Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели внутрибаллистических процессов в камере сгорания твердотопливного газогенератора 18
1.1 Анализ физико-химических процессов в камере сгорания 18
1.2 Уравнения газодинамических процессов в камере сгорания газогенератора 23
1.2.1 Уравнения внутренней баллистики в корпусе воспламенителя 23
1.2.2 Уравнения внутренней баллистики в переднем и в предсопловом объемах камеры сгорания 26
1.2.3 Уравнения газовой динамики в канальных областях камеры сгорания ГГТТ 28
1.3 Уравнения тепловых процессов в камере газогенератора 30
1.3.1 Уравнения для расчета тепловых потоков в камере сгорания 30
1.3.2 Уравнения прогрева корпуса ГГТТ и поверхностного слоя топлива 33
1.4. Методы решения уравнений внутренней баллистики ГГТТ 34
Глава 2. Постановка задачи о развитии возмущений газодинамических параметров 38
2.1 Метод линеаризации. Основные положения 38
2.2 Линеаризация уравнений внутренней баллистики 40
2.3 Исследование свойств коэффициентов чувствительности в уравнениях для расчета возмущений 50
Глава 3. Разработка методов оценки устойчивости развития внутрикамерных процессов 66
3.1. Анализ устойчивости внутрикамерных процессов в твердотопливном газогенераторе 66
3.2. Методы оценки устойчивости технических систем 73
3.3 Разработка алгоритма расчета собственных значений линеаризованных систем уравнений 77
3.3.1. Преобразование уравнений для отклонений параметров 77
3.3.2 Алгоритм решения задачи о собственных значениях матрицы 92
3.3.3 Тестирование алгоритма расчета собственных значений 106
3.3.4 Спектральный анализ начального участка работы ГГТТ 112
Глава 4. Методика расчета изменения дисперсий 117
4.1. Математические модели расчета дисперсий 117
4.2 Анализ изменения дисперсий на начальном участке работы ГГТТ 128
Заключение 140
Список литературы
- Уравнения газодинамических процессов в камере сгорания газогенератора
- Уравнения внутренней баллистики в переднем и в предсопловом объемах камеры сгорания
- Линеаризация уравнений внутренней баллистики
- Разработка алгоритма расчета собственных значений линеаризованных систем уравнений
Введение к работе
Актуальность темы.
Проектирование различных технических объектов, как правило, выполняется с использованием детерминированных математических моделей. Математические модели поверочного типа воспроизводят штатный режим работы технического объекта, и при их построении предполагается, что все исходные данные - это параметры, имеющие вполне конкретные точные значения. В действительности, исходные данные имеют вполне определенную погрешность. Например, в задачах проектирования тепловых машин или тепловых двигателей исходные данные по геометрии конструкции обязательно должны содержать допуски- Наличие допусков, как следствие, приводит к появлению разбросов других параметров и рабочих характеристик, определяющих работу тепловой машины (разбросы секундного массового расхода, давления и пр.). Кроме того, в ряде случаев для проектируемого теплового двигателя можно отметить группы параметров, точные знания которых принципиально не могут быть заданы точно (например, какой-то параметр невозможно измерить)- Существующая неопределенность заставляет выполнять решение задачи и ее обработку при варьировании неизвестных параметров во всем диапазоне их изменения. Разбросы рабочих характеристик теплового двигателя могут оказывать влияние на возникновение и развитие других явлений, представляющих интерес для практических приложений- В частности, к таким явлениям в тепловом двигателе следует отнести возможность возникновения и дальнейшего развития низко- или высокочастотных колебаний газодинамических параметров в камере сгорания. Такие колебания могут представлять опасность при эксплуатации двигателя. В отдельных случаях колебания могут создаваться искусственно для реализации того или иного технологического процесса. Записанное выше справедливо для любого класса тепловых машин или тепловых двигателей. Для каждого типа
двигателей имеется необходимость в создании математических
инструментов прогноза возможности возникновения и развития колебаний
в камере сгорания, определения параметров, определяющих
характеристики этих колебаний. Об этом свидетельствуют, например,
работы [35] (рассматриваются вопросы, связанные с ракетным
двигателестроением), [39] (рассматриваются вопросы, связанные с
проектированием двигателей внутреннего сгорания), [71 ]
(рассматриваются вопросы, связанные с проектированием теплообменных систем). В монографии [69] рассматриваются вопросы устойчивости работы жидкостных ракетных двигателей. Рассматриваемые в диссертации вопросы актуальны для тепловых двигателей различных типов. Однако в дальнейшем ограничимся задачами построения математических моделей и методов решения задач об устойчивом развитии процессов в твердотопливных газогенераторных установках.
