Содержание к диссертации
Введение 6
Математические модели технологии цементации и их идентификация методом обратных задач. 22
1.1 Задача об определении коэффициента масса обмена на границе металла с атмосферой по измерениям на поверхности 24
1.1.1 Постановка задачи об определении /5 для линейной модели 24
1.1.2 Теорема единственности решения обратной задачи 24
1.1.3 Постановка задачи об определении зависимости от концентрации для линейной модели диффузии в металле. Теорема единственности. 27
1.2 Задача об определении коэффициента диффузии для квазилинейного процесса цементации 29
1.2.1 Постановка задач для различных моделей зависимости от концентрации 29
1.2.2 Вопрос о единственности решения при использовании полной информации о поле концентрации 31
1.2.3 Теоремы о единственности при определении по минимальной дополнительной информации 33
1.2.4 Постановка апробирующего математического эксперимента 37
1.3 Математическая модель состояния науглероживающей атмосферы и ее коррекция по некоторым параметрам. 38
1.3.1 Равновесная модель состояния газовой атмосферы. 38
1.3.2 Возможная неопределенность модели и постановка задачи ее коррекции относительно константы равновесия 41
1.3.3 Математическая постановка обратной задачи и вопросы ее корректности. 41
1.3.4 Результаты математического эксперимента. 44
1.3.5 О способе расчета равновесного состояния газовой атмосферы печи по начальным данным. 44
1.4 Коррекция модели процесса цементации с учетом легирования и ее автоматизация 47
1.4.1 Постановка задач 47
1.4.2 Программа автоматизации вычисления параметра легирования є 49
1.4.3 О прогнозировании диффузионного поля с поправкой на легирование. 50
Задачи управления технологическим процессом цементации. 51
2.1 Задача управления процессом диффузии в технологии цементации 53
2.1.1 Постановка обратной задачи управления 53
2.1.2 О существовании решения задачи 54
2.1.3 О существовании и единственности решения задачи управления для нелинейной модели диффузии 56
2.1.4 О неустойчивости решения задачи управления и ее регуляризации 60
2.2 Феноменологическая модель управления диффузией с помощью выбора параметра в граничном условии и методы автоматизированного подбора решения 61
2.2.1 Технологические модели и вопросы корректности постановки задачи управления диффузией 61
2.2.2 Номограммы для подбора управляющих параметров 63
2.2.3 Использование асимптотического анализа в целях экономизации алгоритма решения задачи управления 66
2.2.4 Об алгоритме решения задачи программного управления 69
2.3 Задача управления цементацией посредством выбора параметров газовой атмосферы 72
2.3.1 Постановка вопроса 72
2.3.2 Задачи управления стационарным состоянием газовой атмосферы по заданному углеродному потенциалу 72
2.3.3 Об управлении параметрами начального состояния атмосферы при заданном углеродном потенциале 76
2.4 Задача об управлении состоянием поверхности металла в условиях частичной неопределенности модели 80
Некоторые обратные задачи технологии азотирования. 84
3.1 Математическая модель многофазной диффузии и задачи ее идентификации 86
3.1.1 Термодинамическая модель процесса 86
3.1.2 Задачи об определении равновесного азотного потенциала . Теоремы единственности 88
3.1.3 Об идентификации модели по физическим параметрам 94
3.1.4 Об алгоритмах решения обратных задач идентификации 96
3.1.5 О результатах математического эксперимента. 98
3.2 Математическая модель переходной зоны и вопросы ее идентификации. 99
3.2.1 Постановка вопроса 99
3.2.2 Физико-химическая трактовка границ существования фаз при азотировании и формулы предельных концентраций 99
3.2.3 О кинетике процессов в переходной зоне и модели локального источника концентрации азота. 101
3.2.4 Аппроксимация физических параметров материала в переходной зоне 102
3.2.5 Задача об идентификации источника по наблюдениям на поверхности для нелинейной модели 105
3.2.6 Идентификация источника для линейной модели без количественных ограничений на физические параметры 108
3.2.7 Методика и результаты математического эксперимента по определению плотности источника в переходной зоне 111
3.3 Задача управления процессом азотирования. 113
3.3.1 Постановка задачи 113
3.3.2 Математические модели управления и вопросы существования решения. 115
3.3.3 О единственности и устойчивости решения обратной задачи управления 118
3.4 Номограммы для управления процессом азотирования. 120
3.4.1 Постановка задачи 120
3.4.2 Параметры номограмм 122
3.4.3 О предварительной обработке поля концентраций для получения параметров номограмм 124
3.4.4 Построение номограмм и их использование. 125
О реализованных численных алгоритмах решения краевых и вариационных задач. 129
4.1 Итарационно-разностные методы решения рассмотренных краевых задач азотирования
и цементации 129
4.1.1 Общая конструкция метода. 129
4.1.2 Разностная схема и ее обращение 130
4.1.3 О сходимости итерационного процесса 132
4.2 О реализации общего регуляризирующего оператора А.Н.Тихонова 135
4.2.1 Анализ реализованных нами стабилизаторов 137
4.2.2 Оценка непрерывности оператора прямого отображения Az в рассмотренных задачах 140
4.3 О минимизирующих алгоритмах 143
4.3.1 Метод Розенброка 144
Заключение 147
Список литературы 148
Приложение
Введение к работе
1.Современное представление о математическом моделировании, как одном из наиболее эффективных средств изучения реальных процессов и явлений, применяемом в нашей стране в широком круге научных исследований, восходит к работам академика А.А.Самарского [77], [78], который еще в 1984г. охарактеризовал достигнутое состояние следующим образом : "Можно утверждать, что... математическое моделирование и вычислительный эксперимент представляют собой универсальную научную методологию, реализующую цепочку: объект - модель - вычислительный алгоритм - программа для ЭВМ - расчет на ЭВМ - анализ результатов расчета - управление объектом."
