Введение к работе
Актуальность тема. Задачи типа пересечений - сравнительно недавно оформившийся раздел теории случайных процессов, во многом обязанный своим возникновением и развитием насущным потребностям решения практических задач, возникающих в различных прикладных областях. Рассмотрим реализацшо случайного процесса у(г) непрерывного аргумента х и зафиксируем произвольное число и. Предполагая реализацию у(х) непрерывной, взаимное расположение какого-либо ее участка и уровня и можно охарактеризовать с помощью следующих параметров: х" - момент первого достижения уровня и, реализацией у{х), Jf* - число пересечений уровня и реализацией ц{х) снизу вверх, JT - число пересечений сверху вниз, х+ - интервал между двумя последовательными пересечениями уровня и снизу вверх и сверху вниз, %' - интервал между пересечениями сверху вниз и снизу вверх, т - число локальных максимумов, превышающих уровень и, h - высота локального максимума, превышающего уровень и. Этот перечень в случае необходимости можно и расширить, вводя, например, подобные параметры, связанные с локальными минимумами реализации. Если рассматривается многомерный процесс у(дг)={у1 (х),...,уп{х)У, то речь может идти о пересечениях и достижениях границы некоторой заданной области в йп. Параметры h, %* и *Г в пределах одной реализации могут принимать более одного значения и вместе с параметрами х*, Jf+, JT, т изменяются случайным образом от одной реализации к другой. Статистические характеристики этих случайных величин и вероятности связанных с ними событий и являются предметом изучения рассматриваемого раздела теории случайных процессов. После математической формализации к решению таких задач сводятся проблемы, возникащие, например, в радиофизике, радиотехнике, авиации, биологии, медицине, в теории информационно-измерительных систем, теории массового обслуживания, теории надежности, теории управления запасами, при расчетах показателей безопасности машин и конструкций, прочности материалов, максимальных нагрузок в электросетях промышленных предприятий, при изучении морских волн и качки судов, при статистическом исследовании наводнений и засух, в задачах оценки неровностей шероховатых поверхностей.
_ 2 -
Решения прикладных проблем, сводящихся к задачам типа пересечений, основаны на фундаментальных математических результатах- Первым систематическое изучение задач типа пересечений начал Райе (Rice S.O.). Эвристическими методами в 40-ых годах он получил ряд важных для приложений результатов, в частности, формулу для среднего числа пересечений фиксированного уровня. На выявление наиболее слабых условий справедливости этих результатов и математически безупречные формулировки и доказательства соответствующих утверждений и их дальнейших обобщений и применений потребовались десятилетия и усилия многих известных математиков, занимающихся исследованием свойств выборочных функций случайных процессов. За последние несколько десятков лет глубокие результаты, связанные с решением задач типа пересечений, получены Крамером (Cramer Н.), Лидбеттером (Leadbet-terM.R.), Слепяном (Slepian D), Ю.К.Беляевым, В.П. Носко, В.И. Питербаргом, Берманом (Berman S.M.), Линдгреном (Llndg-геп G.), Маркусом (Marcus М.В.), Р.Н. Мирошиным и др. Много обзорных работ прикладного характера написано В.И. Тихоновым.
Одной из практически важных, но не решенных задач рассматриваемого раздела теории случайных процессов является задача об определении (или хотя бы оценке) функции распределения момента первого выхода многомерного случайного процесса на выделенную часть граница заданной области в Дп. Такие задачи при различных конфигурациях области возникают в тех случаях, когда функционирование исследуемой стохастической системы соответствует положению изображающей ев точки в заданной области G фазового пространства системы, причем последствия выхода точки за пределы G могут быть различны в зависимости от того, через какую часть Q^G ее границы 6G произойдет этот выход. Часто встречащимся в приложениях и потому важным является случай, когда область G является полупространством tz: z,>vl) - множеством точек 2ЯП, у которых значение координаты г, больше и. В этом случае задача заключается в определении вероятности того, что первое достижение уровня и компонентом у,(.х) процесса у{х) произойдет на заданном промежутке is' ,х") и в момент этого достижения окажется выполненным условие (y1,...,y,_1,y,+1,...,yn)D, где D - задан-
ное подмножество б ft , что соответствует выходу процесса у(г) за пределы G через часть d^G^iz: z=u, (zt,...,2._1,2 ,..., z )Ш ее границы SCMz: z =u). В частности, эта задача актуальна в авиации, поскольку она неизбекно возникает при изучении многих вопросов, касающихся безопасности посадки летательных аппаратов. Для диффузионных марковских процессов данная проблема, как показал Л.С. Понтрягин, может быть сведена к решению смешанной задачи для уравнения в частных производных. Для нр-марковских процессов эта и близкие к ней задачи рассматривались только в одномерной постановке и линь для стационарных нормальных процессов с ковариационными функциями частного вида. В диссертации рассматриваемая задача решается для непрерывных процессов у{х) с дафференцируемым компонентом у,(г), а затем некоторые из полученных результатов применяются к исследованию проблем обеспечения точности и безопасности посадки самолетов.
Цель работы. Исследовать возможные варианты поведения выборочных функций случайного процесса по отношению к пересечениям некоторого фиксированного уровня. Разработать метод, который позволял бы подходить к оценке вероятности событий, связанных с пересечениями и достижениями уровня. Получить двусторонние оценки вероятности события, заключающегося в том, что первое достижение фиксированного уровня компонентом многомерного случайного процесса происходит на заданном промежутке изменения независимой переменной и в момент этого достижения оказываются выполненными заданные ограничения на другие компоненты процесса.