В задачах проектирования твердотопливных двигателей вопросы, связанные с определением разбросов газодинамических параметров рабочего процесса (внутри балл и стичеких параметров) и их колебаний, исследовались в работах Соркина Р.Е. [61,62], Райзберга Б.А., Ерохина БЛ\, Самсонова К Л* [50], Ерохина БЛ\, Липанова A.M. [30?31], Шишкова А.А., Панина С.Д., Румянцева Б.В. [78], Абугова ДЛ.9 Бобылева В.М. [1], Алемасова В.Е., Дрегалина А.Ф., Тишина АЛ, [2], Приснякова В.Ф. [48], Существенный вклад в исследовании устойчивости и колебаний в камере твердотопливного двигателя внесли профессоры Романов БЛ., Пивкин Н.М, Боднарь Т.А. и др. Среди зарубежных ученых следует отметить существенный вклад в исследование вопросов устойчивости работы двигателей на твердом топливе Куо К., Кумара М., Кулкарни A., ML Кьюлика Ф, [41,81] и др. Отдельные вопросы, связанные с анализом устойчивости работы тепловых двигателей на твердом топливе, являлись предметом Российских и Международных научно-технических конференций и семинаров [44,65-68,82].
Вопросы возникновения и развития колебаний внутрибаллистических параметров в камере сгорания теплового двигателя на твердом топливе или в камере сгорания твердотопливного газогенератора (в дальнейшем -просто твердотопливного газогенератора или ГГТТ) в равной мерс интересны на квазистационарных и на нестационарных режимах их работы. В соответствии с существующими физическими представлениями (например, [35,61] и др.) возникновение и развитие колебаний в камере твердотопливного газогенератора обусловлено, главным образом, двумя факторами. Первый фактор - это нестационарное горение твердого топлива. Горение топлива является источником возникновения колебаний термогазодинамических параметров в камере газогенератора в связи с периодическим выгоранием в составе топлива металлических включений и гранул окислителя (эти компоненты имеют размер от десятков до сотен микрон). Второй фактор — это тот факт, что камера газогенератора является резонатором, у которого существуют собственные частоты колебаний. Возникнув на поверхности топлива, низко- или высокочастотные колебания термогазодинамических параметров по мере перемещения продуктов сгорания к сопловому блоку либо диссипируют, либо усиливаются. Рабочий процесс в камере газогенератора может стать неустойчивым, если приход энергии колебаний от поверхности топлива не успевает диссипировать или расходоваться через сопловой блок газогенератора- При этом первоначальная частота колебаний термогазодинамических параметров и их амплитуда могут изменяться по мере продвижения продуктов сгорания от переднего днища к его сопловому блоку.
Моделирование последовательности описанного выше физического
процесса предполагает запись математических моделей
детерминированного процесса работы твердотопливного газогенератора (уравнения газовой динамики, прогрева, воспламенения и горения твердого топлива и т.п.), математических моделей для расчета отклонений
рассчитываемых параметров от их детерминированных значений и математических моделей анализа устойчивости внутрикамерных процессов.
