Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели ветровых течений в стратифицированных водоемах. Аналитические решения упрощенных моделей 20
1.1 Основные уравнения ветровых течений жидкости в замкнутых стратифицированных водоемах 20
1.2 Аналитические решения трехмерных уравнений стационарного ветрового течения
1.2.1 Однородная жидкость 25
1.2.2 Двухслойная жидкость 38
Глава 2. Численная модель ветровых течений в стратифицированных водоемах 46
2.1 Обзор численных моделей для расчета ветровых течений в стратифицированных водоемах 46
2.2 Комплекс программ GETM (GOTM) 47
2.2.1 Алгоритм для расчета уравнений движения жидкости 48
2.2.2 Алгоритм для расчета полей температуры и солености 53
2.2.3 Определение коэффициентов горизонтального турбулентного обмена и горизонтальной турбулентной диффузии.
Уравнение состояния 54
2.2.4 Формат ввода и вывода данных 54
2.3 Адаптация и верификация численного алгоритма для расчета течений в неглубоких замкнутых стратифицированных водоемах 56
2.3.1 Выбор сеток на основе тестовых расчетов 56
2.3.2 Выбор разностных аппроксимаций членов переноса 57
2.3.3 Выбор уравнения состояния 58
2.3.4 Тестовый расчет: прямоугольный бассейн с ровным дном 60
2.3.5 Тестовый расчет: цилиндрический бассейн с ровным дном 66
2.3.6 Тестовый расчет: бассейн с ровным дном и береговой линией реального озера 70
2.3.7 Тестовый расчет: параболический бассейн 74
Глава 3. Комплексная система моделирования гидрофизических процессов в соленых стратифицированных замкнутых озерах. Применение к моделированию гидрофизического режима озера Шира 80
3.1 Структура комплексной системы 80
3.2 Общее описание натурного эксперимента 83
3.3 Тестовый расчет: водоем с батиметрией озера Шира, однородная жидкость 87
3.4 Численные расчеты для озера Шира при постоянном ветре. Сравнение с натурным экспериментом 89
3.5 Численные расчеты для озера Шира при переменном ветре. Сравнение с натурным экспериментом 93
Заключение 96
Список литературы
- Аналитические решения трехмерных уравнений стационарного ветрового течения
- Алгоритм для расчета полей температуры и солености
- Выбор разностных аппроксимаций членов переноса
- Численные расчеты для озера Шира при постоянном ветре. Сравнение с натурным экспериментом
Введение к работе
Актуальность. Соленые озера являются важными природными объектами, в которых заключены разнообразные запасы минеральных и биологических ресурсов. Они представляют собой большую экономическую ценность, так как являются одним из основных мест рекреационного туризма, медицинским ресурсом по запасам лечебной грязи и соли. Мировым сообществом признана необходимость «изучения, рационального использования и сохранения природы соленых озер» (Манифест, принятый участниками V Международного симпозиума по изучению соленых озер, Боливия, 1991 г.). Современные соленые озера имеют научное значение как природные седи-ментологические лаборатории, которые не только хранят записи обо всех па-леоклиматических изменениях, но и являются природной площадкой для изучения солеобразующих процессов и изменений окружающей среды.
Исследования соленых озер проводятся по разным направлениям: химия, биология, микробиология, биофизика, гидрофизика. Гидрофизические процессы в значительной мере формируют среду обитания гидробионтов, определяют перенос и седиментацию веществ, интенсивность загрязнения и самоочищения водоёмов. В свою очередь, изучение гидрофизики озер включает в себя построение и исследование математических моделей для однородной и неоднородной жидкости, нахождение аналитических решений упрощенных моделей, численное моделирование, лабораторные и натурные эксперименты. Получили свое развитие и дистанционные аэрокосмические методы исследования озер.
Логическим продолжением может служить объединение нескольких
направлений для исследований конкретного водоема, что и обосновывает ак
туальность данной работы. В диссертационной работе предлагается ком
плексный подход к исследованию неглубоких замкнутых соленых стратифи
цированных озер, разработанный и опробованный на изучении гидрофизиче
ских характеристик озера Шира. Идея исследования заключается в примене
нии технологии вычислительного и натурного экспериментов для построения
моделей, описывающих гидрофизические характеристики изучаемого уни
кального водного объекта. Методология вычислительного эксперимента раз
работана в трудах академиков А. А. Самарского, Н. Н. Яненко,
Ю. И. Шокина.
Цель работы состоит в создании на основе технологии вычислительного эксперимента комплексной системы моделирования соленых стратифицированных озер, ориентированной на изучение их гидрофизических характеристик и применении ее для изучения ветровых течений в реальном водоеме (озере Шира, расположенном в республике Хакасия).
В соответствии с этой целью в работе поставлены и решаются следующие задачи:
1. Выявить общие закономерности течений на основе новых аналитиче-
ских решений упрощенных гидрофизических моделей ветровых течений в замкнутом водоеме.
