Содержание к диссертации
Введение
1 Системный анализ и обобщение теории и практики построения математических моделей по экспериментальным данным 15
1.1 Объекты исследования 15
1.2 Систематизация задач, приводящих к необходимости построения математических моделей 26
1.2.1 Задача управления 27
1.2.2 Задача прогноза 31
1.2.3 Выяснение механизма явлений 32
1.2.4 Практические задачи построения математических моделей 32
1.3 Основные этапы построения математических моделей 36
1.4 Постановка общей задачи построения стохастических математических моделей 39
1.5 Анализ методов оценивания параметров математических моделей 41
1.6 Анализ современных комплексов программ построения математических моделей 45
1.7 Постановка цели и задач исследования 50
Результаты и выводы 52
2 Общие принципы и методология построения стохастических математических моделей 53
2.1 Общий подход к построению математических моделей по экспериментальным данным 53
2.2 Анализ существующих наборов функциональных зависимостей 56
2.3 Систематизация математических моделей по видам преобразования координат 60
2.4 Многоуровневый синтез и выбор пакетов функциональных зависимостей 67
2.5 Получение состоятельных, несмещённых и эффективных оценок параметров математических моделей в преобразованных координатах 75
2.6 Исследование методов построения математических
моделей по экспериментальным данным 85
2.7 Метод построения многофакторных математических моделей по результатам однофакторных экспериментов 99
2.8 Идентификация математических моделей технологических объектов управления по кривым разгона... 101
2.9 Схема построения стохастических математических моделей 112
Результаты и выводы 114
3 Комплекс программ построения математических моделей 117
3.1 Структура программного комплекса 117
3.2 Модуль ручного ввода и редактирования данных 118
3.3 Модуль вывода диаграмм и графиков 119
3.4 Модуль универсального хранилища данных 119
3.5 Модуль управления внешними модулями 119
3.6 Модуль хранения результатов моделирования 119
3.7 Модуль интерпретации математических выражений 120
3.8 Модуль централизованной обработки ошибок 120
3.9 Модуль экспорта и импорта данных 120
3.10 Модуль предварительной обработки информации 121
3.11. Модуль идентификации однофакторных и
многофакторных математических моделей 121
3.12 Модуль идентификации на основе заданных преобразований координат 124
3.13 Модуль идентификации технологических объектов управления по кривым разгона 124
3.14 Модуль параметрической идентификации математических моделей заданной формы 150
3.15 Модуль расчёта основных статистических характеристик 150
3.16 Технические и программные средства 150
Результаты и выводы 151
4 Инженерное проектирование, экспериментальные исследования, практическое применение 152
4.1 Обработка экспериментальной информации с технологических объектов управления 153
4.2 Построение однофакторных и много факторных математических моделей электроосаждения 154
4.3 Анализ результатов обработки экспериментальных данных в исследовании резьбовых соединений
на самоотвинчивание 180
4.4 Исследование технологических режимов обработки . вальцов 182
4.5 Прогнозирование социально-экономических процессов 184
4.6 Рекомендации по практическому применению 199
Результаты и выводы 200
Заключение 202
Литература
- Практические задачи построения математических моделей
- Анализ существующих наборов функциональных зависимостей
- Модуль вывода диаграмм и графиков
- Построение однофакторных и много факторных математических моделей электроосаждения
Введение к работе
Основа исследований, анализа, синтеза и проектирования систем любой природы — это моделирование, центральным звеном которого является построение математической модели (ММ) исследуемого объекта [110].
Стремительное развитие средств вычислительной техники, программного обеспечения расширяет возможности применения ММ на всех этапах автоматизированного проектирования и управления, что, в свою очередь, предъявляет более жёсткие требования к используемым математическим моделям и обуславливает актуальность разработки новых методов, алгоритмов и комплексов программ построения моделей.
Независимо от способа построения модели важным звеном её структурной и параметрической идентификации остаётся обработка экспериментально-статистической информации, получаемой либо в лабораторных условиях, либо при натурных испытаниях, либо с функционирующего объекта.
