Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Анализ методов моделирования динамических характеристик энергетических систем 13
1.1 История развития методов моделирования энергетических систем 13
1.2 Основные элементы энергетической системы и их модели 14
1.3 Проблемы и методы создания единой модели основных блоков энергетической системы 27
1.3.1 Анализ основных методов моделирования динамических систем... 29
1.3.2 Анализ методов цифрового моделирования динамических систем 32
Выводы к главе 1 42
Глава 2 Анализ устойчивости методов цифрового моделирования динамических звеньев 44
2.1 Конформные отображения областей устойчивости при моделировании аналоговых систем с помощью метода z-форм 44
2.1.1 Уравнения конформных преобразований областей устойчивости с помощью z-форм 46
2.2 Коэффициент линейности преобразования частотных характеристик при цифровом моделировании 52
2.3 Анализ чувствительности к устойчивости z-форм при конформном преобразовании 54
2.4 Анализ устойчивости цифровых моделей типового звена 57
2.4.1 Анализ устойчивости цифровых моделей, полученных с помощью z-форм 60
2.4.2 Анализ устойчивости цифровых моделей, полученных с помощью операторно-дискретного метода 61
2.4.3 Сравнительный анализ устойчивости цифровых моделей 63
Выводы к главе 2 66
Глава 3 Анализ погрешностей методов цифрового моделирования аналоговых динамических звеньев 67
3 1 Анализ причин формирования погрешностей цифрового моделирования67
3.2 Экспериментальное исследование погрешностей моделирования 72
3.3 Определение параметров численных моделей по требованиям устойчивости и точности 81
Выводы к главе 3 84
Глава 4 Методики цирового моделирования динамических характеристик основных элементов энергетической системы 85
4.1 Методика моделирования переходных процессов в линейных звеньях с помощью операторно-дискретного метода 85
4.2 Методика моделирования основных элементов энергетической системы 88
4.2.1 Методика моделирования динамических характеристик линейных элементов энергетической системы 89
4.2.2 Методика моделирования нелинейных элементов энергетической системы 93
4.2.3 Моделирование динамических характеристик линий с распределенными параметрами 98
4.2.4 Методика моделирования цифровых регуляторов 112
Выводы к главе 4 116
Заключение 117
Список использованных источников 118
Приложение
- Основные элементы энергетической системы и их модели
- Коэффициент линейности преобразования частотных характеристик при цифровом моделировании
- Определение параметров численных моделей по требованиям устойчивости и точности
- Методика моделирования основных элементов энергетической системы
Введение к работе
Развитие отечественной энергетики в условиях рыночной экономики связано с повышением надежности и качества энергообеспечения. При проектировании и внедрении современного оборудования, а также при модернизации существующего, возникает проблема моделирования динамических процессов в энергетических системах. Это обусловлено тем, что параметры переходного процесса, возникающего как при нормальной работе, так и при аварийных режимах, определяют устойчивость и, соответственно, надежность системы. Кроме того, по параметрам переходного процесса определяются координаты мест аварий линий электропередачи. Зависимость параметров переходного процесса от расстояния до места аварии положена в основу принципа действия приборов контроля и диагностики. В настоящее время переходные процессы в элементах энергетических систем рассчитываются по упрощенным моделям - линеаризованным дифференциальным уравнениям и упрощенным схемам замещения, что вызывает погрешность моделирования. Поэтому использование более точных моделей позволит повысить качество проектирования энергетических систем, а именно обеспечить оптимальное техническое решение по критериям быстродействия и устойчивости и более обоснованный выбор параметров устройств защиты, контроля и диагностики.
Одна из основных проблем моделирования энергетических систем заключаются в том, что такие системы являются гибридными, и при описании основных элементов системы используется математический аппарат анализа аналоговых и цифровых систем. В настоящее время при моделировании и проектировании энергетических систем и цифровых устройств управления широко используются компьютерные технологии, основанные на использовании цифровой информации. Поэтому для моделирования совместной работы цифровых и непрерывных звеньев систем необходим метод моделирования, использующий дискретизацию непрерывных процессов, что позволит обеспечить моделирование
преобразования сигналов на едином языке и формализовать процесс проектирования цифровых устройств по аналоговым моделям элементов системы. В качестве теоретической основы моделирования целесообразно использовать аппарат z-преобразования, который обладает потенциальными возможностями для решения указанных проблем. В развитие теории цифровых систем внесли существенный вклад отечественные и зарубежные ученые Я. 3 Цыпкин, Л. Т. Кузин, Э. И. Джури, Ю. Т. Ту, Б. Куо, К. Острем, В. П. Шипилло, А. Н. Шилин и др. Таким образом, моделирование динамических характеристик основных элементов энергетической системы является актуальной научно-технической задачей.