-
Создать, в рамках технологии вычислительного эксперимента, программно – технологическое обеспечение для моделирования трехмерных течений в соленых замкнутых стратифицированных озерах.
-
Провести поэтапную адаптацию и верификацию численного алгоритма решения конечно-разностных уравнений модели движения неоднородной жидкости, реализованного в свободно распространяемом пакете программ GETM.
-
Провести исследование ветровых течений для соленых стратифицированных озер на примере озера Шира с использованием созданного программного комплекса, а также по результатам натурных наблюдений на оз. Шира.
-
Дать оценку гидрофизического режима озера Шира в летний период, используя выявленные закономерности.
Объектом исследований являются физические процессы, специфические для замкнутых стратифицированных соленых водоемов.
Методы исследований: аналитические решения уравнений математической физики; численные решения уравнений математической физики; вычислительный эксперимент; проведение натурных наблюдений с помощью специализированных современных измерительных приборов; обработка и анализ результатов измерений гидрофизических параметров озера и результатов численного моделирования.
На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам:
-
Новые аналитические решения для трехмерной модели движения жидкости с учетом бокового обмена в водоемах простейшей геометрии (п. 2 паспорта специальности – Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей).
-
Поэтапная адаптация численного алгоритма к исследованию неглубоких замкнутых стратифицированных озер путем тестирования на вновь полученных аналитических решениях и путем выбора оптимальных параметров расчета (разностной сетки, способов разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, уравнения состояния). Валидация математической модели и верификация численного алгоритма путем сравнения с результатами натурных наблюдений (п. 3 паспорта специальности – Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий).
-
Созданная на базе технологии вычислительного эксперимента система компьютерного и имитационного моделирования ветровых течений в соленых замкнутых стратифицированных озерах, включающая в себя комплекс оригинальных программ пре- и пост-процессинга данных натурных наблюдений и результатов численных экспериментов, обеспечивающий эффективную организацию вычислительных экспериментов, выполняемых с помощью широко используемых в проблемной области средств компьютерного моделирования (GETM, GOTM), и интерпретацию их результатов (п. 8 паспорта
специальности – Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования).
4. Результаты комплексного исследования гидрофизических характери-
стик оз. Шира с применением математического моделирования, численного экспермента и натурных наблюдений (п. 5 паспорта специальности – Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента).
Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в том, что:
-
Получены новые аналитические решения для оценки ветрового движения жидкости в моделях с учетом горизонтального турбулентного обмена как для однородной, так и для неоднородной (двухслойной) жидкости.
-
В рамках технологии вычислительного эксперимента построена оригинальная комплексная система для трехмерного моделирования течений в соленых замкнутых стратифицированных озерах на основе свободно распространяемого пакета GETM.
-
Впервые получена трехмерная картина распределения полей гидрофизических характеристик в оз. Шира на основе вычислительного эксперимента и сравнения с натурными данными.
4. На основании полного анализа гидрофизических характеристик опре
делен характер течений в озере Шира в летний период, что дает новые знания
о процессах перемешивания водной среды.
Значение для теории. Полученные аналитические решения упрощенных моделей движения жидкости в трехмерном случае для постоянного и переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена могут применяться для анализа ветровых течений как элемент неразрушающего контроля гидрофизических характеристик озера, а также для тестирования численных алгоритмов. Раскрыты ограничения области применимости модели Экмана по сравнению с изученной в данной работе моделью с учетом бокового обмена. Проведена валидация математической модели, адаптация и верификация широко применяемого в проблемной области численного алгоритма, реализованного на основе свободно распространяемого пакета GETM, для проведения вычислительного эксперимента по моделированию течений в неглубоких замкнутых стратифицированных озерах.
Значение для практики. Использование комплексного подхода на основе технологии вычислительного эксперимента дает возможность наиболее полно исследовать гидрофизические характеристики соленых стратифицированных озер с наименьшими затратами ресурсов и нанося наименьший вред экологической системе озера. Предлагаемый подход может быть использован при оценке влияния антропогенного воздействия на гидробиологический режим соленых стратифицированных озер, а также может быть полезен биологам при исследованиях микробного биоразнообразия.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается строгостью математических выкладок; количественным и каче-5
ственным совпадением с результатами других авторов; непротиворечивостью результатов численных расчетов, натурных данных для озера Шира и полученных аналитических решений; экспериментальным доказательством адекватности математической модели.
Использование результатов диссертации. Результаты, полученные в диссертации, были использованы при выполнении гранта РФФИ № 07 – 01 – 00153 – а, № 13 – 05 – 00853 и междисциплинарных интеграционных проектов СО РАН № 95 – 2009, 56 – 2012.
Рекомендации по использованию результатов диссертации. Представленные методики могут применяться в составе комплексной системы при экологическом мониторинге соленых стратифицированных озер, а также при планировании будущих натурных измерений. Результаты моделирования гидрофизических процессов могут служить базой для исследования химико-биологических характеристик озер.