Современные математические модели детерминированного развития процессов в ракетных системах на твердом топливе излагаются в работах Р.Е, Соркина, AM. Липанова, Б.Т. Ерохина, И.Г. Русяка и др. [16,30,31,37,54,55,62,76] и могут быть применены при расчете внутрикамерных процессов с различной детализацией и размерностью. Применение этих моделей позволяет выполнить расчет изменения внутрибаллистических параметров двигателя или газогенератора в течение всего периода работы - при выходе на режим, на квазистационарном режиме и при спаде давления в камере двигателя. При решении задач, соответствующих этой группе математических моделей, формируются таблицы, содержащие зависимости основных внутрибаллистических параметров (давление, скорости, температуры и т.д.) от времени. Обработка таблиц вычислительными методами позволяет оценить устойчивость развития внутрикамерных процессов, выделить в зависимостях внутрибаллистических параметров от времени наличие гармонических составляющих, если они присутствуют.
Математические модели для расчета отклонений рассчитываемых параметров от их детерминированных значений могут быть построены на базе математических моделей детерминированного типа. Одним из инструментов, позволяющим выполнить это построение, - это применение линеаризации для уравнений внутренней баллистики. Линеаризация — это известный способ упрощения математических моделей, при применении которого предполагается, что отклонения исследуемых физических переменных от их детерминированного значения относительно невелики. Применение линеаризации при решении задач математической физики и газовой динамики излагаются, например, в [43,45,60]. Исследование
свойств линейных и квазилинейных уравнении и систем уравнений выполнено в [52].
Математические модели исследования устойчивости развивающегося физического процесса могут быть основаны на исследовании (аналитическом или вычислительном) двух систем уравнений - для определения детерминированного изменения параметров и для изменения их отклонений. При этом могут использоваться методы, излагающиеся в работах [8,18,20,25,26,36,45,48,63,64]. Наиболее распространенным методом исследования рабочих процессов и их устойчивости в ракетных двигателях является метод, основанный на решении волнового уравнения [8,18,25,63,72]. Из работ последних лет, связанных с исследованием устойчивости в этом классе двигателей с использованием волнового уравнения, следует отметить статью Шардакова ИЛІ. и Голотиной Л.А, [77]- В этой работе решается задача о трехмерных акустических колебаниях в камере твердотопливного двигателя. Задача решается для случая потенциального течения продуктов сгорания. Краевая спектральная задача для потенциала акустической скорости решается с использованием метода геометрического погружения. Разработанный в [77] итерационный алгоритм обладает сходимостью и позволяет последовательно вычислить собственные формы и частоты акустических колебаний, начиная с низшей частоты. В работе Коковихиной О.В. [38] решается задача на собственные значения потенциала акустической энергии для области, обладающей осевой симметрией. После формулирования дополнительных допущений решение задачи осуществляется аналитически с использованием метода А.Н. Некрасова.
В работах [57,70] рассматривается другой способ оценки устойчивости технических систем, основанный на исследовании собственных значений матрицы для системы алгебраических уравнений, а система алгебраических уравнений может быть получена из системы дифференциальных уравнений в частных производных, записанных в
конечно-разностном виде. Такой подход используется при решении задач квантовой механики и задач устойчивости атомных реакторов. Обзор работ показывает, что последний метод до настоящего времени не использовался для анализа устойчивости рабочих процессов в тепловых двигателях и, в частности, в двигателях и газогенераторах на твердом топливе. Применение этого подхода может оказаться эффективным.
Выполненный обзор работ позволяет сделать вывод о том, что к настоящему времени отсутствуют математические модели, описывающие развитие возмущений в камере твердотопливного газогенератора (твердотопливном двигателе). В данной работе выводятся уравнения для возмущений газодинамических параметров для нестационарных процессов на начальном участке работы газогенератора. Для выведенных уравнений разрабатываются алгоритмы, позволяющие вычислить собственные значения и частоты собственных колебаний, соответствующие процессам в камере газогенератора на нестационарных режимах его работы. В работе предлагается методика расчета дисперсий газодинамических параметров в камере газогенератора как функций времени и пространственной координаты.