Исследования и разработка ММ проводятся практически во всех областях знаний [9, 12, 15 - 18, 20 - 24, 33, 34, 41, 43, 48, 49, 52 - 61, 63 - 72, 76, 77,79,88,90, 104, 106-108,114, 115, 117-119, 122-135, 137, 138,139, 140, 147, 150 - 153] и опираются на методы теории вероятностей и математической статистики [1,2, 11, 13, 19, 25,26, 31, 35, 37-40,44-46, 78, 89, 109, 112, 113, 116, 148, 149, 154], созданной основополагающими работами А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, Н. Винера, Ф. Гальтона и К. Пирсона, В. Госсета, более известного под псевдонимом Стьюдент, Р. Фишера, М. Митчела и
Анализ современного состояния теории и практики построения математических моделей и их использования при управлении, прогнозе и изучении различных явлений природы позволяет выделить в качестве одной из основных тенденцию ускоренного развития методов построения нелинейных моделей и расширение области использования нелинейных зависимостей, позволяющих как расширить возможности по управлению различными объ- ектами, так и провести более точные и детальные исследования в различных областях науки и техники.
Центральный ключевой вопрос, определяющий решение всех задач теории и практики построения математических моделей по экспериментальным данным, - это вопрос разрешения противоречия между требуемыми точностью и скоростью получения оценок математических моделей, затратами на проведение эксперимента, нелинейностью большинства объектов исследования и отсутствием общей законченной теории исследования нелинейных систем при наличии детально разработанной теории линейных систем и множества различных методов и методик построения нелинейных моделей.
Поэтому разрешение перечисленных противор'ечий лежит на пути поиска новых подходов к механизму построения нелинейных математических моделей, решения на базе принципов системного анализа, порожденной этими противоречиями, проблемы развития и совершенствования, обеспечения целостности и системности теории и практики математического моделирования, построения программных комплексов, обеспечивающих решение широкого круга технических и социально-экономических задач, повышения эффективности существующих и разработки новых методов построения математических моделей.
Предмет исследований - методы построения математических моделей технических и социально-экономических систем с использованием данных эксперимента.
Объект исследований - технические и социально-экономические системы. В диссертационной работе основное внимание уделено исследованию технологических объектов энергетики и машиностроения, социально-экономических процессов Пензенской области.
Цель работы - разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза математических моделей, создание комплекса про- фамм, обеспечивающего повышение эффективности обработки экспериментально-статистической информации.
Поставленная цель определила круг решаемых в работе задач, основными из которых являются следующие.
Анализ методов построения ММ в задачах обработки экспериментально-статистической информации.
Разработка методов структурно-параметрического синтеза нелинейных математических моделей по экспериментальным данным.
Создание программного комплекса построения математических моделей по данным эксперимента.
Разработка алгоритмов и методик построения ММ для решения задач прогнозирования и управления в конкретных технических и социально-экономических системах.
Разработка рекомендаций по применению методик и комплекса про-фамм для решения практических задач.
Внедрение результатов работы в учебный процесс и в промышленность.
Методы исследований. Методологическая основа исследований — принципы системного анализа и прямой причинно-следственной взаимосвязи, теория управления, теоретические основы нелинейных систем, теория вероятностей и математической статистики.
Ядром решения всех задач и базой самой методологии проводимых в диссертации исследований является системный подход, принципы системно-структурного анализа, причинно-следственный, информационный характер взаимосвязей в математических моделях исследуемых систем.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем. 1 Предложен общий подход к построению нелинейных математических моделей в преобразованных координатах по критериям, задаваемым в непре-образованных координатах.
Предложен и обоснован принцип систематизации нелинейных математических моделей по видам преобразования координат и разработан метод синтеза функционально-полных, линейно-независимых наборов пакетов моделей, каждый из которых объединяет ММ, отражающие физические закономерности исследуемого объекта.
Предложен и обоснован принцип многоуровневого преобразования координат для приведения нелинейных моделей к линейному виду.
Предложен численный метод расчёта состоятельных, несмещённых и эффективных оценок параметров нелинейных математических моделей в системах преобразованных координат по критерию, задаваемому в непреоб-разованных координатах.
