Введение к работе
Актуальность темы.
Для описания и исследования процессов в сложных системах нередко используют следующий подход. Сложный объект представляется, составленным из отдельных элементов, приписанных рёбрам некоторого графа. Процессы, происходящие в каждом элементе, описываются дифференциальными уравнениями на рёбрах графа. Кроме того, можно выделить элементы, взаимодействующие между собой и элементы, взаимодействующими с внешними объектами. Такие взаимодействия можно описывать в виде условий согласования и граничных условий в вершинах графа.
Приведем примеры некоторых сложных систем и явлений, позволяющих применить указанный подход.
Сетки из струн.1'2'3 Каждая точка сетки может смещаться параллельно некоторой прямой. Смещение описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. В узлах сетки задаются условия непрерывности, баланса натяжений, на границе сетка может быть закреплена.
Решетки из стержней.4'5 Поперечные смещения решетки из стержней описываются уравнениями четвертого порядка, в узлах решетки задаются условия сочленения стержней.
Кроме этого рассматривались гидросети (А.В. Колдоба, ЮА. По-вещенко, П.П. Матус, М.М. Чуйко), электрические и нейронные сети (S. Nicaise, А.В. Боровских, Ю.В. Покорный, А.Н. Покровский,
^^Пенкин О.М., Покорный Ю.В., Провоторова Е.Н. Об одной векторной краевой задаче // Краевые задачи. Пермь, 1983. С. 64-70.
2Ali-Mehmeti F. Regular solutions of transmission and interaction problems for wave equation/ F.
Ali-Mehmeti If Math. Methods Appl. Sci.- 1989. V. 11. - P. 665-685.
3Покорный Ю.В., Пенкин O.M., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А.
Дифференциальные уравнения на геометрических графах / М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 272с.
4J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt Control of planar networks of Timoshenko beams /
SIAM J. Control Optim. -1993. V. 31. - P. 780-811.
5Боровских А.В., Мустафокулов P. , Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / Доклады РАН. - 1995. - Т. 345, N 6.- С. 730-732.
В.Л.Прядиев), распространение тепла или процесс диффузии в сети (G.Lumer, S. Nicaise, J. von Below, В. Gaveau, М.И. Каменский, О.М.Пенкин, Ю.В. Покорный), состояние электронов в молекуле (Б.С.Павлов, М.Д. Фаддеев, Н.И. Герасименко, СП. Новиков).
Применение метода Фурье, как и задача о собственных колебаниях на графах, приводят к спектральным задачам (А.В. Боровских, Завгород-ний М.Г., Лазарев К.П., О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный, Е.Н. Провоторо-ва, В.Л. Прядиев, В. Dekoninck, J. von Below, S. Nicaise).
Для рассматриваемых моделей изучаются как динамические задачи, описываемые уравнениями в частных производных, так и стационарные, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
По дифференциальным уравнениям на графах имеются сотни работ. Отметим только некоторых ученых и научные группы, которые занимались этими и подобными задачами: Ю.В. Покорный и его ученики, В.В. Жиков, Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев, А.Н. Покровский, СП. Новиков, С.А. Назаров, группа S. Nicaise, J. von Below , G.Lumer и др. Участниками научной школы Ю.В. Покорного для линейных уравнений второго порядка и задач Штурма -Лиувилля изучены условия разрешимости широких классов краевых задач, установлены точные аналоги теорем сравнения Штурма, доказаны существование функции Грина и ее положительность, получены оценки функции Грина, построена теория неосцилляции для линейных уравнений второго порядка, получены оценки геометрической кратности собственных значений.
Гораздо менее изучены обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка на графе. В работах (Боровских А.В., Мустафоку-лов Г., Лазарев К.П., Покорный Ю.В., В. Dekoninck, АН F. Mehmeti, G. Leugering, J.E. Lagnese, S. Nicaise, E.J.F.G. Schmidt) рассматриваются разные системы стержней с условиями шарнирного и упруго - шарнирного закрепления. Такие модели оказываются весьма трудными для анализа. Например, изучение асимптотики спектра (В. Dekoninck, S. Nicaise)
сделано лишь в предположении постоянства коэффициентов. Первые результаты для цепочки стержней (Лазарев К.П., Покорный Ю.В.) были также получены в предположении постоянства части коэффициентов. Имеются результаты и в задачах граничного управления (J.E. Lagnese, G. Leugering, E.J.P.G. Schmidt), с помощью методов, которые фактически не используют особенности структуры графа. В работах (Боровских А.В., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В.) изучена разрешимость некоторых краевых задач, доказано существование и положительность функции Грина.
В работах (Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев, Т.В. Перловская, Е.Н. Провоторова, Ю.В. Покорный) проводится исследование разнопорядковых краевых задач на графах, моделирующих стунно-стержневые системы, получены некоторые условия разрешимости этих задач.
Цель диссертации и основные задачи. Целью работы является исследование корректности математических моделей для стержневых систем, разработка и реализация приближённых методов нахождения решений соответствующих задач.
Диссертация посвящена изучению краевой задачи для дифференциального уравнения четвертого порядка на графе, моделирующей поперечные смещения стержневой системы. В работе исследован вопрос о разрешимости задачи для общего графа, построена функция влияния (функция Грина), исследована гладкость функции Грина, разработан приближённый метод решения краевой задачи.
Методы исследования. В диссертации использованы современные методы математического моделирования, качественные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационные методы математической физики, методы теории операторов, основные идеи и методы теории приближений и аппроксимации.
Научная новизна работы. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации является новыми:
Получены необходимые и достаточные условия невырожденности краевой задачи для стержневой модели с упруго-шарнирными и шарнирными соединениями стержней. Выполнение этих свойств обеспечивают однозначную разрешимость краевой задачи при произвольных правых частях.
Построена функция Грина. Изучены её регулярные свойства (непрерывность и гладкость).
Показана неотрицательность функции Грина.
Газработан приближённый метод решения краевой задачи на основе метода Гитца, реализованного на сплайнах на графе.
Создан комплекс программ, реализующих поиск приближённого решения краевой задачи для произвольного графа.
Теоретическая и практическая ценность.
Габота имеет теоретический характер. Она закладывает фундаментальную базу для эффективного анализа слабо изученных ранее математических моделей разнообразных физических и инженерных систем, описываемых дифференциальными уравнениями 4-го порядка на рёбрах графа, в том числе, для обоснования численных методов приближённого построения решения.
Апробация работы.
Гезультаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 2008, 2009 гг., на конференции Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики 2009 г., на семинаре по качественному анализу краевых задач проф. Ю.В. Покорного, на семинарах проф. А.И. Шашкина, проф. И.Я. Новикова.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [1,2,3]. Из совместных работ [2,3] в диссертацию включены результаты, полученные лично диссертантом. Списку ВАК соответствует работа
[3].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, приложения и библиографического списка из 94 наименований. Общий объём диссертации 124 стр.
