Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Гистерезисные преобразователи
1.1. Понятие гистерезисного преобразователя
1.2. Неидеальное реле
1.3. Преобразователь Прсйзаха-Гилтая
1.4. Обобщенный люфт
1,5- Дифференциальные уравнения с гистерезисными нелине йностями
Глава 2. К0-правильный гистерезисный преобразователь. Грубые входы
2.1. К0-правильный гистерезисный преобразователь
2.2. Грубые входы
Глава 3. Регулярные линейные системы
ЗЛ. Определение и признаки регулярной системы
3.2. Доказательство теоремы ЗЛ
Глава 4, Уравнение динамики замкнутых систем с гистерезисн нелинейностями. Понятие устойчивости их решения
4Л. Линейное звено
4.2. Замкнутые системы
Глава 5. Глобальные признаки существования вынужденных устойчивых периодических режимов в системах управления с гистерезисными нелинейностями 69
5Л. Теоремы о существовании вынужденных устойчивых периодических режимов 69
5,2, Теоремы о корректных неподвижных точках оператора сдвига по траекториям системы (5.1)-(5.5). Модифицированный челночный алгоритм 76
5-3- Устойчивые периодические режимы в системах автоматического регулирования с преобразователем Прейзаха-Гилтая 90
5.4. Иллюстративные примеры 100
5.5. Системы автоматического регулирования с одной функциональной нелинейностью 102
Глава 6. Гистерезисные модели в экономике
6.1 - Экономические циклы 106
6.2- Доказательство теоремы 6.1 114
6.3. Математическая модель функции продаж 125
6.4. Задача о максимизации прибыли наконечном временном интервале 129
6.5. Задача о производстве, хранении и сбыте товара 133
Глава 7. Математическая модель фотодыхания С3 растений 141
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 153
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 156
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Программа нахождения начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям.
Реализация модифицированного челночного алгоритма 179
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Программа нахождения оптимальной цены в задаче о производстве, хранении и сбыте товаров 187
Введение к работе
Актуальность темы. Гистерезисные явления широко распространены в различных естественнонаучных областях.- Хорошо известны магнитный гистерезис, упругопластический гистерезис. Менее изучены, но известны гистерезисные явления в экономике и биологии. При этом,- как правило, носители гистерезисных явлений нельзя рассматривать изолированно, т.к. они являются частью более сложной системы. В связи с этим задачи; связанные с построением= математических моделей и изучением сложных систем, содержащих нелинейности гистерезисной природы, являются актуальными. Такие системы обладают рядом характерных особенностей, принципиально отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся «необычность» фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний гистерезисных преобразователей, негладкость операторов, являющихся математическими моделями: гистерезисных нелинейностей и ряд других.
В работах В.А. Якубовича, Я.З. Цыпкина, М.А. Красносельского, Е.Н. Розенвассера [37, 68, 114, 121, 122, 123] и ряда других ученых [154, 160, 192, 200, 202] отмечалась необходимость учета нелинейностей гистерсзисного типа при анализе систем, автоматического регулирования. Построение и систематическое изучение математических моделей систем с гистерезисными нелинейностями является важной научной проблемой. При этом с точки зрения моделирования является важным вопрос о существовании устойчивых вынужденных периодических режимов. В ситуации," когда периодический режим известен в явном виде и гистерезисные нелинейности, входящие в систему, можно в каком-нибудь смысле приблизить функциональными, для анализа устойчивости периодического режима можно применить классические методы Ляпунова, Четаева, методы абсолютной устойчивости (Е.С.Пятницкий, В.А.Якубович и др.) [65, 121, 124]. Существенно менее изучен вопрос об устойчивости периодических режимов в ситуации, когда он заведомо существует, но неизвестен в явном виде, В связи с этим актуальна задача выделения класса моделей систем автоматического регулирования, содержащих гистерезисные нелинейности, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические режимы.