Целью работы является разработка и исследование цифровых моделей основных элементов энергетической системы, основанных на использовании аппарата z-преобразования, позволяющих получать структурные схемы алгоритмов численного решения и функциональные схемы цифровых управляющих устройств.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
провести анализ методов цифрового моделирования динамических звеньев для обоснованного выбора методов, позволяющих по аналоговым моделям звеньев получать удовлетворяющие требованиям точности и устойчивости дискретные модели;
провести анализ областей устойчивости методов цифрового моделирования на основе исследования конформных преобразований между р и z-плоскостями, позволяющие определить условия выбора параметров численных моделей;
исследовать влияние параметров численной модели на чувствительность к устойчивости выбранных методов аппроксимации на примере модели типового звена аналоговых и цифровых динамических систем;
выявить причины формирования погрешностей моделирования типового звена для выбранных форм аппроксимации, разработать алгоритм анализа погрешностей моделирования и создать методику обоснованного выбора параметров численной модели по требованиям устойчивости и точности;
разработать методики, алгоритмы и программы цифрового моделирования основных элементов энергетической системы, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными и переменными коэффициентами и дифференциальными уравнениями в частных производных.
Методы исследований. При выполнении исследований и решении поставленных в работе задач использовались методы теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теоретических основ электротехники, теории автоматического управления, аппарата z-преобразования, теории вероятности и математической статистики.
Достоверность полученных результатов подтверждена
корректностью математических выводов и сравнением численных решений тестовых задач с их точными решениями и решениями для частных случаев.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
получены модели конформных преобразований между р и z-областями для различных форм аппроксимации, которые позволяют определять области значений параметров численных моделей, обеспечивающих устойчивые решения, и степень искажения частотных характеристик;
исследованы функции влияния параметров численных моделей на погрешности моделирования для выбранных методов аппроксимации и разработан алгоритм анализа погрешностей, позволяющий определять области значений параметров модели по заданным требованиям устойчивости и точности;
3) разработаны методики, позволяющие по аналоговым моделям основных элементов энергетической системы — операторным уравнениям, получать цифровые модели в виде разностных уравнений и диаграмм состояния, структурные схемы которых совпадают со структурными схемами специализированных цифровых устройств.
Практическую ценность работы составляют разработанные методики:
выбора z-форм и параметров численных моделей по требованиям устойчивости и точности для конкретных задач;
синтеза цифровых регуляторов по аналоговым моделям, позволяющие автоматизировать процессы проектирования и модернизации устройств управления энергетическим оборудованием;
определения математического выражения дискретной передаточной функции линии с распределенными параметрами - линии электропередач, которое учитывает запаздывание и инерционные искажения сигнала;
определения рекурсивного уравнения нелинейного звена энергетической системы - синхронного генератора, в каждом такте которого изменяются не только значения переменной величины, но и параметры звена.
Основные положения, выносимые на защиту:
анализ существующих методов цифрового моделирования динамических характеристик позволил выбрать в качестве основы моделирования элементов энергетической системы метод z-форм и операторно-дискретный метод;
модели конформных преобразований между р и z-областями для различных форм аппроксимации позволяют определять области значений параметров численных моделей, обеспечивающих устойчивые решения, и степень искажения частотных характеристик;
исследования функционального влияния параметров численной модели типового звена на погрешность и чувствительность к устойчивости
позволяют обоснованно определять области значений параметров модели по требованиям устойчивости и точности;
4) цифровые модели основных элементов энергетической системы: линейных (трансформаторы, регуляторы), нелинейных (синхронные генераторы), с распределенными параметрами (линии электропередач) позволяют представлять передаточные функции этих элементов в единой форме, а именно в виде рекуррентных уравнений.
