Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние моделирования движения полидисперсных малоконцентрированных поливзвесей в искривленных каналах 9
1.1 Особенности математического моделирования движения воздушных потоков в искривленных каналах 9
1.2Анализ существующих математических моделей движения поливзвесей 22
1.2.1 Статистический подход 22
1.2.2 Феноменологический подход 26
1.2.3 Дискретный подход 31
1.3 Системы аспирации и ЦПУ - предметная область применения математического моделирования 36
1.4 Выводы и задачи исследования 42
2 Синтез математической модели движения полидисперсных малоконцентрированных поливзвесей в искривленных каналах 43
2.1 Обоснование комплекса допущений, принимаемых при разработке математических моделей движения полидисперсных малоконцентрированных поливзвесей 43
2.2 Математическая модель движения дисперсионной фазы в колене 46
2.3 Математическая модель движения одиночной частицы в газовом потоке 53
2.4 Разработка математической модели движения малоконцентрированной пол и взвеси в колене 63
2.5 Выводы 67
3. Результаты численного эксперимента на основе системы математических моделей движения поливзвеси в колене 68
3.1 Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений 68
3.1.1. Численное интегрирование уравнений Навье-Стокса 68
3.1.2. Численное интегрирование уравнений движения частицы 76
3.2 Анализ движения газовой среды в колене 79
3.3 Методика определения потерь давления в колене 83
3.4 Анализ влияния конструктивно-режимных параметров и физико-механических свойств дисперсных материалов на гидравлическое сопротивление колена 87
3.5 Выводы 93
4 Разработка методики инженерного расчета фасонных частей трубопроводов и ее программная реализация 94
4.1 Комплекс программ для определения параметров движения газовзвеси в колене 94
4.2 Разработка методики инженерного расчета параметров движения газовзвеси в колене 102
4.3 Инженерный расчет системы трубопроводов при движении малоконцентрированных поливзвесей 110
4.4 Выводы 119
Основные выводы 120
Список использованных источников 121
Приложения 130
- Особенности математического моделирования движения воздушных потоков в искривленных каналах
- Разработка математической модели движения малоконцентрированной пол и взвеси в колене
- Анализ влияния конструктивно-режимных параметров и физико-механических свойств дисперсных материалов на гидравлическое сопротивление колена
- Инженерный расчет системы трубопроводов при движении малоконцентрированных поливзвесей
Введение к работе
Актуальность темы. Моделирование движения газовзвесей в криволинейных каналах основывается на решении сопряженной системы, состоящей из уравнений Навье-Сгокса и движения отдельньж частиц. При этом пока непреодолимой трудностью является проблема формулировки граничных условий в системе уравнений, описывающих движение каждой из совокупности большого числа частиц.
Снижение размерности системы уравнений может быть достигнуто применением принципа декомпозиции в случае малоконцентрированньж газовзвесей: в начале проводится анализ уравнений Навье-Сгокса и неразрывности для несущей среды с целью определения поля скоростей и давлений, а затем из рассмотрения движения отдельньж частиц проводится обобщение на ансамбль частиц с использованием принципа суперпозиций. Такая декомпозиция может быть оправдана тем, что взаимные возмущения в малоконцентрированном двухфазном потоке малы.
При построении конечно-разностной схемы решения уравнений динамики несущей среды в декартовой системе координат возникают трудности с аппроксимацией границ канала и записью граничных условий, в связи с этим возникает необходимость подбора ортогональной криволинейной системы координат. Для криволинейных каналов одной их наиболее приспособленных к постановке задачи является тороидальная система координат, нивелирующей проблему аппроксимации границ канала.
В такой постановке, анализ движения отдельньж частиц проводится на основе подхода Лагранжа с учетом эффектов действия сил Магнуса, Сафмена и взаимодействия частиц со стенками канала. В связи с этим актуально исследование математической модели движения газовзвеси в криволинейных каналах, основанной на последовательном применении принципов декомпозиции и суперпозиции движения фаз с использованием тороидальной системы координат.
Одной из предметных областей применения результатов моделирования двухфазных потоков является определение потерь давления в системах аспирации и централизованной вакуумной пылеуборки (ЦПУ) с целью определения рациональных режимов их функционирования по социально-экономическим и экологическим показателям.
