Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Граничные задачи с распределенными параметрами на графах при моделировании тепловых и волновых процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов 17
1.1. Основные положения и понятия 17
1.2. Граничные задачи математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях 19
1.3. Краткий обзор результатов 32
Выводы 34
Глава 2. Обоснование метода Фурье для анализа граничных задач на графах при исследовании математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов 36
2.1. Системы на простейших графах 36
2.2. Системы на графе-звезда 53
2.3. Системы с особенностью на графе-звезда 76
2.4. Метод "склейки" базовых решений уравнения на графе-дерево. Составные звезды 93
2.5. Системы на графе-дерево 121
2.6. Системы на графе с циклом 190
Выводы 205
Глава 3. Идентификация теплофизических и упругих характеристик сетеподобных конструкций промышленных объектов 207
3.1. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа простейшего графа 207
3.2. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций тина графа-звезда 216
3.3. Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа графа-цепочка 231
3.4. Алгоритмы определения теплофизических и упругих свойств сетеподобных конструкций промышленных объектов 238
Выводы 239
Глава 4. Разностные схемы на сетке графа для граничных задач математических моделей процессов сетеподобных конструкций 241
4.1. Собственные числа и собственные векторы конечно-разностных аналогов дифференциальных операторов математических моделей на сетке графа 241
4.2. Аппроксимация граничных задач математических моделей конечно-разностными аналогами на сетке графа 253
4.3. Анализ свойств разностных схем математических моделей 259
4.4. Вычисление границ спектра положительной матрицы разностной схемы математической модели. Алгоритм вычисления границ спектра 267
Выводы 271
Глава 5. Анализ граничных задач математических моделей тепловых и волновых процессов в сетеподобных конструкциях промышленных объектов 272
5.1. Граничные задачи математических моделей теплофизических процессов в материалах с контролируемым температурным режимом 272
5.2. Граничные задачи математических моделей колебаний мачтовых антенных конструкций 278
Выводы 294
- Граничные задачи математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях
- Метод "склейки" базовых решений уравнения на графе-дерево. Составные звезды
- Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций тина графа-звезда
- Аппроксимация граничных задач математических моделей конечно-разностными аналогами на сетке графа
Введение к работе
Актуальность проблемы. Современные технические конструкции часто допускают структурную формализацию в виде одномерных континуумов, взаимодействующих через связующие их узлы. Протекающие в таких устройствах процессы, как правило, описываются классическими математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах.
Важной прикладной задачей промышленной теплотехники, возникающей при исследовании математических моделей с использованием уравнений с распределенными параметрами, является задача оптимального нагрева (охлаждения) массивных тел. Основы математической теории наблюдения систем с распределенными параметрами и ее приложений в областях промышленной теплотехники заложены в работах А.И.Егорова, А.Г.Бутковского, Ю.И.Самойленко, В.И.Плотникова, Ю.Р.Андреева, С.А.Малого и др. Полученные ими результаты относятся к исследованию математических моделей для систем с заданными распределенными параметрами на классических интервалах. Ситуация, когда объект исследования оснащен системой контроля состояния температурного поля, приводящая к уточнению классических закономерностей распространения теплоты в континууме при замене интервала на объединение интервалов по типу простейшего графа, является новой и требует развития классических методов анализа. При этом возникает сопутствующая задача, относящаяся к обратным задачам математической физики: определение теплофи-зических характеристик с использованием, например, информации о температурных полях в некоторых точках объекта для обусловленного временного интервала. В работе исследуется математическая модель процесса нагрева конечного металлического слитка, имеющего форму стержня с неизвестными теплофизическими характеристиками. При этом исследуемый массив слитка имеет особенность — внедренные точечные неоднородности, реализуемые на практике как периферийные компоненты датчиков, измеряющих температуру стержня в местах их установки. Рассматриваемая ситуация является модельной при описании процесса температурной подготовки металлического слитка для адаптации его к процессу обработки прокатными устройствами (ограниченность температуры заготовки, снятия перепадов температур в массиве заготовки и связанных с ними температурных напряжений и т.д.).