Разработаны и обоснованы методы структурной и параметрической идентификации математических моделей с использованием нелинейных преобразований координат и синтеза нелинейных многофакторных математических моделей по результатам однофакторных экспериментов с единым типом преобразования выходных координат.
Разработан комплекс программ построения и поиска общих закономерностей по совокупности разнородных экспериментов и структурно-параметрической идентификации математических моделей технологических объектов управления в преобразованных координатах.
Практическая ценность. Разработаны алгоритмы и комплекс программ, объединяющий процедуры: обработки экспериментальных данных в преобразованных координатах; многократного прямого и обратного преобразования координат; автоматического синтеза наборов и пакетов моделей по заданному базису преобразований координат; расчёта оценок математических моделей в преобразованных координатах; ранжирования моделей по заданному критерию (минимума суммы квадратов отклонений, минимума относительной ошибки); выбора форм математических моделей, что позволяет расширить область применения математического моделирования в технических и социально-экономических системах.
Разработана методика синтеза нелинейных многофакторных математических моделей по результатам однофакторных экспериментов с единым типом преобразования выходных координат для решения задач прогнозирования и управления в технических и социально-экономических системах.
Построены и исследованы математические модели механизма электроосаждения металлов и сплавов, технологических режимов обработки вальцов, зависимости силы затяжки резьбовых соединений от числа нагружений, прогноза численности населения Пензенской области до 2015 года.
Реализация и внедрение. Результаты проведенных исследований внедрены в виде методик, программно-технических комплексов и прогнозов в НПФ "КРУГ" (г. Пенза), Пензенском областном комитете по статистике при составлении демографических прогнозов численности населения на период с 1998 по 2015 г. в гг. Пенза, Кузнецк, Нижний Ломов, Сердобск, в НИР "Разработка и исследование математических моделей и программного обеспечения для интервального прогнозирования нагрузок с использованием метеорологической информации", выполненной по заказу ОАО "ПЕНЗАЭНЕРГО", в НИР «Разработка и исследование автоматизированного электропривода стендов по изоляции труб», выполненной по заказу ОАО МСУ-66 «ГИДРОМОНТАЖ», в НИР «Создание информационной базы данных по методам контроля и оценке качества электрической энергии», выполненной по заказу Пензенского РДУ, в учебном комбинате ОАО "ПЕНЗАЭНЕРГО", в управляемый комплекс сетевых автоматизированных лабораторий (КСАЛ) и в учебный процесс по комплексу общетехнических и специальных дисциплин на кафедре "Автоматизация и управление". ty Основные положения, выносимые на защиту.
Метод структурно-параметрического многоуровневого синтеза и систематизации функционально полных наборов ММ по видам преобразования координат.
Численный метод расчёта параметров нелинейных математических моделей в системах преобразованных координат по критериям, задаваемым в непреобразованных координатах.
Л^ 3 Метод синтеза нелинейных многофакторных математических моделей по результатам однофакторных экспериментов с единым типом преобразования выходных координат.
4 Программный комплекс структурно-параметрического синтеза одно- факторных и многофакторных математических моделей по задаваемым уров ням и видам преобразования координат.
5 Алгоритмы и программы структурной и параметрической идентифика- 'Щ> ции математических моделей технологических объектов управления в преоб разованных координатах.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на НТК «Проблемы технического управления в энергетике» (Пенза, 1998); на Межре гиональной научно-практической конференции "Экономико-статистические и математические методы в управлении рыночной экономикой" (Пенза, 1999); на Второй Международной научно-технической конференции "Мате- матические методы и компьютеры в экономике" (Пенза, 1999); на Третьей Международной научной конференции "Методы и средства управления тех нологическими процессами" (Саранск, 1999); на НТК "Социальные науки и управление" (Пенза, 2002); на Межрегиональной юбилейной научно- практической конференции "Перспективные проекты и технологии в энерге тике" (Волжск, 2005); на Международной НТК "Российское образование в 21 веке" (Пенза, 2005); на Международной НТК "Математические методы и ин- * формационные технологии в экономике" (Пенза, 2005).