Диссертация выполнена на кафедре геплогазоснабжения и вентиляции
2 Белгородского государственного технологического университета (БГТУ) в рамках госбюджетной темы «Разработка научных основ получения мелкодисперсных порошков в аппаратах с повышенной энергонапряженностью» по разделу «Исследование процессов и развитие теории комплексного обеспыливания воздуха с целью снижения негативного воздействия пылевого загрязнения на окружающую среду и человека» (№ гос. per. 01990005602, 1999-2004гг.).
Цель работы: построение и исследование комплекса математических моделей движения газодисперсных потоков в криволинейных каналах на основе принципов декомпозиции и суперпозиции движения фаз, обеспечивающих уточнение методики аэродинамического расчета систем трубопроводов аспирации и ЦПУ.
Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
проанализировать существующие подходы к моделированию движения газовых потоков в криволинейных частях воздуховодов;
на основе принципа декомпозиции исследовать движение газового потока и твердой фазы;
разработать и исследовать численные методы реализации моделей движения гетерогенных сред в криволинейных каналах в тороидальной системе координат;
синтезировать модель движения двухфазного потока на основе принципа суперпозиции движения газового потока и твердой фазы;
исследовать адекватность полученной модели сравнением с экспериментальными данными, полученными в результате промышленных испытаний;
разработать методику аэродинамического расчета систем трубопроводов при перемещении малоконцентрированных аэрозолей и пакет прикладных программ для компьютерной реализации построенных математических моделей.
Методы исследования. В работе использовались метод математического моделирования, методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и систем нелинейных дифференциальных уравнений. Общей методологической основой является системный подход.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- построена математическая модель движения двухфазных потоков в кри
волинейных каналах на основе решения нестационарных дифференциальных
уравнений Навье-Стокса для вязкой сжимаемой жидкости и уравнений движе
ния частиц в тороидальной системе координат, отличающаяся последователь-
ным использованием принципов декомпозиции и суперпозиции при движении газовой среды и твердой фазы;
разработана численная схема решения уравнений математической модели в трехмерной нестационарной постановке, основывающаяся на установлении по времени метода Мак-Кормака в тороидальной системе координат.
результаты вычислительного эксперимента, уточняющие потери давления двухфазным потоком при изменении направления движения в системах трубопроводов.
На защиту выносятся
методика применения принципов декомпозиции и суперпозиции при разработке математических моделей движения малоконцентрированных газовзвесей;
методика численного решения уравнения Навье-Стокса в тороидальной системе координат установлением по времени нестационарной задачи методом Мак-Кормака в пространственной постановке.
Практическая значимость работы
последовательное применение принципов декомпозиции и суперпозиции позволяет решать практические задачи моделирования движения двухфазных потоков малоконцентрированной газовзвеси в системах аспирации и ЦПУ;
на основе математических моделей разработана методика расчета потерь давления систем трубопроводов аспирации и ЦПУ;
разработан пакет прикладных программ, реализованный в среде Microsoft Visual C++ 6.0 для операционной системы Windows, использование которого целесообразно в САПР, АСУТП, АСУ производств, имеющих источники пылевыделений (горно — перерабатывающая, химическая промышленность, производство строительных материалов и др.),
результаты диссертационного исследования рекомендованы ОАО «Проектный институт Центрогипроруда» к использованию при проектировании и реконструкции систем вентиляции и пылеуборки, внедрены на ЗАО «Борисовский завод мостовых металлических конструкций» (годовой экономический эффект составил 27,3 тыс. рублей на одну установку в 2004 г) и используются в учебном процессе кафедры «Теплогазоснабжение и вентиляция» Белгородского государственного технологического университета при изучении курсов «Компьютерное моделирование систем ТГВ», «Автоматизация проектирования систем промышленной экологии», «Промышленная вентиляция и пневмотранс-
4 порт».
Публикации. Основные положения диссертации изложены в 12 печатных работах и 1 патенте Российской Федерации. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежит: в [1, 2, 8] - модель соударения твердой частицы с ограничивающей поверхностью; в [3, 4, 7] - алгоритм расчета потерь давления при движении полидисперсных газовзвесей; в [6, 10] - разработан пакет прикладных программ для численной реализации методики определения потерь давления; в [5, 9] - обосновано применеие методов декомпозиции и суперпозиции для моделирования движения малоконцентрированных газовзвесей в системах аспирации и ЦПУ; в [11] - алгоритм получения линий тока для течения газа при решении дифференциальных уравнений с помощью метода сеток.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно - технических конференциях:
Международная конференция « Экология - Образование, наука и промышленность» (г. Белгород, 1998, 2002-2003);
Всероссийская научно-практическая конференция «Энерго - и ресурсосбережение. Нетрадиционные и возобнавляемые источники энергии» (г. Екатеринбург, 2001);
59-й научно-техническая конференция Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (г. Новосибирск, 2002);
12-й Всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (г. Нижний Новгород: Межрегиональное Верхнее - Волжское отделение Академии технологических наук Российской Федерации, 2004).