Другая важная задача из области материаловедения связана с мониторингом колебательных процессов и состоянием материалообразующей основы сложных механических конструкций. Рассматривается упругая механическая система "мачта-растяжки", представляющая собой тело мачты с прикрепленными к нему мачтовыми растяжками, причем узлов прикрепления может быть как один, так и несколько. Указанные конструкции, как правило, ра-
ботают в экстремальных режимах — перепады температур, внешние механические воздействия, сопровождающиеся искажением передающих (принимающих) сигналов. Непрерывное наблюдение за объектом, сопровождающееся анализом структурных изменений материала компонент системы, помогает совершенствовать конструкции различного рода внешних устройств с целью сгладить, либо нивелировать нежелательные явления. В работе предлагается исследование одного из вариантов математической модели такой системы, реализуемой на геометрическом графе-звезде (одноуровневая система) или на графе-цепочке (многоуровневая система), воздействие на упомянутую систему осуществляется только посредством задаваемых на границе функций. К этому же классу задач относится задача гашения колебаний наполненного жидкой субстанцией трубопровода. Следует отметить, что исследованию задач граничного управления упругими колебаниями на классических интервалах посвящено большое число работ, среди которых особенную актуальность приобрели работы В.А.Ильина, А.Д.Акуленко, О.В.Васильева, Л.Н.Знаменской, П.А.Рево, В.В.Тихомирова, Г.Д.Чабакаури и др. Анализ колебательных процессов в состоящей из конечного числа струн механической системе, возникающих под воздействием граничных управляющих сил, приводит к задачам управления дифференциальными системами с носителем на геометрических графах (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, М.И.Белишев). В диссертационной работе для математических моделей с носителем на графе развиваются некоторые методы упомянутых авторов, в т.ч. метод моментов, разработанный А.Г.Бутковским для граничных задач на интервале.
Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сетеподобных конструкций основано на анализе соответствующих прямых и обратных задач для систем уравнений с распределенными параметрами на графе, прежде всего, на анализе спектральной полноты и базисности собственных функций соответствующих краевых задач в пространстве функций с суммируемым квадратом, а также отыскании приемлимых для практической реализации условий единственности решения обратных задач. История развития теории дифференциальных уравнений (прежде всего обыкновенных дифференциальных уравнений) на сетях хотя и не велика, по-видимому, несколько более 20 лет, но уже имеет свои ярко выраженные тенденции и особенности. Большинство работ посвящено так называемым прямым задачам спектральной теории. К наиболее крупным результатам зарубежных математиков следует отнести работы G. Lumer, S.Nicaise, J.Below. В нашей стране основные исследования в этом направлении проводятся Ю.В.Покорным, А.В.Боровских, М.Г.Завгородним, К.П.Лазаревым, О.М.Пенкиным, В.Л.Прядиевым, С.А.Шабровым. Другое не менее важное направление — обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на компактных графах. История вопроса восходит, прежде все-
го, к основополагающим работам G.Borg'a, Б.М.Левитана, М.Г.Гасымова, М.Г.Крейна, N.Levihson'a, В.А.Марченко, Л.Д.Фаддеева, И.Г.Хачатряна, результаты которых относятся к случаям полуоси и конечного интервала. Появившиеся новые сферы приложений теории обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля, например, краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала, связаны с разрывными свойствами среды (М.М.Лаврентьев, В.Г.Васильев, К.Г.Резницкая, В.Г.Яхно, В.Г.Романов) и инициировали изучение обратных задач с особенностями (М.Г.Гасымов, В.А.Садовничий, В.А.Юрко), интерпретируемые в диссертационной работе как обратные спектральные задачи на простейших графах. Наконец, упомянутая выше теория дифференциальных уравнений на сетях, дала импульс для исследований в области теории обратных задач на геометрических графах. Современное состояние теории обратных задач на графах можно проследить по основным статьям и монографиям В.А.Юрко (монография Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач1 содержит подробную библиографию). В диссертации отражены новые результаты по исследованию обратных спектральных задач на графах.
В работе представлены новые качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей с носителями на геометрических графах. Решены актуальные задачи технической теплотехники, материаловедения с использованием глубоко развитых качественных и приближенных методов теории управления динамическими системами (работы В.И.Зубова, А.П.Жабко и их научного коллектива). В настоящее время численные методы для уравнений с распределенными параметрами на графах находятся в стадии формирования. В работе получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами уравнений на графе, а также дан анализ устойчивости и сходимости полученных разностных схем. Предложены алгоритмы решений граничных задач для уравнений параболического и гиперболического типов применительно к задачам технической теплотехники, упругости в случае сложных физических систем сете-подобной структуры.
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет» в рамках научной темы «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный № 0120.0853009.
Цель работы. Разработка новых качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей сложных физических систем сетеподобной структуры, реализуемых в виде граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на геометрических компакт-
хЮрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач.- М.: Физматлит, 2007. - 384 с.