Представление результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть – Каменогорск, Казахстан, 2003); Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Казахстан 2004); IX Всероссийской конференции «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» (Барнаул, 2007); международной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий -2008» (Красноярск, 2008); Всероссийской конференции «Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение», приуроченной к 90-летию академика Л. В. Овсянникова (Новосибирск, 2009); Международной конференции «Mathematical and Informational Technologies» MIT-2009, 2011 (Копаоник, Сербия, 2009; Врнячка Баня, Сербия, 2011); X, XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» ГА-2010, ГА-2012 (Санкт – Петербург, 2010, 2012); XV, XVI, XVII Международной научно-практической конференции «Решетневские чтения» (Красноярск, 2011, 2012, 2013); VII, VIII Всесибирском конгрессе женщин – математиков (Красноярск, 2012, 2014), Международной конференции «Информационно- вычислительные технологии и математическое моделирование (ИВТ&ММ)» (Кемерово, 2013), Международной научной конференции «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей» (Новосибирск, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций в печатных листах, в знаменателе – объем, принадлежащий лично автору): 2 монографии (16,25/4,06), 8 статей в периодических изданиях, рекомендованных ВАК для представления основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора или кандидата наук (5,0/1,5), 2 – в рецензируемых журналах (1,18/0,52), 8 работ в трудах международных и всероссийских конференций (2,13 /1,01), 1 препринт (3/0,33), 9 из них опубликова-6
ны в изданиях, входящих в базу РИНЦ, 3 свидетельства государственной регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности (Роспатент).
Личный вклад автора. Созданная система имитационного моделирования трехмерных течений в соленых замкнутых стратифицированных озерах является итогом исследований, проводимых в ИВМ СО РАН (г. Красноярск), ИБФ СО РАН (г. Красноярск), АО ИО РАН им. Ширшова (г. Калининград).
Аналитические решения для задачи ветрового движения вязкой жидкости исследовались в соавторстве с Л. А. Компаниец, О. С. Володько, Л. В. Гавриловой. Личный вклад автора заключается в получении точного решения для упрощенной гидрофизической модели ветрового движения однородной жидкости в трехмерном случае с постоянным и переменным коэффициентом вертикального турбулентного обмена; в получении точного решения для трехмерной модели ветрового движения неоднородной двухслойной жидкости.
В основе системы вычислительного моделирования лежит пакет GETM, разработанный тремя авторами: Hans Burchard, Karsten Bolding and Lars Umlauf и распространяемый под GNU лицензией. Личный вклад автора заключается в калибровке численной модели с помощью данных натурного эксперимента; в проведении компьютерного моделирования ветровых течений как для водоемов простейшей формы, так и для водоема с батиметрией озера Шира; в интерпретации результатов численного моделирования; в создании набора программ, который позволяет формировать входные файлы, а также извлекать и обрабатывать выходные данные (написанных автором в соавторстве с О. Э. Якубайликом). Все результаты неоднократно обсуждались с Л. А. Компаниец.
Измерения скоростей течений в озере Шира в летний период с исполь
зованием допплеровских профилографов проводились как автором лично,
так и совместно с О. С. Володько, В. И. Барановым. Измерения других гид
рофизических характеристик озера проводились совместно с
А. П. Толомеевым. Личный вклад автора состоит в проведении измерений и
обработке результатов измерений трехмерного вектора скорости течений, а
также обработке результатов измерений температуры и солености.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Работа состоит из 122 страниц основного текста, включая 72 рисунка. Список использованных источников включает 101 наименование.
Аналитические решения трехмерных уравнений стационарного ветрового течения
В параграфе 1.2 приведены полученные автором аналитические решения для модели с учетом бокового обмена в водоеме простой геометрии (бассейн прямоугольной формы). Сравнение их с аналитическими решениями для модели Экмана позволяет определить, в какой области можно применять решение более простой модели Экмана.
Аналитические решения для трехмерной модели стационарного ветрового движения вязкой однородной жидкости в замкнутом водоеме при различных коэффициентах вертикального турбулентного обмена (коэффициент вертикального турбулентного обмена постоянен или изменяется по глубине либо по линейному, либо по экспоненциальному закону) были найдены при некоторых упрощающих предположениях: жидкость является однородной, коэффициенты горизонтального турбулентного обмена - величины постоянные; отклонение свободной поверхности от невозмущенного положения мало, влияние ветра можно рассматривать на невозмущенной поверхности бассейна; существует стационарное решение уравнений.
Получены также решения для модели с учетом бокового обмена при переменном коэффициенте вертикального турбулентного обмена (линейно или экспоненциально меняющемся по глубине), наклоны свободной поверхности не учитывались.
Выписаны найденные автором аналитические решения для упрощенной модели движения неоднородной жидкости: жидкость является двухслойной, перенос массы через границу раздела слоев отсутствует, наклоны свободной поверхности считаются равными нулю; верхний и нижний слои однородны, но с разными плотностями; коэффициенты вертикального турбулентного обмена постоянны в каждом слое, но не равны между собой.
