Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Темодинамический метод исследования фазовых переходов и нелинейных эффектов в ферроиках 11
1.1. Методы теории групп 11 Спонтанное нарушение симметрии при непрерывном фазовом переходе 12
1.2. Доменные границы в ферроиках 19
1.3. Теория Морса 21
1.3.1. Индексы особых точек отображения 21
1.3.2. Клеточные комплексы системы особых точек 26
1.3. Моделирование нелинейных волн в твердых телах 30
ГЛАВА 2. Описание структурных фазовых переходов в ферроиках 32
2.1. Классификация структурных фазовых переходов в ферроиках 32
2.2. Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии 39
3. ГЛАВА 3. Фазовые переходы в доменной границе 44
3.1. Моделирование возможных фазовых переходов на основе симметрии кристаллов 44
3.2. Фазовые переходы в доменной границе сегнетоэлектриков 51
3.2.1. Метод исследования 51
3.2.2. Фазовые переходы в доменной границе кристаллов, испытывающих объемный переход второго рода 54
3.2.3. Фазовые переходы в доменной границе кристаллов, испытывающих объемный переход первого рода 58
3.2.4. Метастабильные состояния в кристалле и фазовые переходы в доменных границах. Каскады фазовых переходов 63
4. ГЛАВА 4. Нелинейные волны в ферроиках 67
4.1. Нелинейные волны в сегнетоэластиках 67
4.1.1. Нелинейные волны в парафазе 68
4.1.2. Волны в ферроэластической фазе 71
4.1.3. Волны в метастабильном состоянии кристалла 72
4.2. Нелинейные волны в сегнетоэлектриках 73
4.2.1. Волны в параэлектрической фазе кристалла 75
4.2.2. Некоторые свойства геметрических моделей профилей солитонных решений нелинейных волновых уравнений 79
Основные результаты работы и выводы 84
Литература
- Доменные границы в ферроиках
- Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии
- Фазовые переходы в доменной границе сегнетоэлектриков
- Волны в метастабильном состоянии кристалла
Введение к работе
Актуальность темы. Термодинамический метод исследования различных нелинейных явлений в кристаллах, в частности, фазовых переходов в веществе и нелинейных волн в настоящее время нашел широкое , применение [1] Он является первым шагом объяснения результатов экспериментального исследования общих свойств и особенностей фазового перехода в каждом конкретном веществе. Система соотношений между различными физическими характеристиками вещества, находящегося в условиях фазового перехода, которая получена в рамках термодинамического метода, позволяет развить классификацию всей совокупности фазовых переходов. Это дает возможность исследователю по относительно небольшому числу экспериментальных данных понять существенные черты фазового перехода в каждом конкретном случае и проводить осознанное планирование дальнейших исследований. Наиболее важной классификацией является выделение совокупности фазовых переходов фазовых и второго рода. В другой классификации принято разделение фазовых переходов на собственные и несобственные.
В результате, осмысливание экспериментальных данных методами термодинамики позволяет выработать отправные точки для последующего установления микроскопического механизма фазового перехода в конкретном материале.
Среди всей совокупности фазовых переходов в кристаллических твердых телах большую долю составляют структурные фазовые переходы. Определяющим признаком структурного фазового перехода является факт изменения системы элементов симметрии кристалла в результате фазового перехода. Для исследования структурных фазовых переходов термодинамическими методами важно установить физический смысл макроскопического параметра порядка, являющегося базовой характеристикой фазового состояния вещества. Для описания закономерностей нелинейных явлений в кристаллах удобными макроскопическими характеристиками являются тензоры различного ранга. Ранг тензорного параметра порядка служит еще одним основанием для классификации структурных фазовых переходов. Поскольку число групп точечной симметрии кристаллов ограничено, существует возможность дать полный список возможных фазовых переходов с изменением точечной группы и их классификацию по этому признаку. Аналогичный подход возможен для указания возможных структурных фазовых переходов в различных доменных границах ферроиков различных типов.