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (103 наименования) и 4 приложений. Диссертация изложена на 129 страницах машинописного текста и содержит 38 рис. и 17 таблиц.
Особенности математического моделирования движения воздушных потоков в искривленных каналах
Цель работы: построение и исследование комплекса математических моделей движения газодисперсных потоков в криволинейных каналах на основе принципов декомпозиции и суперпозиции движения фаз, обеспечивающих уточнение методики аэродинамического расчета систем трубопроводов аспирации и ЦПУ.
Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: - проанализировать существующие подходы к моделированию движения газовых потоков в криволинейных частях воздуховодов; - на основе принципа декомпозиции исследовать движение газового потока и твердой фазы; - разработать и исследовать численные методы реализации моделей движения гетерогенных сред в криволинейных каналах в тороидальной системе координат; - синтезировать модель движения двухфазного потока на основе принципа суперпозиции движения газового потока и твердой фазы; - исследовать адекватность полученной модели сравнением с экспериментальными данными, полученными в результате промышленных испытаний; - разработать методику аэродинамического расчета систем трубопроводов при перемещении малоконцентрированных аэрозолей и пакет прикладных программ для компьютерной реализации построенных математических моделей. Методы исследования. В работе использовались метод математического моделирования, методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и систем нелинейных дифференциальных уравнений. Общей методологической основой является системный подход. Научная новизна работы заключается в следующем: - построена математическая модель движения двухфазных потоков в кри волинейных каналах на основе решения нестационарных дифференциальных уравнений Навье-Стокса для вязкой сжимаемой жидкости и уравнений движе ния частиц в тороидальной системе координат, отличающаяся последователь ным использованием принципов декомпозиции и суперпозиции при движении газовой среды и твердой фазы; - разработана численная схема решения уравнений математической модели в трехмерной нестационарной постановке, основывающаяся на установлении по времени метода Мак-Кормака в тороидальной системе координат. - результаты вычислительного эксперимента, уточняющие потери давления двухфазным потоком при изменении направления движения в системах трубопроводов. На защиту выносятся: - методика применения принципов декомпозиции и суперпозиции при разработке математических моделей движения малоконцентрированных газовзвесей; - методика численного решения уравнения Навье-Стокса в тороидальной системе координат установлением по времени нестационарной задачи методом Мак-Кормака в пространственной постановке. Практическая значимость работы. - последовательное применение принципов декомпозиции и суперпозиции позволяет решать практические задачи моделирования движения двухфазных потоков малоконцентрированной газовзвеси в системах аспирации и ЦПУ; - на основе математических моделей разработана методика расчета потерь давления систем трубопроводов аспирации и ЦПУ; - разработан пакет прикладных программ, реализованный в среде Microsoft Visual C++ 6.0 для операционной системы Windows, использование которого целесообразно в САПР, АСУТП, АСУ производств, имеющих источники пылевыделениЙ (горно — перерабатывающая, химическая промышленность, производство строительных материалов и др.); - результаты диссертационного исследования рекомендованы ОАО «Проектный институт Центрогипроруда» к использованию при проектировании и реконструкции систем вентиляции и пылеуборки, внедрены на ЗАО «Борисовский завод мостовых металлических конструкций» (годовой экономический эффект составил 27,3 тыс. рублей на одну установку в 2004 г) и используются в учебном процессе кафедры «Теплогазоснабжение и вентиляция» Белгородского государственного технологического университета при изучении курсов «Компьютерное моделирование систем ТГВ», «Автоматизация проектирования систем промышленной экологии», «Промышленная вентиляция и пневмотранспорт».