В главе 2 приведен обзор численных моделей, используемых для расчета течений в озерах. Обоснован выбор численной модели, которая легла в основу программно-имитационного комплекса для моделирования течений в замкнутых стратифицированных озерах, а также приведен анализ результатов численных расчетов.
В параграфе 2.1 дан обзор численных моделей, используемых для расчета гидрофизических параметров в водоемах. В конце XX века произошел переход от отдельных численных расчетов, выполняемых каждым автором или коллективом авторов по своей собственной численной модели, к глобальным моделям, позволяющим обрабатывать разномасштабные течения (от океанов до мелких небольших внутренних водоемов и рек). Появилось большое количество разнообразных численных моделей, большинство которых в основе своей имеет трехмерную математическую модель уравнений гидрофизики в приближении гидростатики. Особенностями отдельных численных моделей являются способы дискретизации уравнений, выбор конкретной аппроксимации (они могут быть как конечно-разностные, так и конечно-элементные), реализации численного алгоритма. Отдельные варианты включают в себя возможность исследования биологических процессов. Большинство из них находится в свободном доступе в сети Internet, запрещено для коммерческого использования, но открыто для исследовательских целей. Программу GETM (General Estuarine Transport Model)попытались сделать так, чтобы она была наиболее общей, то есть позволяла рассчитывать большое разнообразие течений в водных объектах, включая осушение и затопление. Программа GOTM (General Ocean Turbulence Model) является составной частью GETM и предназначена для расчета вертикального перемешивания.
Она использовалась в работах европейских ученых для расчетов стратификации во фьордах Норвегии [68], для расчета переноса примесей в северозападной части Северного моря[77] и т. д., в работах российских исследователей для расчета водоемов-охладителей Шатурской ГРЭС.
В параграфе 2.2 изложена модель, лежащая в основе GETM, дано описание программ GETM и GOTM - как составной части GETM. Приведена система уравнений, используемая в этой программе, а также способы дискретизации данных уравнений по горизонтали и вертикали; представлен численный алгоритм; изложен формат NetCDF, который используется для записи входных и выходных данных. Приведено описание набора программ, которые позволяют формировать входные файлы в данном формате, а также извлекать выходные данные в удобном виде для их дальнейшей обработки и визуализации.
В параграфе 2.3 численный алгоритм адаптирован для расчета течений в неглубоких стратифицированных замкнутых озерах и верифицирован. Адаптация разностного алгоритма к расчету течений в рассматриваемых водоемах проведена путем выбора оптимальных параметров (разностной сетки, способов разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, уравнения состояния). Верификация описанного выше численного алгоритма проведена на вновь полученных аналитических решениях (см. главу 1), сравнении с расчетами других авторов и на расчетах для модельных водоемов с простой батиметрией: цилиндра, прямоугольника, параболоида.
Глава 3 посвящена разработке комплексной системы моделирования гидрофизических процессов в соленых замкнутых стратифицированных озерах и ее применению к озеру Шира. Рассмотрена сама система и составляющие ее компоненты. Приведена краткая характеристика озера Шира. Озеро расположено в республике Хакасия и представляет собой бессточное озеро без островов, в которое впадает одна речка Сон. В силу малости притока все влияние реки сосредоточено в приустьевой зоне, поэтому основным внешним фактором, определяющим течение в озере, является ветровое воздействие.
Алгоритм для расчета полей температуры и солености
Подставим решения (1.31), (1.32) в уравнения (1.30), (1.34), (1.35). С учетом разложения (1.33) получим систему алгебраических уравнений, позволяющих найти коэффициенты, определяющие функции Ф, g, fy.
Расчеты проводились для различного количества членов ряда и было найдено то значение щ, начиная с которого решения уже практически не отличаются друг от друга (в данном случае щ = 40).
Рисунок 1 демонстрирует влияние на решение членов с наклонами свободной поверхности для модели с учетом горизонтального турбулентного обмена. Непрерывной линией изображено решение с учетом наклонов свободной поверхности, ромбиками - без учета наклонов свободной поверхности. Ветер постоянен вдоль всей акватории бассейна, тх/р0 = 0.4 10"4 м2/с2, ту/р0 = 0, коэффициенты турбулентного обмена Kjf = 200 м2/с, Kf = 0.02 м2/с, коэффициент кь = 200 м/с.
Разница между решениями заметнее для мелкого бассейна. Сравним решения, полученные по модели с учетом бокового обмена и по модели Экмана. Решение для модели Экмана в случае прямоугольного бассейна получено в работе [33].
Особенностью течения с учетом горизонтального турбулентного обмена является то, что решение обращается в нуль на вертикальных стенках бассейна, в то время как решение уравнения (1.12) удовлетворяет на границах условию обращения в нуль нормальной составляющей полного потока скорости.