Реализация работы:
результаты исследования использовались в учебном процессе Волгоградского государственного технического университета в курсах «Электротехника и электроника», «Основы теории управления» и Волгоградского филиала Московского энергетического института в курсе «Переходные процессы в энергетике»;
результаты работы использовались в Волгоградском государственном техническом университете при проектировании цифровых регуляторов АСУ ТП в машиностроении.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях Волжского филиала МЭИ (2005 г., 2006 г.), Всероссийской научной конференции «Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности» г. Астрахань (2007 г.), на IV всероссийской научно-практической конференции «Образовательная среда сегодня и завтра» г. Москва (2007 г.), на V всероссийской научно-практической конференции «Инновационные технологии в обучении и производстве» г. Камышин (2008 г.), а также на научных семинарах кафедры «Электротехника» ВолгГТУ (2005-2009 г.г.)
Публикации. Основные результаты исследования представлены в 10 статьях, 5 статей опубликованы в журналах из списка ВАК РФ, 5 статей в сборниках трудов конференций, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ № 2009610280.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, в том числе 54 рисунка, 5 таблиц, списка литературы из 113 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении показана актуальность темы диссертации, дан анализ состояния проблемы, показана научная новизна, практическая ценность работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе был проведен анализ основных методов моделирования, которые могут быть использованы для цифрового моделирования основных элементов энергетической системы, состоящей из линеаризованных элементов (трансформаторы), нелинейных (генератор), элементов с распределенными параметрами (линии) и цифрового регулятора напряжения. Из проведенного анализа следует, что потенциальными возможностями для моделирования всех элементов обладает аппарат z-преобразования. Наиболее важным свойством z-преобразования является сравнительная простота нахождения оригинала по изображению функции. Если известна импульсная передаточная функция устройства, то реакция может быть определена с помощью рекуррентной формулы. Для моделирования аналоговых систем широко используется метод z-форм, основанный на преобразовании непрерывной передаточной функции в дискретную с периодом дискретизации Т с помощью различных форм
аппроксимации уравнения z = epT. Однако, для обеспечения требуемой точности моделирования и устойчивости численных моделей необходим обоснованный выбор самого метода аппроксимации.
Во второй главе проведены анализ устойчивости методов z-форм, исследование чувствительности к устойчивости методов z-форм и операторно-дискретного метода при моделировании типового звена и
разработаны рекомендации по их применению. При анализе устойчивости методов z-форм рассмотрены конформные отображения области устойчивости /^-плоскости на z-плоскость с помощью различных форм аппроксимации и проведен сравнительный анализ полученных отображений.
Из анализа конформных отображений следует, что запасом по устойчивости обладает метод обратной разности. При использовании метода прямой разности численная модель устойчивой системы может иметь неустойчивое решение, а при использовании методов трапеций и интегрального преобразования без потерь границы областей устойчивости практически совпадают с границей точного преобразования.
При равномерной частотной дискретизации на /^-плоскости при конформном отображении с помощью z-форм возникают частотные искажения. В работе впервые введена количественная оценка искажения частотных характеристик, а именно коэффициент линейности. Построены зависимости коэффициента линейности от частоты и проведен их анализ, который позволяет обоснованно для каждого частотного диапазона выбирать соответствующую форму моделирования.
Для разработки методик численного моделирования динамических звеньев были проведены исследования устойчивости численного решения в зависимости от параметров численной модели. В качестве объекта исследования рассмотрено колебательное звено второго порядка.
Для выражений импульсных передаточных функций, использующих разные формы аппроксимации, получены функциональные зависимости модулей их полюсов от относительного периода дискретизации с =Т/Т0 (То — постоянная времени) и относительного параметра затухания и проведено их исследование относительно границы устойчивости (|z|=l). Из анализа
графических зависимостей следует, что запасом по устойчивости обладает метод обратной разности.
В третьей главе были проведены исследования погрешностей моделирования типового звена в зависимости от периода дискретизации и
параметров звена, предложена методика обоснованного выбора параметров модели по критериям устойчивости и точности при использовании методов: прямой разности; обратной разности, Тустена и операторно-дискретного метода. Для решения этой задачи была разработана компьютерная программа, которая позволяет получать переходные и импульсные характеристики с помощью четырех видов аппроксимации, сравнивать численное решение с точным и вычислять максимальные абсолютные погрешности д при различных параметрах , и с.
Из анализа проведенных исследований следует, что при —»0 в выбранном диапазоне с наименьшую погрешность в численное решение вносит операторно-дискретный метод. Таким образом, если по условиям задачи требуется максимальная точность моделирования, то целесообразно использовать метод трапеций или операторно-дискретный метод, для которого модель представляется в виде схемы замещения.