Выполненный обзор позволяет сформулировать следующие основные положения по диссертационной работе.
Объект исследования - газодинамические процессы в камере сгорания твердотопливного газогенератора на нестационарном этапе его работы.
Предмет исследования: математическая модель расчета отклонений основных газодинамических параметров от их математических ожиданий, методы расчета устойчивости работы твердотопливного газогенератора и методы расчета дисперсий.
Целью диссертационной работы является создание математических моделей, алгоритмов и вычислительных методов расчета динамики развития возмущений газодинамических параметров твердотопливного газогенератора.
Для решения поставленной цели решаются следующие задами:
- вывод уравнений для возмущений газодинамических параметров в
камере твердотопливного газогенератора;
- разработка методики расчета собственных значений и частот
газодинамических параметров в камере газогенератора при его выходе на
режим;
- разработка методики расчета дисперсий газодинамических параметров на
нестационарных этапах работы твердотопливного газогенератора.
На защиту выносятся:
- математические модели для отклонений газодинамических параметров
твердотопливного газогенератора в нестационарные периоды его работы;
- методика расчета собственных значений и собственных частот
газодинамических параметров в камере газогенератора;
- методика расчета дисперсий газодинамических параметров в камере
газогенератора при его выходе на режим;
результаты исследования устойчивости процессов и изменения динамики собственных частот газодинамических параметров при выходе газогенератора на режим;
результаты анализа динамики изменения дисперсий газодинамических параметров в камере газогенератора при выходе на режим.
Научная новизна работы:
разработаны математические модели развития возмущений газодинамических параметров в камере твердотопливного газогенератора, основанные на применении процедуры линеаризации уравнений газовой
динамики;
- разработан оригинальный метод расчета собственных значений и
собственных колебаний газодинамических параметров, сопровождающих
работу твердотопливного газогенератора, основанный на применении
ортогональных преобразований;
разработан метод расчета дисперсий основных внутрибаллистических параметров твердотопливного газогенератора на нестационарных режимах его работы, основанный на применении метода статистических испытаний;
выполненный анализ показал, что в твердотопливном газогенераторе собственные значения, частоты собственных колебаний, дисперсии газодинамических параметров являются функциями времени и пространственной координаты, и это обусловлено последовательностью физических процессов, протекающих в камере сгорания газогенератора.
Достоверность и обоснованность полученных результатов
обеспечивается применением фундаментальных законов механики жидкости и газа. Для решения сформулированных задач используются надежные, апробированные вычислительные методы и элементы технологии вычислительного эксперимента. Используются сравнения результатов расчетов с отдельными экспериментальными данными.
Научная и практическая значимость.
Полученные результаты являются новыми. Разработанные
математические модели, алгоритмы и методики позволяют исследовать
динамику изменения дисперсий газодинамических параметров в камере
твердотопливного газогенератора на нестационарных и
квазистационарных режимах его работы. Методики позволяют рассчитать спектры частот собственных колебаний газодинамических параметров в камере сгорания газогенератора.
Применение перечисленных методик позволит повысить качество проектирования твердотопливных газогенераторов и тепловых двигателей на твердом топливе. Полученные в работе результаты могут быть применены при проектировании тепловых двигателей других типов.
Реализация работы состоит в выполнении научно-исследовательской работы по гранту РФФИ №03-01-00123 (2002-2004 гг.)- Кроме того, материалы, связанные с расчетом отклонений, дисперсий и собственных значений газодинамических параметров в тепловых двигателях включены в курсы лекций по дисциплинам «Математическое моделирование» и «Проектирование РДТТ» (специальность 160302,65 «Авиа- и ракетостроение»), читаемых на кафедре «Тепловые двигатели и установки» Ижевского государственного технического университета.