На рисунке 2 представлено сравнение скоростей, полученных как (1.32) (ромбики) и решения для модели Экмана (1.12) (непрерывная линия) в цен тре бассейна и вблизи границы. Рассматривался водоем длиной и шириной 5000 м, при этом тх/р0 = 0.4 10"4 м2/с2, ту/р0 = 0, коэффициент кь = 200 м/с, коэффициент вертикального турбулентного обмена Kf = 0.02 м2/с, коэффициенты горизонтального турбулентного обмена Kff = 1 м2/с, глубина Я = 50 м. Рисунок 2 показывает, что чем ближе к границе расположена точка, тем сильнее отличие результатов, полученных по модели Экмана и модели с учетом горизонтального турбулентного обмена. В центральной точке бассейна значения скорости, полученные по двум моделям, практически совпадают.
На рисунке 3 а) показано распределение вектора горизонтальной скорости на поверхности для модели (1.32), на рисунке 3 б) — для модели Экмана, при постоянном ветре тх/ро = 0.4 Ю-4 м2/С2,Т7РО = 0, а на рисунке 4 - для ветра с напряжением трения, задаваемым формулами — = —у, — = х. Рас-сматривался водоем длиной и шириной 5000 м, при этом коэффициент кь = 2 м/с, коэффициент вертикального турбулентного обмена Kf = 0.02 м2/с, глубина Я = 50 м.
Видно, что в области, достаточно удаленной от берегов, решения будут близки. При увеличении коэффициента горизонтального турбулентного обмена Kff различие между решением (1.32) модели с учетом горизонталь а) б)
Рисунок 2 - Годографы скоростей: а) в центральной точке бассейна, б) близко к границе ного турбулентного обмена и решением для модели Экмана становятся все более существенными.
Решение уравнений с учетом горизонтального турбулентного обмена при переменном коэффициенте вертикального турбулентного обмена без учета наклонов свободной поверхности А. Точное решение при линейном коэффициенте вертикального турбулентного обмена
Получить решение уравнений с учетом горизонтального турбулентного обмена для случая переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена при учете наклонов свободной поверхности сложно, но это можно сделать в случае, если считать эти наклоны достаточно малыми (тогда правую часть уравнений (1.13) - (1.15) можно считать равной нулю). Найдем решение для модели с учетом горизонтального турбулентного обмена при Kf = cz + d, Kjf = const и условии - = 0. В этом случае уравнение (1.19) будет иметь вид:
Распределение скоростей на поверхности при постоянном ветре: а) модель (1.32), б) модель Экмана
На рисунке 5 б) изображены годографы скорости для трех случаев: непрерывной линией (1) изображен годограф, построенный по формуле аналитического решения для модели Экмана с дрейфовой составляющей [22, 83] при постоянном коэффициенте вертикального турбулентного обмена с условиями прилипания на дне; ромбиками (2) и штриховой линией (3) - годографы для той же модели, но в случае линейного Kf = cz + d и экспоненциального Kf = 5eXz коэффициентов вертикального турбулентного обмена соответ Рисунок 5 – Распределения трех коэффициентов вертикального турбулентного обмена и годографы скоростей (полученные по описанным моделям), соответствующие этим распределениям ственно.
На рисунке 5 в) и г) изображены годографы скорости для модели с учетом горизонтального турбулентного обмена. Непрерывной линией (4), (4 ) изображены годографы в случае постоянного распределения Kf = 0.02 м2/с по глубине, штриховой линией (5), (5 ) - линейного распределения Kf = cz + d, ромбиками (6), (6 ) - экспоненциального Kf = 5eXz. Причем для в) Kf = 1 м2/с, а для г) Kf = 200 м2/с. Расчеты были проведены при следующих значениях параметров: параметр Кориолиса / = 1.5 10 4 с-1, тх/р0 = 0.4 10"4 м2/с2, ТУ = 0, бассейн со сторонами а = Ъ = 5000 м и глуби 38 ной Я = 50 м. При этом с = 7-Ю"4, d = 3.75-10"2 и Л = 2-Ю"2, 6 = 3.16-КГ2 для линейного и экспоненциального распределения коэффициента вертикального турбулентного обмена по глубине соответственно. Скорости выведены в центральной точке бассейна. Из рисунка 5 видно, что при переменных коэффициентах турбулентного обмена бассейн становится «глубоким» в том смысле, что появляется глубина, на которой скорости имеют направление, противоположное направлению на поверхности. Увеличение коэффициента горизонтального турбулентного обмена приводит к тому, что даже в центральной точке бассейна величины горизонтальных компонент вектора скорости сильно отличаются от величин, полученных по модели Экмана.
