Введение к работе
Актуальность темы
Математическое моделирование различных процессов и явлений предполагает построение и решение аналитическими и численными методами систем дифференциальных уравнений, предназначенных для их описания. В теории нелинейных дифференциальных уравнений существует обширный класс задач, сводящихся, тем или иным способом, к интегральным уравнениям, которые можно решать путем усреднения. В этом случае искомая функция рассматривается как сумма средней величины, и отклонения от этого среднего, а решение ищется в виде разложения в ряд по итерированным ядрам. Данный подход применим для моделирования самых разнообразных процессов, в которых заведомо мало отклонение искомых функций от их средневзвешенных значений.
Особенно перспективной предметной областью для использования этого подхода представляется теория нелинейных процессов. Наилучшим обоснованием этого утверждения служит то, что для широкого класса нелинейных задач из различных областей физики и техники рабочий диапазон изменения искомых параметров ограничен, построение точных аналитических решений невозможно, а исследование численными методами либо чрезмерно трудоемко, либо нецелесообразно. В качестве полигона для апробации развиваемого подхода лучше всего подходят квазипериодические, переходные и квазистационарные процессы. Обоснованием подобного выбора тестовых задач служит тот факт, что для перечисленных процессов существует естественный масштаб. По этому характерному масштабу и следует проводить усреднение искомых функций времени или пространственных координат, которые непрерывны, а диапазон изменения их величины ограничен.
Метод взвешенного усреднения позволяет описать динамику существенно различающихся по своей физической природе объектов близкими по форме интегральными уравнениями, а решение задачи математического моделирования процессов, протекающих в этих объектах, осуществить одним и тем же способом. Столь широкий класс задач в рамках единого подхода до сих пор не рассматривался в научной литературе. Рассмотренные в работе модели и задачи объединены общим подходом к поиску приближенных аналитических и численных решений. На этой основе удается добиться существенного улучшения качества математического описания наблюдаемых явлений. Все вышесказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы диссертации.
Современное состояние проблемы
Многочисленные подходы к описанию различных нелинейных процессов описаны в работах известных специалистов в области применения аналитических и численных методов, используемых в задачах математического моделирования. В
их число входят Л.И. Седов, Р.З. Сагдеев, Л.А. Арцимович, Е.П. Жидков, В.А. Си-пайлов и многие другие известные ученые. Однако в настоящее время существует лишь несколько универсальных и вычислительно эффективных алгоритмов решения нелинейных задач. В их число входят, в первую очередь, численные методы (метод конечных элементов, метод граничных элементов и т.п.). Для получения приближенных аналитических решений перечисленных задач обычно используются асимптотические методы. Однако область их применимости ограничена. Таким образом, недостаточная разработанность проблемы определяет цель и задачи диссертационного исследования.
Цель и задачи исследования
Целью диссертационного исследования является разработка метода взвешенного усреднения для решения задач моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать метод взвешенного усреднения для отыскания приближенных аналитических и численных решений нелинейных дифференциальных уравнений на классе функций с ограниченной вариацией.
Преобразовать уравнения известных моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов к стандартному виду, пригодному для проведения вычислительного эксперимента.
Провести качественный анализ модифицированных моделей аналитическими методами.
Проанализировать свойства отобранных для вычислительного эксперимента моделей с помощью численных методов.
Разработать быстрые алгоритмы вычисления специальных функций математической физики, необходимых для проведения численных расчетов в процессе анализа свойств изучаемых моделей.
Идентифицировать механизмы сложных нелинейных процессов на основе сопоставления их свойств с рассчитанными свойствами модельных объектов.
Объект исследования
Объектом исследования являются математические модели квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.
Предмет исследования
Предметом исследования являются методы отыскания приближенных аналитических решений уравнений математических моделей квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов.
Использованные в работе методы исследования основываются на математическом анализе, теории дифференциальных и интегральных уравнений, численных методах и других фундаментальных разделах математики. Расчетные данные согласуются с эмпирическими значениями наблюдаемых величин, а также с результатами расчетов других авторов. Программы, с помощью которых реализовывался вычислительный эксперимент, тестировались на задачах, решение которых описано в литературе.
Связь диссертационной работы с планами научных исследований
Работа выполнялась в рамках плана НИР Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика СП. Королева на основе международного договора о сотрудничестве между СГАУ и Техническим университетом Валенсии (Испания).
Научная новизна
Научная новизна состоит в том, что в работе:
-
Разработан метод взвешенного усреднения для решения задач моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов.
-
Выведены интегральные уравнения общего вида для математических моделей:
а) нелинейных квазипериодических процессов (на примере суточных колебаний
температуры поверхности воды в океане и унитарной вариации электрического по
ля Земли);
б) нелинейных переходных процессов (на примере формирования сферически сим
метричных сгустков радиоактивного аэрозоля);
в) нелинейных квазистационарных процессов (на примере стационарных вихревых
потоков радиоактивного аэрозоля).
-
Проведен анализ модели квазипериодических процессов; показано, что погрешность метода взвешенного усреднения не превосходит погрешности метода граничных элементов, а результаты расчетов хорошо согласуются с данными экспериментов и наблюдений в тех случаях, когда модель тестировалась на задачах из предметных областей науки и техники.
-
Продемонстрирована пригодность метода взвешенного усреднения для описания переходных процессов; на основе сопоставления приближенного и точного решения тестовой задачи моделирования равновесного распределения изотопов в сферически симметричном сгустке радиоактивного аэрозоля показано, что для этого класса процессов погрешность метода взвешенного усреднения не превышает 0.1%.
-
Обоснована применимость метода взвешенного усреднения для моделирования квазистационарных процессов, основная особенность которых состоит в том, что они описываются сингулярно возмущенными уравнениями; на тестовом примере показано, что расчетные свойства моделируемого объекта с приемлемой степенью точности совпадают со свойствами реального природного объекта.
-
Разработан, реализован в виде программы для ЭВМ, и использован при расчете ядер интегральных уравнений типа свертки быстрый алгоритм вычисления специальных функций математической физики.
Практическая значимость
Практическая значимость исследования заключается в том, что полученные результаты позволяют по-новому взглянуть на проблему математического моделирования сложных квазипериодических, переходных и квазистационарных нелинейных процессов. Результаты аналитического исследования рассмотренных моделей и проведенных на этой основе численных расчетов создают основу для их применения не только для решения внутренних проблем теории математического моделирования процессов и явлений, но и для использования во многих предметных областях научного знания.
Особо отметим, что при математическом моделировании сложных нелинейных природных явлений мы имеем дело не с экспериментальными данными, а с наблюдениями. Поэтому идентифицировать наблюдаемые природные явления можно только на основе модельного анализа.
Вышесказанным определяется практическая значимость исследования.
Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические положения работы докладывались автором на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Санкт-Петербург, 2005, Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), Сочи - Дагомыс, 2005, Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2006, Юбилейной конференции СГАУ, посвященной 30- летию создания 6 факультета, международной конференции ECMI, Paris, 2006, рабочем совещании «Энергетика специального назначения», Самара, 16-22 апреля 2007 г.
Публикации
Основные положения диссертации отражены в 18 опубликованных работах, в том числе в ведущих рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией опубликовано 9 работ.
Объем и структура диссертации
