Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Автоколебания при обработке металлов резанием 16
1.Постановка задачи 16
2. Формулировка основных результатов 21
3. Анализ линеаризованной системы 25
4. Анализ нелинейной задачи 29
5. Выводы 45
Глава 2. О колебаниях балки со слабой нелинейностью 47
1.Постановка задачи 47
2.Основные результаты 54
Глава 3. Один алгоритм отыскания периодического решения для уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами 69
1.Постановка задачи 69
2. Алгоритм построения периодического решения . 72
3. Результаты численного счета 80
Заключение 82
Список литературы 84
- Формулировка основных результатов
- Анализ линеаризованной системы
- Алгоритм построения периодического решения
- Результаты численного счета
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации изучаются различные математические модели реальных колебательных систем. Как научное направление теория колебаний сформировалась достаточно давно из естественных потребностей практической деятельности и играет большую роль при конструировании различных машин и механизмов.
Формулировка основных результатов
Будем называть критическими скорости резания v, ограничивающие зоны неустойчивости нулевого решения. Исследования устойчивости нулевого решения в зависимости от параметра v приводит к следующему результату. Зоны устойчивости нулевого решения системы (1.1)-(1.2) чередуются. Критические значения скорости резания упорядочены в порядке возрастания и определяются из соотношения: Нулевое решение системы устойчиво. Характер колебаний системы существенно зависит от коэффициентов системы и свойств обрабатываемого материала. Пусть скорости vn и vn+i ограничивают одну из зон неустойчивости. Ниже будут установлены следующие факты. В случае, когда коэффициент демпфирования а\ и коэффициент усадки стружки р,2 малы, в системе возникают колебания вида где и 62 0 имеет тот же порядок малости, что и ц. При дальнейшем увеличении скорости резания и приближении ее к значению vn+\ амплитуда колебаний резко возрастает. Таким образом, при обработке "жестких" металлов при малых коэффициентах демпфирования в системе на определенных скоростях могут возникнуть колебания, амплитуда которых резко возрастает с увеличением скорости резания, что обычно приводит к поломке инструмента. 2. С увеличением а\ и \i2 колебания в системе при имеют вид: а при скоростях резания, близких к vn+\, то есть при входе из области критических скоростей, колебания могут приближенно рассчитаны по формуле:
Следует отметить, что при увеличении коэффициента демпфирования Q i и (или) величины, характеризующей усадку стружки ц2, при v vn в системе могут возникнуть колебания вида: Таким образом, в этом случае, хотя зона спокойного резания возрастает, автоколебания могут возникнут на докритических скоростях, близких к критическим. Эффект возникновения устойчивых автоколебаний на докритических скоростях в [9] назван жестким режимом возбуждения. 3. При дальнейшем увеличении а і и \і2 может возникнуть ситуация, когда колебания при резко возрастают при увеличении е. Затем, при приближении скорости резания к значению vn+i, амплитуда колебаний уменьшается до величины где При скоростях, меньших, чем vn+i в системе возникают колебания, которые могут приближенно рассчитаны по формуле: Здесь Подведем итог сказанному.
Существуют зоны спокойного резания и зоны автоколебаний, которые разделяют друг друга. При увеличении скорости резания и переходе критической скорости на величину 1 + є возникают автоколебания с амплитудой порядка \fe. Такая же ситуация возникает, если, находясь в следующей зоне спокойного резания, уменьшить скорость резания ниже критической. При определенных соотношениях между коэффициентами демпфирования, величиной микротрещины и коэффициентом усадки стружки возможно возникновение автоколебаний в зоне спокойного резания вблизи критических скоростей. Как следует из [25] в реальных системах реализуются все эти случаи.
