что методы теории сингулярных возмущений применялись для исследования моделей химической кинетики в работах Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вольперта А. И., Калачева Л. В., Худя-еваС И. и др. [13, 18, 25].
Обычное предположение теории сингулярных возмущений состоит в
том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах, в частности в моделях химических систем, это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Бутузова В. Ф., Васильевой А. В., Волосова В. М., Нефедова Н. Н., Соболева В. A., Gu Z., O'Malley R. Е., Schneider К. R., Williams F. [18, 21, 23, 24, 52, 82, 146].
Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, по-видимому, J. L. Callot, М. Diener, F. Diener (1978) [129]. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Арнольда В. И., Горелова Г. Н., Звонкина А. К., Ильяшенко Ю. С, Колесова А. Ю., Колесова Ю. С, Мищенко Е. Ф., Покровского А. Н., Розова Н. X., Сам-борского С. Н., Соболева В. А., Шубина М. A., Benoit Е., Eckhaus W. [5, 10, 30, 37, 51, 65, 73, 77, 78, 120, 121, 124, 130, 131, 133, 142, 143]. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.
Приложение траекторий-уток к моделированию критических явлений в химических системах позволило решить ряд интересных задач. Заметим, что исследованиям критических явлений в химических системах посвящено множество публикаций, среди которых следует отметить работы Абрамова В. Г., Бабкина В. С, Бабушка В. И., Баренблатта Г. И., Барзыкина В. В., Быкова В. И., Гольдштейна В. М., Горелова Г. Н., Дубо-вицкого Ф. И., Зельдовича Я. Б., Кащенко С. А., Мержанова А. Г., Семенова Н. И., Соболева В. А., Тодеса О. М., Франк-Каменецкого Д. А., Ху-дяева С. И., Gray В. F., Griffiths J. F., Kassoy D., Linan A., Mcintosh A. C, Sivashinsky G. I. [7, 14, 28, 29, 38, 45, 59, 60, 61, 62, 63, 80, 81, 84, 85, 86, 89, 90, 95, 116, 117, 128, 140, 141, 145, 152, 153, 158, 162, 163, 170, 195].
Следует отметить, что при моделировании процессов горения, сопровождающихся резким ростом температуры, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными в работах Галактионо-ва В. А., Курдюмова С. П., Малинецкого Г. Г., Михайлова А. П., Пове-
щенко Ю. А., Попова Ю. П., Самарского А. А. использовались режимы с обострением [6, 27, 39, 55, 75, 76]. Явление потери устойчивости в сложных системах химической кинетики рассматривалось в работах Ивановой А. Н., Тарнопольского Б. Л. и других авторов [40, 41].
В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток в различных задачах биологии, механики, химии, экономики и электроники. Не претендуя на полноту, среди них можно выделить работы Колесова А. Ю., Колесова Ю. С, Мищенко Е. Ф., Покровского А. Н., Розова Н. X., Соболева В. А., Ваег S. М., Bar-Eli К., Braaksma В., Br0ns М., Dumortier F., Erneux Т., Freire Е., Gamero Е., Gaspar V., Guckenheimer J., Hoffman К., Krupa M., Mazzotti M., Milik A., Moehlis J., Morbidelli M., Peng В., Rodriguez-Luis A. J., Roussarie R., Serravalle G., Showalter K., Szmolyan P., Weckesser W. [51, 65, 83, 87, 118, 119, 125, 126, 132, 134, 137, 139, 147, 148, 157, 161, 164, 165, 170, 185, 186].
Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова-Митропольского. Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхность дифференциальной системы. Интегральное многообразие называется медленным, если движение по нему осуществляется со скоростями порядка единицы (в полной системе есть движения со скоростями порядка отрицательной степени малого параметра). Использование медленных интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Ба-риса Я. С, Задираки К. В., Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Сидоренко В. В., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic" P. и др. [8, 9, 36, 64, 79, 88, 93, 94, 135, 149, 150, 155, 156].
Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и применению полученных результатов для моделирования критических явлений в химических системах.
Как уже отмечалось, для широкого круга химических процессов характерно резкое различие скоростей превращения веществ, участвующих в этих процессах и резкое различие скоростей тепловых и концентраци-
онных изменений.