Ф ШРдикя[Щ{і._ По материалам диссертации опубликовано 20 работ, включая монографию и 19 статей и материалов конференций.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы (163 наименования), 2 приложений. Общий объём работы составляет 217 страниц, в том числе 56 рисунков и 34 таблицы.
Первый раздел посвящен системному анализу и обобщению теории и щ практики построения математических моделей по экспериментальным дан- ным. Рассмотрена структура объекта исследований. Приведена классификация математических моделей. Проведена систематизация задач, приводящих к построению моделей, среди которых выделены задачи получения однофак-торных и многофакторных моделей, идентификации статических и динамических детерминированных моделей, обучения нейронных сетей, моделей с нечёткой логикой и пробит/логит моделей, идентификации ММ в контурах
4k управления адаптивных и интеллектуальных систем управления. Рассмотре- ны этапы построения моделей и методы оценивания, а также современные комплексы программ. На основе анализа поставлены цели и задачи исследования.
Во втором разделе решается проблема создания методологических и математических основ исследования и автоматизированного построения математических моделей и обработки экспериментально статистической информации. Рассматривается методология построения стохастических мате-матических моделей, основанная на предложенном общем подходе к построению математических моделей в преобразованных координатах по критериям, задаваемым в непреобразованных координатах.
Приводится обоснование принципа систематизации математических моделей по видам нелинейного преобразования координат. Разработан метод синтеза функционально полных, линейно независимых наборов пакетов мо- i делей, для каждого из которых синтезируются различные формы моделей, наиболее полно отражающие физические закономерности исследуемого объекта.
Предложен и обоснован принцип многоуровневого преобразования координат, состоящий в многократном использовании для приведения нелинейных моделей к линейному виду минимального набора функций преобразования координат.
Предложен численный метод расчёта состоятельных, несмещённых и эффективных оценок параметров нелинейных математических моделей в системах преобразованных координат. Разработан метод построения многофакторных математических моделей по однофакторным экспериментам, основанный на выборе единого вида преобразования координат для всей совокупности одиофакторных экспериментов. Проведенные исследования предложенных подходов и принципов, разработанных методов показали их высокую эффективность и преимущества перед существующими методами. Разработана структура построения ММ.
В третьем разделе решается задача построения программного комплекса идентификации математических моделей по данным эксперимента. Приведена структурная схема взаимодействия программных модулей комплекса, даётся описание общей функциональности этих модулей и межмодульного взаимодействия. Особое внимание уделено разработке алгоритмов идентификации математических моделей технологических объектов управления, а также реализации модуля построения одиофакторных и многофакторных математических моделей.
Четвёртый раздел обобщает проведённые в диссертационной работе исследования и полностью посвящен анализу результатов обработки экспериментальных данных, полученных при решении круга типовых задач, определённых в первом разделе, приводящих к построению математических моделей.
В качестве примера решения задачи управления объектом проводится структурная и параметрическая идентификация ММ технологических объектов управления по кривым разгона. Решение задачи прогнозирования проиллюстрировано на примере построения прогноза численности населения Пензенской области. Задача выявления механизма явлений, протекающих в объекте, решалась при идентификации ММ кривых самоотвинчивания и построении моделей электроосаждения металлов и сплавов.
Автор признателен своему научному руководителю кандидату технических наук, профессору Усманову В. В. за всестороннюю помощь и поддержку. Интенсивное обсуждение результатов исследований, доброжелательная критика, конструктивные предложения способствовали формированию научных взглядов автора и написанию настоящей работы. Автор приносит ему свою искреннюю благодарность.
Практические задачи построения математических моделей
Постановка и решение задач управления, прогноза и выявления механизма явлений, хотя и преследуют различные цели, однако практика построения моделей при решении всех этих задач в различных приложениях имеет много общего.
Приведём некоторые задачи, важным этапом решения которых является построение математической модели. Первым этапом решения проблемы синтеза регуляторов, синтеза оптимальных систем, проектирования самонастраивающихся систем и др. является задача идентификации (рисунок 1.7 - рисунок 1.9) [68 - 70].
