Содержание к диссертации
Введение
1. Информационные и математические проблемы управления процессами транспортировки по МГП 20
1.1 Основные сведения о технологии магистральной транспортировки газа и се проблемах 20
1.1.1 Технологическая структура магистральных газопроводов 20
1.1.2 Особенности и сложности общей задачи управления МГП 23
1.1.3 Роль математического обеспечения МГП в решении задач управления. 27
1.2 Задачи и проблемы построения модуля имитационного моделировании (МИМ) информационного ядра системы управления 29
1.2.1 Технологические и информационные задачи МИМ МГП 29
1.2.2 Идеологические проблемы построения МИМ МГП 30
1.2.3 Общая характеристика инженерно-математических проблем построения МИМ МГП 31
1.3 Задачи, мегоды и проблемы построения математической модели МГП 32
1.3.1 Свойства и характеристики существующих газодинамических моделей 32
1.3.2 Сложности использования готовых математических моделей. 34
1.3.3 Проблемы построения математических моделей 36
1.4 Задача и методы и проблемы решения уравнении в частных производных для имитационного моделирования распределённых объектов 39
1.4.1 "Сеточный" подход к решению задачи моделирования. 39
1.4.2 Свойства и возможности различных пространственных и временных схем решения ДУ. 43
1.4.3 Шаблоны и свойства двумерных разностных схем 48
1.4.4 Балансная пространственная интерполяция параметров распределённых объектов 49
1.5 Методы решения систем дифференциальных уравнений 50
1.5.1 Математическая формулировка задачи исследования ДУ. 50
1.5.2 Общая характеристика методов решения задачи Коши 53
1.5.3 Алгоритм метода Рунге-Кутта 55
1.5.4 Алгоритм метода Эйлера для жёстких систем ДУ. 58
1.5.5 Краткий обзор методов численного интегрирования. 59
1.5.6 Выбор и анализ методов численного интегрирования 61
1.6 Место подсистемы имитационного моделировании в АСУ ТП транспортировкой природного газа 64
1.7 Постановка задачи исследовании 65
2. Математическое обеспечение подсистемы имитационного моделированния процесса транспортировки по магистральному газопроводу ... 67
2.1 Методологические основы математического описания участка магистрального газопровода 67
2.1.1. Общие сведения о модели. Концептуальная модель проц. тр-кигаза по УМГП 67
2.1.2 Основные допущения 69
2.1.3 Законы сохранения при транспортировке газа по участку газопровода 71
2.2 Математические модели механических процессов транспортировки газа 72
2.2.1 Математическая модель закона сохранения количества вещества в движущемся газе (уравнение неразрывности) 72
2.2.2 Общая математическая модель сохранения и преобразования механической энергии для процесса движения вязкого газа по трубопроводу. 74
2.2.3 Математическая модель вязкого трения в условиях транспортировки газа по МГП. 75
2.2.4 Математическая модель преобразования механической энергии при движении газа по МГП. 77
2.2.5 Обобщение результатов 78
2.3 Математическая модель преобразования полной энергии для движения вязкого газа по трубопроводу 80
2.3.1 Математическая модель сохранения и преобразования полной энергии газа при движении по УМГП. 80
2.3.2 Математические модели составляющих уравнения преобразования полной энергии. 81
2.3.3 Полная математическая модель процесса транспортировки на участке газопровода и её частные случаи 83
2.3.4 Условия динамической совместимости 85
2.3.5 Изотермическая математическая модель процесса транспортировки на участке газопровода 87
2.3.6 Изоэнтропическая математическая модель статики процесса транспортировки па участке газопровода. 88
2.3.7 Изотермическая математическая модель статики процессов транспортировки на участке газопровода 88
2.4 Математическая модель газоперекачивающего агрегата (ГПА) 92
2.4.1 Роль ГПА в общей математической модели УМГП 92
2.4.2 Расчетная структура ГПА. 92
2.4.3 Математическая модель статики механического движения ГПА. 97
2.4.4 Математическая модель статики движения газа в ГПА. 99