Достигнутые к настоящему времени успехи широкого использования термодинамических методов в исследовании фазовых переходов привлекают внимание исследователей к проблеме развития самого этого метода. Одним из его направлений является совершенствование методов исследования решения уравнений для равновесных значений параметра порядка, возникающих после варьирования термодинамического потенциала. Как математический объект, уравнения равновесия представляют собой систему алгебраических уравнений для компонент параметра порядка. Несмотря на большую историю развития науки об алгебраических уравнениях и значительному продвижению алгебраической геометрии, в настоящее время отсутствуют универсальные методы получения аналитических выражений для корней, пригодные для интерпретации физических закономерностей. Поэтому актуальной проблемой термодинамического подхода исследования фазовых переходов является создание и развитие новых подходов, позволяющих достичь понимания закономерностей фазовых переходов и возможностей корректного применения приближенных методов решения в каждом конкретном случае. Объектом исследования являются модели кристаллических ферроиков, а предметом исследования - теоретические методы и закономерности в различных нелинейных эффектах, которые могут быть получены при определенном выборе аналитических выражений для термодинамических потенциалов вещества.
Ферроики являются такими кристаллами, в которых сильно выражены нелинейные свойства. Поэтому они представляют собой интересные объекты для исследования различных нелинейных эффектов, в частности, распространения нелинейных волн. Успехи в развитии физики в этом направлении могут служить теоретической основой для построения приборов электроники нового поколения, в которой предполагается широкое использование нелинейных свойств материалов.
Цель и задачи работы
Разработка и применение новых теоретических методов исследования термодинамических потенциалов для кристаллических ферроиков, демонстрация их эффективности на ряде конкретных примеров. Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи: получение полной классификации ферроиков на основе тензорных базисов теории представлений точечной кристаллографической группы, указание характерных свойств каждого класса ферроиков; нахождение списка возможных фазовых переходов в доменных границах сегнетоэлектриков; - применение топологического метода Морса для нахождения строения доменных границ, возникающего после фазового перехода в этих границах; - создание модели и установление закономерностей распространения нелинейных волн в сегнетоэлектриках, нахождение условий распространения волн различных типов и их характеристик.
Научная новизна
На основе теории представлений точечной группы симметрии кристаллов составлен полный список возможных структурных фазовых переходов без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки: показано, что из 115 неединичных представлений точечной кристаллографической группы симметрии 76 представлений содержат в базисе компоненты вектора и симметричного тензора второго ранга, указаны конкретные компоненты базиса; 39 представлений имеют в своем базисе компоненты тензора третьего ранга и псевдотензоров второго и третьего ранга; - найдены новые возможные типы структурных фазовых переходов в кристаллах, названных гирониками, параметром порядка в которых являются псевдотензоры второго и третьего ранга. Указан физический смысл этого параметра порядка и особенности отклика кристаллов такого типа на внешние силовые поля;
Получена классификация возможных фазовых переходов в 180 -доменной границе сегнетоэлектриков, новые аналитические выражения для условий перехода; - указаны условия возникновения фазовых переходов первого и второго рода в доменной границе сегнетоэлектриков. Получены закономерности изменения вектора поляризации в несимметричной доменной границе при изменении температуры кристалла; - найдены условия возникновения фазового перехода в границе домена ферроика, если для кристалла характерно наличие нереализованной другой фазы. Указан и исследован механизм захвата параметра порядка на доменной границе, по которому происходит указанный выше фазовый переход; построена модель распространения нелинейных волн в сегнетоэлектриках, учитывающая наличие электрострикционные напряжения в кристалле, получены формулы для зависимости скорости распространения волны от амплитуды колебаний и длины волны, указаны условия возникновения и характеристики солитонов.
Практическая значимость работы
Новый метод исследования термодинамического потенциала, основанный на топологических представлениях, может быть использован при решениях аналогичных задач для других физических систем.
Предсказание и исследование новых типов кристаллов - гироников может послужить исходным толчком для целенаправленного экспериментального поиска таких новых материалов.
Результаты исследования фазовых переходов в доменной границе могут быть использованы при интерпретации эффектов, обусловленных строением и движением доменных границ в сегнетоэлектриках.
Закономерности и условия распространения нелинейных волн в сегнетоэлектриках могут быть использованы для конструирования новых приборов электроники.
Предложенный метод исследования, дающий полную и наглядную систематику фазовых переходов в кристаллах, заслуживает его внедрения в учебных курсах для специальностей соответствующего профиля.