ных графах; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Реализация цели исследования осуществляется решением следующих задач как теоретического, так и прикладного характера:
обоснование метода Фурье при отыскании решения граничных задач для систем уравнений с распределенными параметрами на графах,
исследование решений обратных задач с носителями на графе,
разработка эффективных численных методов решения граничных задач для уравнений математической физики на компактных графах (методы построения конечно-разностных аналогов уравнений математических моделей, вопросы аппроксимации конечно-разностными операторами, устойчивость разностных схем и сходимость разностного решения приближенной задачи к решению точной),
разработка эффективных алгоритмов решения граничных задач на графах, а также разработка комплексов проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах,
решение задач прикладного характера:
а) построение температурных полей при нагреве металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, оптимальный нагрев металлического слитка; б) описание изменений амплитуд колебаний сложно-сочлененных конструкций, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств; в) гашение колебаний заданной на графе-дерево системы уравнений с распределенными параметрами — основополагающего объекта в моделировании трубопроводов и антенных конструкций.
Объект исследований. Качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей технических устройств и систем, представляющих собой сложносочлененные конструкции, составленные из одномерных континуумов, взаимодействующих только через связующие их узлы.
Методы исследования. Разработанные в диссертационной работе методы исследования математических моделей сложносочлененных конструкций основаны на фундаментальных методах современного анализа прямых и обратных задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с распределенными параметрами на графах.
Научная новизна. В диссертационной работе предлагаются новые подходы при анализе математических моделей, основополагающим математическим объектом которых является система уравнений с распределенными параметрами на графе. Результаты диссертационной работы содержат подробное исследование серии прямых и обратных спектральных задач на графе: спектральные задачи на простейшем графе, звезде, цепочке, произволь-
ном графе-дерево, графе с циклом. Изучены свойства спектральных характеристик этих задач, получены достаточные условия равномерной сходимости ряда по собственным функциям. При исследовании спектральных задач на графах сложной структуры (цепочка, несколько цепочек, произвольный граф-дерево) введено понятие составной звезды данного графа: структурирование исходного графа сложной конструкции составной звездой позволяет использовать результаты исследований задач на звезде для изучения задач на произвольном графе-дерево. Представлены постановки обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля на компактных графах (звезда, цепочка звезд), являющихся естественными обобщениями классических обратных спектральных задач на интервале. Доказаны теоремы единственности решения таких задач, для конкретных ситуаций дается конструктивная процедура определения решения в виде алгоритмов. Приводятся условия определения конечного числа мод теплового процесса по известной информации о сечении температурного поля (данные тепловых датчиков). Разработаны и обоснованы эффективные численные методы для математических объектов на графах, представлены алгоритмы решения эволюционных и динамических задач на графах. Получены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих эволюционные теплофизические и колебательные процессы в сложносочлененных конструкциях, разработан пакет программ для приближенного решения таких задач. Эффективность полученных результатов подтверждена численным экспериментом тестовых задач.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария для исследования математических моделей с носителями на графах.
Разработаны и обоснованы новые качественные аналитические методы исследования математических моделей, которые формализованы в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах. При этом исследована структура спектра соответствующих краевых задач с носителями на графе-дерево и на графе с циклом, построены системы ортонорми-рованных собственных функций, функции Грина, проведено исследование их по спектральному параметру и получены асимптотические формулы. Проведено исследование спектральной полноты и базисности систем собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе (граф-дерево, граф с циклом), получены достаточные условия разложимости заданной функции по таким системам собственных функций. Последнее является обоснованием метода Фурье для систем с распределенными параметрами на геометрических графе. Представлено исследование решений обратных задач на компактном графе-дерево: решена задача восстановления потенциала по двум спектрам, задача определения спектральных данных по сечению реше-
ния эволюционного уравнения, заданного на графе.
Разработаны эффективные численные методы применительно к математическим моделям с носителями на геометрических графах. Представлены новые методы построения и анализа конечно-разностных аналогов систем уравнений с распределенными параметрами на графах, включающие в себя условия аппроксимации таких систем конечно-разностными аналогами на сетке графа, проведено исследование порядка аппроксимации, доказательство устойчивости построенных разностных схем. Проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи, получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток. Представлены результаты тестирования полученных численных методов с применением ЭВМ.
В работе представлены решения следующих задач, актуальных в областях промышленной теплотехники и материаловедения:
-
Задача построения температурных полей при нагреве металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, определяемыми по наблюдаемым данным; оптимальный нагрев металлического слитка.
-
Задача описания изменений амплитуд колебаний сложносочлененных конструкций, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств; гашение колебаний сложносочлененных конструкций.
Для приведенных задач разработаны эффективные алгоритмы решения их конечно-разностных аналогов, представлены комплексы программ, проведено тестирование разработанных численных методов.
Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей, формализова-ных в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.
-
Обоснование метода Фурье при отыскании решения граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе-дерево и графе с циклом, включающее в себя исследование полноты и базисности систем собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе, достаточные условия разложимости заданной функции по системе собственных функций, непосредственно проверяемые при решении задач прикладного характера.
-
Новые аспекты теории обратных задач для уравнений с распределенными параметрами на компактном графе-дерево, связанные с восстановлением потенциалов на графе по спектральным характеристикам, которые определяются по наблюдаемым данным. Предложена конструктивная процедура решения в виде алгоритма.
-
Новые методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах. Аппроксимация дифференциальных операторов на графах конечно-разностными операторами на сетке, порядок аппроксимации, условия устойчивости построенных разностных схем. Анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи.
-
Решение граничных задач, лежащих в основе математической модели нагрева металлического слитка с неизвестными теплофизическими характеристиками, а также моделей волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных устройствах.
-
Численные методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач на сетке графа, комплексы проблемно-ориентированных программ для решения задач прикладной теплотехники и материаловедения.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них Всесоюзные конференции по краевым задачам для дифференциальным уравнениям (г. Ижевск, г. Тамбов, г. Пермь, г. Магнитогорск, г. Уфа, 1979-1989г.г.), школы по моделированию теплофизических процессов (г. Минск, 1982г., г. Тамбов, 1992г.), Всесоюзная конференция по краевым задачам для дифференциальных уравнений и их приложениям (г. Рига, 1989г.), Международные конференции по дифференциальным уравнениям и приложениям (Руссе, Болгария, 1987г., 1989г.), Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах (г. Тамбов, 1989г.), Международные конференции "Современные проблемы теории функций и смежные вопросы" (г. Воронеж, 1992-2008г.г.), Международные конференции "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения" (г. Воронеж, 1993-2009г.г.), Международные конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Колмогоровские чтения" (г. Тамбов, 2006г.), Всероссийские конференции "Теория конфликта и ее приложения" (г. Воронеж, 2000г.), Международные конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (г. Воронеж, 2005г.), семинар профессора В.Н.Абрашина (г. Минск, 1982г.), семинар профессора С.В.Мищенко (г. Тамбов, 1986-1991г.г.), семинары профессора Н.В.Азбелева (г. Пермь, 1981-1984г.г.), семинары профессоров А.И.Булгакова и Е.С.Жуковского (г. Тамбов, 1998г., 2006г., 2009г.), семинар профессора В.А.Юрко (г. Саратов, 2008г.), семинар профессора Ю.В.Покорного (г. Воронеж, 2009г.), семинар профессора А.П.Жабко (г. С.-Петербург, 2009г.), семинар профессора О.М.Пенкина (г. Белгород, 2009г.), семинары профессоров А.В.Глушко и В.И.Ряжских (г. Воронеж, 2009г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 41 научных работах и приведены в конце автореферата, в том числе 13 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одной монографии. В работах [15-19, 23], опублико-
ванных в соавторстве, лично соискателю принадлежат теоретические исследования.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 147 наименований и приложений. Работа изложена на 374 страницах и содержит 12 рисунков и 6 таблиц.
Граничные задачи математических моделей процессов в сетеподобных конструкциях
В этой главе приводятся основные положения и понятия, граничные задачи, лежащие в основе математических моделей тепловых и волновых процессов, проходящих в сетеподобных промышленных конструкциях и устройствах, основные подходы, методы и особенности исследования таких задач.
