Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи 12
Глава 2. Постановка и аналитическое репіение начальных задач для модельных дифференциальных уравнений 36
2.1. Дробные интегралы и производные Римана—Лиувилля и некоторые их свойства 38
2.2. Постановки начальных задач для класса модельных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля 44
2.3. Метод решения интегрального уравнения Вольтерры второго рода. Достаточные условия факторизуемости интегрального оператора 51
2.4. Корректность модельных начальных задач. Видоизменённая задача, типа Коши 56
2.5. Выводы по второй главе 58
Глава 3. Анализ поведения математических моделей дробных осцилляторов на основе аналитических решений модельных задач 59
3.1. Анализ собственных колебаний 60
3.2. Поведение моделей при различных внешних нагрузках. Характеристики колебательного процесса 71
3.3. Изучение свойств отдельных частных случаев модельных дифференциальных уравнений 76
3.4. Выводы по третьей главе 80
Глава 4. Разработка численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля 81
4.1. Вычисление интегралов с разностными ядрами и функцией тина Митта—Леффлера в ядре 84
4.2. Приближённый метод факторизации интегрального оператора. Сходимость 91
4.3. Итерационная процедура построения численного решения интегрального уравнения. Оценка погрешности и сходимость 95
4.4. Выводы по четвёртой главе 102
Глава 5. Специальные функции в решениях модельных дифференциальных уравнений 104
5.1. Функции типа Миттаг—Леффлера 105
5.2. Некоторые специальные функции, определяемые на основе функции типа Миттаг—Леффлера 111
5.3. Обобщение функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух и более переменных 115
5.4. Выводы по пятой главе 126
Глава 6. Разработка программного комплекса для численного и аналитического решений модельных задач 128
6.1. Описание работы с программным комплексом 129
6.2. Вычисление значений специальных функций 132
6.3. Вычисление интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг—Леффлера в ядре по квадратурным формулам 149
6.4. Построение решений начальных задач 150
6.5. Анализ свойств специальных функций и решений дифференциальных уравнений с помощью программного комплекса 155
С.С. Выводы по шестой главе 160
Заключение 162
Литература 164
Приложение А. Свидетельство о регистрации электронного ресурса. Информационная карта алгоритмов и программ 183
Приложение Б. Акт об использовании результатов диссертационной работы 186
- Постановки начальных задач для класса модельных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля
- Поведение моделей при различных внешних нагрузках. Характеристики колебательного процесса
- Приближённый метод факторизации интегрального оператора. Сходимость
- Некоторые специальные функции, определяемые на основе функции типа Миттаг—Леффлера
Введение к работе
Актуальность работы. Математическое моделирование динамических систем, наделённых свойствами наследственности (динамической памяти), приводит к дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнениям, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля или их модификации и обобщения, например, производные Капу-то, Вейля и другие. Свойство наследственности (памяти) присуще не только многим механическим системам (вязко-упругие среды), но и физическим, биологическим и другим системам. Дробно-дифференциальные модели находят своё применение в диффузионных процессах в различных средах; задачах теплопроводности, динамики турбулентной среды, статистической оптики, радиофизики, гидродинамики, динамическом хаосе, астрофизики, геологии. фрактальной космографии; при описании различного рода переходных процессов в энергетических системах, в электродинамике при моделирований-процессов в проводниках и диэлектриках, в системах автоматического управления при использовании обобщённых пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) регуляторов и многих других областях науки. Одним из фундаментальных аспектов исследования различного рода явлений в сложных системах является необходимость учёта нелокальных эффектов по времени (эффект памяти), «физической» причиной которых является медленная релаксация корреляционных связей между элементами системы. Математической основой при моделировании такого рода явлений является аппарат дробного исчисления. В этом направлении возникли новые математические методы описания и моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы. В этой связи развитие математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка (дробного исчисления) применительно к моделированию осцилляционных явлений в динамических системах с памятью, детальное исследование корректности постановок задач, разработка аналитических и численных методов решения, исследование устойчивости и погрешности решений, алгоритмизация вычислительных процессов — безусловно является актуальным направлением развития современного естествознания и математики.
Цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании осцилляционных процессов на основе операторов дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля и разработке новых численных методов и специального программного обеспечения для их исследования.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем: разработаны новые математические модели описания неклассических осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля. позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний; предложены и- теоретически обоснованы постановки начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля, доказаны корректность постановок и непрерывный переход к классическим задачам Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений колебаний гармонического осциллятора; предложена методика решения начальных задач редукцией к интегральному уравнению Вольтёрры второго рода с ядром Абеля и последующей факторизацией интегрального оператора и получено достаточное условие факторизуемости задачи; построен сходящийся численный метод квадратур для интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, содержащего два инте- тральных оператора, к которому редуцируются начальные модельные задачи; установлены априорные оценки погрешности вычислений; получены асимптотические формулы и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функции при произвольных значениях параметров. создан пакет прикладных программ, позволяющий эффективно получать решения модельных начальных задач с дробными операторами ин-тегро-диффереицирования, выполнять сравнительный анализ с решениями классических задач, обобщениями которых они являются, вычислять и визуализировать значения специальных функций, изучать свойства описываемых математических объектов.
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в разработке и исследовании новых математических моделей, описывающих осцилляционные процессы в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля, включающих как частный случай классическую теорию гармонических колебаний. В теоретическом плане новизна заключается в ряде новых корректных постановках начальных задач, методах их решений, исследовании сходимости предложенных численных методов и априорной оценке их погрешностей. В практическом плане разработанный пакет прикладных программ позволяет использовать полученные результаты, обеспечивая более полное математическое описание встречающихся неклассических процессов в средах и системах с памятью (вязко-упругие среды, переходные процессы в электродинамике, обобщённые ПИД-регулято-ры в системах автоматического управления и др.). На разработанный программный комплекс получено свидетельство о регистрации электронного ре- сурса в Объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (№ 17486 от 11.10.2011 г.) и в Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти» (№ 50201151294 от 18.10.2011 г.). Результаты диссертационной работы частично внедрены в учебный процесс СамГТУ в лекционные курсы для специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика». На защиту выносятся:
Математические модели осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного интегро-яифференцироваиия Римаиа— Лиувилля, позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний.
Доказательство корректности постановок и метод решения начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля на основе факторизации редуцированного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля.
Численный метод решения редуцированного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, содержащего два и более интегральных оператора, доказательство его сходимости и оценка погрешности решения.
Асимптотические формулы и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на всей комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функций при произвольных значениях параметров.
5. Пакет прикладных программ, позволяющий эффективно получать численные решения модельных начальных задач с дробными операторами интегро-дифференцирования; вычислять и визуализировать значения специ- альных функций, связанных с функцией типа Миттаг-Леффлера, и изучать свойства описываемых математических объектов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.), Международной конференции по математической физике и её приложениям (г. Самара, 2008 г.), 6-й Всероссийской научной-конференции, с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара. г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2009 г.), 13-й Международной научной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, 2010 г.), Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2010 г.), 2-й Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, г.), 5-ом Международном форуме (10-й Международной- конференции) молодых учёных «Актуальные проблемы, современной науки» (г. Самара, 2010т.), 2lom Международном1 Российск'о-Казахскомсимпозиуме5«Уравнения: смешанного типа;и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2011 г.), 9-й Школе молодых учёных «Нелокальные краевые задачи1 и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, 2011 г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011 г.), 5-й Международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы, программ» имени Е. В. Воскресенского (г. Саранск, 2011 г.),.8-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011 г.), научном семинаре «Прикладная;математика и механика» Самарского государственного технического университета (руководитель профессор Радченко В. П., 2009-2011 гг.).
Работа выполнялась в рамках тематического плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических. биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений») и при частичной поддержке гранта РФФИ (проекте 10.01.00644-а).
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается: корректностью вводимых математических гипотез и допущений, использующихся при постановках задач и их решениях, строгостью в использовании математического аппарата и применении апробированных программных систем; сравнением численных и аналитических решений рассматриваемых начальных задач с известными результатами в частных случаях; преемственностью полученных новых теоретических и практических результатов с известными сведениями, когда существующие классические результаты являются частным случаем предложенных методов и моделей.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 28 работ, из них 5 статей —в рецензируемых журналах из перечня ВАК, 13 статей —в сборниках трудов конференций и 10 тезисов докладов.
Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Радченко В. П. за постоянное внимание к работе и доценту Огородникову Е. Н. за ряд постановок задач, консультации и поддержку работы.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [90-95] выполнены самостоятельно, в основных ра- ботах [44. 46, 51, 57] диссертанту принадлежит совместная постановка задач и ему лично принадлежат разработка методов решения, получение решений, алгоритмизация методов в виде программного комплекса, анализ результатов. В остальных работах [45, 47, 48. 52-56, 58-60, 69. 70. 97], опубликованных в соавторстве, автору диссертации в равной мере принадлежат постановки задач, а все результаты получены им лично.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объём диссертации 186 страниц, из них 163 страницы текста, включая 23 рисунка. Библиография включает 147 наименований на 19 страницах.
Постановки начальных задач для класса модельных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля
По аналогии с классической теорией дифференциальных уравнений [77] среди дифференциальных уравнений дробного порядка выделяют: линейные и нелинейные, однородные и неоднородные уравнения, уравнения с постоянными и переменными коэффициентами.
В теоремах о существовании единственного решения заранее оговаривается класс функций, в котором это решение может быть найдено. В [117] рассмотрены различные функциональные пространства: La(a, Ь) — пространство функций с суммируемой производной D%tu, различные весовые пространства непрерывных функций С"_а. С" , так или иначе обеспечивающие суммируемость старшей производной в дифференциальном уравнении.
Возникает вопрос: как формулировать задачу с начальными данными. не предполагая суммируемости старшей дробной производной?
Хорошо известно, что для дифференциальных уравнений с дробными производными Капуто CD%+ при определённых условиях корректна задача Коши в её классической постановке: и к\а) = Ь& (к = 1,2,... ,п). В некоторых работах высказывается мнение [87], что нелокальные начальные условия в задачах типа Коши для уравнений с дробными производными Римана— Лиувилля «не имеют чёткой физической интерпретации». В действительности математические модели динамических систем с памятью, диффузии в пористых средах и др. приводят именно к дифференциальным уравнениям с дробными производными Римана—Лиувилля. Кроме локальных и нелокаль ных постановок задач типа Коши, для систем с памятью ставятся и иные начальные условия, в которых уже учитывается память [112]. Для рассматриваемых в настоящей диссертационной работе моделей учёт памяти заключен только в структуре уравнения. В связи с этим, следует сделать ограничение на описываемые физические системы: будем рассматривать модели динамических систем, которые начали существовать в момент времени t = 0, или существовавшие, но наделённые свойством памяти в этот момент.
Заметим сразу, что постановка начальных задач, структура их решения и поведение в окрестности начальной точки t — 0 существенно зависят от наличия или отсутствия в уравнениях (2.26) и (2.27) дробных производных искомой функции порядка /3 1. В связи с этим продемонстрируем особенности постановок задач с начальными данными при t — 0 и метод их решения ниже на примере двух дифференциальных уравнений типа уравнения (2.27).
Прежде заметим, что решением рассматриваемых дифференциальных уравнений мы называем любую суммируемую функцию, обращающую уравнение в тождество почти всюду на отрезке [0,Т]. А это значит, что решение уравнения (2.28) с условиями (2.30) следует искать в классе функций ЛС2[0, Т], обеспечивающем существование почти всюду на [0,Т] суммируемой второй производной u(t).
Сформулируем и докажем следующее утверждение. Лемма 2.1. Пусть а, /З Є (0,1), р, qeR, f(t) Є L(0,T), u(t) Є ЛС2[0,Т]. Функция u(t) удовлетворяет почти всюду равенствам (2.28) и (2.30) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет почти всюду па [0, Т] интегральному уравнению t) + рІІГи + qll u = Ilj + щ + щі + РТ(2-а/ а- (2-31)
Доказательство. Необходимость. Пусть u(t) Є ЛС2[0,Т] удовлетворяет почти всюду равенствам (2.28) и (2.30). Проинтегрируем дважды левую и пра вую части равенства (2.28) при начальных условиях (2.30).