Положения, выносимые на защиту - полная классификация возможных структурных фазовых переходов в кристаллах без изменения числа атомов в ячейке кристаллической решетки; новый тип фазовых переходов с появлением оптической и акустической активности кристаллов; в доменных границах ферроиков, фазовое состояние которых характеризуется многокомпонентным параметром порядка, возможны фазовые переходы первого и второго рода, в результате которых меняется симметрия границы. Условия возникновения фазовых переходов второго рода реализуются не во всех кристаллах. В доменных границах кристаллов, испытывающих объемный фазовый переход первого рода, структурный фазовый переход в доменных границе происходит в обязательном порядке. В доменных границах таких кристаллах возможны фазовые переходы без изменения симметрии доменных границ; - фазовые переходы в доменной границе вероятны в кристаллах, в которых имеются метастабильные фазовые состояния и происходят по механизму захвата параметра порядка в границе домена в метастабильную фазу. Такая ситуация складывается для кристаллов, претерпевающих каскад фазовых переходов; в сегнетоэлектрических кристаллах учет появления электрострикционных напряжений приводит к появлению новых типов нелинейных периодических волн, в которых скорость распространения имеет зависимость от длины волны и амплитуды колебаний, полученную в работе; существуют условия, при которых возможно распространение солитонов.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 5ой Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов" (Воронеж 2003 г.), на 40м Международном семинаре по физике сегнетоэластиков (Воронеж, 2003 г.), на 21ой Международной конференции "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 2004 г.), на первой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке и технике» (Абхазия, Пицунда, 2005 г.) на научных конференциях ВГТУ (Воронеж 2003,2004,2005 г.). Публикации
Основные результаты работы опубликованы в 10 печатных работах, из которых 5 статей - в реферируемых журналах, в т.ч. Изв. РАН . - Сер. Физ. [100]. Личный вклад автора
В работах, опубликованных в соавторстве лично соискателем предложена методика расчета таблицы для классификации кристаллов [94, 97, 100, 101, 103], автор диссертации активно участвовал в постановке всех задач и являлся исполнителем их решений [2, 3, 94, 97, 100, 101-103, 105], проводил вывод формул, представленных в работе, давал физическую интерпретацию получающимся эффектам, участвовал в обсуждении результатов, составлял программы для численного анализа, использовал стандартные.пакеты программ для графического представления результатов, проводил подготовку научных текстов для публикации в печати.
Структура и объем работы
Диссертация. состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы. Работа содержит 95 страниц основного текста, включая 13 рисунков, таблицы, список литературы из 120 наименований, а также приложение на 20 страницах.
Доменные границы в ферроиках
При фазовом переходе, индуцированном температурой, кристаллы, как правило, разбиваются на домены. Симметрия каждого домена ниже исходной симметрии кристалла, однако, расположение доменов в кристалле определяется элементами симметрии, утраченными при переходе, вследствие чего в целом, симметрия кристалла остается неизменной. Если же при фазовом переходе в кристалле реализуется монодоменное состояние, то в достаточно большой совокупности одинаковых кристаллов будут представлены в равной степени все домены, так что в среднем симметрия такой совокупности останется неизменной. В действительности же -причины разбиения кристаллов на домены носят энергетический характер. За счет того, что при образовании доменов уменьшается энергия электрического поля, свободная энергия полидоменного кристалла может оказаться ниже энергии монодоменного.
Симметрийная классификация доменов. Большой вклад в исследование симметрийной проблемы доменных структур в сегнетоэлектриках внесли Желудев, Шувалов [20, 21], Айзу [18, 35], Ашер [36] и др. Полученные в этих работах результаты отражены в фундаментальном исследовании [37] по симметрийной классификации доменов в кристаллах. Эта классификация имеет общий характер независимо от физической природы параметра порядка и определяется лишь его трансформационными свойствами при действии элементов симметрии исходной фазы.
Строение доменных границ в кристаллах, претерпевающих структурные фазовые переходы, привлекают внимание исследователей, так как оно в значительной мере определяет ряд физических свойств этих материалов, прежде всего их энергию и подвижность. Строение широких доменных границ, то есть таких, ширина которых по крайней мере в несколько раз превосходит постоянную решетки кристалла, определяется неоднородным полем параметра порядка в области переходного слоя. Для теоретического исследования таких доменных границ успешно используется метод термодинамического описания неоднородных фаз, который был успешно использован при теоретическом изучении строения и свойств доменных границ в собственных и несобственных сегнетоэлектриках [38, 39,40,41,42].