Экстенсивное развитие этой методологии в настоящее время сопряжено, в частности, с расширением технических возможностей вычислительной техники (персональные компьютеры, сети ЭВМ и т.д.).
Задачи управления реальными объектами успешно и в достаточно широком круге работ [2], [5], [6], [13], [18], [34], [85], [88], [100] и др. систематически решаются на множестве различных технологических процессов. В этом случае элементарные естественные законы, определяющие процесс предполагаются хорошо изученными, а математические модели часто представляют собой краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных, зависящих от числовых или функциональных параметров -физических характеристик управляющего режима или материала-носителя процесса.
Ввиду достаточной сложности математических моделей, важное значение имеет разработка экономичных алгоритмов для расчета эффектов управления. Однако, еще большего внимания требует анализ вопросов корректности для возникающих при этом обратных задач. Отметим в этой связи, что согласно классификации из [88] сама задача управления (как и задача синтеза) в ее точной постановке относится к классу обратных, поскольку ее содержанием является определение управляющих функциональных параметров, приводящих к заранее заданному, требуемому, результату (обратная задача "типа управления ). Поскольку обратные задачи относятся, как правило к числу некорректных, (в частности - неустойчивых) место вопросов корректности при решении таких задач очевидно. С другой стороны, реализация модели процесса предполагает известными ее числовые и функциональные параметры. Однако, они далеко не всегде известны и часто не могут быть предметом прямого физического эксперимента по их определению [6]. В этом случае может оказаться полезным косвенный эксперимент, когда значения неизвестных параметров определяются по данным наблюдения над возникающими при этих значениях физическими полями. Это означает дополнение косвенных экспериментальных данных решением некоторой обратной задачи (задачи типа интерпретации данных физического эксперимента [91]), и постановка такой задачи также требует изучения вопросов ее корректности. Постановка обратных задач обеих типов и изучение вопросов их корректности, а также разработка и реализация методов юс решения применительно к конкретным технологическим процессам является главной целью настоящей диссертации. Отметим, что замена феноменологических параметров модели ее более глубокими микроскопическими параметрами (например, коэффициента теплопроводности - его выражением на основе молекулярной теории) не снимает, вообще говоря проблемы: микроскопическая модель также зависит от некоторых параметров, которые не всегда известны.
Как известно, [7], [91], к числу вопросов корректности постановки задачи относятся следующие: (а) существование решения задачи; (б) единственность решения; (в) устойчивость по отношению к малому возмущению входных данных.
Основы теории решения некорректно поставленных задач (теории регуляризации) заложены в работах отечественных ученых [87], [89], [35], [56], и их учеников. В настоящей работе автор опирается на соответствующие фундаментальные результаты, касающиеся как корректной постановки обратных задач, так и методов построения регуляризирующих алгоритмов для их решения.
В части реализации алгоритмов решения задач управления мы опираемся также на теорию конечно—разностных схем, основы которой заложены в работах академика А.А.Самарского и его учеников [79], [81], [82].
2. Технологические процессы, моделированию которых посвящена настоящая диссертация предназначены для поверхностного упрочнения стальных деталей машин и механизмов с помощью химико-термической обработки поверхностей. Результатом ХТО является преобразование микроструктуры приповерхностных слоев, и соответствующее этому приобретение деталями физико-механических свойств, обеспечивающих надежность их в эксплуатации [10], [60], [61]. Изучению математических моделей упрочняющих технологий различных типов посвящена монография [88]. В работах [5], [100] анализируются модели высокочастотной закалки; в обзорной работе [68] обсуждаются рекомендованные технологами математические модели газового насыщения металлов; работа [85] посвящена проблеме моделирования нитроцементадии (совместного насыщения стали углеродом и азотом при достаточно высоких температурах 700°С).
В настоящей диссертации решаются задачи, связанные с двумя различными технологиями упрочнения материала: это цементация - насыщение стали углеродом при температурах 850— 1050° С, и азотирование - процесс, осуществляемый при температурах 550 — 750°С. Обе эти технологии реализуются обычно с помощью специальной газовой печи куда [53], [86] загружаются детали, и атмосфера которой содержит необходимые для насыщения компоненты.
Основным элементом математической модели каждого из названных процессов является квазилинейное уравнение параболического типа, описывающее диффузию образующегося в атмосфере печи газа в металл. Краевым задачам для таких уравнений в самой общей постановке посвящена обширная литература [57], [58], [96]; проблемы корректности постановки соответствующих "прямых" задач, по крайней мере в интересующих нас пределах можно считать решенными, и мы опираемся на эти результаты.