Основные положения диссертации изложены в 12 печатных работах и 1 патенте Российской Федерации. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежит: в [1, 2, 8] - модель соударения твердой частицы с ограничивающей поверхностью; в [3, 4, 7] - алгоритм расчета потерь давления при движении полидисперсных газовзвесей; в [6, 10] - разработан пакет прикладных программ для численной реализации методики определения потерь давления; в [5, 9] - обосновано применеие методов декомпозиции и суперпозиции для моделирования движения малоконцентрированных газовзвесей в системах аспирации и ЦПУ; в [11] - алгоритм получения линий тока для течения газа при решении дифференциальных уравнений с помощью метода сеток.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно - технических конференциях: - Международная конференция « Экология - Образование, наука и промышленность» (г. Белгород, 1998, 2002-2003); - Всероссийская научно-практическая конференция «Энерго — и ресурсосбережение. Нетрадиционные и возобнавляемые источники энергии» (г. Екатеринбург, 2001); - 59-й научно-техническая конференция Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (г. Новосибирск, 2002); - 12-й Всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (г. Нижний Новгород: Межрегиональное Верхнее - Волжское отделение Академии технологических наук Российской Федерации, 2004). Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (103 наименования) и 4 приложений. Диссертация изложена на 129 страницах машинописного текста и содержит 38 рис. и 17 таблиц. Автор выражает искреннюю благодарность сотрудникам БГТУ: профессору Минко В.А и доценту Шаптале В.Г., определившим направление исследований, профессору Логачеву И.Н. и доценту Овсянникову Ю.Г. за ценные научные и практические рекомендации.
Разработка математической модели движения малоконцентрированной пол и взвеси в колене
Наиболее интенсивными источниками пылевыделения предприятий строительных материалов, угольной, горнорудной, металлургической промышленности являются технологические процессы механической переработки и транспортирования (дробление, помол, грохочение, загрузка и выгрузка технологического оборудования, перегрузки с конвейера на конвейер), сопровождающиеся перемещением большого количества сыпучего материала по закрытым желобам. Несмотря на свой локальный характер, указанные сосредоточенные источники пылевыделения оказывают доминирующее влияние на величину запыленности воздуха в рабочих зонах [11, 24, 81]. Это приводит к быстрому изнашиванию оборудования, профессиональным заболеваниям, поэтому борьба с пылевым загрязнением воздушной среды является важной экономической и экологической задачей. Она решается с помощью комплекса противопылевых мероприятий, а так же обеспыливающей вентиляции: аспирации, пылеуборки и общеобменной вентиляции.
Выделение пыли в местах выгрузки материалов из полстей оборудования и перегрузок с конвейера на конвейер происходит вследствие избыточного давления в полости укрытия места падения материала. Причины возникновения избыточного давления следующие. 1, Аэродинамическое взаимодействие перемещающегося под влиянием силы тяжести потока частиц материала с газовым потоком. Если при этом ма териал двигается в закрытом желобе и поступает в негерметичную полость, то образуется направленный поток эжектируемого воздуха. 2. Большая окружная скорость исполнительных механизмов технологиче ского оборудования, что приводит к образованию направленных воздушных потоков. Наиболее эффективным и распространенным способом борьбы с сосредоточенными источниками пылеобразования является аспирация [39, 90]. Укрытие источника пылевыделения снабжается местным отсосом, создающим в полости укрытия разряжение, под действием которого в проемах формируется встречный воздушный поток, препятствующий поступлению пыли в атмосферу промышленных помещений. Удаляемый из укрытия запыленный воздух подается в очистной аппарат, после чего вентилятором выбрасывается в атмосферу. Укрытие с местным отсосом, пылеуловитель, вентилятор и система воздуховодов образуют аспирационную систему.
Построение аспирационных систем, отвечающих санитарным и экономическим нормам, сводится к обеспечению невыбивания пыли из укрытия при минимальном объеме отсасываемого воздуха и минимальной концентрацией материала в асприруемом воздухе.