Апробация работы.
Результаты исследований докладывались на следующих научных конференциях:
Российская научно-практическая конференция «Наука и технологии: Реконструкция и конверсия предприятий», г. Бийск, 21 октября 1999 г.;
Международные научно-практические конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве», г. Тирасполь, 27-30 июня 2001 г., 17-20 сентября 2003 г., 21-24 июня 2005 г,;
- Международные научно-технические конференции «Процессы горения и
внутренняя баллистика», г. Санкт-Петербург, 26-30 июня 2000 г.; 22-25
июля 2004г.;
Международные научно-технические конференции «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и в ствольных системах», 12-16 ноября 2002 г, г. Ижевск; 11-15 июля 2005 г,, г. Москва;
Международная научно-техническая конференция «К 100-летию идеи К.Э. Циолковского», Москва-Калуга, 15-19 сентября 2003 г.
Полностью работа докладывалась на научных семинарах в ИжГТУ.
Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 8 научных статьях (Список литературы, ссылки [83-90])- Отдельные этапы работы выполнены по гранту РФФИ №03-01-00123 (2002-2004 г.) и содержатся в отчете [91].
Личное участие автора состоит в постановке задач исследования, в разработке математических моделей для возмущений параметров работы твердотопливного газогенератора, в выборе и модификации используемых вычислительных алгоритмов. При личном участии автора выполнялся анализ и интерпретация результатов исследований.
Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, доктору технических наук И.Г. Русяку и заведующему кафедрой «Тепловые двигатели и установки» ИжГТУ профессору, доктору физико-математических наук А.В. Алиеву за всестороннюю помощь и поддержку при подготовке данной работы.
Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, изложенных на 150 страницах, содержит 30 рисунков, 6 таблиц и библиографический список, включающий 91 наименование.
Краткое содержание работы по главам.
В первой главе рассматриваются основные физико-химические процессы, сопровождающие работу твердотопливного газогенератора на начальном этапе его работы. Описываются математические модели для расчета изменения газодинамических параметров твердотопливного газогенератора на нестационарных режимах его работы. Рассматриваются методы решения задач внутренней баллистики, приводятся результаты сравнений расчетов математических задач с результатами экспериментов.
Во второй главе выводятся уравнения для расчета отклонений газодинамических параметров в твердотопливном газогенераторе на нестационарном режиме его работы. Вывод осуществляется в двух постановках — в предположении об осреднении газодинамических параметров по объему камеры сгорания и в предположении об одномерном характере движения продуктов сгорания в камере газогенератора. Рассматриваются две формы уравнений для отклонений- Первая форма в дальнейшем используется для расчета собственных значений, а вторая
форма — для расчета дисперсий. Приводится анализ коэффициентов чувствительности, входящих в уравнения для отклонений.
В третьей главе формулируется задача об устойчивости
внутрикамерных процессов в твердотопливном газогенераторе.
Рассматриваются алгоритм и методика, позволяющие установить
устойчивость внутрикамерных процессов, вычислить собственные
значения и частоты собственных колебаний камеры сгорания.
Предложенный подход предполагает приведение уравнений для
отклонений к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Анализ устойчивости сводится к расчету собственных значений матрицы,
состоящей из коэффициентов при переменных в правых частях уравнений.
К разрабатываемому алгоритму предъявляются требования, связанные с
определением не только вычисления собственных значений, но и
установления принадлежности этих собственных значений конкретной
пространственной координате. Разработанный оригинальный
вычислительный алгоритм расчета собственных значений состоит из двух этапов. На первом этапе многократно применяются ортогональные преобразования, в результате которых образуется блочно-трехдиагональная матрица с размером блока 4x4. На втором этапе вычисляются собственные значения матрицы каждого блока. Используемый алгоритм позволяет установить функциональную зависимость собственных значений от времени и от пространственной координаты. Приводятся результаты спектрального анализа начального участка работы твердотопливного газогенератора.