На основе проведенных исследований предложена методика определения параметров численной модели, удовлетворяющих требованиям устойчивости и точности.
В четвертой главе предложены методики моделирования основных элементов энергетических систем с помощью аппарата z-преобразования.
Методика моделирования нелинейных элементов энергосистемы рассмотрена на примере уравнения движения ротора генератора. Используя прямое преобразование Лапласа и метод z-форм, получены выражение дискретной передаточной функции системы и алгоритм вычислений значений переходной характеристики, в котором для учета нелинейности в каждом такте корректируются коэффициенты передаточной функции.
В результате моделирования нелинейных процессов с помощью z-форм получен рекурсивный алгоритм, позволяющий осуществлять моделирование электромеханических переходных процессов без линеаризации с более высокой точностью во всей области устойчивой работы генератора. С помощью метода интегральных оценок получено, что при изменении
мощности генератора в диапазоне (0.707-Ю.717) Рт точность моделирования нелинейной модели относительно линеаризованной повышена на 21.5%. Предложенная методика позволяет решать задачи статической и динамической устойчивости системы без их условного разделения.
При анализе переходных процессов в линиях электропередачи используется выражение передаточной функции линии, которое сравнительно сложно для существующих методов анализа. Однако при дискретизации передаточной функции экспоненциальные функции могут быть преобразованы без потери точности в область z переменной. Основная погрешность численного моделирования определяется аппроксимацией выражений волнового сопротивления Zc(p) и коэффициента распространения у(р) с помощью разложения их в ряд Тейлора (y(p)~Cp+D). В результате получено выражение дискретной передаточной функции линии.
Полученная дискретная модель учитывает процессы запаздывания и искажения сигналов присущие линии с распределенными параметрами. В связи с отсутствием аналитического решения этой задачи адекватность численной модели проверялась для частного случая, для которого известна форма реакции, а также сравнением с результатами, полученными с помощью программ, реализуемых в пакетном режиме.
Из анализа графиков следует, что метод, основанный на z-преобразовании, является более точным, чем эталонный. Кроме того, предложенный метод значительно превосходит по быстродействию эталонный метод. В работе также получены графики переходных процессов и абсолютных погрешностей, полученных с помощью спектрального метода (эталонного) и метода z-форм для линии с искажениями и несогласованной нагрузкой. На основании проведенных исследований выявлено, что наибольшее влияние на точность моделирования переходных процессов в линии оказывает погрешность аппроксимации выражений Zc(p) и у(р) и их дискретизация, а наилучшие результаты при моделировании позволяет получить метод обратных разностей.
Основные элементы энергетической системы и их модели
Энергетическая система представляет собой сложную систему, в которой осуществляется взаимодействие элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих и распределяющих, потребляющих электрическую энергию, а также элементы управления, регулирующие и изменяющие состояние системы. Динамическое состояние энергетической системы описывается системой дифференциальных и алгебраических уравнений. Их порядок определяется габаритами и сложностью системы, а также необходимой степенью детализации при моделировании и составляет от 100 до 1000. Система может быть нелинейной с учетом тригонометрических, экспоненциальных зависимостей, насыщения и т. д. Нелинейный характер задач так же обуславливается нелинейной зависимостью токов генераторов и нагрузок от напряжения; нелинейной зависимостью мощностей генераторов и проводимостей от частоты [51].
Основными отличительными признаками энергетической системы являются [12]: 1) наличие большого количества взаимно связанных и взаимодействующих между собой элементов; 2) сложность функций, выполняемых системой и направленных на достижение заданной цели функционирования; 3) возможность разбиения системы на подсистемы; 4) режим управления системой.
При переходах системы от одного установившегося режима к другому происходит изменение электромагнитного состояния системы, и нарушается баланс между механическим и электромагнитным моментами на валах генераторов и двигателей. Это явление, единое по своей природе, при анализе разбивается на ряд процессов, а при решении инженерных задач учитываются только наиболее существенные в данном конкретном случае факторы, что позволяет упростить их решение. При нормальной эксплуатации системы всегда имеются воздействия, вызывающие малые возмущения режима, например изменения нагрузки и реакция на эти изменения регулирующих устройств, включения и отключения отдельных генераторов или изменения их мощности. В связи с этим на генераторах системы появляются весьма малые, дополнительные моменты, действующие на валах генераторов и смещающие их роторы на некоторые небольшие углы.