Анализ линеаризованной системы
Этот параграф посвящен исследованию на устойчивость нулевого решения в зависимости от скорости резания. Итак, рассмотрим систему: Второе из этих уравнений есть обычное уравнение с внешней силой, в котором автоколебания возможны в случае периодической внешней силы x(t). Рассмотрим первое из уравнений. Отыскивая решения в виде получаем что Л должно быть корнем характеристического квазиполинома:
Предположим, что при некотором значении v пара корней Л = ±га , (и 0) последнего уравнения лежат на мнимой оси. Это означает, что Разделяя вещественные и мнимые части, получаем В дальнейшем нам понадобится функция В (1.6) (1.7) выполним замену и обозначим через тп (n=l,...,m) корни уравнения упорядоченные в порядке убывания. Выразив из (1.7) и и поставив в (1.6) получим уравнение из которого получаем, что значения v, при которых корни Р(\, v) лежат на мнимой оси определяются из уравнения причем нетрудно видеть, что vn упорядочены в порядке возрастания. Выясним теперь условия, при которых корни характеристического квазимногочлена P(A,i ) переходят в правую полуплоскость. Рассмотрим уравнение (1.5) и положим Понятно, что пара корней іг о;,,, соответствующая скорости резания vn переходит в правую полуплоскость, если
Нетрудно видеть, что выражение в знаменателе в нуль не обращается. С помощью соотношений (1.6)-(1.7), после ряда элементарных преобразований, получаем Напомним, что Таким образом, корни уравнения (1.5) переходят в правую полуплоскость, если и возвращаются обратно, если Полученные результаты сформулируем в виде теоремы. Теорема 1. Критические значения скоростей, при которых корни характеристического квазимногочлена лежат на мнимой оси»определяются из уравнения где т — -— корень функции При этом, если Ф 0 корни переходят в правую полуплоскость и возвращаются обратно если Ф 0.
Сделаем еще несколько замечаний. Если возвести в квадрат и сложить (1.6) и (1.7), то получим уравнение из которого следует, что Из последнего равенства замечаем, что значению тт = 0 соответствует скорость резания, при которой k\vm = а?2, то есть наибольшая из допустимых скоростей. Коротко разберем случай, когда корни характеристического квазимногочлена касаются мнимой оси. В этом случае Используя (1.6)-(1.7) легко можно показать, что в рамках исследуемой модели эта ситуация не реализуется. В заключение заметим, что последние уравнения дают практический алгоритм, позволяющий практически определять, является данная скорость резания приемлемой для обработки. Так например, по заданному v из (1.15) можно определить и, далее определить т и затем посмотреть знак функции Ф (т).
Алгоритм построения периодического решения
Рассмотрим уравнение (3.1) в области 1. Пусть а ± іи— корни характеристического многочлена (3.1) в левой полуплоскости. Тогда решение в этой области имеет вид: Условие x(0)=0 дает уравнение А условие х (0) = h приводит к соотношению Далее, пусть при t = t\ решение покидает область 1, пересекая ось X. В этом случае имеем: Пусть теперь в области 2 обшее решение имеет вид: А коэффициенты А2 и . считаются аналогично А і и В\ с заменой в соответствующих формулах р и q на р(1 + є\) и q(l + 2) Переход решения в область 2 приводит к следующим уравнениям. Из условия совпадения решения в точке t\ И из условия совпадения производной в точке t\ Очевидно, разрешимость семи уравнений (3.6)-(3.12) относительно 7-ми неизвестных Сі, С2, to,h, t\,D\ и D2 эквивалентна существованию 27г-периодического решения нашей задачи, т.е отысканию 27Г— периодического решения уравнения (3.1) с двумя переключениями.
Естественно, решение подобных систем возможно только численно. Для численного решения этой системы используем один из вариантов градиентных методов, в частности метод скорейшего спуска. Введем функцию Очевидно, что, нулевой минимум этой функции есть решение системы (3.5)-(3.11). Обратно, решение системы (3.5)-(3.11) сообщает функции Ф нулевой минимум. Обозначим для удобства через соответственно и запустим итерационный процесс по формуле: Таким образом, полностью подготовлены формулы для составления программы, реализующей описанный алгоритм. Особо остановимся на выборе начального приближения. Как хорошо известно, градиентные методы, при условиях достаточной гладкости функции Ф() всегда сходятся к одному из минимумов функции Ф()- Однако найденный один из минимумов может оказаться не нулем функции Ф(). В этом случае правильный выбор начального приближения для процесса (3.14) оказывается весьма существенным. Поступим следующим образом.