На протяжении всего изложения мы будем пользоваться определениями и понятиями монографий [41; 1.3, гл. 1], [134; 1.7, гл. 1]. В некоторых разделах работы определения могут уточняться или модифицироваться в зависимости от нужд исследования. Пусть — произвольный компактный связный граф, ребра графа обозначаются через 7fc) узлы — через (здесь к, — номера, причем нумерация ребер предполагается независимой от нумерации узлов). Каждое ребро 7fc ориентировано и параметризовано некоторым отрезком. Для каждого графа выбираются удобная ориентация и параметризация ребер, определяющиеся, прежде всего, видами графа: граф-звезда, граф-цепочка, граф-дерево (далее просто звезда, цепочка, дерево), граф с циклом. Покажем это на примере. Пусть многообразие Г — геометрический граф-звезда с ребрами 7/с (к = 1,га) и узлом ; каждое ребро 7fc {к = 1,т— 1) параметризовано отрезком [0,7г/2], ребро 7т - отрезком [7г/2,7г], ориентация на ребрах ук (к = 1,т — 1) - "К узлу ", на 7т - "от узла "; х Є 7fc означает, что каждой точке х ребра 7fc придается численное значение параметрам х: О х 7г/2 или 7г/2 х 7Г (ж = 7г/2 Є 7fci к - фиксированное (к — 1, т), означает принадлежность точки х узлу ). Примеры использования в описаниях математических моделей эволюционных и динамических процессов на звездах, цепочках (несколько последовательно соединенных звезд), графе с циклом приведены в разделе 1.2 данной главы. Следует отметить, что мы заменили термин "вершина графа", употребляющийся в цитированных монографиях [41, 134], на "узел графа". Причиной тому является широко используемый в лексиконе прикладных инженерных исследований термин "узел" как место соединения (крепления) фрагментов промышленных конструкций, что соответствует понятию "вершина графа" при ассоциации такой конструкции с геометрическим графом. Скалярная функция f(x) на графе г — обычное отображение / : Q- — R, сужение функции f(x) на ребро 7 обозначается через /(ж)7. Введем следующие множества функций, необходимые при описании классов решений краевых задач с носителем на графе1: С(У) — множество непрерывных функций на графе Q, С[Щ — множество кусочно непрерывных функций на графе Q функций: непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными, функции не приписывается никакого значения в узле, C2[S] — множество функций на графе у, на каждом ребре два раза непрерывно дифференцируемых вплоть до границы, т.е. все производные до второго порядка включительно принадлежат С [О1], в концевой точке ребра применяется одностороннее дифференцирование.
Множество C($s) обычно используется для решений обыкновенных дифференциальных уравнений на графе у, С[Щ — для их производных, в пространстве С2 [О1] задается дифференциальное уравнение (дифференциальный оператор) на графе 0\ Классы функций, на которых задаются граничные задачи с распределенными параметрами на графе для исследуемых математических моделей, будут введены ниже (главы 5 и 6).
Линейное дифференциальное уравнение на ребре — это обычное дифференциальное уравнение на кривой, условие согласования в некотором внут хздесь и далее понятие "носитель краевой задачи" означает носитель непрерывных функции [11, 1, глава I], на множестве которых рассматривается краевая задача. реннем узле графа — любая комбинация значений функции и ее граничных производных в этом узле. Линейным дифференциальным уравнением на графе называется совокупность дифференциальных уравнений на ребрах и условий согласования во внутренних узлах графа. Граничная (краевая) задача на графе — это набор линейных дифференциальных уравнений на ребрах, условия согласования во внутренних узлах и граничные (краевые) условия в граничных узлах. Основные обозначения:
На практике весьма часто встречаются объекты, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными — объекты с распределенными параметрами. К числу объектов с распределенными параметрами относится широкий класс задач промышленной теплотехники: неразруша-ющий контроль теплофизических процессов в материалах, мониторинг нагревательного процесса печей в металлургической и машиностроительной промышленности (доменные печи, методические печи и нагревательные колодцы для нагрева металлов под прокатку, печи для термообработки металла, индукционные печи и т.д.). При исследовании математических моделей подобных объектов возникают вопросы, связанные с определением температурного поля материалов (прямые задачи) и контролем теплофизических характеристик материала, которые могут меняться, например, при передозировке тепловых воздействий на объект (обратные задачи). Другой класс объектов с распределенными параметрами — сложносочлененные механические конструкции, реализованные по типу геометрических графов, прежде всего всевозможные антенные конструкции (стержневые антенны с растяжками, сетчатые антенны, антенны сложных пространственных конфигураций). Ниже приводятся примеры граничных задач, лежащих в основе математических моделей некоторых из перечисленных выше объектов, имеющих одно общее свойство — описание изучаемых процессов, проходящих в этих объектах, осуществлено посредством неклассических математических моделей с носителями на геометрических графах. Особо отметим, что классы функций, на которых задаются граничные задачи с распределенными параметрами на графе для исследуемых математических моделей, будут введены ниже (главы 5 и 6).
Следует отметить, что математические модели теплофизических и механических процессов, проходящих в сетеподобных конструкциях и системах, непрерывно совершенствуются и усложняются2. Мы не преследуем цели разработки или уточнения структуры математических моделей указанных процессов и остановливаемся на вопросах развития качественных и приближенных аналитических методов исследования применительно к математическим моделям, допускающим использование современных математических методов при их анализе.