Наличие гистсрезисных явлений в экономике отмечалось различными учеными (Хикс, Т,Пу, Самуэльсон и др.) [70,160, 192, 193], Еще в 30-е годы многими выдающимися экономистами того времени были отмечены циклы деловой активности. Попытки объяснить этот эффект в рамках линейных моделей не увенчались успехом. Основная сложность этой задачи заключалась в выборе функций инвестиций. В 1950 году Хикс предложил модель, в которой функция инвестиций была устроена таким образом, что устанавливались жесткие пределы для диапазона изменения основного капитала. Однако в рамках этой модели не учитывались инерционность экономических процессов, не объяснялся механизм запаздывания при переходе инвестиций в основные фонды. Аналогичные недостатки присущи в той или иной степени современным моделям макроэкономики. Такие же проблемы возникают при построении моделей микроэкономики, в частности инертность потребительского спроса по отношению к изменениям цены, по существу есть явление гистерезисной природы. В связи с этим актуальна проблема построения и изучения математических моделей экономических процессов с ярко выраженными гистерезисными свойствами»
При изучении сложных процессов в биологических системах многими исследователями (Р. Фаргухауер, Д, Стилмон, А,У Игембердиев) [142, 166, 167, 205] отмечались резкие изменениям скоростей биохимических реакций, обусловленные «внутренним» состоянием системы, В частности, в лимитирующей фазе цикла фотодыхания Сз растений в связи с наличием так называемых обходных путей, возникали резкие скачкообразные изменения скоростей протекающих реакций, Построение математических моделей таких процессов является актуальной и нерешенной к настоящему времени научной проблемой.
Тематика работы соответствует одному из научных направлений ВГТА «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р- 01200003664,
Цель работы. Разработка методологии построения моделей и анализа экономических, биологических систем, систем автоматического регулирования с гистерезиспыми нел и ценностями, обеспечивающей выделение классов моделей этих систем с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями, синтез алгоритмов их построения, создание методики решения оптимизационных задач в системах с гистерезисными нел иней н остям и.
Достижение указанной цели осуществляется посредствам решения следующих задач,
• Разработка обобщающей модели абстрактного гистерезисного преобразователя.
• Выделение классов моделей систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, в которых заведомо реализуются вынужденные устойчивые периодические режимы. Создание алгоритма расчета начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям этих систем.
• Построение моделей, объясняющих гистерезисные свойства макроэкономических систем: неоднозначную зависимость макроэкономических параметров от внешних условий, «запоминание» предыстории от ряда других.
• Создание моделей микроэкономики, учитывающих гистерезисные свойства потребительского спроса: инертность по отношению к цене товара, решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара в рамках справедливости построенной модели.
• Создание математической модели цикла фотодыхания Сз растений, учитывающей гистерезисные свойства химических реакций цикла, выявление условий, обеспечивающих устойчивую периодическую реакцию параметров на периодические изменения внешних условий.
Методы исследования. Операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.
На защиту выносятся.
• Методология построения моделей и анализа систем с гистерезисными явлениями, обеспечивающая выделение классов этих систем с заведомо существующими устойчивыми периодическими решениями.
• Методика построения устойчивых периодических режимов для классов моделей экономических систем, систем автоматического регулирования с гистерезисными нелинейностями, описываемых операторно-дифференциальными уравнениями.
• Методика построения устойчивых периодических решений моделей процессов в биологических системах с разрывными гистерезисными преобразователями.
• Методика решения оптимизационных задач в системах с гистерезисными нел инейностями.
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:
• Создана математическая модель абстрактного гистерезисного преобразователя, обобщающая такие гистерезисные модели, как обобщенный люфт с насыщением и преобразователь Прейзаха с финитным носителем меры.
Выделен класс моделей регулярных систем, для которых существует инвариантное множество, являющееся конусом в фазовом пространстве.