Поскольку функция Ф() непрерывно зависит от параметров Є\,Є2 то следует ожидать, что и ее нулевой минимум, т.е искомые характеристики нашей задачи - параметры to,h, момент переключения t\ и константы Сі, 6 2, Di, D i определяющие характер решения, также будут непрерывно зависеть от е\ и є і. Поэтому, при малых є к (к=1,2) в качестве начального приближения можно взять значения перечисленных характеристик решения при Є\ = е — 0. В этом случае 27Г—периодическое решение определяется элементарно.Сі = Сі = D\ = Z 2 = 0,Ai — A i и B\ = Б2,т.е решение имеет вид
Результаты численного счета
Просчет конкретных примеров при малых р показал, что при увеличении Єї увеличивается to, уменьшается t\ и увеличивается h. Таким образом, большая часть траектории находится в области 2.При увеличении є h увеличивается, уменьшается Ц и fі.Если же одновременно уменьшать є\ и є і то фазовая траектория про небольших р становится все более симметричной относительно линии переключения.
Для контроля результата итерационного процесса, проводился просчет траектории стандартными методами Рунге-Кутта с начальными условиями, полученными в результате итерационного процесса. Результаты показывают либо практически замкнутую траекторию, либо такую траекторию, которая достаточно быстро наматывается на предельный цикл. Исключение составляет случай, когда в одной из областей коэффициент р равен 0, а коэффициент при х равен 1. В этом случае итерационный процесс обычно не сходится к решению системы (3.5)-(3.11), что по-видимому связано с резонансными явлениями в одной из областей.
Ниже приводятся результаты применения предложенного алгоритма отыскания характеристик периодического решения для конкретных уравнений. Итерации прекращались как только Г 0.01. Здесь вектор Т - вектор с компонентами (to,t\,h), а нормой вектора считается его наибольшая по модулю компонента. Значения вспомогательных параметров Ci,C2,Di,D2 не приводятся. Напомним, что при расчете последующего варианта использовались в качестве начального приближения результаты предыдущего расчета.
Обсудим перспективы применения полученных в диссертации результатов. Анализ, проведенный математической модели автоколебаний при обработке металлов, предложенный в [51]-[52] позволил найти, в зависимости от параметров, зоны спокойного резания, приближенно вычислить амплитуду и частоту колебаний в случае, когда нулевое положение равновесия теряет устойчивость. В рамках этой модели показана возможность возникновения "жесткого" режима возбуждения автоколебаний, когда вблизи границ спокойного резания может возникнуть устойчивый предельный цикл, для которого также вычислены приближенные формулы для расчета амплитуды и частоты. Из этих формул видно, что амплитуда колебаний при "жестком" режиме значительно больше, чем амплитуда колебаний при выходе из зоны спокойного резания. Именно это обстоятельство чревато аварийными ситуациями, поломкой инструмента и т.д. Таким образом, результаты, полученные в главе 1, не только объясняют эффект жесткого возбуждения, но и дают методику расчета зон спокойного резания, а также амплитуд и частот колебаний, что может быть использовано в практике инженерных расчетов.
Что касается результатов главы 2, то полученная теорема позволяет сделать вывод о существовании обобщенного 27Г—периодического решения в задаче о колебаниях балки с шарнир-но опертыми концами для более широкого класса задач, включающих в себя нелинейную составляющую, как связанную с учетом нелинейностей при выводе уравнения колебаний балки, так с учетом нелинейного внешнего воздействия. Дальнейшее продвижение в этом направлении, желательно, по мнению автора в получении аналогичных результатов для несамосопряженных задач.
Применение результатов главы 3 очевидно. Работа носит чисто прикладной характер. Методика, развитая в этой главе, позволяет отыскивать колебания с периодом внешней силы в принципе для любых уравнений и систем с кусочно постоянными коэффициентами на линии раздела сред в случае, когда в каждой области возможно найти общее решение. Усложнение задачи для нескольких сред и большего числа переключений ведет лишь к усложнению системы, увеличению ее размерности и более громоздким формулам.
Прилагаемый список литературы не претендует на полноту. В основном он содержит лишь те работы, результаты которых используются в диссертации, а также ряд работ обзорного характера. Результаты диссертации опубликованы в [28 ]-[35 ].