Метод "склейки" базовых решений уравнения на графе-дерево. Составные звезды
Следует отметить, что метод "склейки" для построения базовой системы решений уравнения на произвольном графе-дерево, как показано выше, основывается на переходе от основного объекта графа — звезда — к объектам графа более сложного характера — цепочка, граф-дерево. Уже "склейка" звезд в цепочки графа является достаточно сложной технической задачей, в чем можно убедиться рассматривая результаты пунктов 2.4.1, 2.4.2, при "склейки" цепочек графа очевидна возрастающая степень сложности технической составляющей анализа получаемого объекта. Ниже мы покажем другой подход к видению геометрического графа-дерево, основанный на понятии составной звезды этого графа и позволяющий пользоваться в исследовании граничных задач на графе-дерово достаточно хорошо изученными методами анализа граничных задач на звезде (разделы 2.2, 2.3), что резко сокращает выкладочную рутину.
Введем следующие дополнительные термины и обозначения, относящиеся к графу G: ребра-входы, ребро-выход, узловое место графа, составная звезда графа. Ребро-вход — ребро графа у, соединяющее внешний узел с внутренним узлом , ориентация ребра-входа — "от узла к узлу ". Ребро-выход — ребро графа G, соединяющее внутренний узел с внешним узлом , ориентация ребра-выхода — "от узла к узлу ". Узловым местом графа S назовем подграф UQ С , ребра которого соединяют только внутренние узлы, очевидно, узловое место UQ — граф-дерево. Составной звездой графа назовем многообразие TQ С ребрами, являющимися ребрами-входами графа 0і, и узловым местом U%; ориентация ребер узлового места соответствует ориентации их в графе 0\ Условия согласования (взаимодействия) (2.4.3),(2.4.4) (цепочка их двух звезд), (2.4.21),(2.4.22) (цепочка их L звезд), (2.4.35)-(2.4.37) (граф, составленный из К цепочек) имеют место только в узлах (С (7s, граничные условия — в граничных узлах . Из сказанного ясно, что формальные записи уравнения на составной звезде Г остаются такими же, что и на графе 0і. Значит, все утверждения для базовой системы решений уравнения на графе без изменений полностью переносятся на базовую систему решений уравнения на составной звезде Г%. Отсюда вытекает, что собственные функции краевой задачи на составной звезде TQ те же, что и собственные функции па графе и, естественно, повторяют свойства собственных функций краевой задачи на графе S (раздел 2.2 или 2.3), значит, для них имеют место утверждения, аналогичные утверждениям для собственных функций на звезде, в том числе теоремы 2.2.7, 2.2.8 о спектральной полноте множества собственных функций и разложимости произвольной функции в ряд Фурье по системе собственных функций. Итак, для собственных значений и собственных функций спектральных задач на составной звезде Г$ справедливы все утверждения разделы 2.2, 2.3. Получен принцип исследования спектральных задач на графе-дерево G: 1) формирование составной звезды Г$: структурирование графа $у составной звездой Г , 2) построение базовой системы решений уравнения на Г$ и, далее, построение базовой системы решений уравнения на у, 3) построение по базовой системе решений уравнения на фундаментальных систем решений уравнения на S, удобных для формирования системы собственных (корневых) функций при изучении спектральных свойств задачи или для построения функции Грина, 4) изучение свойств собственных функций (спектральная полнота, тео рема разложимости), что является фундаментом исследования граничных задач для систем с распределенными параметрами на графе-дерево. 2.5. Системы на графе-дерево. В этом разделе обобщаются результаты исследований предыдущих разделов 2.1-2.3 на случай графа-дерево, результаты раздела 2.4 являются инструментом анализа. Системы с распределенными параметрами на дереве применительно к задачам технической теплотехники и материаловедения рассмотрены в разделе 6.3. Через у обозначим граф-дерево. Пусть Гя С у — произвольная звезда с узлом и ребрами 7& (к — Ij O- Введенные выше 121 (п.п.2.4.1,2.4.2) функции u kipc, А) (А; = 1, т?) в соответствии с результатами п.2.4.3 формируют представление сужения на Гч решения у(х, А) граничной задачи на , имеющее вид .
Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций тина графа-звезда
Результаты главы являются обоснованием метода Фурье для систем с распределенными параметрами на графах (простейший граф, граф-звезда, граф-цепочка, произвольный граф-дерево, граф с циклом), являющихся основой математических моделей сетеподобных промышленных конструкций, детальный анализ которых приведен в главе 6. Получены следующие результаты. 1. Введено понятие базовой фундаментальной системы решений обыкновенного дифференциального уравнения на графе (аналог фундаментальной системы решений на классическом интервале), получен алгоритм ее построения. 2. Исследована структура спектра задачи Штурма-Лиувилля на графе, построена система ортонормированных собственных функций. 3. Построена и исследована функция Грина задачи Штурма-Лиувилля по спектральному параметру. 4. Получены асимптотические формулы для функций базовой системы решений, собственных функций и функции Грина краевой задачи на графе. 5. Проведено исследование полноты и базисности системы ортонорми-рованных собственных функциїі в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе. 6. Получены достаточные условия разложимости в равномерной метрике заданной функции по системе собственных функций соответствующих спектральных задач. 7. Введением понятия составной звезды данного графа-дерево осуществлен переход от краевой задачи на звезде к краевой задаче на произвольном дереве. 8. Представлено обоснование метода Фурье (метода разделяющихся переменных) для решения задач прикладного характера (глава 6, задачи технической теплотехники и упругости для сетеподобных промышленных конструкций).
В процессе мониторинга сетеподобных конструкций промышленных объектов основополагающей компонентой является неразрушающии контроль состояния материалообразующей среды конструкций объекта (фрагментов объекта), состоящий в том, что получаемая информация о наблюдаемой коп-струкции(ях) объекта непрерывно сравнивается с эталонной (исходной) информацией. Полученные данные являются основанием для принятия решения по промышленной эксплуатации объекта.
Исследования главы посвящены вопросу определения теплофизических, механических и иных характеристик промышленного объекта по некоторой априорной информации о наблюдаемых количественных проявлениях его состояния, каковыми могут быть показания датчиков, фиксирующих это состояние. В рамках математических моделей главы б, описывающих тепловые (раздел 6.1) или волновые (разделы 6.2, 6.3) процессы промышленных объектов, это оформляется в виде обратной задачи по определению функции а(), постоянная /3 или функции q(x) для системы с распределенными параметрами на графе (6.1.1)-(6.1.5) или (6.2.1)-(6.2.6), (6.3.1)-(6.3.4), (6.3.19)-(6.3.23), что приводит естественным образом к изучению обратных спектральных задач Штурма-Лиувилля на графах [84, 85, 104, 133-136, 138-140].
Определение теплофизических и упругих свойств промышленных конструкций типа простейшего графа.
В изучаемых нами процессах промышленной теплофизики и материаловедения (разделы 6.1, 6.2) является актуальной ситуация, при которой информация о наблюдаемых состояниях системы определяется в конечном числе точек интервала изменения пространственной переменой (точки определяют местоположение периферийных компонент датчиков) [88, 96, 98, 105].
Исследование математических моделей таких процессов, базируясь на результатах раздела 2.1, приводит к изучению задач Штурма-Лиувилля с особенностью на отрезке, в конечном числе точек которого дифференциальное уравнение заменено иными соотношениями [62, 65, 67, 69, 125-132, 137, 139]. Раздел посвящен изучению обратной спектральной задачи Штурма-Лиувилля на простейшем компактном графе: в узлах графа производной от решения предписаны разрывы, пропорциональные значениям решения в этих узлах. Прежде всего рассмотрим вышеупомянутую ситуацию, затем частный случай, имеющий место в промышленной теплотехнике при технологии неразрушающего контроля теплофизических параметров1. Получим достаточные условия единственности решения обратной задачи (3.1.2),(3.1.3). Доказательство соответствующих утверждений опирается на метод контурного интеграла, идеи которого к исследованию обратных задач первым применил N.Levinson [27], в дальнейшем этот метод был существенно развит в работах [28, 29, 115, 134]. Отметим, что случай непрерывно дифференцируемого решения (т.е. ujt = 0B соотношениях (3.1.1)) является классическим и полностью исследован (см., например, монографию [134]).
Аппроксимация граничных задач математических моделей конечно-разностными аналогами на сетке графа
Широкий класс задач для систем с распределенными параметрами на ограниченных компактах сводится к соответствующей -проблеме моментов (нашем случае - задачи раздела 6.2, 6.3). При этом задачам, связанным с воздействием на такие системы, соответствуют бесконечное число момент-иых равенств, аналогичных приведенных выше. Естественное дальнейшее движение на пути решения поставленных задач — замена бесконечной системы конечной, "усеченной". Решение "усеченной" задачи при конечном в большинстве случаев можно рассматривать как приближенное решение исходной задачи. Как было видно из рассмотрения задач нагрева массивного металлического слитка, "успокоения" непрерывно колеблющейся среды и гашения колебаний механической системы "мачта-растяжки", функции Хп(х), п — 0,1,2,... являются собственными функциями соответствующей спектральной задачи, заданной на графе (мы по аналогии с классической ситуацией такие спектральные задачи назвали задачами Штурма-Лиувилля на графе). В силу сказанного, решение "усеченной" задачи при конечном N соответствует "уничтожению" функций Хп(х) для п N + 1 в разложении начального распределения QQ(X) ПО соответствующей системе собственных функций {Хп(х)}=0 (собственные функции задач (6.2.9)-(6.2.12) или (6.3.5)-(6.3.7) или (6.3.24)-(6.3.28)).