При задании структуры модели объекта управления в виде соединения типовых динамических звеньев построение ММ сводится к задаче параметрической идентификации: Ш JW(2) = {M(3)}, для решения которой используются экспериментальные временные и частотные характеристики. Для сведения ММ к линейному виду очень часто используется логарифмическое преобразование экспериментально снятых как переходных, так и частотных характеристик, а оценка параметров ведётся в преобразованных координатах.
В диссертационной работе рассматривается проблема построения модели по временным характеристикам объекта.
Ещё одним примером нахождения оценок в преобразованных координатах является использование пробит и логит моделей, В этих моделях значения для зависимой переменной больше или равны 0 и меньше или равны 1 при любых значениях независимой переменной. Это достигается применением следующих регрессионных уравнений.
Для логит регрессии У eW i+-+V « Для пробит регрессии NP(y) = NP(b0+bl-xi+... + bn-xn), где NP означает нормальную вероятность (площадь под графиком плотности нормального распределения), таблицы которой имеются практически в любом статистическом справочнике. Термин пробит был впервые использован в работе Bliss, 1934 [142].
Название логит модели происходит от названия простого способа сведения этой модели к линейной с помощью логит преобразования: У У = log У-у.
Построение моделей в виде нейронных сетей или моделей нечёткой логики также приводит к необходимости использования при обучении нелинейных моделей.
Практически в каждой области знаний при исследовании механизмов явлений возникает необходимость построения нелинейных однофакторных и многофакторных моделей.
В диссертационной работе рассматриваются задачи построения моделей электроосаждения металлов и сплавов, при исследовании резьбовых соединений на самоотвинчивание, при исследовании режимов обработки вальцов.
Проблемы, связанные с нелинейностью, свойственны и задачам прогноза. В диссертационной работе рассматриваются вопросы построения про-. гнозов в энергетике и при исследовании социально-экономических процессов, в частности построении демографического прогноза численности населения Пензенской области.
Построение и экспериментальная проверка модели, т.е. математическое описание интересующих исследователя связей и отношений между реальными элементами анализируемой системы, обычно основаны на одновременном использовании информации двух видов: 1) априорной информации о природе и характере исследуемых соотношений (априорные знания); 2) исходных статистических данных, характеризующих процесс и ре зультат функционирования анализируемой системы (апостериорные знания). Идентификация включает в себя следующие этапы (рисунок 1.10) [68 -70]. 1 Изучение объекта исследования с точки зрения действующих на него воздействий #' На этом этапе исследователь должен ответить на следующие вопросы: - какие воздействия действуют на объект какие воздействия, действующие на объект, являются входными, возмущениями, помехами; какие переменные, характеризующие поведение объекта, могут быть приняты за выходные координаты; акова рабочая точка объекта (номинальный режим).
Результатом этого этапа должна быть структурная схема объекта с ука- занием действующих на него сигналов (рисунок 1.1 или рисунок 1.6). - Из априорных знаний об объекте (уравнений, описывающих физические процессы, протекающие в нем) и из проведенных исследований необходимо ответить на вопрос о линейности (нелинейности), - стационарности (нестационариости), непрерывности (дискретности),
Анализ существующих наборов функциональных зависимостей
Из анализа вышеприведённых таблиц видно (таблица 2.1), что функции с номерами 2 и 12 могут быть получены на основе обратно пропорционального преобразования результативного признака; 4, 13 — на основе обратно пропорционального преобразования результативного и определённого признаков; 6, 14, 15 - на основе обратно пропорционального преобразования определённого признака и логарифмического — результативного признака; 5, 7 - на основе логарифмического преобразования результативного признака; 10, 11 - на основе логарифмического преобразования определённого признака.
Исследование данного набора на основе предлагаемого подхода к систематизации ММ по видам преобразования координат показывает, что этот набор оказывается функционально неполным, т.к. в нём при использовании простейших видов преобразования координат: прямо и обратно пропорционального, логарифмического отсутствуют функции: у = а$-хаі, у = . ао+щіпх то же время в рассматриваемый набор включены функции как с од нократным, так и двукратным преобразованием координат и различными видами преобразований (x-lnjc, xnte x).
