Введение к работе
Актуальность темы.
Математическое моделирование различных объектов природы и техники приводит к необходимости решать параметризованные задачи Во многих методах, созданных для решение таких задач, используются особенности вхождения параметров в задачу Сюда можно отнести и метод малого параметра, и методы решения сингулярно возмущенных задач Широко распространено искусственное введение параметра в исходную задачу Такие методы могут пониматься как переход к альтернативной задаче, которая через изменение параметра приводит к решению первоначальной задачи При этом альтернативная задача часто обладает новыми необходимыми свойствами Параметризация часто используется для доказательства существования решений нелинейных уравнений В такой постановке вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерывной кривой
Метод малого параметра появляется в работах У Леверье (1886) и А Пуанкаре (1892) Далее метод малого параметра развивался в работах таких ученых, как А М Ляпунов, Э Шмидт, М М Вайнберг, М А Красносельский, В А Треногий Параметризация математических моделей и желание учесть как можно больше факторов приводит к сингулярно возмущенным задачам (А Н Тихонов, М И Вишик, Л А Люстерник, А Б Васильева, В Ф Бутозов, В Р Вазов, А М Ильин)
М Лаэй (1934) применяет дискретное продолжение решения для численного построения решения нелинейного уравнения Д Ф Давиденко (1953) использует непрерывное продолжение решения Е Рикс (работы 1972-1978) использует алгоритм, обеспечивающий движение в направлении по касательной к кривой Метод продолжения по параметру, который является длиной дуги кривой множества решений, развивается в работах Э И Григолюкаи В И Шалашилина (с 1980) Е Б Кузнецов (1993) показывает, что наибольшую обусловленность системы продолжения решения по параметру обеспечивает "наилучший параметр", геометрический смысл которого - длина дуги кривой множества решений Несколько иной поход к параметру продолжения, приближающего длину дуги, использован в работах Э И Григолюка и Е А Лопаницына (1990)
С развитием ЭВМ активно исследуются и создаются методы численного решения краевых задач Прикладные задачи, как правило, зависят от одного или нескольких параметров, которые могут входить в дифференциальные уравнения и краевые условия Равномерные конечно-разностные
схемы для решения сингулярно возмущенных задач предложены в работах А М Ильина (1969), У Шилдерса, Дж Миллера, Э Дулана Нахождением решений нелинейных краевых задач и анализом их свойств занимались А А.Самарский, А П Михайлов, Р Беллман, Р Калаба, В И Власов, С И Безродных, Н Б Конюхова, Ю Н Киселев и др Различным способам параметризации исходной краевой задачи, позволяющим облегчить решение первоначальной задачи, посвящены работы ХДж Вейнитчке (Н J Wemitschke),X Б Келлера (Н В Keller), С М Робертса (S М Roberts), Дж С Шипмана (J S Shipman), А М Самойленко, Н И Ронто
Основы теории ветвления функциональных уравнений заложены в работах А М. Ляпунова(1906) и Э Шмидта(1908) Исследования А М Ляпунова первоначально были связаны с известной проблемой о фигурах равновесия вращающейся жидкости, тем не менее, они (а также работы Э Шмидта) нашли применение и в других областях, например, в теории нелинейных колебаний
Обобщение классических результатов и перенесение их в функциональные пространства получены в работах М А Красносельского, М М Вайн-берга (с 1956), В А Треногина (с 1958), М ГКрандалла (М G Crandall), П X Рабиновича (Р Н Rabinowitz) (1971) Теории ветвления и возмущений собственных чисел операторов посвящены работы В А Треногина, М К Гавурина, Б В Логинова, С Л Скороходова
Вычислительное направление теории бифуркаций кривых, с использованием в качестве параметра длины дуги, развивается X Б Келлером (с 1970) и другими авторами, в работах которых предложены алгоритмы, использующие псевдодлину дуги, удобные для практических вычислений На основе результатов А М Красносельского (1964) строятся критерии, позволяющие находить некоторые типы точек бифуркации Другой подход к определению сингулярных точек вдоль кривой был рассмотрен в работах Дж Хьюитфелдта (J Huitfeldt) и А Рюхе (A Ruhe) (1990), Э И Григолюка и Е А Лопаницына(1998)
Результаты о нахождении всех ветвей с помощью возмущения первоначальной системы отражены в работах Е Л. Аллговера (Е L Allgower),K -СЧиена (C-SChien), К Георга (KGeorg), К-Ф Ванга (C-F Wang) (1986,1991)
Конструированию уравнения разветвления (bifurcation equation) для аппроксимации всех касательных векторов в точке бифуркации посвящены работы X Б Келлера (1977, 1987) и В К Рейболдта (W С Rheinboldt) (1978, 1986)
Цель работы.