3. Разработка и исследование эффективного алгоритма формирования ячеечной модели динамики магистрального трубопровода 101
3.1 Пространственная аппроксимация изотермической модели участка МГП 101
3.1.1 Изотермическая модель процесса транспортировки газа по участку МГП. 101
3.1.2 Парадигма пространственной аппроксимации распределённого объекта 102
3.1.3 Пространственная аппроксимация изотермической транспортировки газа по МГП. 105
3.1.4 Аппроксимация граничных условий изотермической модели 106
3.1.5 Предпосылки балансной парадигмы применительно к процессу транспортировки газа по участку МГП. 107
3.1.6 Основные балансные соотношения 109
3.1.7 Граничные условия в аппроксшшционной-балансной схеме 110
3.1.8 Составная схема моделирования динамики газовой среды 111
3.1.9 Вычислительные приёмы повышения точности аппроксимациопных формул 112
3.1.10 Имитационное моделирование компрессорных станций 114
3.2 Исследование пространственно-балансной схемы 116
3.2.1 Исследование устойчивости пространствашо-бшансной схемы. 116
3.2.2 Исследование сходимости пространстветю-балансной схемы. 118
3.3 Исследование временной аппроксимации участка МГП произвольной дины 123
3.3.1 Варианты построения алгоритмов моделирования динамическш процессов 123
3.3.2 Метод Эшера с автоматической подстройкой шага интегрирования 123
3.3.3 Анализ аппроксимационного решения в существенных переходных режимах. 127
3.3.4 Выбор адекватного метода имитационного моделирования участка магистрального газопровода 128
3.4 Пространственно-временные аспекты аппроксимации 130
3.4.1 Пространственио-времегшые ограничения шаблона разностной схемы ,.., 130
4 Программное обеспечение имитационного моделирования умгп как модуль информационной поддержки системы управления 135
4.1 Задачи и проблемы разработки модуля имитационного моделирования 135
4.1.1, Обмен информации со SCADA-системами. 135
4.1.2 Особенности внутренней структуры модуля 136
4.1.3 Постобработка результатов моделирования 137
4.2 Внутренняя структура модуля имитационного моделирования 138
4.2.1 Потоковое взаимодействие объектов 138
4.2.2 Обобщенная структура межобъектного взаимодействия 139
4.2.3 Структурная организация алгоритмов и данных 140
4.3 Пользовательский интерфейс интерактивной версии модуля 144
4.3.1 Оконный интерфейс ППП 144
4.3.2 Редактор проектов 145
4.3.3 Форма динамической визуализации 147
4.3.4 Индикатор хода состояния процесса 148
4.3.5 Интерфейсное взаимодействие с пользователем и алгоритмы динамической визуализации 149
4.3.6 Визуализация переходічых процессов 149
4.4 Имитационное моделирование вереде пакета "Delay" 150
4.4.1 Моделирование статических процессов. 150
4.4.2 Моделирование динамических процессов 152
4.4.3 Быстродействие и эффективность ППП Delay (!!!) 153
5. Библиографический список
- Особенности и сложности общей задачи управления МГП
- Технологические и информационные задачи МИМ МГП
- Общие сведения о модели. Концептуальная модель проц. тр-кигаза по УМГП
- Аппроксимация граничных условий изотермической модели
Введение к работе
Актуальность работы. Одной из немногих работающих и приносящих доход отраслей промышленности РФ является топливно-энергетический комплекс. Вследствие удалённости основных месторождений от потребителя важнейшим технологическим процессом этого производства является транспортировка ископаемого сырья по трубопроводам большой протяжённости. При его высокой стоимости и огромных объёмах перемещаемых масс задачи идентификации, диагностики, управления, а также оптимизации технологического процесса транспортировки выходят на первый план. Такие задачи могут решаться только па основе достаточно адекватных математических моделей (ММ) соответствующих технологическим процессам. В связи с этим процессы обработки информации для решения такого рода задач требуют специальных математических, алгоритмических и программных методов и средств.