Выбор разностных аппроксимаций членов переноса
Далее приведены результаты расчетов в прямоугольном бассейне с ровным дном при переменном ветре. На присутствие внутренних волн указывает и рисунок 19, на котором представлено изменение изотерм в фиксированной точке бассейна с течением времени ( в центральной (а) и приграничной (б) точках бассейна). На рисунках 20 и 21 представлены изотермы на поверхности и в зоне термоклина (на глубине 6 м) при расчете в прямоугольном бассейне при переменном ветре. Ветер был запрограммированного по следующему сценарию: ветер северо-западный, сначала 6 м/с в течение шести часов, затем 11 м/ с в течение часа или двух, затем полное отсутствие ветра (штиль) в течение двенадцати часов. Изотермы приведены, начиная с момента отключения ветра (начало штиля) с интервалом в два часа. Видно, что при отсутствии ветра температура на поверхности быстро выравнивается, в то время как в области термоклина продолжается движение теплых и холодных водных масс, что говорит о возможности образовании внутренних волн.
Изотермы в прямоугольном бассейне глубины 25 м на глубине 6 м при переменном северо-западном ветре (изменение со временем с интервалом в 2 часа) Для адаптации алгоритма к непрямоугольной береговой линии проведены расчеты в цилиндрическом бассейне с ровным дном и в бассейне с береговой линией реального озера и ровным дном.
Эффект апвеллинга проиллюстрирован на рисунке 23 (при северном (а) юго-восточном (б) ветре). Как и ожидалось, подъем холодной воды происходит с подветренной стороны. На рисунке 24 приведено распределение горизонтального вектора скорости на поверхности бассейна при постоянном северном и юго-восточном ветре. На рисунках 27 – 26 представлены изотермы на поверхности и в зоне термоклина (на глубине 6 м) при расчете в цилиндрическом бассейне при переменном ветре. Ветер был запрограммированного по следующему сценарию: ветер северо-западный, со скоростью 6 м/с в течение первых шести часов, затем 11 м/с в течение часа и далее полное отсутствие ветра (штиль) в течение двадцати трех часов. Изотермы приведены, начиная с момента отключения ветра (начало штиля) с интервалом в один час. Как и в прямоугольном бассейне, рисунок 27 указывает на присутствие внутренних волн. На нем представлено изменение изотерм в фиксированной точке бассейна с течением времени ( в центральной (а) и приграничной (б) точках бассейна). Так же, как и в случае прямоугольного бассейна, при отсутствии ветра температура на поверхности быстро выравнивается, в то время как в области термоклина продолжается движение теплых и холодных водных масс, что говорит о возможности образовании внутренних волн. То есть, алгоритм работает и для неровной береговой линии.
Профили солености после шести часов расчета c северо-западным ветром величиной 6 м/с: а) в начале, б) в конце расчета Эффект апвеллинга проиллюстрирован на рисунке 31 (при северо-западном (а) юго-восточном (б) ветре). Как и ожидалось, подъем холодной воды происходит с подветренной стороны. На рисунке 32 приведено распределение горизонтального вектора скорости на поверхности бассейна при северозападном и юго-восточном ветре. Видно влияние изрезанной береговой линии.
На рисунках 33 и 34 представлены изотермы на поверхности и в зоне термоклина (на глубине 6 м) при расчете в цилиндрическом бассейне при переменном ветре. Ветер был запрограммированного по сценарию, описанному в п. 2.3.5. Изотермы приведены, начиная с момента отключения ветра (начало штиля) с интервалом в два часа. Так же, как и в случаях прямоугольного и цилиндрического бассейна, наблюдается эффект постепенного выравнивания температуры на поверхности при отсутствии ветра, в то время как в области термоклина продолжается циркуляционное движение, которое в случае произвольно изрезанной береговой линии имеет более сложный характер.
Профили солености в параболическом бассейне после шести часов расчета c северо-западным ветром 6 м/с: а) в начале, б) в конце расчета Эффект апвеллинга проиллюстрирован на рисунке 39 (при северо-западном (а) юго-восточном (б) ветре). Как и ожидалось, подъем холодной воды происходит с подветренной стороны. На рисунке 40 приведено распределе ние горизонтального вектора скорости на поверхности бассейна при северозападном и юго-
Комплексная система моделирования согласуется с известной технологической цепочкой вычислительного эксперимента. На рисунке 44 приведена схема комплексной системы моделирования. Стрелочками указаны направления потоков данных. Как видно, большинство элементов системы взаимосвязано между собой.
Математическая модель, описывающая течения в замкнутых стратифицированных озерах, приведена в главе 1. Основные зависимости распределения скоростей жидкости от параметров, используемых в математической модели, удобно рассматривать на аналитических решениях. Некоторые аналитические решения были получены для упрощенных моделей, полученных из исходной модели и на них были проверены зависимости поведения скоростей от различных параметров: глубины водоема, коэффициентов вертикального и горизонтального турбулентного обмена, от постановки граничных условий. При некоторых предположениях эту модель можно упростить, чтобы была возможность получить аналитические решения для оценки общих закономерностей течения.