Осталось убедиться, что равенства (2.34) выполняются. Это тоже хорошо видно, если в уравнениях (2.35) и (2.36) перейти к пределу при t — 0-ЬП
Из эквивалентности задачи типа Коши для дифференциального уравнения (2.29) с начальными условиями (2.34) интегральному уравнению Вольтёр-ры второго рода следует существование и единственность решения этой начальной задачи.
На основе доказанных лемм сформулируем теорему, обобщающую полученные результаты на класс линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффицие нтами, содержащих левосторонние дробные производными Римана—Лиувилля от искомой функции и от первой производной функции.
Доказательство теоремы очевидно и вытекает из приведённых выше лемм и факта существования и единственности решения для любого интегрального уравнения Вольтёрры второго рода.
Таким образом, сформулированы постановки начальных задач для класса модельных дифференциальных уравнений с такими ограничениями на показатели дифференциальных операторов в записях уравнений, которые ранее в научной литературе не рассматривались. Разработаны постановки задач для нового класса обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих объект о (гг) (а Є (0,1), п Є N).
Поведение моделей при различных внешних нагрузках. Характеристики колебательного процесса
С помощью аналитических решений, полученных в частных случаях при наложении определённых ограничений на параметры модели (см. главу 2), возможно изучить основные, в том числе — асимптотические, качественные свойства. Но для того чтобы говорить о свойствах дробной математической модели в целом, необходимо иметь частные решения для любых численных значений параметров. В этом случае, при отсутствии возможности построить аналитические решения, естественным образом возникает необходимость разработки численных методов решения. При этом па полученных численных решениях могут быть проверены основные гипотезы (свойства), сформулированные для получения аналитических решений, и сделаны выводы для модели в целом.
В теории дифференциальных уравнений с дробными производными наиболее популярным является способ решения, основанный на использовании определения дробной производной по Грюнвальду—Летникову. В исходном уравнении производные записываются по этому определению, что в итоге даёт возможность построить итерационные формулы для вычисления решения. Этот подход используется в работах [128, 134]. Другой метод заключается в использовании тейлоровского разложения и активно применяется М. X. Шхануковым—Лафишевым [29, 88, 89] и его учениками, причём чаще для решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и производными дробного порядка. Ввиду того что модельные задачи, рассматриваемые в диссертационной работе, имеют специфические начальные условия, целесообразнее искать приближённое решение именно для эквивалентного интегрального уравнения Вольтёрры, в котором уже учтены начальные данные. Это уравнение является слабосигулярпым. Для класса таких уравнений разработаны методы решения [14, 101, 103, 140]. Их применение затрудняется ограничениями на классы функции правой части и значительными ошибками округления на начальном интервале интегрирования. Использование методологии дробного исчисления позволяет избежать таких проблем. Порядок построения сходящейся итерационной процедуры поиска решения интегрального уравнения, к которому редуцируются модельные задачи, а также методика оценки погрешностей численных процедур приведены в настоящей главе.
Если для уравнения (4.3) выполняется условие /3 = 2а. то интегральный оператор допускает факторизацию и на основе аппарата, предложенного в главе 2, строятся аналитические решения. При /3 ф 2а аналитические решения получить не удаётся и необходимо прибегать к приближённым методам построения решения интегрального уравнения.
В данной работе рассмотрим два приближённых метода решения; условно назовём их: численно-аналитический метод (приближённый метод факторизации интегрального оператора); численный метод (модифицированный метод квадратур).
Первый метод базируется на предложенной выше (глава 2) идее факторизации с заменой иррациональных (в общем случае) показателей порядка 1 — а и /3 — 1 рациональными числами, отстоящими от этих показателей не более, чем на некоторый малый промежуток є.
В основе численного метода лежит замена входящих в уравнение интегральных операторов какой-либо квадратурной формулой. Но при использовании известных формул возникают проблемы, связанные с сингулярностью ядер интегральных операторов. Чтобы избежать таких неприятностей, предлагается определить аналоги формул численного интегрирования для интегрального оператора Римаиа—Лиувилля.