Используя различную параметризацию рассмотреть решение задач, моделирующих различные явления природы и техники На основе такой параметризации предложить эффективные алгоритмы решения этих задач Показать универсальность методов и идей, объединяющих эти подходы
Методы исследования.
В диссертационной работе использованы методы теории продолжения по параметру, методы теории ветвления, методы вычислительной математики и нелинейного функционального анализа
Достоверность результатов.
Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов решения, строгостью доказательств и разнообразными тестовыми примерами
Научная новизна положений, выносимых на защиту.
-
Предложен способ параметризации нелинейных краевых условий нелинейных краевых задач, позволяющий решать задачи, которые не решаются стандартными способами
-
Исследованы вопросы сходимости такого подхода
-
Дан алгоритм решения краевой задачи
-
Предложен алгоритм численного построения ветвей в точке простой бифуркации
-
Предложен способ численного продолжения решения в точке простого возврата
-
Исследованы вопросы сходимости метода продолжения по параметру в точках простой бифуркации и точке простого возврата Выведены оценки роста нормы матрицы, обратной к матрице Якоби, в окрестности точки простого возврата
-
Используя предложенные алгоритмы и методы, решена задача о сверхпроводящей пластине в магнитном поле для новых значений параметров задачи, решена без использования начальных возмущений задача о бифуркации трехстержневой фермы
Теоретическая и практическая значимость работы.
8 работе с помощью методов функционального анализа и вычислитель
ной математики, теории ветвления разработаны вычислительные схемы,
позволяющие решать задачи математического моделирования, которые не
решались ранее классическими методами Получены новые результаты, дополняющие другие работы
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на
-
Международной конференции "Функциональные пространства Дифференциальные операторы Проблемы математического образования", г Москва, 2003
-
XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС2003), г Владимир, 2003
-
Международной конференции "Третьи поляховские чтения" г Санкт-Петербург, 2003
-
Пятнадцатой и семнадцатой крымской осенней математической школе-симпозиуме «Спектральные и эволюционные проблемы» (Fifteenth and seventeenth Crimean autumn mathematical schools - symposiums "Spectral and evolution problems" ), г Севастополь, Украина, 2004, 2006
-
Международной конференции по информатике (International Conference on Computer Science "ICCS 2003"), г Санкт-Петербург, 2003
-
Международных конференциях "VII харитоновские научные чтения Экстремальные состояния вещества Детонация Ударные волны "и "VIII харитоновские тематические научные чтения по проблемам физики высоких плотностей энергии" г.Саров, 2005, 2007
-
Четырнадцатой и пятнадцатой международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005, 2007), г Алушта, Украина, 2005, 2007
-
Международной конференции по вычислениям в науке и в инженерном деле (International Conference of Computation in Sciences and Engineering, ICCSE-2006) г Ханья, Греция, 2006
-
III международной научной школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", г Саранск, 2007
-
Шестом международном симпозиуме по классической и небесной механике (Sixth international symposium on classical and celestial mechanics), г Великие Луки, 2007
-
Семинарах кафедры дифференциальных уравнений Московского авиационного института, г Москва, 2008
-
Научных семинарах Института механики МГУ, г Москва, 2008
-
VIII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г Саранск, 2008
-
Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г Суздаль, 2008
Автор является исполнителем грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 06-01-00239 и № 06-08-00371)
Публикации
По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 11 статей и 8 тезисов, из них 3 статьи- в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК
Структура и объем работы.
Основная часть работы изложена на 106 страницах, состоит из введения, трех глав и заключения Библиография содержит 53 наименования