Применить полученные результаты в задачах авиации при исследовании проблем точности и безопасности посадки: на основе найденных оценок предложить метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппарата и реализовать его на примере самолетов; использовать найденные оценки для изучения влияния управления тягой двигателя самолета на точность и безопасность приземления и при построении оптимальной стратегии посадки.
Научная новизна работы. Предложена схема, позволящая подходить к оценке вероятности событий, связанных с пересечениями и
- A -
достижениями уровня случайным процессом. Действуя по этой схеме, нукно 1) с помощью прямого перебора рассмотреть возможные варианты поведения выборочных функций случайного процесса по отношению к пересечениям заданного фиксированного уровня,
-
по критерию числа пересечений снизу вверх и сверху вниз найти удобное разбиение множества выборочных функций на пучки,
-
вводя вероятности таких пучков, попытаться выразить через них вероятности интересущих событий, 4) сами же вероятности пучков и их комбинации оценить с помощью среднего числа пересечений и плотности совместного распределения значений процесса в фиксированных точках.
При исследовании сначала одномерного случайного процесса по этой схеме получены оценки вероятности события, заключающегося в том, что первое достижение фиксированного уровня происходит на заданном ьро-йблугке изменения независимой переменной. После этого предлагаемая схема распространена на многомерный случай, и найдены оценки вероятности события, заключающегося в том, чгс первое достижение фиксированного уровня компонентом многомерного случайного процесса происходит на заданном промежутке изменения независимой переменной и в момент этого достижения оказываются выполненными заданные ограничения на другие компоненты процесса.
В ходе реализации описанной схемы для широкого класса непрерывных процессов получены достаточные условия равенства нулю пределов типа
П г <Х> ,
L<=1 ... ,n J где x'^xn
и ' 1 І ті** І ТІ
ка [х',х" ] промежуточными точками хл ,хг....,х{....,хп_л t а событие ^2fc(x{_1,x{) означает, что случайный процесс у(х) пересек заданный уровень на промежутке (xi_^,xi) ровно 2А раз; для стационарных гауссовсних процессов найдены требования к ковариационной функции, при соблюдении которых эти достаточные условия выполняются. Проведено исследование некоторых условных вероятностей горизонтального окна - пределов
11m l{D(r,x+5)\C(.x,x+5)},
где С(х,х+Ь) - событие, заключающееся в том, что на промежутке {х,х+8) произошло пересечение заданного уровня j-m компонентом многомерного процесса, a D(x,x+6) - событие, заключающееся в том, что имело место событие С(х,х+д) и в момент пересечения заданного уровня указанным компонентом на промежутке (х,х+б) остальные компоненты процесса оказались в заданных границах.
На основе некоторых из полученных результатов предложен и реализован на примере самолетов метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппарата. G использованием этого метода предложено решение двух актуальных проблем обеспечения безопасности посадки, в процессе исследования которых неизбежно возникает задача расчета вероятности успешного приземления:
из условия соблюдения требований, налагаемых на вероятность успешного приземления и - в случае вынужденного ухода на второй круг с касанием палубы - максимальную просадку траектории самолета после схода с палубы, предложена и проиллюстрирована на примере схема выбора диапазона допустимых моментов увеличения тяги двигателя при посадке самолетя на корабль;
по принципу максимизации ожидаемой полезности последовательности развития событии для дерева решений, соответствующего процессу посадки самолета (на корабль или сушу) и предусматривающего возможность максимум двух уходов на второй круг, предложен алгоритм построения оптимальной стратегии посадки, предписывающий в зависимости от конкретной обстановки принятие одного из двух возможных решений: либо решения о продолжении захода на посадку с последующей попыткой приземления, либо решения об уходе на второй круг.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение при исследовании динаміки стохастических систем, описывающих поведение реальных объектов. В частности, предложенный метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппарата может быть использован для оценки качества и выбора наилучшего по вероятности закона управления самолетом
- б -
при посадке. Такие расчеты были проведены и показали высокую эффективность предложенного метода.
Вывода, полученные при изучении управления тягой двигателя самолета при посадке и при построении стратегии посадки, могут быть использованы при выработке практических рекомендаций по управлению и принятию решений.
Основанная на полученных результатах и описанная в работе схема апостериорной оценки безопасности посадки гражданских самолетов по записи системы регистрации параметров полета включена в план научно-исследовательских работ МГТУГА и начата еб реализация.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на IX (1984) и X (1985) научных конференциях МФТИ, ЦАГИ (1985), ВЦ АН СССР (1988), всесоюзной (1992) и международной (1994) конференциях МГТУГА, на научных семинарах на кафедрах динамшш полета и управлення (1985) и математических основ управления (1988) МОТИ, в МГУ (198Т), ИЛИ АН СССР (1988), МАИ (1988), КАИ (1990), МИ АН СССР (1992), МГТУГА (1993). По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из восьми глав, сводки основных результатов, заключения и списка литературы из 93 наименований. Условно ее можно разделить на две части. Первая часть включает главы 1, 2, 3, 4 и содержит результаты математического характера. Вторая часть состоит из глав 5, 6, 7, 8 и показывает возможности применения некоторых результатов, полученных в первой части, к исследованию проблем обеспечения точности и безопасности посадки самолетов. Объем работы - 286 страниц.