Исходная математическая модель слишком сложна для получения аналитических решений, поэтому для ее решения применялась численная модель, которая позволяет более полно исследовать поведение гидрофизических характеристик. Численная реализация этой модели проводилась в рамках пакета GETM (GOTM).
Возможность применения численной модели к конкретному водоему определяется необходимостью использования результатов натурных наблюдений. В частности, построение цифровой модели рельефа озера требует препроцес-синга натурных данных таким образом, чтобы их можно было использовать в расчетах (построить на их основе расчетную сетку). Далее обработанные данные измерений нужно проинтерполировать на равномерную сетку. Такую интерполяцию можно производить как в декартовых, так и в географических координатах, для чего была разработана соответствующая методика. Пакет GETM настроен для ввода-вывода данных в формате NetCDF. Автором была написана программа, позволяющая вводить данные батиметрии, пригодные для расчетов, в этом формате (глава 2). Таким же образом были обработаны натурные данные по температуре и солености для получения полей этих характеристик на расчетной сетке в формате NetCDF. Скорость и направление ветра также являются входными данными для расчетов и были взяты из натурных наблюдений (с метеостанции поселка Шира).
После проведения расчетов результаты, выведенные программой в формате NetCDF, необходимо обработать для визуализации и дальнейшего анализа. Постпроцессинг данных расчетов также проводился с использованием авторских программ [56, 58]. При этом данные натурных измерений также нуждаются в обработке и визуализации для их сравнения с данными расчетов и дальнейшего анализа. Такая обработка данных частично проводилась с использованием стандартного программного обеспечения, поставляемого вместе с приборами, используемыми для натурных наблюдений.
В течение 2009 - 2013 г.г. проводились натурные измерения гидрофизических полей в оз. Шира с применением современных измерительных приборов. Подробное описание технологии измерений изложено в Приложении. Озеро Шира расположено в республике Хакасия и представляет собой бессточное озеро без островов, в которое впадает одна речка Сон. В силу малости притока все влияние реки сосредоточено в приустьевой зоне, поэтому основным внешним фактором, определяющим течение в озере, является ветровое воздействие.
Основные характеристики озера: озеро имеет овальную форму, длина – 9,4 км, ширина – 5 км, площадь водного зеркала – 34,7 км, средняя глубина – 11,2 м, максимальная глубина за последние несколько десятилетий изменилась от 21 м до 27 м. В настоящий момент наибольшая глубина озера составляет 25 м. Озеро соленое, в летний период в нем устанавливается устойчивая стратификация.
В последние годы стало возможным измерение трехмерного вектора скорости течения после приобретения допплеровских профилографов (см. приложение) фирмы RDI. До этого делались попытки измерения скорости при помощи гидрометрических вертушек, но их погрешность оказалась сравнима со скоростью течений в озере. Существуют две методики измерения профило-графами: точечная постановка приборов и измерение в режиме bottom track по промерным галсам (на движущейся лодке). Первая методика позволяет проводить долговременные измерения скорости в отдельных точках озера по всему столбу жидкости и могут использоваться для анализа поведения профиля скорости по глубине в зависимости от метеорологических условий. Вторая методика позволяет проводить одномоментные измерения скорости по всему озеру, что позволяет проанализировать поля течений на разных глубинах.
Совместно с коллегами из Института биофизики КНЦ СО РАН про 85 ведены измерения температуры и кондуктивности при помощи CTD зондов YSI и IDRONAUT (см. приложение). При их помощи возможны как точечные измерения вышеуказанных величин, так и измерения по промерным галсам для построения гидрологических разрезов. Измерения, проводимые в течение нескольких часов, принято считать одномоментными.
Далее представлены некоторые результаты обработки данных натурных наблюдений. На рисунках 45 – 47 изображены профили компонент вектора скорости, полученные по результатам точечных измерений ADCP.
Численные расчеты для озера Шира при постоянном ветре. Сравнение с натурным экспериментом
На основании обработки точечных измерений температуры и кондуктив-ности получен график зависимости плотности от глубины, который наглядно демонстрирует сильную стратификацию воды в оз.Шира в летний период (рисунок 49 (б)).
Также совместно с коллегами из АО ИО РАН им. Ширшова (г. Калининград) в 2011-2012 годах, с коллегами из ИБФ СО РАН (г. Красноярск) в 2011-2013 годах проводились долговременные измерения температуры в нескольких точках озера в зоне скачка температуры для выявления колебаний термоклина при помощи распределенных датчиков температуры. Это позволило выявить наличие внутренних волн в озере. Точки постановки датчиков в 2013 году представлены на рисунке 50. На рисунке 51 изображены изотермы в двух точках озера Т1 и Т3, которые являются результатами обработки длительных измерений температуры, проводимых при помощи гирлянды распределенных датчиков.