В четвертой главе приводится методика расчета дисперсий в твердотопливном газогенераторе в нестационарные периоды его работы. Методика основывается на применении оригинального варианта метода статистических испытаний, требующего при проведении расчетов ограниченного объема статистики. На примере твердотопливного газогенератора выполнен анализ динамики развития дисперсий
газодинамических параметров в период его выхода на режим. Показано, что величина дисперсий является функцией времени и пространственной координаты. Отмечается, что дисперсии давления, плотностей, скорости движения продуктов сгорания, температуры существенно отличаются друг от друга.
Уравнения газодинамических процессов в камере сгорания газогенератора
Воспламенительное устройство при принятых допущениях - частный случай «нульмерной» области. Особенностью моделей работы инициирующего устройства является наличие в правой части термогазодинамических уравнений составляющих, обусловленных горением таблеток инициирующего состава. Кроме того, в корпусе инициирующего устройства отсутствуют продукты сгорания топлива.
С учетом допущений уравнения принимают вид:
В системе уравнений (1.1) последовательно записаны уравнение сохранения для суммарной массы продуктов, размещенных в корпусе воспламенителя, уравнение сохранения массы продуктов горения воспламенитслыюго состава, уравнение сохранения энергии, уравнение для расчета изменения объема корпуса воспламенителя, уравнения для термодинамических и теплофизических характеристик смеси (давление р , показатель адиабаты к, удельные теплоемкости смеси при постоянном давлении с и при постоянном объеме cv, температура Т\ уравнение для расчета перетекания массы из корпуса воспламенителя в передний объем камеры сгорания ГГТТ GI2, уравнения для определения массо- (Glp) и энергоприхода (G]E) от навески воспламеиительного состава. В уравнениях (1.1) введены следующие обозначения: - ав1 - массовая концентрация продуктов горения воспламенительной навески в газовой смеси, размещенной в корпусе воспламенителя; " cPs cve " значения удельных теплоємкостей для продуктов сгорания воспламенительной навески; " cpo cvo " значения удельных теплоємкостей, соответственно при постоянном давлении и при постоянном объеме, для воздуха (или газа, первоначально заполнявшего внутренний объем камеры ГГТТ); - Fe - площадь отверстий в корпусе воспламенителя; - АсХ - коэффициент истечения продуктов сгорания из корпуса воспламенителя; - , - коэффициент потерь тепла в корпусе воспламенителя и коэффициент расхода из корпуса воспламенителя (значения коэффициентов принимаются в интервале от 0,90 до 0,95); - R - газовая постоянная; - г - продолжительность времени распространения пламени по объему корпуса воспламенителя; - Se - площадь поверхности горения навески воспламенительного состава; - Нв - теплосодержание продуктов сгорания навески воспламенителя.
В системе уравнений (1.3) последовательно записаны уравнение сохранения для суммарной массы продуктов, размещенных в камере сгорания, уравнение сохранения массы продуктов горения воспламенителыюго состава, уравнение сохранения массы продуктов горения топлива, уравнение сохранения энергии, уравнение для изменения свободного объема камеры сгорания, уравнения для термодинамических и теплофизических характеристик смеси (давление /?, показатель адиабаты к9 удельные теплоемкости смеси при постоянном давлении с и при постоянном объеме cv, температура Т), уравнение для расчета перетекания массы из рассматриваемого объема в смежную область (другой объем или канал) G2t и уравнения для массо- и энергоприхода продуктов сгорания от поверхности топлива, размещенной в рассматриваемом объеме (G2p G2 - уравнения для этих величин решаются с момента времени, когда топливо в объеме воспламенилось). Расход продуктов сгорания из рассматриваемого объема в смежную область определяется по формулам, сходным с формулами (1.1), если истечение происходит также в область с «пулевой» размерностью. Если истечение происходит в канальную область, то расход продуктов сгорания на границе областей устанавливается при расчете граничных условий для канальной области.