Основу математических моделей магистральных газопроводов (МГП) составляют нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые аналитически не решаются. Поэтому возникает задача их достаточно точного и оперативного решения с использованием ЭВМ. Ограниченный объем вычислительных ресурсов, свойственный ЭВМ I-III поколения, позволял осуществлять на специализированных ЭВМ имитационное моделирование лишь отдельных распределённых объектов или их несложных систем. При этом наибольшее внимание уделялось решению классических уравнений математической физики и анализу найденных зависимостей. В связи с этим развитие получили методы решения частных задач математической физики и газовой динамики, чаще всего на уровне моделирования статических процессов в распределенных системах. При этом н прикладных задачах просматривается явственные тенденции к упрощению и самих моделей, и их решений. Даже в настоящее время не редки попытки обосновать подход к моделированию с пренебрежением некоторыми довольно значимыми членами уравнений ММ МГП.
Такой подход бесперспективен из-за неадекватности получаемых по упрощенческой парадигме моделей процессам всего спектра технологических режимов транспортировки газа. В магистральных газопроводах, при резком закрытии регулирующих заслонок, возможны гидравлические удары и распространение обратных волн большой интенсивности. Для безопасной, качественной и экономичной реализации технологии транспортировки необходимо прогнозировать, описывать и учитывать эти явления, а это возможно лишь с использованием предельно полных по математической структуре математических моделей МГП.
Всё сказанное выше доказывает актуальность задачи разработки и применения методов и алгоритмов, позволяющих описывать и предсказывать все наиболее значительные динамические процессы, протекающие в МГП. При этом особенно важно, чтобы эти методы и алгоритмы были, с одной стороны, эффективны для осуществления оперативного имитационного моделирования, а, с другой, обеспечивали достаточную точность расчетов.
Научные результаты, полученные в диссертационной работе
1. Объединенная математическая модель сопряжённого с компрессорными станциями участка МГП, позволяющая описывать различные термодинамические режимы течения газа.
2. Метод формирования нелинейной сетки пространственной дискретизации параметров модели участка МГП, основанный на учете при аппроксимации балансных соотношений для среды, протекающей через ячейку.
3. Алгоритм оценки сходимости и устойчивости схем численного решения аппроксимациошюй модели в различных пространственных схемах и его результаты, сформулированные как рекомендации по применению этих схем.
4. Алгоритм автоматического выбора шага на основе оценки собственных значений линейного приближения пространственно-аппроксимированной модели.
5. Алгоритмы имитационного моделирования, используемые при реализации программного модуля имитационного моделирования участка газопровода в реальном и опережающем времени, включающие математические модели участков газопровода, компрессорных станций и запорно-регулирующей арматуры.
Отличительными особенностями полученных результатов определяющие научную новизну работы.
1. Построенная модель структурно-параметрического взаимодействия компрессорных станций и участков газопровода позволяет решить проблемы естественного технически корректного формирования граничных условий для пространственно-распределённой модели газопровода при вводе входных воздействий. 2. Разработанный интерполяционно-балансный метод используется не только для конструирования пространственной сетки, но и для формирования исходного статического точечного (ячеечного) распределения параметров, адекватного реальному непрерывному распределению. 3. Алгоритм имитационной оценки результатов аппроксимации распределенного объекта различными пространственными схемами позволил впервые получить качественные оценки устойчивости и сходимости этих схем и сформулировать рекомендации по их применению. 4. Алгоритм реализует совмещение явных и неявных схем временной аппроксимации, что используется для получения не осциллирующего решения при выборе шага. 5. Динамические модели, реализующие ядро модуля, подчинены технологически обусловленной иерархии, при которой механизм взаимодействия элементов одного уровня определяется моделью более высокого уровня. Методы исследования, используемые при выполнении работы. Законы теоретической физики и газовой динамики, теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, общая теория математического и имитационного моделирования, вычислительная математика, теория разностных схем, теория дискретных процессов, общие - методы математического анализа.