Если параметр порядка кристалла является многокомпонентным, то возможно существование различных вариантов равновесной доменной границы, качественно различающихся один от другого. Изменение температуры, внешних силовых полей могут стать причиной резких изменений строения доменных границ, которые называются фазовыми переходами в доменных границах. При этом может измениться симметрия строения доменной границы, а симметрия кристаллического строения сохраняется. Такие фазовые переходы можно назвать структурными фазовыми переходами в доменной границе.
Первые теоретические и экспериментальные исследования этих явлений были проведены на магнитных кристаллах в [43, 44, 45]. В работе [43] наблюдался фазовый переход в доменной границе DyF03, индуцированный изменением температуры. В статьях [44, 45] сообщаются результаты исследования фазовых переходов в доменных границах, вызванных действием магнитного поля. Подробное теоретическое исследование фазовых переходов в доменных границах сегнетоэлектриков было проведено в работах [46, 47]. Авторы этих работ ограничились исследованием кристаллов, претерпевающих в объеме фазовый переход первого рода. Фазовые переходы в антифазных границах теоретически исследованы в [48].
Задачей, поставленной в настоящей работе, является нахождение списка возможных фазовых переходов в доменных границах различных ферроиков на основе симметрийных свойств кристаллов и теоретическое исследование фазовых переходов в доменных границах для более широкого круга кристаллов по сравнению с ранее исследованными, в частности, для кристаллов, испытывающих фазовый переход второго рода, и таких кристаллов, в которых возможен каскад структурных фазовых переходов.
Термодинамическое описание ферроиков различной симметрии
Рассмотрим возможный физический смысл компонент псевдотензорного базиса представлений. Отметим, что симметрийные свойства параметра порядка сами по себе не могут определить его физического смысла. Последний определяется путем формулировки выражения для энергии фазы во внешних силовых полях. Так как в настоящей работе рассматриваются немагнитные группы, в качестве внешних полей следует иметь в виду электрическое поле, характеризуемое вектором ЕІ его напряженности и механическое поле, характеризуемое симметричным тензором второго ранга, тензором напряжений.
Для псевдовекторного параметра порядка ф і можно сформулировать инвариант ентУ &фт, (2.1) имеющий смысл плотности энергии фазы в неоднородном электрическом поле. Здесь єцт - единичный антисимметричный тензор. Плотность неравновесного термодинамического потенциала Ф, который формируется при термодинамическом исследовании, принимает следующий вид: Ф= фз2+ +з4+Фз(УіЕг-ЧгЕі). (2.2)
Из этого выражения следует, что параметр порядка ф должен иметь размерность объемной плотности квадрупольного момента.
Рассмотрим плотность термодинамического потенциала для фазового перехода, характеризуемого псевдотензорами второго и третьего ранга. В качестве примера возьмем gn и г ц3 + г из- В первом случае имеем следующие инварианты gn [( rotE)!E2 + ( rotE)2E,]. (2.3)
Отсюда видно, что gn можно рассматривать как одну из компонент псевдотензора оптической активности [86]. В случае псевдотензора третьего ранга имеет следующие инварианты r(1)iIm(rot)io-Iin, ri2\lm(rotE)iEiEm, г (3)ihn (rotEfc Д +АА (2.4)
Все инварианты входят в термодинамический потенциал, вклад каждого из них определяется после численных оценок для каждого конкретного кристалла и рассматриваемого физического процесса.
В качестве примера приведем плотности термодинамических потенциалов для фазовых переходов по направлениям № 6 и № 33 таблицы 1.