В каталитических системах скорости реакций, происходящих на поверхности катализатора, на порядок или даже на несколько порядков выше, чем скорости реакций в газовой фазе. Как правило, реакции на поверхности катализатора идут при сравнительно небольших температурах и скорость выделения тепла существенно ниже, чем скорости изменения концентраций реагирующих веществ.
Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название теплового взрыва.
Более того, в химической кинетике устоявшимся принципом является различение участвующих в процессе веществ по скоростям их превращения. В газофазной кинетике по этому принципу различают активные центры и основные вещества.
В последнее время существенно вырос интерес к изучению влияния на основной процесс так называемых буферных явлений. Для каталитических систем это может быть учет старения катализатора, адсорбции нереакционного продукта реакций на поверхности катализатора. Естественно, скорости буферных явлений на порядок ниже скорости реакции.
Исследования химических систем, разделенных на медленную и быструю подсистемы в силу различия скоростей, производится, как правило, методом квазистационарных концентраций Боденштейна-Семенова. Идея метода проста: предполагается, что система "подстраивается" под медленную подсистему за счет быстро приходящей к равновесию (квазистационарному режиму) быстрой подсистемы. Это позволяет учитывать при анализе значительно меньшее число параметров, что приводит к существенным упрощениям при исследовании модели. Формализм метода квазистационарных концентраций сводится к замене части дифференциальных уравнений в модели процесса алгебраическими, что позволяет понизить размерность модели.
При исследовании моделей химических процессов особенно интересен качественный анализ. Если размерность дифференциальной системы, описывающей поведение химического процесса, больше двух, то ее исследование методами качественной теории дифференциальных уравнений, как правило, связано с существенными трудностями. Особенно
это проявляется в неизотермических моделях из-за сильной нелинейности системы. Возможности численного анализа таких моделей при наличии существенно разномасштабных переменных также ограничены. Причиной этого является вычислительная жесткость системы, то есть высокая чувствительность к малым погрешностям вычислений. Метод квазистационарных концентраций пригоден только для анализа грубых ситуаций, когда дифференциальная система имеет притягивающее медленное интегральное многообразие.
Наличие в системе быстрых и медленных переменных позволяет использовать асимптотические методы, которые, как правило, предназначены для решения краевых и начальных задач на конечных промежутках и не приспособлены для качественного исследования. В данной работе используется метод качественного исследования систем с быстрыми и медленными переменными, являющихся типичными для моделей химических систем, так, в частности, для рассматриваемых моделей лазеров, каталитических реакторов и теплового взрыва.
Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва эти характеристики отражает некоторый параметр, значение которого определяется начальным состоянием химической системы. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что приводит к взрыву. Численные расчеты для сосредоточенной двумерной модели показывают, что переход от медленного режима к взрывному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения параметра, характеризующего начальное состояние системы. При некотором значении этого параметра, которое называется критическим, реакция идет максимально долго, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим будем называть критическим.
Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для многофазных и многотемпературных систем и являются главными в рамках исследования моделей. Формализм решения этих задач сводится к обоснованию существования и построения асимптотических разложений медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости.
Ряд важных прикладных задач биологии, биофизики, механики, лазерной оптики, экономики и теории управления также приводит к необходимости изучения медленных процессов со сменой устойчивости.
Хорошо известно, что сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В работе рассматриваются системы вида
і = f(x,y,z,e),
v = g(x,y,z,e), (і)
єг = р(х,у,г,а,є),
где є — малый положительный параметр, а — скалярный параметр, х — скалярная переменная, у и г — векторные переменные размерности п и т+1, соответственно, /, д и р — достаточно гладкие функции. Уравнение для скалярной переменной х выделяется по техническим соображениям. Обычно в качестве переменной х используется одна из медленных переменных, строго монотонная по времени.
Под медленной поверхностью системы (1) понимается поверхность, описываемая уравнением
p(x,y,z,a,0) = 0. (2)
Основное предположение обычно состоит в том, что
dp det —(ж,у,ф{х, у, а),а,0) ф 0,
где z = ф(х,у,а) — изолированное решение уравнения (2). Нарушение этого условия может привести к возникновению так называемых траекторий-уток.