Это означает, что неизменного режима в системе не существует и, говоря об установившемся режиме, всегда имеют в виду режим малых возмущений. Так как в энергетической системе постоянно происходят малые возмущения, то статическая устойчивость является необходимым условием ее работоспособности. Под статической устойчивостью системы понимается ее способность восстанавливать исходный режим после кратковременного воздействия малого возмущения, а для ее анализа используются линеаризованные дифференциальные уравнения.
При анализе устойчивости линеаризованной системы в проектных и эксплуатационных организациях решаются следующие специальные задачи: 1) расчет параметров предельных режимов с предельной передаваемой мощностью по линиям, критического напряжения узловых точек системы, питающих нагрузку; 2) определение коэффициентов запаса устойчивости; 3) выбор мероприятий по повышению статической устойчивости энергосистем или обеспечению заданной пропускной способности передачи; 4) разработка требований направленных на улучшение устойчивости систем. Выбирается настройка автоматических регуляторов напряжения, обеспечивающих требуемую точность поддержания напряжения [70, 71].
При проектировании энергетических систем, разработке специальных устройств автоматического регулирования, вводе в эксплуатацию новых элементов системы, изменении условий эксплуатации, например объединении систем, вводе новых электростанций, линий электропередач, возникает проблема анализа динамических характеристик основных элементов энергетической системы.
Проведем анализ математических моделей основных элементов энергетической системы и существующих методов анализа их динамических характеристик на примере простейшей энергетической системы, обобщенная структурная схема которой представлена на рисунке 1.1, основными элементами которой являются: синхронный генератор, трансформаторы, линия электропередач, нагрузка, цифровые регуляторы.
Поскольку основные элементы входят в состав и сложных систем, то их моделирование является весьма актуальной задачей. При моделировании сложных систем учитываются их топологические особенности и, соответственно, увеличивается количество уравнений, описывающих систему, что в настоящее время в связи с внедрением компьютерных технологий не является существенной проблемой [54].
Коэффициент линейности преобразования частотных характеристик при цифровом моделировании
Из анализа результатов, полученных в работах [76, 81], следует, что погрешность моделирования зависит от значений периода дискретизации, параметра затухания динамического звена и максимальной степени полиномов изображения функции. При стремлении периода дискретизации к нулю, т.е. при приближении численной модели к аналоговой модели, уменьшается погрешность моделирования, но при этом увеличивается объем обрабатываемой информации. Кроме того, в источнике [37] приведены результаты анализа, из которых следует, что с уменьшением периода дискретизации модули полюсов импульсной передаточной функции стремятся к единице, т.е. к области неустойчивости. Поэтому для разработки методик моделирования динамических звеньев необходимо провести исследования устойчивости численного решения. Полученные результаты позволят обоснованно выбирать методы моделирования и параметры численных моделей.
При выборе метода численного моделирования для конкретной задачи необходима информация о потенциальных возможностях каждого метода, а именно чувствительности к устойчивости решения. Из анализа областей устойчивости решения следует, что при использовании метода обратных разностей область устойчивости на /?-плоскости трансформируется в некоторую область на z-плоскости с наибольшим запасом по устойчивости, а метод прямых разностей может дать неустойчивое численное решение при устойчивом решении аналоговой модели. Однако с помощью метода трансформации областей устойчивости не представляется возможным исследовать операторно-дискретный метод, поскольку в нем одновременно используется две z-формы (прямая и обратная разности), а в качестве исходной модели операторная схема замещения. Для метода прямой разности выявлена область недопустимых значений полюсов непрерывной передаточной функции, однако сравнительно сложно выявить условия выбора численных значений полюсов. Поэтому для определения численных значений границ проведено исследование моделирования типового звена, а именно колебательного звена второго порядка. Данное звено характеризуется двумя параметрами периодом Т0 и параметром затухания которые однозначно связаны с переменными со я а комплексной плоскости.