Приведены глобальные признаки существования вынужденных устойчивых периодических решений систем, содержащих, помимо функциональных, нелинейности гистерезисной природы, приведены достаточные условия, обеспечивающие существование континуума устойчивых периодических решений.
Предложен алгоритм приближенного построения начальных условий, отвечающих устойчивым периодическим решениям, являющийся, в свою очередь, основой доказательства существования устойчивых периодических решений.
Создана математическая модель, объясняющая периодические изменения макроэкономических показателей. В рамках этой модели, содержащей гистерезисные нелинейности, доказано существование устойчивых циклов, приведены условия существования континуального множества ЦИКЛОВ.
Построена гистерезисная модель функции продаж (потребительского спроса), учитывающая такие особенности поведения потребителей, как: инертность, «запоминание» предшествующей ситуации и ряд других. В рамках этой модели решена задача о максимизации прибыли.
Решена задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте товаров в условиях справедливости предложенной модели функции продаж.
Предложена математическая модель фотодыхания Сз растений с учетом функционирования «обходных путей» с помощью гистерезисных преобразователей. В рамках построенной модели доказано существование устойчивых периодических решений и предложен алгоритм их приближенного построения Практическая ценность. Практическую ценность работы составляют результаты, полученные в трех предметных областях: теории автоматического регулирования, моделировании экономических систем и моделировании процессов в биологических системах. В теории автоматического регулирования - найдены легко проверяемые достаточные условия, обеспечивающие существования вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными нелинейностями, создана методика их построения. В экономике - найдено объяснение циклических изменений макроэкономических параметров в рамках предложенной гистерезисной модели; построена математическая модель функции продаж, учитывающая, инертность потребительского спроса по отношению к цене; решена задача об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара, позволяющая строить оптимальные, с точки зрения достижения максимальной прибыли, ценовую и производственную стратегии. В биологии - построена математическая модель фотодыхания Cj растений, учитывающая гистерезисные свойства цикла, доказано существование устойчивых периодических решений, обладающих дополнительным свойством корректности по отношению к изменению внешних параметров, что позволяет оценивать влияние ферментативного регулирования метаболических процессов в растениях.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 18 конференциях (10 конгресс IFAC — Таллинн, 1990 г., «Нелинейные колебания в сложных системах» - Прага, 1990 г., «Функциональный анализ и его приложения» - Киль, 1998 г., Воронежских зимних математических школах 1988-2002 г., III, IV, V Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2002 г., Ростов, 2002 г., Петрозаводск, 2003 г,, «Системные проблемы качества, математического моделирования информационных и электронных технологий» - Сочи, 2003 и др.), на семинарах Института проблем управления РАН, Института проблем передачи информации РАН, НОЦ ВГУ «Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах» и других.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 58 работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 192 страницах, состоит из введения, семи глав, 2 приложений, 22 рисунка, и списка литературы, включающего 205 наименований.
Краткое содержание работы, В первой главе приводятся описания известных моделей гистерезисных преобразователей - обобщенного люфта, неидеального реле преобразователя Прейзаха (континуального аналога семейства неидеальных реле, соединенных параллельно). Все гистерезисные нелинейности трактуются в смысле М.А, Красносельского - А.В. Покровского [37], - как преобразователи динамику которых описывают соотношения вход-состояние и состояние-выход. Для каждого из преобразователей приводится описание пространств возможных состояний, описываются свойства преобразователей: моноцикличность, монотонность, управляемость. Для обобщенного люфта и преобразователя Прейзаха приводятся условия обеспечивающие их липшецовость. В заключительном разделе первой главы приводится краткий обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям с гистерезисными нелинейностями, делаются выводы и формулируются основные проблемы работы.