Лист медленной поверхности устойчив, если собственные числа матрицы
— (х,у,ф{х,у,а),а,0) (3)
имеют отрицательные вещественные части. Если хотя бы у одного из собственных чисел этой матрицы вещественная часть становится положительной, то лист теряет устойчивость. Листы медленной поверхности
Существование траекторий-уток многомерных систем
В конкретных задачах обычно задано начальное условие, причем начальная точка лежит в некоторой окрестности устойчивого интегрального многообразия. В четвертом параграфе данной главы описан способ вычисления начального условия траектории-утки при помощи интегральных многообразий быстрых движений.
Вторая глава содержит приложения полученных в первой главе диссертации математических результатов к моделированию критических явлений в химических системах. В первом параграфе проведены результаты качественного и численного анализа модели горения газосмеси в инертной запыленной или пористой среде. Рассматриваются два случая: случай автокаталитической реакции горения и случай реакции первого порядка. Установлено, что в зависимости от соотношений между параметрами, характеризующими физические свойства реакционной и инертной фаз, в химической системе может наблюдаться либо режим медленного выгорания, либо режим самовоспламенения, когда температура газовой смеси резко повышается при почти неизменном значении концентрации. Переходному (критическому) режиму соответствует траектория-утка дифференциальной системы. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь ни в режим самовоспламенения, ни переходя к медленному режиму, что может являться целью технологического процесса. Получены асимптотические разложения значения параметра и соответствующей этому значению траектории-утки, моделирующей критический режим.
Во втором и третьем параграфах исследованы трех и двухфазная модели самовоспламенения изоляции. На основе анализа медленного интегрального многообразия системы, подтвержденного численными экспериментами, выделены основные типы химических реакций, описаны критические режимы, разграничивающие области взрывных и безопасных режимов. Показано, что эти критические режимы моделируются траекториями-утками. Найдены критические условия самовоспламенения в виде асимптотических разложений дополнительного параметра дифференциальной системы, моделирующей процесс. В четвертом параграфе исследуются условия бифуркации периодического решения и устойчивости цикла для сингулярно возмущенных систем. В качестве объекта приложения полученных результатов рассмотрена двухмерная модель релаксационных колебаний в каталитическом реакторе. Найдены бифуркационное значение параметра, при котором в рассматриваемой системе наблюдается бифуркация Андронова с так называемой мягкой потерей устойчивости, и значение параметра, при котором система имеет цикл-утку. Методами асимптотического и численного анализа показано, что "уточное" значение параметра может рассматриваться как граница безопасного протекания процесса. Установлена устойчивость цикла, а также получены условия, при которых данный цикл является траекторией-уткой системы.
Пятый параграф посвящен изучению модели трехмерного автока-талатора. Методами качественного и численного исследования модели определена динамика химической системы в зависимости от значения дополнительного параметра. Для рассматриваемой модели выделен новый тип безопасных режимов, которые моделируются траекториями-утками. Получены условия реализуемости этого режима.
В третьей главе исследуются вопросы существования и свойств интегральных многообразий со сменой устойчивости. Показано, что этот новый математический объект может быть рассмотрен как естественный многомерный аналог траекторий-уток. В работе показано, что задачу о существовании траекторий-уток можно рассматривать как частный случай задачи о "склеивании" устойчивых и неустойчивых интегральных поверхностей, а не как специфическую задачу теории сингулярных возмущений. Поэтому первый параграф данной главы посвящен системам без сингулярных возмущений. Во втором параграфе доказана теорема существования интегральных многообразий со сменой устойчивости сингулярно возмущенных систем уравнений (1.1)-(1.3) в случае одной быстрой переменной (га — 0). В качестве примера рассмотрена модель полупроводникового лазера.
В третьем параграфе изучаются дифференциальные свойства медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости. В четвертом параграфе теоремы о существовании и дифференциальных свойствах медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости рассматриваются для случая векторной быстрой переменной.
Четвертая глава диссертации посвящена анализу моделей химических систем с использованием аппарата медленных интегральных мно гообразий со сменой устойчивости. Отмечено, что при моделировании критических режимов построение интегральной поверхности со сменой устойчивости позволяет учитывать малые возмущения в химических системах, а также решать эту задачу для моделей с нефиксированными начальными данными.
В первом параграфе задача построения интегральной поверхности со сменой устойчивости решается для двухфазной модели горения газа в инертной среде в случае автокаталитической реакции. Показано, что такая поверхность целиком состоит из траекторий-уток, моделирующих критические режимы для различных начальных данных. Сделанные выводы подтверждаются численным анализом модели.