Такое исследование обладает большой общностью, поскольку дифференциальное уравнение второго порядка и классический метод его решения достаточно известны из курсов математики, механики и электротехники и может быть использовано для моделирования других систем. Уравнения второго порядка часто используются для приближенного описания звеньев систем автоматического управления и электротехнических устройств. В том случае, если исследуемые линейные системы описываются дифференциальным уравнением более высокого порядка, то, как было доказано А. Ю. Ишлинским, переходный процесс приближенно можно описать уравнением второго порядка [49]. Обычно реальные динамические системы характеризуются парой доминирующих полюсов, а остальные находятся далеко слева, тогда влияние последних на передаточную функцию незначительно и поэтому в этом случае переходный процесс приближенно можно описать уравнением второго порядка. Кроме того, в цифровых системах управления колебательное звено второго порядка используется при каскадной реализации алгоритмического управления и является технической характеристикой сигнального процессора, то есть колебательное звено второго порядка можно принять в качестве элементарного процессора цифровой системы управления [4].
Передаточная функция колебательного звена второго порядка: где К — передаточный коэффициент, , - относительный коэффициент затухания (0 р р 1 - для колебательного режима), Т0 - постоянная времени. Проведем исследования чувствительности к устойчивости решения различных методов [77]. Для этого с помощью различных методов осуществим переход к импульсной передаточной функции: состояния (рис. 2.10, а), которая является графическим отображением причинно-следственных связей между дискретными переменными состояния. Диаграмма может служить основой программы для ЭВМ, при этом ветви с коэффициентами передачи z"1 реализуются временной задержкой или запоминанием на Т секунд.
Переход от изображения к оригиналу функции - уравнениям состояния может быть выполнен по диаграмме состояния [37, 84]. На основе диаграммы состояния (рис. 2.10, б).запишем уравнения состояния звена второго порядка:
Для устойчивости численного моделирования необходимо, чтобы значения модулей полюсов импульсной передаточной функции были меньше единицы. Поэтому для выражений импульсных передаточных функций, полученных с помощью разных методов аппроксимации, определим модули полюсов и проведем их исследование в зависимости от параметров модели.
Определение параметров численных моделей по требованиям устойчивости и точности
При выборе метода численного моделирования для конкретной задачи необходима информация о потенциальных возможностях каждого метода, а именно о погрешностях численного моделирования и чувствительности метода к устойчивости решения. На основе проведенных исследований предложена методика определения параметров численной модели, удовлетворяющих требованиям устойчивости и точности (рис 3.8). На рисунке 3.9 проиллюстрирована методика выбора диапазона относительного периода дискретизации Ас по совмещенным характеристикам д=/(с) (график 1) и z = f(c) (график Г) на примере операторно-дискретного метода [89]. Выбранный диапазон Ас обеспечивает некоторый запас по устойчивости и допустимую погрешность моделирования. Для этого в одной системе координат построены зависимости 3=/(с) (график 1) и z=/fc,) (график Г). На графике функции N f(c) выбрана область значений шириной Az вблизи границы устойчивости, при которых возможно получение неустойчивого решения. Ширина Az определяется погрешностью вычислений.
Пересечение графика с нижней границей области определяет минимальное значение с. Для графика функции д = /(с) выбрана область предельной погрешности численного метода дпр, пересечение графика с верхней границей области позволяет выбрать максимальное значение с. Совмещенные характеристики S=f(c) и \z\=f(c) получены операторно-дискретным методом при f = 0.1, Az = 0.001, =0.001. Предложенная методика, использующая совмещенные характеристики, позволяет определить диапазоны относительного периода дискретизации Ас при заданном параметре при которых численное решение устойчиво и обеспечивает требуемую точность моделирования. В таблице 3.2 указаны диапазоны относительного периода дискретизации, полученные для различных методов аппроксимации при Az= 0.001, (5 =0.001 и нескольких значениях параметра затухания. Из анализа результатов исследования, представленных в таблице 3.2 следует, что при условии 0.1 методы прямой и обратной разностей неприменимы, и в этом случае необходимо использовать метод трапеций или операторно-дискретный метод. Результаты исследования могут быть также представлены семейством графиков с = f{) при заданной погрешности ё (рис. 3.10). Эта форма удобна для практического использования, так как по заданным значениям д и может быть определено значение с. На рисунке 3.10 в качестве примера приведен график с = f{) для операторно- дискретного метода при д = 0.001, Az= 0.001, построенный по нескольким точкам с помощью аппроксимации по методу наименьших квадратов уравнением с = 9.527 х 10_4/g. Выводы к главе 3 1. На основе исследования причин формирования погрешностей численного метода формализован процесс количественного анализа погрешностей, что позволило разработать компьютерную программу, которая определяет погрешности моделирования по заданным параметрам. 2.