Набор ММ (таблица 2.4) содержит только семь функций и функционально неполон. Набор функций, приведённый в работе Я.Д. Баркан, также содержит совокупность одинаковых функций с различной формой записи, т.е. линейно зависимые функции, например первая, пятая и девятая (таблица 2.3). Третья и четвёртая функции — частные случаи полиномиальной ММ второй и третьей степени. Этот набор также функционально неполон. В нём использованы разнородные преобразования. Форма записи ряда функций не оптимальна, поскольку содержит избыточное количество коэффициентов.
Например, пятая функция (таблица 2.3) вида y = aea+aiX эквивалентна функции у - аеа\х, а функция девять вида у = аа х соответствует модели у = OQ (aj) . Обе функции имеют избыточный коэффициент а.
Функциональный набор из книги С.А. Максимова (таблица 2.2) также представляет собой набор случайным образом собранных функций и не удовлетворяет требованиям функциональной полноты.
Набор из девяти функций, приведённый в книге В.М. Ордынцева (таблица 2.5), обладает теми же недостатками, что и вышерассмотренные на боры. Так, функции под номерами 1, 3, 4 получены на основе одних и тех же ф преобразований.
Первый принцип предложенного подхода заключается в систематиза ш ции пакетов функций с использованием простейших видов преобразований координат результативного и определённого признака. Такой подход сводит процесс выбора к сравнению ограниченного и, в то же время, функционально полного набора функций, обеспечивает эффективность сравнительного анализа моделей (2Л).
Если в основу систематизации и приведения ММ к линейному виду положить прямо пропорциональное X — х, логарифмическое X = Inx и обратно пропорциональное X = \/х преобразования, то для двух переменных при однократном их преобразовании можно получить девять видов функций (таблица 2,6),
Ниже (таблица 2.9) приведён результат выбора вида ММ по предложенной методике при использовании трёх простейших преобразований координат. Функция, представленная в книге Е.М. Кудрявцева в качестве лучшей, подчёркнута.
Как видно из таблицы, функция, выбранная в книге [56] в качестве лучшей по критерию остаточной дисперсии при использовании систематизированного набора, оказалась только второй. Причём величины остаточной дисперсии и относительной ошибки для лучшей модели, соответственно, в L67 и 1.19 раза меньше, чем для второй модели. Кроме того, структура "лучшей" математической модели наиболее полно отражает сущность физических явлений, протекающих в технологических объектах управления.
Использование системы ММ, синтезированных на основе пяти перечисленных выше преобразований позволяет получить дополнительную функцию, превосходящую ранее выбранные по точности (таблица 2.10), Относительная дисперсия для этой модели меньше в 1.96 раза, а относительная ошибка в 1.39 раза по сравнению с обратно-гиперболической моделью. Обратно-гиперболическая ММ, выбранная в книге, перемещается на третье место, а количество моделей с относительной ошибкой, не превышающей 10%, увеличивается с пяти до семи.
Модуль вывода диаграмм и графиков
Поскольку система поддерживает возможность задания пользовательских форм ММ для параметрической идентификации, а на уровне 2 происходит создание функционально полных наборов, возникает необходимость в программном вычислении значений данных выражений. Именно для решения этих задач предназначен модуль интерпретации.
Служит для унификации вывода и обработки ошибок. Поскольку модули-расширения предположительно будут создаваться разными разработчиками, необходимо разработать и применить однотипный подход к обработке ошибок. Модуль централизованной обработки ошибок предоставляет (посредством модуля управления модулями) интерфейс, служащий для централизованного вывода и фиксации (в log-файле) сообщений об ошибках. Единый подход к выводу ошибок в системе позволяет облегчить процесс интернационализации приложения.
Как и в любой другой современной системе, этот модуль обеспечивает перенос данных между смежными "по функциональности" приложениями. Модуль экспорта и импорта, находящийся на первом уровне системы, обеспечивает загрузку и активизацию модулей экспорта и импорта второго уровня, что позволяет легко расширять данную функциональность за счёт разработки новых модулей "конвертеров".