Во втором параграфе аналогичная задача рассматривается для случая реакции первого порядка. Рассматривая задачу построения интегральной поверхности со сменой устойчивости как специальный случай задачи управления с частичной обратной связью, управление процессом горения осуществляется двумя способами: регулированием теплоотвода во внешнюю среду и уровнем запыленности в реакционном сосуде.
В третьем параграфе интегральная поверхность со сменой устойчивости построена для модели автокаталатора. Установлено, что в результате построения медленного интегрального многообразия со сменой устойчивости в рассматриваемой системе возникает автоколебательный процесс, который моделируется траекторией-уткой. В параграфе приводятся результаты численного исследования системы.
В заключение главы рассмотрены две специальные задачи теории горения: задача определения максимальной температуры безопасного горения и исследование бегущих волн горения.
Исследование всех рассмотренных в работе моделей проводилось методами асимптотического и численного анализа. При проведении численных экспериментов приходилось значительно модифицировать существующие численные методы в связи с разнотемповостью переменных и исключительно высокой чувствительностью по отношению к изменениям управляющих параметров. Результаты асимптотического анализа моделей хорошо согласуются с данными численных экспериментов. Работа проиллюстрирована траекториями и температурно-временными характеристиками основных типов режимов химических реакций в рассмотренных математических моделях химических систем.
Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей с сингулярными возмущениями, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов, и применение полученных математических результатов для исследования моделей химических систем.
Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.
Двухфазная модель самовоспламенения изоляции
Следует отметить, что методы теории сингулярных возмущений применялись для исследования моделей химической кинетики в работах Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вольперта А. И., Калачева Л. В., Худя-еваС И. и др. [13, 18, 25].
Обычное предположение теории сингулярных возмущений состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах, в частности в моделях химических систем, это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Бутузова В. Ф., Васильевой А. В., Волосова В. М., Нефедова Н. Н., Соболева В. A., Gu Z., O Malley R. Е., Schneider К. R., Williams F. [18, 21, 23, 24, 52, 82, 146].
Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, по-видимому, J. L. Callot, М. Diener, F. Diener (1978) [129]. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Арнольда В. И., Горелова Г. Н., Звонкина А. К., Ильяшенко Ю. С, Колесова А. Ю., Колесова Ю. С, Мищенко Е. Ф., Покровского А. Н., Розова Н. X., Сам-борского С. Н., Соболева В. А., Шубина М. A., Benoit Е., Eckhaus W. [5, 10, 30, 37, 51, 65, 73, 77, 78, 120, 121, 124, 130, 131, 133, 142, 143]. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.
Приложение траекторий-уток к моделированию критических явлений в химических системах позволило решить ряд интересных задач. Заметим, что исследованиям критических явлений в химических системах посвящено множество публикаций, среди которых следует отметить работы Абрамова В. Г., Бабкина В. С, Бабушка В. И., Баренблатта Г. И., Барзыкина В. В., Быкова В. И., Гольдштейна В. М., Горелова Г. Н., Дубо-вицкого Ф. И., Зельдовича Я. Б., Кащенко С. А., Мержанова А. Г., Семенова Н. И., Соболева В. А., Тодеса О. М., Франк-Каменецкого Д. А., Ху-дяева С. И., Gray В. F., Griffiths J. F., Kassoy D., Linan A., Mcintosh A. C, Sivashinsky G. I. [7, 14, 28, 29, 38, 45, 59, 60, 61, 62, 63, 80, 81, 84, 85, 86, 89, 90, 95, 116, 117, 128, 140, 141, 145, 152, 153, 158, 162, 163, 170, 195].
Следует отметить, что при моделировании процессов горения, сопровождающихся резким ростом температуры, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными в работах Галактионо-ва В. А., Курдюмова С. П., Малинецкого Г. Г., Михайлова А. П., Повещенко Ю. А., Попова Ю. П., Самарского А. А. использовались режимы с обострением [6, 27, 39, 55, 75, 76]. Явление потери устойчивости в сложных системах химической кинетики рассматривалось в работах Ивановой А. Н., Тарнопольского Б. Л. и других авторов [40, 41].