Перспективы использования модуля имитационного моделировании, определяющие практическую ценность полученных в диссертации результатов. 1. Модуль имитационного моделирования участка газопровода (ППП Delay) может быть использован в качестве ядра подсистемы имитационного моделирования в составе АСУ ТГТ транспортировки газа по магистральным газопроводам. 2. Программный модуль Delay может составить основу тренажёров операторов газовых станций, как функционируя совместно с существующей АСУ ТП, так и имитируя участок магистрального газопровода. 3. Программный модуль Delay, функционирующий параллельно с реальным участком газопровода, может быть использован для диагностики процесса транспортировки газа, выявления нарушений его протекания, поиска неисправностей и прогнозирования аварийных ситуаций. 4. Независимо от внедрения разработанного автором модуля имитационного моделирования участка МГП, выведенные в работе модели, созданные методы и алгоритмы могут эффективно использоваться разработчиками технологии, оборудования и систем управления в НИИ, КТБ и прочих организациях по профилю настоящего исследования. Внедрение результатов работы. Разработанный программный комплекс «ППП Delay», методика его эксплуатации, заложенные в него методы и алгоритмы и полученные экспериментальные данные как используются в промышленных системах транспортировки газа, так и применяются в учебном процессе на кафедрах «Информационные и управляющие системы» Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения и «Автоматизация производственных процессов» Донского государственного технического университета. Акты внедрения и использования научных результатов прилагаются к диссертации.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации. Показано совпадение частных решений математических моделей статики и динамики процесса транспортировки газа при установившихся воздействиях. Основу адекватности математических моделей является подчинение процедуры их получения законам сохранения как при выводе уравнений, так и при их аппроксимации. Дополнительное исследование линеаризованной математической модели участка трубопровода, аппроксимированной по пространству на основе разработанной в диссертации схемы, показывает жесткость, но устойчивость получаемого решения, т.е. косвенно доказывает его сходимость. Кроме того, для проверки качества разработанных моделей применялись проверенные многолетним опытом использования в научно-исследовательских задачах математические пакеты типа MATLAB, Maple и т.п.
Апробация диссертационной работы. Материалы диссертационной работы апробировались на следующих международных и региональных научных конференциях: Международная научная конференция "методы в интеллектуальных информационных системах" ММИИС-2002 (СФ МЭИ, Смоленск, 2002); XV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15 (ТГТУ, Тамбов, 2002); XVI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-16 (ММТТ-Дон) (РГАСХМ, Ростов-на-Дону, 2003); XVII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-17 (КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ), Кострома, 2004); Международная научная конференция «СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ-2005» (УГТУ, Ухта, 2005); XVIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-18 (КГТУ, Казань, 2005); XIX Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (ВГТЛ, Воронеж, 2006)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 9 из них - в центральной печати.
Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографического списка и приложений. Объем диссертации без приложений составляет 153 страницы (с рисунками и таблицами), 57 рисунков, список литературы содержит 73 наименования.
Краткое содержание работы
Введение. Во введении сформулирована общая характеристика проблемы, цели и задачи работы, полученные в ней существенные научные результаты, их научная новизна и практическая значимость. Обосновано направление диссертационной работы. Показан уровень апробации и степень опубликованное™ результатов.
Первая глава. В этой главе приводятся сведения о магистральной транспортировке газа. На основании анализа рассмотренной литературы делается вывод о том, что технологическая структура магистральных газопроводов достаточно сложна, а пространственная распределенность процесса транспортировки делают задачу управления МГП нетривиальной.
Анализ причин аварий на магистральных газопроводах и задач автоматического управления, как способа избежать аварий, показал, что для устранения некоторых негативных факторов - причин аварий - необходимо иметь подсистему имитационного моделирования технологического процесса транспортировки. Она же нужна и для того, чтобы организовывать тренажерную подготовку операторов и диспетчеров, а также иметь возможность предсказывать последствия действия большого количества регулирующих органов и технологических механизмов, установленных на газопроводах. В связи с этим обосновывается необходимость построения модуля имитационного моделирования (МИМ) процесса транспортировки газа.
Проанализировано математическое обеспечение существующих систем управления магистральными газопроводами. Делается вывод о недостаточной точности используемых математических моделей (используются упрощённые модели, позволяющие производить диагностику и управление только в номинальных режимах течения газа) и о сложности использования для решения этих задач уравнений математической физики и газовой динамики. Проводится анализ допущений, которые позволяют получить такие модели. В результате делается вывод о том, что эти допущения не имеют места в тех случаях, когда производится оперативное управление процессом транспортировки, или в аварийных ситуациях. Ставится задача построения математической модели течения газа, учитывающей технологические особенности и режимы течения, математической модели газоперекачивающего агрегата, а также разработки математически и технологически корректного способа их объединения.