Наиболее эффективным сухим способом удаления осевшей пыли является вакуумный [11, 34]. Централизованные вакуумные пылеуборочные установки (ЦПУ) обеспечивают полное отсасывание пыли, позволяют иметь разветвленную сеть с одновременной уборкой несколькими насадками в любой точке помещения и удобной выгрузкой уловленных продуктов, причем, при необходимости уловленная пыль может быть возвращена в технологический процесс без дополнительной переработки. ЦПУ, работа которой основана на всасывании пыли с очищаемой поверхности при помощи пылеуборочного инструмента (насадка), состоит из (рис. 1.14): побудителя тяги 1, блока очистки 2, бункера блока очистки 3, затвора 4, трубопровода 5, вентиля 6, гибкого вакуумного шланга 1, пылеуборочного насадка 8 [1, 63]. Сеть трубопроводов представляет собой коллектор с ответвлениями в определенных местах, к каждому ответвлению подключаются отводы с установленными на их концах присоединительными штуцерами для подсоединения пылеуборочного инструмента через гибкий шланг к сети трубопроводов. Отводы со штуцерами располагаются таким образом, чтобы с одной точки можно было обработать площадь в радиусе до 6 м.
В зависимости от технологической схемы производства возможны вертикальная (рис. 1.15), горизонтальная (рис. 1.16) и комбинированная (рис. 1.17) компоновка сети трубопроводов. Предпочтительной (по энергозатратам) является вертикальная схема ЦПУ, когда коллектор представляет собой стояк с отводами для присоединения вакуумных рукавов и расположенными внизу блоком очистки и побудителем тяги. В этом случае собранная пыль подается в коллектор и ее перемещению к блоку очистки способствует сила тяжести. Чаще всего используется горизонтальная компоновка сети трубопроводов или комбинированная. Аппараты очистки воздуха предназначаются для сепарации пыли, удаляемой с очищаемых поверхностей, и для обеспечения требуемой степени обеспыливания воздуха перед его выбросом в атмосферу. Побудители тяги (воздуходувки) предназначены для создания разряжения в системе ЦПУ. Особенность работы систем ЦПУ предполагает одновременное подключение и работу различного количества одновременно работающих насадков, т.е. производительность системы меняется в широких пределах.
Анализ влияния конструктивно-режимных параметров и физико-механических свойств дисперсных материалов на гидравлическое сопротивление колена
В совокупности построенные модели движения газа в колене, движения одиночной частицы в воздушном потоке газа и модель соударения частицы со стенкой канала позволяют синтезировать математическую модель движения мало концентрированной поливзвеси в искривленном канале. Как показал вычислительный эксперимент, начальное положение частицы во входном сечении канала практически не влияет на траекторию ее движения в прямолинейных участках трубопровода [76, 80]. При движении частицы в искривленных каналах начальные условия положения частицы могут оказывать существенное влияние на дальнейшую траекторию ее движения. С целью изучения влияния начальных условий на потери давления для частиц поливзвеси был проведен вычислительный эксперимент на основе моделей движения частиц, полученных в работах [75, 76, 80]. Определялись траектории движения частиц в прямолинейном участке трубопровода длиной 10 м. Найдено число частиц, влетающих в колено под различными углами, образованными вектором скорости частицы с осью трубопровода в горизонтальной плоскости в выходном сечении прямолинейного трубопровода. Полученное распределение по углам для частиц различных фракций представлено в таблицах 2.1-2.2.
Анализ полученных результатов показал, что распределение частиц по углам влета во входном сечении трубопровода близко к нормальному закону распределения. Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения частиц в зависимости от их угла с осью трубопровода использован критерий Пирсона хг [12, 51]. Результаты вычислений показали, что с\а5л с\р , поэтому на основании критерия Пирсона гипотеза о нормальном законе распределения частиц в зависимости от углов с осью трубопровода принимается. Для оценки адекватности результатов вычислительного эксперимента были использованы данные, приведенные в [95]. В этой работе получены траектории движения твердых частиц размером d - 200 мкм за короткий промежуток времени. Произведенные расчеты показали, что распределение частиц по углам к оси трубопровода носит нормальный характер со средним квадратическим отклонением S = 0,31. На уровне значимости а = 0,05 была проверена гипотеза о равенстве дисперсий по критерию Фишера [51], По полученным данным принимаем гипотезу о равенстве дисперсий, что является подтверждением адекватности вычислительного эксперимента.