В первом случае Ф = «і (gii+g22) + аг {g\&gii)gn + аз gii + digu-giif + + Ь\ ig\\+gll) +b2(g\l+g22) g33+b3(gn+g22) g33 + b4(gu+g22)g33 + + b5g33A-+-gn(ratE)iEi +g22{rotE)2E2+g33(?otE)3E3. (2.5)
Система уравнений равновесия для парафазы рассматриваемого гироника во внешнем электрическом поле, полученная дифференцированием Ф по gn, gn и g33 имеет следующий вид: 2(аі + c)giі + (яі - d)g22 + azg33 = Е{ А3Е2-Е2 А2Е\, 2( i - с) gn + (ai + d) g22 + a2g33 =E2A {E3 -E2 A 3EU a2(gn + g22) = E3A2Ei-E3 A - (2.6)
Решая полученную систему уравнений, можно найти зависимость компонент параметра порядка от внешнего поля.
Если рассматривать нестационарные задачи, например распространение волны, то уравнение равновесия (2.6) следует заменить на уравнение движения и дополнить его уравнением электродинамики Di + c2AEi=0 (2.7) и материальным соотношением i= ijj + SilmAlm, (2.8) где Д — электрическая индукция, е% — тензор диэлектрической проницаемости кристалла, gnm = єnmgnm — тензор гирации выражается через компоненты параметра порядка. Таким образом получается замкнутая нелинейная система уравнений движения для параметра порядка.
Рассмотрим низкосимметричную фазу, которая получается минимизацией термодинамического потенциала (2.5) в отсутствии внешнего поля. Условие минимума достигается при gn=g22- Потеря устойчивости нулевого решения происходит при выполнении следующего условия: aia3-a32=0, (2.10) которое может реализоваться вследствие температурной зависимости коэффициентов а\. При низких температурах приходим к обычной температурной зависимости параметра порядка #11= 22=0 gn=b T , (2.11) здесь Т - температура, отсчитанная от температуры перехода, а коэффициенты а и Ъ определяются коэффициентами в разложении термодинамического потенциала по компонентам параметра порядка.
Фазовые переходы в доменной границе сегнетоэлектриков
Для исследований будет использован метод, примененный в [99] для исследрвания сегнетрэлектрических фазовых переходов в кристаллах, находящихся во внешнем электрическом поле и переходов в несоразмерные фазы [100, 101]. Удобство этого метода заключается в возможности представления совокупности особых точек термодинамического потенциала кристалла в виде клеточного комплекса, с помощью которого дается наглядное представление о возможном строении неоднородных состояний фазы. Для иллюстрации выше изложенного рассмотрим фазовые переходы второго рода в кристаллах кубической структуры. Термодинамический потенциал для такого кристалла записывается в виде полинома четвертой степени p= (Ff +p; +p;)+ (p; +P: +Р;У +(/;2 +P;P; + ).0.1)
Здесь a, b\, Ъг — коэффициенты, зависящие от температуры Т кристалла. Наиболее быстро меняется с изменением температуры коэффициент а = а\{Т- Го) (Г0 - температура фазового перехода), остальные коэффициенты имеют более слабую температурную зависимость.
На рис. 1 точкой изображено параэлектрическое состояние кристалла, соответствующее минимальному значению термодинамического потенциала при высоких температурах, при которых коэффициент а является отрицательным. При изменении знака а происходит распад особой точки и образование одного из двух комплексов, изображенных на рис 2. В каждом из многогранников вершины соответствуют минимальным значениям термодинамического потенциала (3.1) ребра и грани отражают наличие седловых точек с одним и двумя отрицательными собственными значениями матрицы Гессе. Наличие объемной области, ограниченной гранями комплексов соответствует появлению максимума термодинамического потенциала.
Верхний комплекс получается при Ь2 0, нижний при Ь2 0. Какие -либо другие комплексы особых точек, отличные от указанных на рис. 1, для термодинамических потенциалов, представленных полиномами четвертой степени от компонент вектора спонтанной поляризации, отсутствуют. В частности, из этих рассуждений видно, что использование термодинамических потенциалов, представленных полиномами четвертой степени от компонент вектора спонтанной поляризации, не позволяет дать термодинамическое описание фазовых переходов из кубической парафазы в орторомбическую с образованием отличного от нуля вектора спонтанной поляризации, направленного вдоль биссектрисы грани куба. Система уравнений равновесия состоит из трех алгебраических уравнений третьей степени. Набольшее количество вещественных корней для такой системы равно 3 = 27. Именно такие количества элементов комплекса особых точек содержат куб и октаэдр.