Выполнен анализ работ, посвященных математическому моделированию динамических процессов в газовой среде и в компрессорных станциях: Л.Д. Ландау, А.Н. Минайлоса, А.А. Самарского, M.IO. Белевича, Л.В. Овсянникова, Г.Д. Розенберга и других ученых. Анализ указанных работ показал, что моделирование газовой динамики является актуальной и достаточно сложной задачей. Это связано с многими причинами. Основная из них связана с тем, что построение сетки, на которой аппроксимируются пространственные и временные производные, является многовариантной задачей, решение которой описывается множеством показателей - аппроксимация, устойчивость, сходимость.
Особенности и сложности общей задачи управления МГП
Иллюстрация процесса транспортировки газа по УМГП ТРІ - i-тый участок газопровода; KQ - і-тая компрессорная станция; РЗВ І - запорно-регулирующая арматура, установленная на входе KQ; P3Bbl j - запорно-регулирующая арматура, установленная на выходе, портная сеть. В соответствии с нисходящим подходом системного анализа рассмотрим особенности функционирования УМГП между двумя КС, учитывая, что их свойства (транспортное запаздывание, инерция, резонансные свойства и др.) определяют свойства всей транспортной сети.
Транспортировка газа по МГП начинается от мест добычи и хранения. Первым технологическим объектом, существенно влияющим на процесс транспортировки, является компрессорная станция (КС). По своей технологической сути компрессорная станция-это производственный цех, предназначенный для приёма газа с мест добычи (газовые промыслы), с мест хранения (газосборники) или с участков транспортировки (газопроводы), и изменения его технологи ческих параметров (давление, плотность) до кондиций, обеспечивающих его дальнешую транспортировку. Станцией реализуется технологический процесс сжатия (компримирования) до такого энергетического уровня, который делает возможным его транспортировку по следующим участкам трубопроводов, где полученная газом энергия теряется под действием диссипативных сил. Длина участка МГП между КС определяется интенсивностью таких потерь. На отметке, где энергосодержание (давление) газа падает до прежних пределов, должна находиться КС, чтобы обеспечить энергетическую подпитку газового потока. Каждая компрессорная станция увеличивает давление газа (по ходу его течения), компенсируя транспортные потери давления и расхода. Результат транспортировки оценивают массовым расходом газа, прошедшего через магистральный газопровод и энергетическими затратами на реализацию этого процесса.
На компрессорных станциях, кроме изменения основных параметров транспортируемого газа происходят вспомогательные процессы, например охлаждение или очистка. Эти процессы незначительно влияют на энергетические показатели транспортировки, поэтому в задачах анализа, моделирования и управления УМГП, а также оптимизации его работы ими в первом приближении, можно пренебрегать.
Усложняет технологический процесс компримирования и то, что компрессорная станция состоит из множества газоперекачивающих агрегатов (ГПА), включенных, как правило, параллельно. При этом сами ГПА состоят из нескольких последовательных машин (т.н. ступени сжатия). Эти комплексы осуществляют передачу транспортируемому газу энергии сжигаемого топлива (чаше всего, того же самого транспортируемого газа). На вводе газа в КС уста навливают расходомер, позволяющий оценить технологические параметры процесса транспортировки газа.
Рассмотренные выше особенности процесса транспортировки, раскрывающие его внутреннюю сложность, дают основание полагать что эффективное и безопасное управление МГП возможно лишь с учетом этих особенностей. Этот факт указывает на необходимость тщательного исследования газопровода, его участков как объектов управления с дальнейшей формализацией выработанных знаний в виде математических моделей, как наиболее общей формы описания.
Особенности и сложности общей задачи управления МГП. При эксплуатации магистральных газопроводов нередко наблюдаться аварии, причины, ведущие к этому весьма разнообразны, но в результате аварии происходит физическое разрушение части газопровода, загрязнение окружающей среды и потери транспортируемого сырья. Краткий перечень причин аварий на магистральных газопроводах, связанных с отсутствием автоматического управления процессом транспортировки газа, составленный на основе анализа литературных источников [6, 9, 1І, 16] выглядит следующим образом (рис 1.3): Ч. Наличие в системе управления процессом человеческого фактора. К этой группе относятся явления, вызванные физиологическими, психологическими и иными особенностями функционирования "среднестатистического" человеческого организма и отклонениями от этого среднего. Человек в отличие от машины иногда делает ошибки при выполнении монотонной работы. Возможны умышленные действия, ведущие к аварии.