Во второй главе предлагается новая модель К0 - правильного гистерезисного преобразователя, обобщающая такие нелинейности, как обобщенный люфт с насыщением и преобразователь Прейзаха с финитным носителем меры. Пространством состояний К0- правильного гистерезисного преобразователя является конечная часть конусного отрезка банахова пространства, полуупорядочешюго телесным конусом К0 Допустимыми для преобразователя являются все непрерывные входы, начальное значение которых удовлетворяет некоторому условию согласования с начальным состоянием гистерезисного преобразователя. Постулируемые свойства, преобразователя позволяют описывать системы с / -правильным гистерезисным преобразователем в терминах операторно-дифференциальных уравнений. Во второй главе приводятся определения грубого входа для Я"0-привычного гистерезисного преобразователя. Основным свойством грубых входов является то, что преобразователь, «забывает» свое первоначальное состояние, при подаче на него грубого входа.
Третья глава посвящена линейным системам — выделяется класс систем, инвариантное множество которых является телесным конусом ЛГ, в фазовом ( } пространстве. Условия, обеспечивающие регулярность систем, детально обсуждаются, приводятся признаки положительности импульсной характеристики линейной системы, являющейся одним из условий регулярности. Регулярные системы обладают тем свойством, что оператор сдвига по их траекториям будет монотонен по конусу АГ,, Этот факт, представляющий самостоятельный интерес, играет существенную роль в построениях следующих глав.
В четвертой главе предлагаются математические модели систем автоматического регулирования с гйстерезисными преобразователями, дается определение их решения, устойчивого периодического решения- Показывается, что фазовое пространство таких систем в общем случае является нелинейным и включает в себя пространство состояний гистерезисных преобразователей.
Пятая глава посвящена анализу моделей систем автоматического регулирования с гйстерезисными нелинейностями. Здесь приводятся глобальные условия, обеспечивающие существование вынужденных устойчивых периодических режимов в системах с гйстерезисными нелинейностями. Базовая конструкция доказательства основных теорем - модифицированный челночный алгоритм, - может служить удобным средством для расчета начальных решений, отвечающим устойчивым : решениям.
Шестая глава посвящена построению и анализу моделей экономических систем с гистсрезисными явлениями. В первой части шестой главы приводится макроэкономическая модель, объясняющая устойчивые изменения макроэкономических параметров. Составной частью модели является гистерезисный преобразователь, аналогичный преобразователю Прейзаха, посредством которого удается объяснить эффекты запаздывания при переходе инвестиций в фонды и инертность макроэкономических параметров. Во второй части главы предлагается модель функций продажи, учитывающая инертность потребительского спроса по отношению к цене, В условиях справедливости модели решены задача о максимизации прибыли и задачи об оптимизации производства хранении и сбыте товара.
В седьмой главе предлагается модель цикла фотодыхания СЗ растений, учитывающая гистерезисные свойства химических реакций. В рамках предложенной модели доказывается наличие устойчивых периодических решений системы на периодические изменения внешних параметров (концентрация кислорода во внешней среде).
В приложении 1 численно решается задача нахождения начальных значений, отвечающих устойчивым по Ляпунову решениям дифференциально-операторных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Основной базовой конструкцией численного решения является модифицированный челночный алгоритм. Показано, что устойчивые циклы, существование которых вытекает из результатов шестой главы имеют достаточно широкую зону захвата. Результаты численных экспериментов проиллюстрированы многочислетгными рисунками и таблицами.
В приложении 2 решается задача нахождения оптимальной цены в задаче об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара. Эта задача сводится к решению интегрального уравнения с оператором, ядром которого является преобразователь Прейзаха-Гилтая. Решение этой задачи дает ответ на вопрос о том, как строить оптимальную ценовую политику для достижения максимальной прибыли на конечном временном интервале. Автор выраэюает глубокую благодарность своему научному консультанту проф. Матвееву М.Г., а также А.В.Покровскому, идеи которого послужили стимулом к написанию работы, Д.С.Сайко, оказавшему неоценимую помощь в численной реализации алгоритмов и КН. Сафроничу за помощь в оформлении диссертации.