В данном модуле первого уровня реализуется загрузка соответствующих модулей (модулей сглаживания и интерполяции) второго уровня, а также предоставляется графический интерфейс, интегрируемый с общим интерфейсом РПО для доступа к рабочим процедурам.
Этот модуль является ключевым, с точки зрения тематики диссертационной работы, поэтому остановимся на нём более подробно. Как и модуль предварительной обработки информации, он предоставляет графический интерфейс, интегрируемый с общим интерфейсом РПО, а также осуществляет загрузку и регистрацию следующих модулей: модуля идентификации на основе заданных преобразований координат; - модуля идентификации технологических объектов управления по кривым разгона; - модуля параметрической идентификации математических моделей заданной формы.
Помимо этого данный модуль управляет вышеперечисленными модулями с целью реализации следующих функций: - синтеза многофакторных математических моделей на основе од нофакторных зависимостей; построения и поиска единых закономерностей явлений по совокупности разнородных экспериментов.
Теоретические основы данной функциональности подробно рассмотрены во второй главе диссертационной работы. Построение модели в рамках разработанного комплекса происходит следующим образом.
На первом этапе "модуль идентификации однофакторных и многофакторных моделей" на основе выбора пользователя передаёт модулю "идентификации на основе заданных преобразований координат" следующие параметры: - список выбранных преобразований координат, - значение требуемой точности, - индекс таблицы с данными в хранилище.
На основании этих данных и процедуры, реализующей схему построения ММ (рисунок 2.16), на втором этапе получается список ММ, удовлетворяющих заданным критериям точности, который на третьем этапе сохраняется в текущий буфер результата модуля "хранения результатов моделирования".
На четвёртом этапе происходит копирование из буфера модуля "хранения результатов моделирования" в накопительный буфер модуля "идентификации однофакторных и многофакторных ММ". Если все таблицы обработаны, то запускается процедура выборки из накопительного буфера общих видов преобразований результативного признака (модуль "идентификации однофакторных и многофакторных ММ"); если же нет, то осуществляется переход к первому этапу.
Если единый тип преобразований для выходной координаты удаётся найти, то, используя разработанную методику построения многофакторных ММ на основе однофакторных экспериментов, строится много факторная модель.
Задача построения и поиска единых закономерностей явлений по совокупности разнородных экспериментов решается системой аналогично. Единственное отличие состоит в том, что на последнем этапе модуль "идентификации однофакторных и много факторных ММ" выбирает из накопительного буфера не единые виды преобразований результативного признака, а единые виды математических моделей, т.е. модели, у которых функции преобразования результативного и определённого признаков совпадают.
Таким образом, разработанный программный комплекс позволяет при наличии у исследователя (пользователя) множества массивов экспериментальных данных, полученных при изучении одного физического явления, но снятых при различных условиях, найти общую структуру для всего множества экспериментальных массивов и, тем самым, приближает пользователя к нахождению детерминированной зависимости.
Построение однофакторных и много факторных математических моделей электроосаждения
В качестве примера обработки экспериментально-статистической информации, приходящей с объектов управления, проведём идентификацию экспериментальной переходной характеристики (рисунок 4.1) изменения потенциала при подаче на гальваническую ванну импульса тока (/ = 140мА). Обработка этих данных в разработанной системе приводит к ММ
Обработка экспериментальной зависимости охлаждения гальванической ванны при температуре окружающей среды Т = +25 С (рисунок 4.2), по предложенной методике позволяет получить следующую ММ:
Как видно из рисунков, полученные модели с достаточной для практики точностью аппроксимируют экспериментальные данные.
Применение разработанной системы для обработки зависимости пластичности осадков меди, полученных из электролита (г/л): CuSO 5#2$ 220; H2SO4 - 60; NaCl - 0.075 от толщины покрытия, приводит к ММ с ос таточной дисперсией ст = 4.6619 10 (рисунок 4.3): -99.275 + 99.458 -ел где Y - пластичность осадков, измеренная на стандартной динамометрической машине типа ZMGI - 250 при скорости растяжения 100 мм/мин; X -толщина покрытия в мкм.