Также необходимо получить квадратурные формулы для другого обобщения интегрального оператора (2.14), который является резольвентным оператором для одного класса интегральных уравнений Вольтёрры второго рода и часто используется при построении аналитических решений интегральных уравнений типа (4.3), а также используется в дальнейшем в настоящей работе при разработке устойчивой итерационной схемы построения приближённого решения интегрального уравнения (4.3) и при вычислении решений, полученных с помощью численно-аналитического метода. 1. Разработка алгоритмов для вычисления интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг—Леффлера в ядре и методики для априорной оценки погрешности приближённого вычисления интегралов с помощью этих формул. 2. Разработка алгоритма численно-аналитического решения интегрального уравнения. 3. Разработка итерационной процедуры построения решений интегрального уравнения (4.3); доказательство её сходимости и оценка погрешности результата.
В настоящее время хорошо разработан математический аппарата и формализован алгоритм приближённого вычисления интегралов [7], основанный на замене подынтегральной функции такой аппроксимирующей функцией. чтобы интеграл от нее вычислялся в элементарных функциях достаточно просто.
Приближённый метод факторизации интегрального оператора. Сходимость
Пользовательский интерфейс приложения «MitLef» состоит из окон. трансформируемых одно в другое, в зависимости от выполняемой функции и объекта исследования.
Из анализа структурной схемы видно, что модельные начальные задачи решаются не только аналитическим и численным методами, как это принято традиционно, но и их комбинацией.
Подробная расшифровка каждой отдельной единицы блоковой схемы будет упоминаться в том ином месте описания программного комплекса. Здесь же пока остановимся на некоторых фундаментальных проблемах, решаемых программным комплексом.
Стартовое окно «MitLef» содержит две активные кнопки, открывающие следующие основные операции исследования: 1) исследование свойств специальных функций; 2) исследование решений дифференциальных уравнений. Функции этих кнопок дублируются ещё и в меню, описанном ниже. Стартовое окно содержит также меню с пунктами: «Файл», «Исследование спецфункций» и «Исследование дробных ОДУ», использование которых облегчает работу программы.
Команда «Сохранить данные» служит для сохранения массивов вычисленных значений специальных функций или решений начальных задач в файлы формата .txt для дальнейшего их использования. Команда «Сохранить график» служит для сохранения выведенных на экран графиков специальных функций или решений начальных задач в файлы формата .eps. Команда «Выход» останавливает работу программы «MitLef» и закрывает окно.
Пункт меню «Исследование спецфункций» содержит подпункты: «Функция типа Миттаг—Леффлера», «Обобщенная экспонента», «Обобщенный синус», «Обобщенный косинус», «Обобщенная функция типа Миттаг—Леффлера». Обозначенные команды служат для исследования одноимённых специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг—Леффлера или обобщающих её.
Пункт меню «Исследование дробных ОДУ» содержит подпункты: «Аналитическое исследование» и «Численно-аналитическое исследование». Команда «Аналитическое исследование» служит для исследования невозмущённых начальных модельных задач, допускающих факторизацию, и позволяет исследовать характеристики колебательного процесса (амплитуду и частоту колебаний). Команда «Численно-аналитическое исследование» служит для исследования возмущённых произвольных модельных начальных задач. Для начала работы с программой необходимо использовать одну из двух активных кнопок стартового окна либо пункты меню «Исследование спец-фуикций» и «Исследование дробных ОДУ».
После нажатия первой верхней кнопки стартовое окно трансформируется в окно, изображенное на рисунке 6.3 (в это окно также возможен вход через меню «Исследование спецфункций»). Данное окно содержит те же пункты меню, что и стартовое окно. Также оно содержит раскрывающийся список «Объект исследования», окна для ручного ввода данных: «длина (X)», «шаг (h)», «длина (Y)», «шаг (h)», «alpha», «beta», «mu», «lambda», окно для вывода графика и две кнопки: «Построить график» и «Добавить классический случай».
Раскрывающийся список дублирует пункт меню «Исследование спецфункций» и делает доступной информацию о наименовании текущего объекта исследования.
