Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.
Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах А.Н. Тихонова. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой и их учеников. Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы М.И. Вишика, A.M. Ильина, С.А. Кащенко, Н.Н. Красовского, А. Кэлли, С.А. Ломова, Л.А. Люстерника, В.П. Маслова, Е.Ф. Мищенко, Н.Н. Моисеева, А.Х. Найфэ, О'Молли, Н.Х. Розова, К. Чанга, Ф. Хауэса и многих других авторов.
Основное предположение обычно состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах, в частности в задачах химической кинетики, это условие нарушается, и возникают критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой, В.М. Волосова, С.Г. Крейна, Л.И. Кононенко, Н.Н. Нефедова, О'Молли, В.А. Соболева, К.И. Чернышева, К.Шнайдера.
Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, по видимому, Ж.-Л. Калло, М. Дьене, Ф. Дьене (1978). Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Э. Бенуа, Г.Н. Горелова, Ф. Дьене, М. Дьене, А.К. Звонкина, Ж.-Л. Калло, А.Ю. Колесова, Е.Ф. Мищенко, А.Н. Покровского, С.Н. Самборского, В.А. Соболева, А. Треш, Э. Урлаше, М.А. Шубина, Е.А. Щепакиной. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-
Поля (так называемые "циклы-утки"), то позднее речь идет об объектах более общей природы - о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.
Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова-Митропольского. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Я.С. Бариса, К.В. Задираки, О.Б. Лыковой, Ю.А. Митропольского, A.M. Самойленко, В.А. Соболева, А. Стокса, В.В. Стрыгина, В.И. Фодчу-ка, Дж. Хейла.
Данная работа посвящена исследованию класса систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и применению полученных результатов для анализа задач теории горения.
Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название "теплового взрыва".
Определение критических условий теплового взрыва является одной из главных задач теории горения. Критичность понимается в следующем смысле: критический режим разграничивает область взрывных и невзрывных режимов. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь в режим взрыва и не переходя к медленному режиму. Исследованиям критических явлений посвящены работы В.И. Бабушка, В.М. Гольдштейна, Г.Н. Горелова, П. Грея, Ф.И. Дубовицкого, Д.Р. Кэссой, А. Линана, А.Г. Мержанова, А.Н. Покровского, Н.И. Семенова, В.А. Соболева, О.М. Тодеса, Д.А. Франк-Каменецкого, А. Зиновьевой, Е.А. Щепакиной.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение вопросов существования одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразий (траекторий-уток) у некоторых классов сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, построение асимптотических разложений траекторий-уток с заданными начальными условиями. Применение математических результатов к анализу критических условий теплового взрыва в задачах теории горения. Вычисление критических условий теплового взрыва для плоскопараллельного, цилиндрического и сфе-
рического реакторов.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми. Выделены классы сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых получены достаточные условия существования траекторий-уток и построены модели критических режимов. Получены асимптотические формулы для критических условий теплового взрыва в случае автокаталитической реакции горения с учетом диффузии и теплопередачи для плоскопараллельного, цилиндрического и сферического реакционных сосудов.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при качественном исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации алгоритмы построения асимптотических разложений решений-уток могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений в химической кинетике и теории горения. Найденные в работе критические значения параметра для реакторов различной формы могут быть использованы при моделировании конкретных технологических процессов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, январь 1995), "Конференции молодых ученых" (механико-математический факультет МГУ, Москва, апрель 1995), международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1995), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, сентябрь 1995), конференции "Гагаринские чтения - 1996" (МАИ, Москва, апрель 1996), международном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1996), международном семинаре "Математика. Образование. Компьютер." (Дубна, сентябрь 1996), международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, июнь 1997), семинарах и конференциях механико-математического факультета СамГУ, 15-ом IMACS мировом конгрессе по научным
вычислениям, моделированию и прикладной математике (Берлин, август 1997), на 3-ей европейской конференции по механике жидкости "Евромех 97" (Геттинген, сентябрь 1997), научном семинаре проф. Е.В. Воскресенского по прикладной математике при Мордовском государственном университете (Саранск, ноябрь 1997).
ЛИЧНЫЙ ВКЛАД И ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты получены автором. В диссертацию включены самостоятельно полученные И.А. Андреевым результаты из его совместных с В.А. Соболевым работ [4], [11], который предложил постановки задач и методы их решения.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография содержит 111 наименований. Автор приносит сердечную благодарность научному руководителю проф. В.А. Соболеву за постановку задач и внимание к работе.