Профили горизонтальных компонент вектора скорости в центральной точке бассейна по результатам расчетов для озера Шира с применением GETM (GOTM), в случае однородной жидкости а) восточной и б) северной На рисунке 52 приведены данные расчета с помощью численной реализации трехмерной модели Экмана [18]. На рисунках 53 - 54 — данные расчетов по рассматриваемой численной модели. Картина на поверхности соответствует ожидаемым различиям между моделью Экмана и моделью с учетом бокового обмена. В центральной точке бассейна скорости, как и ожидалось из анализа аналитических решений, практически совпадают по величине, за исключением, может быть, придонной области, что определяется некоторым различием в постановке граничных условий на дне. Картины течений на поверхности также находятся в удовлетворительном соответствии.
Численные расчеты для озера Шира при постоянном ветре. Сравнение с натурными наблюдениями
Была проведена серия расчетов в водоеме, дно которого моделировалось при помощи цифровой модели рельефа оз. Шира, построенной по результатам натурных наблюдений.
Далее приведены результаты численных расчетов. Начальное распределение температуры и солености соответствовало реальному распределению этих величин в оз. Шира. При постоянном южном ветре 5 м/с в расчетах были получены следующие результаты.
При наличии горизонтальных скоростей на дне, нижний и верхний слои не перемешиваются, что показывают графики температуры на рисунке 55.
На рисунках 56 и 57 проиллюстрировано распределение по глубине восточной и северной компонент вектора скорости через 6 часов расчета с южным ветром 5 м/с в глубоководной (18 м) и мелководной (6 м) точках бассейна.
Сравним полученные результаты с результатами натурных измерений горизонтальной составляющей вектора скорости, представленных на рисунках 58 и 59.
Профили а) восточной и б) северной компонент вектора скорости в точке измерений 04.07.10г. Точка имеет широту 54030.295, долготу 90015.195, глубина 5.5 м. ADCP 1200 установлен излучателями вниз, ADCP 600 установлен излучателями вверх скорости два раза меняют знак в распределении по глубине (ср. рисунки 56 и 58, рисунки 57 и 59).
На рисунке 60 представлены трехмерные векторные поля вектора скорости на поверхности (зеленый) и на дне (синий).
Трехмерные поля вектора скорости на поверхности и на дне, полученные в результате расчетов при постоянном южном (действующем в положительном направлении оси Oy) ветре 5 м/с Видно, что при cтационарном южном ветре, действующем в течение 6 часов, на дне озера наблюдаются ненулевые скорости (примерно в 5 раз меньше скоростей на поверхности, что совпадает с натурными данными). Наличие ненулевых скоростей в области около дна подтверждается также результатами натурных наблюдений (см. рисунки 45 – 47). 3.5 Численные расчеты для озера Шира при переменном ветре. Сравнение с натурными наблюдениями
Рисунок 61 – Скорость ветра на 12.06.13г. – 30.06.13 г. по данным метеостанции Шира
При помощи комплексной системы проведено моделирование течений в озере Шира при переменном ветре. Ниже проиллюстрирована серия расчетов, которые проводились для одного из сценариев переменного ветра (на рисунках приведен пример, когда начинался расчет при стационарном северо-западном ветре 6 м/с в течение 6 часов, затем 1 час при северо-западном ветре 11 м/с, далее расчет продолжался в течение 12 часов при отсутствии ветра). Направление и скорость ветра выбирались исходя из реальной картины ветра на момент наблюдений. Данные были взяты с сайта [98] для метеостанции Шира(рисунок 61). Из рисунка видно, что 19 – 20 июня 2013 г. ветер имел скорость 6 м/с с порывами до 11 м/c (в течение всего этого времени он сохранял северо-западное направление).
Выявлено, что течение в озере имеет существенно трехмерный характер, что подтверждается образованием горизонтальных вихревых структур при переменном ветре. На рисунке 62 приведено распределение горизонтального вектора скорости на поверхности при (а) постоянном и (б) – (е) переменном ветре. По результатам численных расчетов видно, что при изменчивой картине ветра на поверхности формируется вихрь. Заключение
1. Получены новые аналитические решения для модели движения однородной жидкости с учетом бокового обмена в водоемах простейшей геометрии, а также для модели движения двухслойной жидкости с учетом бокового обмена без учета наклонов возвышения свободной поверхности.
2. Создана система компьютерного моделирования ветровых течений в соленых замкнутых стратифицированных озерах, включающая в себя обработку и анализ результатов натурных наблюдений и результатов численных экспериментов.
3. Комплексное исследование гидрофизических характеристик оз. Шира с применением средств математического моделирования позволило: обосновать возможность появления внутренних волн в озере Шира в летний период; выявить существенно трехмерный характер течения в озере с образованием при определенных метеорологических условиях горизонтальных вихревых структур.
Развитие комплексной системы планируется по нескольким направлениям: подключение численной модели, рассчитывающей биологические компоненты, что может потребовать параллельной реализации алгоритма; планирование дальнейших натурных экспериментов на основе результатов численного моделирования; более детальное изучение механизма действия внутренних волн путем применения боле точных приборов для измерения теплообмена в озере и подключения негидростатического блока к численной модели