Технологические и информационные задачи МИМ МГП
Концептуальная модель процесса транспортировки газа по УМГП. Результатом проведения системного анализа задачи информационной поддержки принятия решений при управлении МГП явилось выделение ММ УМГП, как ядра модели МГП. Таким образом, объектом моделирования в данном исследовании является участок трубопровода длиной около 100 км. и диаметром от 600 до 1200м., по которому осуществляется транспортировка природного газа. Участки газопровода разделяются компрессорными станциями. Они восстанавливают давление транспортируемого газа, компенсируя потери его энергии связанные с трением о стенки трубы и преодолением так называемых местных сопротивлений (повороты, сужения, отводы, компенсаторы расширения и т.д.). друга конструктивными и технологическими параметрами или разделённые поворотами газопровода. Поэтому основу общей модели участка естественным образом составляет модель его отрезка, не содержащая местных сопротивлений и поворотов трубопровода, площадь сечения которого постоянна на всей протяженности и технологические параметры неизменны от сечения к сечению.
В связи с тем, что трубопровод может содержать закругления, повороты, сужения диаметра, сварные швы, уплотиитсльные прокладки и специально установленные запорно-регулирующие органы (задвижки) то необходимо иметь модели этих объектов. Моделью таких объектов с достаточной степенью точности могут быть локальные сопротивления потоку газа, которые могут располагаться на всём протяжении участка. Часто в практике расчёта газопроводов прибегают к следующей методике неучтённое распределённое сопротивление газопровода приводят к сосредоточенному сопротивлению (например, изгибу трубы или запорно-регулирующей заслонке) поэтому в дальнейшем все местные сопротивления будем называть виртуальными (ВМС) подчёркивая тот факт, что его величина у чувствует в расчётной методике и отличается от реального сопротивления-Компрессорные станции (КС), разделяющие участки магистрального газопровода, включают несколько параллельно соединенных газоперекачивающих агрегатов (ГПА), каждый из которых состоит из последовательной ступени вентиляторов.
Условно, непрерывный отрезок газопровода между двумя КС (рис. 2.1) без вводов и отводов в этой работе будет называться участком магистрального газопровода (УМГП).
На входе трубопровода по направлению течения газа расположен ГПА, подающий газ в трубопровод под давлением 60-80 атм. Его объёмная производительность при этом составляет от 200 до 600 и. м /лшн. Для диаметра трубопровода 1200 мм, это скорость потока составляет от 2.7м/с до 92 м/с [9]. В сравнительно новых проектах значения гораздо выше - давление достигает 247 атм. (25МПа), объёмный расход - 3805». мъ/.шн, что соответствует линейной скорости 54 м/с при диаметре трубопровода 610мм [11]. На выходе трубопровода находится ГПА, аналогичный первому. Анализ реальных производственных данных показывает, что в конце участка длинной 100 км. давление газа вследствие действия сил трения снижается до 40 атм.
В этом пункте произведено выделение ядра газо-транспортной сети -УМГП. Основное допущение, которое необходимо приять, чтобы производить дальнейший анализ заключается в то, что УПГП можно представить в виде последовательного соединения ВЛУ и ВМС с входной и выходной КС. Дальнейший анализ будет направлен на рассмотрение структуры виртуальных линейных участков как наиболее сложных элементов газотранспортной сети.
Основные допущения. Построение любой математической модели невозможно без допущений. Они упрощают процесс построения модели, формируют свойства моделируемого объекта, упрощают описание физических процессов и преобразование исходной модели в рабочий вид.
Системный анализ причин и задач принятия допущений приводит к следующей схеме их классификации. Среди общетехнолонических допущений выделяют конструктивные и допущения о свойствах рабочей среды технологического процесса.