Практически в системах ЦПУ и аспирации транспортируются полидисперсные твердые материалы, поэтому для разработки математической модели движения мало концентрированной поливзвеси в колене необходимо учитывать полидисперсность транспортируемого материала. Разобьем интервал возможных значений угла в начальном сечении трубопровода на п частей и для каждого получившегося (/ интервала) определим траекторию отдельной частицы. Тогда получим траектории всех частиц, проходящих через колено. Очевидно, что траектория частиц будет зависеть не только от угла в начальном сечении, но и от диаметра частиц. Учитывая дисперсный состав транспортируемого материала, будем рассматривать движение отдельных фракций, считая, что размеры частиц одной фракции одинаковые. Это позволяет получить усредненную траекторию движения частиц данной фракции, а также вычислить падение давления в трубопроводе за счет соударения частиц со стенками трубопровода для этой фракции. Проведя аналогичные вычисления для частиц всех рассматриваемых фракций, определяем характер (траектории) движения частиц каждого размера и падение давления в трубопроводе за счет соударения частиц со стенками трубопровода.
Для определения потерь давления в колене необходимо определить потери энергии для отдельной частицы AW?j рассматриваемой / фракции в зависимости от угла к оси трубопровода в интервале углов (оу,ау+1), и, зная общее число частиц Nj рассматриваемой фракции, потери энергии в этом (у интервале) вычислить по формуле: 1. Анализ построенной математической модели движения потока воздуха в колене показывает, что решение уравнений Навье-Стокса и неразрывности возможно только численными методами в тороидальной системе координат. 2. Решение уравнений Навье-Стокса и неразрывности позволяет определить потери давления при движении чистого воздуха и поле скоростей воздушного потока в криволинейных частях трубопроводов. 3. Анализ полученных уравнений движения частиц твердого материала в потоке газа показал, что основное действие оказывают силы тяжести и аэродинамического сопротивления, а в пристеночной области необходим учет также сил Магнуса и Сафмена. 4. Построена математическая модель движения одиночной частицы в газовом потоке, использующая поле скоростей газа в колене трубопровода. 5. Получено, что распределение частиц в зависимости от угла влета в начальном сечении колена подчинено нормальному закону с ст=0,16-0,41 для различных фракций, что дает возможность рассматривать движение отдельных фракций частиц. 6. Разработана математическая модель движения мало концентрированных поливзвесей в колене, а также алгоритм определения потерь давления.
Инженерный расчет системы трубопроводов при движении малоконцентрированных поливзвесей
Анализ полученных во 2-й главе математических моделей показывает, что решение соответствующих уравнений может быть получено только численными методами. Наиболее распространенным на данный момент времени методом решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток [3, 5, 13], а для решения уравнений движения твердых частиц целесообразно применять явный метод Эйлера.
Рассмотрим интегрирование полученных уравнений, входящих в модель течения газа. Уравнения Навье-Стокса являются дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных. Поскольку течение газа носит ярко выраженный турбулентный характер, используем гипотезу Буссинеска [3] и заменим динамический коэффициент вязкости 7/ выражением rj + ]Tt где щ - вихревая вязкость.
Нестационарные уравнения Навье-Стокса образуют смешанную систему гиперболически - параболических уравнений относительно времени. Если в этих уравнениях опустить нестационарные члены, то полученная смешанная система будет гиперболически - эллиптического типа, решать которую трудно из-за несходства методов численного решения уравнений гиперболического и эллиптического типов. В настоящее время стационарные решения уравнения Навье-Стокса получают установлением по времени нестационарных уравнений Навье-Стокса. Для решения была выбрана явная схема, поскольку неявные схемы характеризуются трудностями в постановке граничных условий, отличных от граничных условий типа Дирихле [3, 7, 8]. Существует достаточно большое число явных схем для решения дифференциальных уравнений в частных производных, например, схема Алена-Чена, схема Лакса-Вендроффа, схема Бима-Уорминга и целый ряд схем других авторов. Была выбрана явная схема Мак-Кормака, поскольку практически все остальные схемы имеют ограничение на максимальный размер шага по времени, вытекающее из условия устойчивости.
При использовании метода сеток в области независимых переменных вводится сетка - дискретный набор узловых точек. Дифференциальные уравнения и краевые условия заменяются сеточными уравнениями, связывающими значения искомых функций в узлах сетки. Переход к сеточным уравнениям осуществляется путем замены производных их разностными аналогами, а интегралов - соответствующими суммами.
Рассмотрим конечно-разностные аналоги производных в выбранной тороидальной ортогональной системе координат р, г, а с ортами і t іті іа. Введем сетку с шагами \,\у\ и счетчиками /, іг, iff соответственно. Определим сетку в полости Ул тора в тороидальной системе координат р, а, т. За начало координат принимаем геометрический центр окружности тора, направление 7- против часовой стрелки.