Построение зависимостей относительного удлинения є и предела прочности Т осадков никеля от плотности тока і (рисунок 4.4) при осажде ний в электролите (г/л): №(СЯ3С 90)2 4#20 - 185; №С126Н20 - 30; НС! - 0.02 позволяет получить математические модели с остаточными диспер ,кш-4 1.325-0.1 l9(Ln(i)f ,„ сиями, соответственно, 0 = 3.45-10 , &в=е ,ст = 1.23, Jln(20069878.24+2126386494.81-r2)
Из сопоставительного анализа математических моделей режимов электроосаждения следует вывод о возможности описания всех рассмотренных процессов без введения дополнительных упрощающих допущений единой математической моделью с относительным коэффициентом CCQ : , ВТ . z-CM f(l а) D . Г»,г+1 In = ln м + рг1п М + Л _ FtT\a0 R «0 L J (1-ЛГ)ао р0 +а0 .р2.1п10-рЯ+а \ Щ-{і-а Лпі, которая соответствует при известном а0 линейному уравнению регрессии: ВТ п (1 - ВТ)а /=i где Х = Mz+1\,pH Mi Т здесь z - валентность иона; С - предэкспоненциальный множитель; W -энергия активации; CCQ — относительный коэффициент переноса; R — газовая постоянная; F - константа Фарадея; [3 — коэффициенты, учитывающие физические параметры процесса; Т - абсолютная температура; / - плотность тока.
Система специальных базисных функций, которые являются основой для построения функционально полных наборов линейно независимых функций для идентификации ММ режимов электроосаждения приведена в таблице (таблица 4.1) и включает в себя простейшие виды преобразования координат: логарифмическое, прямо, обратно пропорциональные преобразования, а также ряд специальных преобразований.
Использование этих функций при аппроксимации экспериментальных зависимостей позволяет расширить возможности по исследованию электрохимических процессов, так как позволяет свести нелинейные модели к линейным и получать математические модели зависимостей с коэффициентами, связанными с реальными физическими параметрами процесса.
Ниже (рисунок 4.5 - рисунок 4.7) приводятся отдельные зависимости, полученные с использованием описанных преобразований координат (таблица 4.1). Зависимость выхода по току цинка от рН [84]
В качестве примера использования методики построения многофакторных ММ по результатам однофакторных экспериментов приведем построе ниє математической модели для выхода по току (ВТ) при электровосстановлении Nb(5) от концентрации пятиокиси ниобия (М Оз), плотности тока (і), температуры (Т) и проведём сравнительный анализ полученных результатов моделирования с моделированием, проводимым по методике планирования эксперимента.
На основе анализа физико—химических явлений [4] и корреляционно-регрессионного анализа [5] выбираем вид преобразования координат: 1П___; j = lg[;vb(5)] ; х2 = lg/ ; х3 = -.
По экспериментальным данным [6] получаем однофакторные зависимости в выбранной системе координат: Анализ результатов расчета показывает, что максимальное отклонение вычисленных CZQ для первого варианта составляют 1.46 %, для второго 0.4 %, что свидетельствует о высокой линейности данных зависимостей в рассматриваемом диапазоне варьирования параметров. Возможные отклонения в вычислениях «о по одно факторным зависимостям для отдельных параметров могут быть обусловлены нелинейностью зависимостей в выбранной системе координат, отличием в значениях неучтенного фактора при снятии однофак-торных зависимостей отдельных параметров, погрешностью эксперимента.
В листинге (листинг 4.1) приведён пример построения многофакторной модели зависимости выхода по току Nb(5) от концентрации пятиокиси ниобия Nb20 ) плотности тока (/) и температуры (Г) на основе планирования эксперимента в естественных и преобразованных координатах. Из анализа результатов расчёта следует, что максимальная относительная погрешность ММ, полученной по предлагаемой методике, значительно ниже, чем при использовании методов планирования эксперимента в непреобразованных координатах.