Окна для ручного ввода данных предназначены для ввода параметров изучаемых специальных функций, длины интервала (интервалов) исследования и шага с которым вычисляются значения функций на интервале. Активность окон для каждой специальной функции определяется индивидуально в зависимости от количества параметров в определении этих функций.
Активная кнопка «Построить график» предназначена для построения графика специальной функции на интервале с шагом и параметрами, определёнными в окнах для ручного ввода.
Кнопка «Добавить классический случай» активна только для объектов исследования: «Обобщенная экспонента», «Обобщенный синус», «Обобщенный косинус», которые имеют классические аналоги. Она предназначена для добавления значений классических функций на график с обобщённой специальной функцией с целью визуального анализа свойств специальной функции, расширяющей свойства классической.
Вычисление функции типа Миттаг—Леффлера Еа(ж; ), определяемой выражением (2.13), основано на алгоритме, предложенном в работе [110], и реализовано во внутренней функции программы — «emitlef».
Вычисление обобщённой экспоненты Ехр(а, \х\ А, ж), обобщённого синуса Exps(cn, /І; Л, Ж) и обобщённого косинуса Ехрс(а, /л; А, ж), определяемых фор 133 мулами (5.23), (5.25) и (5.24), соответственно, основано на определениях этих функций и вычислении функции типа Миттаг—Леффлера. Алгоритмы вычисления специальных функций реализованы во внутренних функциях программного комплекса: «expogo», «expcogo» и «expsogo».
При вычислении функции Еа (х, у,/л) используется определение и свойства этой функции, описанные в главе 5, в частности: 1) определение функции (5.31) для х и у: \х\ q и \у\ q (О q 1); 2) интегральные представления (5.42), (5.45) для х и у: \х\ р. \у\ р (р 1) и тах{ж, \у\} q: 3) асимптотические формулы (5.52), (5.55) и (5.61), (5.65) для х и у: тах{ж, 2/} р. Если при использовании определения и асимптотических формул точность вычисления функции можно оценить по остаточному члену и изменять её путём варьирования количества, членов ряда, то с интегральным представлением вопрос несколько усложняется и требует отдельного рассмотрения.
Некоторые специальные функции, определяемые на основе функции типа Миттаг—Леффлера
Таким образом, разработан математический аппарат для вычисления обобщённой функции типа Миттаг—Леффлера с заданной точностью. Причём с целью дальнейшей алгоритмизации, получены: 1) для вычислении по определению или асимптотическим формулам: методика определения достаточного количества членов бесконечного ряда для вычисления специальной функции с заданной точности; 2) для вычисления по интегральным представлениям: методика определения достаточной длины отрезка интегрирования, которой ограничиваются при вычислении несобственных интегралов первого рода, для вычисления специальной функции с заданной точности.
Результаты вычисления специальных функций выводятся на экран и могут быть сохранены в форме массива в файле .txt и в форме рисунка в формате .eps Настоящий блок программы, позволяющий вычислять специальные функции, также используется другими блоками программного комплекса, описанными ниже. Вспомогательным блоком программы является группа функций, позволяющих вычислять результат применения интегральных операторов I t (2.1) и EQ X (2.14) к произвольной функции. Алгоритмы вычисления операторов от функций основан на квадратурных формулах: (4.6), (4.10), (4.14) и (4.16), разработанных в главе 4, для которых там же, в свою очередь, получены априорные оценки погрешности (4.7), (4.13), (4.15) и (4.17), используемые для наискорейшего достижения заданной точности вычислений.
Алгоритмы вычисления реализованы во внутренних функциях программного комплекса: «int__num_rect», «int_num_trap» и «int_num_rect», «int_num_trap»— формулы прямоугольников и трапеций для дробного интеграла Ifx и для оператора Е ах, соответственно.
Результаты выполнения функций данного блока используются другими блоками программного комплекса, описанными ниже.
После нажатия на стартовом окне (см. рисунок 6.2) кнопки «Исследование решений дифференциальных уравнений» оно трансформируется в окно, изображенное на рисунке 6.5 (в это окно также возможен вход через меню «Исследование спецфункций»).