Конструктивные допущения приниматься относительно самого газопровода. В связи с тем, что виртуальный линейный участок газопровода имеет достаточно большую протяжённость, не содержит местных сопротивлений, течение считается осесимметричным (т.е. осуществляется вдоль оси цилиндра, образуемого трубопроводом) то для описания процесса транспортировки на ВЛУ можно ограничиться моделью одномерного течения газа (течение Пуазеля).
Общие сведения о модели. Концептуальная модель проц. тр-кигаза по УМГП
Математическая модель закона сохранения количества вещества в движущемся газе (Уравнение неразрывности). Такая модель получена и приводиться в многочисленных работах по исследуемой тематике [1, 5, 7, 15]. Однако для сохранения единства концепции моделирования, согласования обозначений и допущений в данном пункте дается краткий вывод этой модели.
На рис. 2.2. представлена расчётная схема участка газопровода. Этот участок и стенки газопровода ограничивают некоторый объём dV = dx-S, где S- площадь поперечного сечения трубопровода. Количество вещества, за
Выделенный объём газа пасенное в этом объеме обозначим через dxm. Масса выделенного объёма определяется формулой dxm = Sp(x,t)dx (2.1)
Тогда закон сохранения вещества для выделенного и движущегося элементарного объёма (без потери вещества) задается формулой (2.2) (2.2) d dt -dm = 0.
Для преобразования математической модели закона сохранения в рабочую математическую модель объекта необходимо расшифровать выражение для полных производных через частные производные по пространственной координате х и времени /. С учётом S = const о. ±(pW).d JlMdx (2.3)
Внесением оператора dldt под знак дифференциала в нервом слагаемом и разложением полной производной по времени от p(x,t), во по независимым аргументам втором слагаемом, р засвистит от пространственной координаты t и от времени. Уравнение (2.3) преобразуется к виду К dx_ dt \ dp dx dp + —dx = 0. dx dt dt (2.4)
Производная пространственной координаты выделенного участка по времени есть его скорость перемещения, а частный дифференциал от v по х можно выразить через частную производную dxv =—dx. Тогда уравнение дх (2.4) примет окончательный вид dv до др п дх дх д( или, с учётом специфики динамических задач, в форме, разрешённой относительно производной по времени, dp dp dv п г-, — = —-v- p. {2.. J) dt дх дх
Уравнение (2.5) выражает закон сохранения вещества в терминах частных производных по пространству и времени. Такая форма используется наиболее часто, поскольку частные производные по пространству и времени (друг с другом не связанны) входят в уравнение независимо друг от друга, а это удобно при построении алгоритмов и разностных схем пространственно-временной аппроксимации моделируемого объекта.
Общая математическая модель сохранения и преобразования механической энергии для процесса движения вязкого газа по трубопроводу. Закон сохранения механической энергии выражается в том, что полная производная импульса накопленного частицами выделенного элементарного объёма при движении его по трубопроводу равна сумме всех сил Fn действующих на элементарный объём.
Импульс, запасенный в объёме V, с учётом выражения для массы газа (2.1) определяется выражением dj(x,t) = v(xj)-p(x,t)-S-dx, где v- скорость газа, приписываемая определённой координате х. Как и при выводе предыдущего уравнения, считается, что выделенный объём достаточно мал для того, чтобы изменением скорости и плотности внутри объёма можно было пренебречь. Математическая модель закона сохранения импульса описывается уравнением (2.7) у/,/( . )=Е :- (2-6) Таким образом, после подстановки (2.7) в (2.6) уравнение приобретает вид a&-(v(x,/).P(x,0) = Z (2-7)
Полная (равнодействующая) сила Действующая на выделенный объём равна векторной сумме движущих сил и сил сопротивления движению. Согласно расчётной схеме (рис. 2.3) первой составляющей равнодействующей силы является сила обусловленная перепадом давления справа и слева от выделанного объёма. Она является движущей силой, перемещающей этот объём по трубопроводу. Вторая составляющая равнодействующей силы является сила трения, которая, по сути, является обобщением результата протекания в движущемся объёме множества разнородных взаимодействующих процессов.