Уравнения внутренней баллистики в переднем и в предсопловом объемах камеры сгорания
Система уравнений внутренней баллистики ГГТТ, записанная в форме (1,1)...(1.10), на практике часто решается при исследовании газогенераторных систем различных конструктивных схем. В частности, можно отметить работы последних лет, докладывавшиеся на международных и российских конференциях [59,65-68,82]. В настоящее время нет необходимости разработки оригинального программного обеспечения для расчета начального этапа работы ГГТТ в «нульмерной» или (и) одномерной постановках. Для этого можно воспользоваться промышленным вариантом пакета прикладных программ [4,5]. В пакете программ реализована технология вычислительного эксперимента [12,56], позволяющая гибко изменять физическую постановку решаемой задачи. Подробное изложение основных теоретических положений, принятых при разработке пакета программ, излагается в [76].
Для решения уравнений газовой динамики в указанном пакете прикладных программ могут быть применены различные численные методы- В частности, это метод С.К.Годунова [75], метод крупных частиц [13] с модификациями [76]. В пакете программ имеются элементы сервиса, которые существенно упрощают пользователю работу с программным комплексом. В результате выполненных расчетов заполняются таблицы газодинамических параметров (давления, скорости, температуры, плотности и т.п.) от текущего времени для любой точки внутри камерного пространства. Сервисные функции пакета программ позволяют построить для любого сечения камеры сгорания ГГТТ зависимости /(/), либо построить для всего рабочего периода зависимости f{x),
Этот пакет программ многократно применялся на практике при решении ряда прикладных задач [3]. Отдельные версии пакета внедрены на отраслевых предприятиях России (НПО «Алтай», г. Бийск; ГРКЦ «КБ имени В,П. Макеева», г. Миасс; ФГУП НИИПХ, г. Сергиев Посад; ФГУП Московский институт теплотехники). Ниже приводятся отдельные результаты, в которых выполнено сравнение результатов, полученных с использованием пакета программ [4], с результатами проводившихся экспериментов. Эти результаты заимствованы из работ [3,65,74,76].
Для подтверждения достоверности результатов» получаемых с использованием пакета программ [4], на рис, L2 приводятся результаты расчета значений скорости движения газа и и давления р, полученных при решении задачи о заполнении глухого канала, площадь поперечного сечения которого с течением времени возрастает [74,76], На рис, 1.2а приводятся результаты, полученные при решении задачи методом крупных частиц [13] с модификациями [76]. На рис, 1,26 приводятся результаты, полученные при использовании метода С.К. Годунова [75] Анализ результатов, полученных обоими методами, показывает, что их отличие не превосходит ОД %.
Решение задач, сформулированных в главе 1, осуществляется в детерминированной постановке, в предположении, что все исходные данные, все функции и все аргументы суть точные числа. В действительности возникает необходимость в учете их приближенности- В работающем техническом устройстве (в том числе, в тепловом двигателе любого типа) всегда существуют возмущающие факторы (разбросы в скорости горения топлива, погрешности в изготовлении или сборке каких-либо деталей и узлов конструкции и т.п.). Воздействие этих факторов (в дальнейшем будем называть их возмущениями) приведет к тому, что действительные параметры рабочего процесса изучаемого технического объекта будут отличаться от их детерминированных значений- Если эти отличия, первоначально возникнув, в дальнейшем ограничены (уменьшаются или, по крайней мере, не возрастают), то технический объект работает устойчиво. Неограниченное возрастание возмущений с течением времени позволяет сделать вывод о нарушении устойчивости работы технического устройства.