Данное окно содержит те же пункты меню, что и стартовое окно. Также оно содержит раскрывающийся список «Объект исследования», окна для ручного ввода данных: «длина (Т)», «шаг (h)», «alpha», «beta», «р», «q», «uO». «ul» и «f(t) , панель с переключателями «Изобразить на графике», окно для вывода графика и две активные кнопки: «Построить график» и «Добавить классический случай».
Раскрывающийся список позволяет выбрать один из трёх объектов исследования: 1) «модель с дробной производной от целой» — в общем случае задача (2.28), (2.30): 2) «модель с дробной производной больше единицы»—в общем случае задача (2.29), (2.34); 3) «сравнение двух моделей»—сравнение решений задачи (2.28), (2.30) и видоизменённой задачи типа Коши (2.29), (2.62).
Окна для ручного ввода данных предназначены для ввода параметров изучаемых моделей, длины иптервала исследования и шага, с которым вычисляются решения модельных задач, на интервале. Для численно-аналитического исследования активны все окна, а для аналитического — все, кроме двух окон: «beta» и «f(t) , что продиктовано особенностями и применимостью методов решения начальных задач.
Панель с переключателями «Изобразить па графике» предназначена для выбора способа визуализации решения начальной задачи и позволяет выбрать один из трёх вариантов, которые учитываются при построении графика: 1) «решение задачи» — на графике изображается функция решения (см. рисунок 6.6); 2) «производная от решения задачи» —на графике изображается производная от функции решения; 3) «фазовый портрет» — на графике изображаются решение и производная. откладываемые по осям абсцисс и ординат соответственно, с целью изучения устойчивости решений начальных задач (см. рисунок 6.7).
Активная кнопка «Добавить классический случай» предназначена для добавления значений решения для «гармонического осциллятора»па график с решениями начальных задач, с целью визуального анализа свойств моделей, расширяющих свойства классического случая.
Алгоритм вычисления решений начальных задач для двух моделей (2.28), (2.30) и (2.29), (2.34) основан на применении,трёх методов: 1) аналитического; 2) численно-аналитического; . 3) численного. Аналитической метод заключается в вычислении аналитического решения, при этом используется описанные ранее внутренние функции «emitlef», «expogo», «expcogo», «expsogo» и «emitlefxy». Применение метода ограничивается моделями, для которых выполняется достаточное условие факторизу-емости, приведённое в главе 2. Однако метод не применим для возмущённых моделей с произвольной правой частью.
Численный метод решения начальных задач применим для произвольных параметров моделей с произвольной правой частью и основан на алгоритмизации метода квадратур, построенного в главе 4 для интегрального уравнения Вольтёрры второго рода, к которому редуцируются модельные задачи. Для наискорейшего достижения заданной точности используются априорные оценки погрешности метода, полученные там же.
При алгоритмизации используются части алгоритмов внутренних функций, вычисляющих интегральные операторы по квадратурным формулам. описанные выше. Собственно алгоритм реализован во внутренней функции «n_sol_int_m».
Решение интегрального уравнения является решением начальных задач, при этом алгоритм вычисления решения не меняется в зависимости от используемой модели, изменяется лишь один из входных аргументов — правая часть интегрального уравнения F(t), которая для задачи с дробной производной от первой определяется по формуле (4.4), а для задачи с дробной производной больше единицы —по формуле (4.5).
Наиболее интересно с точки зрения исследования модельных начальных задач (3.1) и (3.2) и построения теории, расширяющей классическую теорию линейных дифференциальных уравнений, рассмотреть отдельно специальные функции: «обобщенной экспоненты», «обобщённого1 синуса» и «обобщённого косинуса». Они обобщают функций eaicoscj и eatsmujt. которые выступают в качестве фундаментальной системы решений классических линейных дифференциальных уравнений.
Несмотря на очевидную ценность исследований самих специальных функций, более приоритетной задачей является изучение свойств решений дифференциальных уравнений типа (3.1) и (3.2), фундаментальными решениями которых, при определённых ограничениях на параметры, являются рассмотренные выше функции. Результаты анализа поведения специальных функций, полученные выше в данном разделе, используются при исследовании решений дифференциальных уравнений.