В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток в различных задачах биологии, механики, химии, экономики и электроники. Не претендуя на полноту, среди них можно выделить работы Колесова А. Ю., Колесова Ю. С, Мищенко Е. Ф., Покровского А. Н., Розова Н. X., Соболева В. А., Ваег S. М., Bar-Eli К., Braaksma В., Br0ns М., Dumortier F., Erneux Т., Freire Е., Gamero Е., Gaspar V., Guckenheimer J., Hoffman К., Krupa M., Mazzotti M., Milik A., Moehlis J., Morbidelli M., Peng В., Rodriguez-Luis A. J., Roussarie R., Serravalle G., Showalter K., Szmolyan P., Weckesser W. [51, 65, 83, 87, 118, 119, 125, 126, 132, 134, 137, 139, 147, 148, 157, 161, 164, 165, 170, 185, 186].
Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова-Митропольского. Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхность дифференциальной системы. Интегральное многообразие называется медленным, если движение по нему осуществляется со скоростями порядка единицы (в полной системе есть движения со скоростями порядка отрицательной степени малого параметра). Использование медленных интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Ба-риса Я. С, Задираки К. В., Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Сидоренко В. В., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic" P. и др. [8, 9, 36, 64, 79, 88, 93, 94, 135, 149, 150, 155, 156].
Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и применению полученных результатов для моделирования критических явлений в химических системах.
Интегральные многообразия со сменой устойчивости систем со скалярной быстрой переменной
В третьем параграфе интегральная поверхность со сменой устойчивости построена для модели автокаталатора. Установлено, что в результате построения медленного интегрального многообразия со сменой устойчивости в рассматриваемой системе возникает автоколебательный процесс, который моделируется траекторией-уткой. В параграфе приводятся результаты численного исследования системы.
В заключение главы рассмотрены две специальные задачи теории горения: задача определения максимальной температуры безопасного горения и исследование бегущих волн горения.
Исследование всех рассмотренных в работе моделей проводилось методами асимптотического и численного анализа. При проведении численных экспериментов приходилось значительно модифицировать существующие численные методы в связи с разнотемповостью переменных и исключительно высокой чувствительностью по отношению к изменениям управляющих параметров. Результаты асимптотического анализа моделей хорошо согласуются с данными численных экспериментов. Работа проиллюстрирована траекториями и температурно-временными характеристиками основных типов режимов химических реакций в рассмотренных математических моделях химических систем.
Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей с сингулярными возмущениями, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов, и применение полученных математических результатов для исследования моделей химических систем.
Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.
В работе вводится новый математический объект — интегральные многообразия со сменой устойчивости, доказаны теоремы о существовании и свойствах таких многообразий. Этот объект может быть рассмотрен как естественный многомерный аналог траекторий-уток, развитию теории которых также уделяется значительное внимание в работе. Доказаны новые теоремы о существовании и свойствах траекторий-уток многомерных систем сингулярно возмущенных уравнений.
Проведено численно-аналитическое исследование ряда математических моделей химических систем: моделей лазеров, каталитических реакторов и теплового взрыва. Изучена динамика химических процессов, описаны основные режимы химических реакций, найдены критические условия самовоспламенения. Установлен новый тип бегущей волны, соответствующей одномерному медленному интегральному многообразию со сменой устойчивости.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет и теоретическое, и практическое значение.
Полученные в диссертации теоремы могут рассматриваться как основа общей теории нелинейных динамических моделей с быстрыми и медленными переменными и со сменой устойчивости медленных режимов.
Разработанные в диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.
Результаты численно-аналитического исследования моделей химических систем, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики про цесса в химической системе при заданных начальных условиях. Найденные критические условия самовоспламенения позволяют обеспечить безопасность протекания химических процессов разной природы.
Диссертационная работа содержит результаты, полученные в ходе выполнения научных исследований в рамках международных и отечественных грантов: гранта 96-1173 международной программы INTAS в области химии, тема: "Combustion processes in porous medium as a base for new industrial technologies"; гранта УР 16/ 93-95 по программе "Университеты России" раздел "Разработка фундаментальных исследований по математике и механике", тема: "Траектории-утки в задачах химической кинетики"; гранта РФФИ 94.01-00175 раздел "Математика. Информатика. Механика", тема: "Понижение размерности задач управления нелинейными динамическими системами с разномасштабными переменными"; программы "Динамика" Минобразования РФ; гранта для молодых ученых с участием зарубежных партнеров ЭОО-2.0-7, тема: "Моделирование критических явлений в задачах теории горения".