Аппроксимация граничных условий изотермической модели
Аппроксимация граничных условий изотермической модели МГП. Однозначно решение системы (3.1) определяется заданием четырёх граничных условий - функций времени для правой и левой границы участка МГП по давлению и скорости. Аппроксимированная система уравнений (3.18) для каждого уравнения по пространству имеет второй порядок, поэтому она должна снабжаться восьмью граничными условиями. Таким образом, четыре граничных условия являться вспомогательными их появление обусловлено аппроксимацией системы (3.1). Для определения этих четырёх параметров воспользуемся разложением неизвестного решения вблизи границы (3.4-3.7). Частные производные на границах аппроксимируются менее точными разностными выражениями (3.10-3.13). Таким образом, аппроксимированная вблизи границ математическая модель (3.1) определяется выражениями
В первой главе рассматривался балансный подход, позволяющий вычислить положения узлов сетки, на основе интегральных балансных соотношений. При балансном расположении узлов учитываться погрешности, возникающие в связи с дифференциально-разностным переходом, использующим аппарат полиномиальных рядов. Поэтому этот подход наиболее перспективен и позволяет получить адекватную аппроксимированную математическую модель даже на грубой пространственной сетке.
Предпосылки балансной парадигмы применительно к процессу транспортировки газа по участку МГП. В первой главе были описаны свойства разностных схем. Поскольку эти свойства зависят от закона формирования сетки, естественно пытаться определить закон формирования сетки, при кортом аппроксимированная модель процесса будет адекватна самому процессу. Одним из важнейших свойств моделируемого объекта (участка МГП) является наличие статического режима функционирования. При пространственной аппроксимации участка МГП примем следующее утверждение - пространственная сетка должна быть построена таким образом, чтобы решение рЛ ( ,), v"(x,) исходной математической модели (3.1) и приближённой аппроксимированной математической модели (3.18,3.19) pf, v" совпадали точно в узлах сетки.
В исходном уравнении неизвестная функция приближена первыми двумя членами ряда Тейлора. Это означает, что на каждом интервале аппроксимации распределение переменной приближается линейной функцией, т.е.
При таком приближении функций p(x,t) и v(x,t) внутри ячейки можно сделать вывод о том, что их произведение их линейных приближений (которое определяет интенсивность материально-энергетического потока вдоль газопровода, и, в статическом режиме, должно оставаться постоянным) имеет вид квадратичной функции (рис 3.2, 3.3), причем, поскольку коэффициенты
Аппроксимация давления (а), скорости (б) и их произведения (в) в трёх правых ячейках, наклона {yi и Я;) касательных к кривым р(х) и v(x) имеют разные знаки, то квадратичная функция, описывающая поведение функции pv вдоль трубопровода является выпуклой функцией пространственной координаты. Такая функция пересекает на графике прямую, обозначающую равенство расхода в смежных ячейках в двух точках. Первая точка соответствует левой границе ячейки, где отсутствует ошибка линейной экстраполяции. Вторая точка задаёт правую границу ячейки.
Основные балансные соотношения. Найдём формулу, позволяющую вычислить условную длину ячейки, в узлах которой, несмотря на аппроксимацию, сохраняется произведение p-v.
Выразим из (3.18) значения газовых параметров, относящихся к координате л ,.+1, учитывая, что в статическом режиме течения производные по времени — и — равны нулю. Система алгебраических уравнений, задающих dt dt значения сеточной функции в узлах сетки хм = ,+/,. заданной уравнением: p p d.(R.e-M-v Hl,) \ (3.21) d\R-0-ff\\ ) Запишем балансовые соотношения для двух ячеек с номерами /-1 и / + 1. рм-ум =Pi-iVM. (3.22) Из этого соотношения и системы (3.15) находим положение узлов сетки: _ d.[R-0-M-v?" A-X-}i-vr\v\ [Pl v, , (3.23)
Размер ячейки и газовые параметры при таком определении координат пространственной сетки изменяется вдоль трубопровода по законам, показанным нарис. 3.4.
Если определять границы ячеек в точках заданных формулой (3.17), то разброс вокруг среднего значения произведения pv не превышает 1.7881-Ю"7. Это связанно с погрешностью численных вычислений. Для моделирования участка МГП необходимо помимо определения сетки, сеточной функции и разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы аппроксимировать начальные и граничные условия, заданные для исходной задачи. От того, как приближаются начальные, и граничные условия может зависеть устойчивость полученной разностной задачи.