В монографии [8, 2, глава III] доказана теорема, дающая необходимые и достаточные условия существования решения бесконечномерной -проблемы моментов. Из доказательства этой теоремы вытекает полезное для конечномерной -проблемы моментов iV-ro порядка утверждение, сформулированное для процесса, математическая модель которого имеет носителем геомет Исследования главы носят прикладной характер и могут использоваться при решении конкретных эволюционных и динамических задач при изучении тепловых и волновых процессов в промышленных объектах с сетепо-добной структурой образующих их материалов. Практическая значимость результатов и методов главы заключается также в возможности их использования в качестве математической основы при разработке средств специального программного обеспечения для распределенных сетеподобных систем на компактных геометрических графах при решении задач наблюдения за процессами и контроля состояния материалообразующей части в конструкциях объектов. Представлены решения следующих прикладных задач технической теплофизики и материаловедения: 1. Задача нагрева металлического слитка с неизвестными теплофизиче-скими характеристиками на основании определения таких характеристик по наблюдаемым данным. 2. Задача гашения колебательных процессов в трубопроводах. 3. Задача гашения колебаний сложных антенных устройств типа "мачта-растяжки" на основе соответствующих неклассических математических моделей, рассматриваемых на геометрических графах. Разработаны эффективные численные алгоритмы решения указанных задач, комплексы программ, выполненных в среде Delphi 7 и С++. В приложении 7 представлены результаты численных экспериментов модельных задач, в приложении 8 - листинги программ. В диссертационной работе представлены новые качественные и приближенные аналитические методы исследования математических моделей, описывающих тепловые и волновые процессы, проходящие в сетеподобных промышленных устройствах и конструкциях. Современный аналитический аппарат изучения таких моделей находится в начальной стадии формирования. Полученные качественные аналитические методы исследования основываются на эффективных результатах анализа прямых и обратных задач для систем с распределенными параметрами на графах. В настоящее время численные методы для уравнений с распределенными параметрами на графах, их обоснование также находятся в стадии формирования. В работе получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами уравнений па графе, а также дан анализ устойчивости и сходимости полученных разностных схем. Разработаны эффективные алгоритмы решений граничных задач для уравнений параболического и гиперболического типов применительно к задачам практической теплофизики и упругости в случае сложных физических систем сетеподобной структуры, представлены комплексы проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем. 1. Разработаны и обоснованы новые качественные аналитические методы исследования математических моделей, формализованных в виде систем уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах: изучена структура спектров краевых задач на графе, построены системы собственных функций, получены асимптотические формулы по спектральному параметру для собственных значений, собственных функций и функций Грина краевых задач на графе, проведено исследование полноты и базис-ности системы собственных функций в пространстве функций с суммируемым квадратом на графе, получены достаточные условия разложимости заданной функции по системе собственных функций, непосредственно проверяемые на практике. Проведено обоснование метода Фурье при решении граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе. 2. Развиты аналитические методы исследования математических моделей с носителями на графе, включающих в себя элементы обратных задач технической теплофизики. Решена задача восстановления спектральных характеристик краевой задачи, соответствующей граничной задаче для эволюционного уравнения на простейшем графе, по некоторой априорной наблюдаемой информации. Решена задача восстановления потенциала по двум спектрам в задаче определения теплофизических или иных характеристик промышленного объекта. 3. Представлены новые приближенные аналитические методы построения конечно-разностных аналогов граничных задач на графах: получены условия аппроксимации дифференциальных операторов на графах конечно-разностными операторами на сетке, исследован порядок аппроксимации, доказана устойчивость построенных разностных схем, проведен анализ сходимости разностного решения к решению точной задачи. Получены условия разрешимости конечно-разностных систем уравнений, возникающих в методе сеток, представлен алгоритм для вычисления границ положительного спектра положительного оператора, являющегося конечномерным аналогом системы уравнений с распределенными параметрами на графе. 4. Разработаны математические методы, используемые при анализе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными периферийными компонентами датчиков, переноса тепла по антенной конструкции типа "мачта-растяжки" и сетчатой антенной конструкции, колеблющейся субстанции трубопровода, а также методы, используемые для анализа математических моделей, описывающие колебательные процессы сложных антенных конструкций.