С помощью компьютерной программы проведено исследование погрешностей численного моделирования динамического звена для различных методов аппроксимации, из которого следует, что погрешность операторно-дискретного метода во всем диапазоне значений и с минимальна и не превышает 1%. 3. На основе проведенных исследований выявлено, что диапазон значений периода дискретизации численной модели, обеспечивающих устойчивость и заданную погрешность, ограничен и для каждого метода имеет свои значения. В результате проведенных исследований получена методика, которая позволяет по заданным значениям погрешностей и ширине полосы, определяющей запас по устойчивости, обоснованно выбирать параметры численной модели.
Методика моделирования основных элементов энергетической системы
Максимальная абсолютная погрешности — 0.0015. Это связано с тем, что в обоих случаях используются различные упрощения, в первом случае для расчетов применяются упрощенные схемы замещения линии. Во втором случае при вычислении значений переходной функции ограничивается число гармонических составляющих.
При моделировании с использованием упрощенных схем замещения линии и спектрального метода получены переходные характеристики, которые не учитывают задержку сигнала, присущую линии с распределенными параметрами. Выводы. В результате использования аппарата z-преобразования получено выражение дискретной передаточной функции линии с распределенными параметрами удобное для цифровой обработки сигналов и синтеза цифровых регуляторов. Причем полученная дискретная модель учитывает процессы запаздывания и искажения сигналов присущие линии с распределенными параметрами. Необходимо отметить, что наиболее просто, без потерь осуществляется моделирование процесса запаздывания. Аппроксимация использована при моделировании процессов искажения сигналов. Приведенная модель передаточной функции позволяет моделировать системы с регулированием напряжения не на входе линии, а на ее выходе. Необходимо отметить, что при расчете спектральным методом Уі(і)Ф 0 при t = 0, то есть реакция появляется одновременно с возмущающим воздействием, поскольку линия вносит искажение сигнала и запаздывание, это противоречит физике процесса. В предлагаемой методике такого эффекта не наблюдается. В связи с отсутствием методик моделирования линии с распределенными параметрами по выражению передаточной функции, адекватность модели проверялась на частном случае, для которого известна форма реакции, а также на анализе реакций, полученных различными методами.
На основании проведенных экспериментов выявлено, что наибольшее влияние на точность моделирования переходных процессов в линии оказывает аппроксимация выражений Zc(p) и у(р) и их дискретизации. Кроме того исследования показали, что при работе линии во всем частотном диапазоне при некоторых ее параметрах могут возникать неустойчивые решения. Это связано с тем, что используемые схемы замещения элементарного участка линии были разработаны для гармонических возмущающих воздействий, то есть могут работать в ограниченном частотном диапазоне. Для представленных в литературных источниках схем замещения элементарного участка линии отсутствуют рекомендации по их использованию. Очевидно, что ни одна из схем в широком диапазоне не работает и каждая применима для конкретной задачи. Поэтому при моделировании переходных процессов в линии необходим обоснованный выбор исходной модели. Таким образом, полученная дискретная передаточная функция может использоваться при анализе устойчивости протяженных энергетических систем, охваченных обратной связью. 4.2.4 Методика моделирования цифровых регуляторов В аналоговых системах управления чаще всего используются типовые регуляторы, выполненные на базе операционных усилителей. 3.
Выбор формы аппроксимации и периода дискретизации. Согласно проведенным исследованиям конформных преобразований областей устойчивости в главе 2 следует, что для численного моделирования можно использовать метод обратной разности и метод трапеций. Проверим возможность применения метода прямой разности для решения данной задачи. Согласно методике выбора периода дискретизации, предложенной в разделе 3.3 для выбранного значения ширины области вблизи границы устойчивости Az=0.0001 получим диапазон периода дискретизации 3.227-10" Т 6.176-10"4 с и соответствующие значения погрешностей для каждого значения Т. С помощью компьютерной программы (приложение А) получено, что в этом диапазоне Т относительная погрешность моделирования составляет не менее 8%, поэтому использовать метод прямой разности для данной задачи не целесообразно. Для дальнейших расчетов выберем форму аппроксимации согласно методу трапеций. Согласно методике выбора периода дискретизации, предложенной в разделе 3.3 при Г=0.0004 с максимальная погрешность моделирования составляет 2%.