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных конгрессах по индустриальной и прикладной математике ICIAM-95 (г. Гамбург, Германия, 1995) и ICIAM-99 (г. Эдинбург, Великобритания, 1999), Всемирном конгрессе по нелинейному анализу (г. Афины, Греция, 1996), Всемирных конгрессах по моделированию и прикладной математике 15th IMACS Word Congress (г. Берлин, Германия, 1997) и IMACS-2000 Word Congress (г. Лозанна, Швейцария, 2000), III Европейской конференции Euromech-97 (г. Геттинген, Германия, 1997), Международном конгрессе математиков ICM-98 (г. Берлин, Германия, 1998), IV-VII Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, 1996, 1998, 2000, 2002), Международной конференции, посвященной 90-летию Л. С. Понтрягина (г. Москва, 1998), Международном семинаре "Asymptotics for ODE: Applications and Implantations" (Марсель - Лумини, Франция, 1998), Международной конференции "Физические методы для исследования катализа на молекулярном уровне", посвященной памяти академика К. И. Замараева (г. Новосибирск, 1999),
Интегральная поверхность со сменой устойчивости в модели трехмерного автокаталатора
Личный вклад и публикации. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. По теме диссертации опубликовано 68 работ. Список основных публикаций приведен в списке литературы.
Основные результаты диссертации. 1. Доказаны новые теоремы о существовании и асимптотических разложениях траекторий-уток многомерных систем дифференциальных уравнений. Разработан метод приближенного построения таких траекторий. Описаны траектории-утки в динамической модели одномодового лазера. 2. Введен новый математический объект — интегральное многообразие со сменой устойчивости. Доказаны теоремы о существовании и свой ствах таких многообразий. Разработан алгоритм приближенного построения медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости. Полученные математические результаты проиллюстрированы на модели полупроводникового лазера, описываемой уравнениями Ленга-Кобаяши (Lang-Kobayashi). 3. Получены достаточные условия устойчивости периодического решения при бифуркации Андронова для некоторого класса сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти результаты применены для исследования модели концентрационных колебаний в каталитическом реакторе. 4. Исследованы двух и трехфазные модели самовоспламенения горючего вещества в пористом изоляционном материале. Выделены основные типы режимов химической реакции, описана динамика химического процесса при различных начальных данных. Установлено, что критические режимы, разделяющие области взрывных и невзрывных режимов, моделируются траекториями-утками. Найдены критические условия самовоспламенения в виде асимптотических разложений управляющих параметров по целым степеням малого параметра. Результаты асимптотического анализа подтверждаются данными численных экспериментов. 5. Изучены модели горения разреженной газосмеси, помещенной в инертную пористую или запыленную среду в случае автокаталитической реакции и реакции первого порядка. Описана динамика процесса горения для различных начальных состояний химической системы. Показано, что задача выбора характеристик процесса (теплоотвода, уровня запыленности и т. д.) может быть рассмотрена как специальный случай задачи управления с неполной обратной связью. При этом, одной из целей управления является обеспечение безопасного протекания процесса горения. На основе анализа медленного интегрального многообразия определены критические условия теплового взрыва, численный анализ хорошо согласуется с качественным исследованием моделей. Построены медленные интегральные поверхности со сменой устойчивости, состоящие из траекторий, моделирующих критические режимы химической реакции. Получена оценка максимальной температуры безопасного режима горения. 6. Проведено численно-аналитическое исследование модели трехмерного автокаталатора. Изучена динамика химического процесса для различных начальных состояний химической системы. Использование медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости позволило определить условия безопасного протекания химической реакции. 7. На примере неадиабатической модели автокаталитического горения с учетом расхода реагирующего вещества описан новый тип бегущей волны. Установлено, что в данной модели бегущая волна нового типа играет роль разделяющего решения, то есть разделяет волны медленного выгорания газа и волны самовоспламенения. 8. Разработаны алгоритмы и написаны программы численного исследования медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости и траекторий-уток, численного моделирования критических явлений в химических системах. Результаты численных экспериментов подтверждают данные асимптотического анализа рассмотренных моделей.