Фазовые переходы первого рода изображаются более сложными и разнообразными комплексами особых точек. В качестве примера на рис. 3 изображены возможные варианты перестроек комплексов кубических сегнетоэлектриках.
Строение комплекса особых точек как геометрического объекта не важно для задач исследования равновесного состояния вещества, в которых существенное значение имеют точки минимума термодинамического потенциала. Однако, при исследовании неоднородных состояний вещества, кинетических явлений, связанных с переполяризацией, знание строения комплекса особых точек и его изменение под влияние температуры и внешних силовых полей становится весьма полезным. Далее рассмотрим строение и возможные фазовые переходы в доменных границах ферроиков, используя представления о комплексах особых точек термодинамического потенциала вещества.
Волны в метастабильном состоянии кристалла
Метастабильное состояние вещества это такое локально устойчивое состояние, термодинамический потенциал которого больше, чем термодинамический потенциал стабильного состояния, достигаемого при другом значении параметра порядка. Вещество может оказаться в метастабильном состоянии, если, например, путем быстрого изменения внешних условий увеличить термодинамический потенциал этого состояния по сравнению с другим равновесным состоянием. Простая модель метастабильного состояния представляется кристаллом, Все коэффициенты (4.21) являются положительными. Стабильное состояние этот термодинамический потенциал вообще не определяет. Уравнения (4.8) и (4.9) принимают следующий вид: Решение уравнения (4.23) имеет солитонообразный вид
Ширина солитона увеличивается с ростом скорости его перемещения, а высота уменьшается. При этом смещение и кристалла после прохождения солитона, определяемое следующей формулой увеличивается с ростом скорости его перемещения, а высота уменьшается. При этом смещение и кристалла после прохождения солитона, определяемое следующей формулой: оказывается независящим от скорости перемещения солитона. Отметим, что решение (4.25), соответствующее V=0, имеет смысл зародыша перехода из метастабильной фазы в метастабильную, и многократно рассматривалось различными авторами при исследовании кинетики фазовых переходов.
Рассмотрим сегнетоэлектрические кристаллы, в которых параметром порядка является вектор поляризации Р, направленный перпендикулярно оси х, вдоль которой распространяется волна. При распространении волны поляризации вследствие электрострикционного эффекта в кристалле возникают упругие деформации и упругие смещения и. Будем рассматривать тот случай, когда последние направлены вдоль оси х. Функция Лагранжа для такого кристалла имеет следующий вид: где термодинамический потенциал F определен следующим выражением:
Здесь коэффициенты разложения считаются известными функциями температуры, при этом, наиболее быстро меняющейся функцией температуры является ао. При ао 0 кристалл находится в высоко симметричном состоянии, то есть, парафазе. Смена знака этого коэффициента означает, что кристалл переходит по механизму фазового перехода второго рода в низкотемпературную сегнетоэлектрическую фазу с отличным от нуля вектором спонтанной поляризации, при этом к 0 -корреляционный коэффициент, с0 0 - упругий модуль кристалла, d -электрострикционный коэффициент, /л - эффективная масса, определяющая инерционные эффекты при изменении вектора спонтанной поляризации во времени.
Интегрируя (4.32), получим следующее выражение: c— + dP2=(T, (4.36) где а - постоянная, имеющая физический смысл механического напряжения в кристалле, возникающее при распространении волны. Это устанавливается путем дифференцирования термодинамического потенциала (4.28) по деформации. Ниже рассмотрим волны в не напряженном кристалле, для этого будем полагать а = 0. Подстановка (4.36) в (4.34) приводит к уравнению
Как показывают выражения для коэффициентов к, а, Ь, они при различных значениях скорости распространения волны могут быть положительными и отрицательными. Причем, когда скорость распространения волны близка к скорости звука в кристалле, коэффициент Ъ может принимать сколь угодно большие значения. В том случае, когда все коэффициенты будут иметь одинаковые знаки волновое решение уравнения (4.37) отсутствует. В случаях к> О, а<0, Ь<0 и к< О, а > О, Ь>0 уравнение (4.37) принимает вид к~- = -аР~Ь?\ (4.39) с положительными коэффициентами и имеет волновое решение, представляемое с помощью эллиптического интеграла Р(ф,к)=^а + ЪНг{к У*х , (4.40) где h - максимальное значение длины вектора поляризации,