Пусть работа технического объекта в результате решения детерминированных уравнений определяется совокупностью параметров ФІ (i=lf JV). Обозначим р\ - отклонение этого параметра при воздействии какого-либо возмущения. Будем считать, что при устойчивом развитии процесса выполняются условия
Линеаризация уравнений внутренней баллистики
Дополнительные сведения по применяемым математическим моделям: - прогрев корпуса газогенератора определяется в предположении экспоненциального профиля температур; - зажигание топлива происходит при достижении на поверхности температуры 750 К; - тепловые потоки в центральном канале определяются формулой Дюнзе 0,63 Жимолохина [76] Nu = 0.485(Де- Рг)идо х Г -Л"0 59 d - расчет газодинамических задач осуществляется методом крупных частиц с модификациями на промежуточном этапе с использованием инвариантов Римана [52],
На рис, 2.1 приводятся результаты расчета изменения давления в переднем объеме газогенератора на начальном этапе его работы. Расчеты выполнены для трех значений числа расчетных узлов в центральном канале газогенератора- Кривая J соответствует расчету при 20 расчетных узлах, 2 - при 40 расчетных узлах, 3 - при 80 расчетных узлах. На рис, 2.2 приводятся результаты расчета скорости движения продуктов сгорания в окрестности выходного сечения канала заряда- Кривая 1 соответствует расчету при 20 расчетных узлах, 2 — при 40 расчетных узлах, 3 — при 80 расчетных узлах. Выполненные расчеты показывают, что отличие в результатах расчета давлений и скорости продуктов сгорания в камере газогенератора при изменении числа расчетных узлов от 20 до 80 не превосходит 3...6%. В связи с этим дальнейший анализ будем выполнять для расчетов, выполненных при 40 расчетных узлах в центральном канале ГГТТ. Ниже приводятся некоторые результаты анализа значений коэффициентов Кф,КфХ для ГГТТ, данные о котором приведены выше.
Расчеты выполнены при использовании 40 расчетных узлов в центральном канале заряда. Выполним анализ зависимостей от времени и пространственной координаты значений коэффициентов чувствительности, входящих в «пх д р д и уравнения (2.13) и учитывающих влияние производных ——, , дх р дх и д Е д р д р , ——. Производная —— содержится только в первом и четвертом дх Е дх р дх р уравнениях системы (2.13). Это уравнения, определяющие развитие отклонений — и —. Значения этих коэффициентов чувствительности Р Р численно совпадает с величиной скорости продуктов сгорания вдоль оси канала заряда. Зависимость скорости продуктов сгорания как функции времени представлена на рисунке 2,3- Приводятся значения скорости продуктов сгорания в трех сечениях центрального канала заряда: - 1 — соответствует значениям скорости продуктов сгорания в окрестности границы канала с передним объемом ГГТТ (продольная координата х 0,3 м); - 2 - соответствует значениям скорости продуктов сгорания в середине центрального канала (продольная координата х 1,5 м); - 3 — соответствует значениям скорости продуктов сгорания в окрестности границы канала с сопловым объемом ГГТТ (продольная координата х 370 м). Анализ показывает, что в период выхода ГГТТ на режим характер зависимости скорости продуктов сгорания в канале заряда существенно нелинейный, В период времени t = 0...0,04 с (топливо еще не воспламенилось, работает система воспламенения) значения скорости продуктов сгорания определяются массоприходом продуктов сгорания из корпуса воспламенительного устройства и волновыми процессами в камере ГГТТ (отражением продуктов сгорания от сопловой заглушки).
Важным обстоятельством при этом является тот факт, что в отдельные периоды времени значения скорости движения продуктов сгорания в камере ГГТТ могут быть отрицательными (и 0). В период времени t = 0,04„.0,08 с на характер изменения скорости продуктов сгорания оказывают влияние прорыв сопловой заглушки, распространение пламени вдоль по поверхности топливного заряда. На заключительном этапе t = 0,08,,.0,20 с значения скоростей продуктов сгорания приближаются к своим квазистационарным значениям (минимальные значения скоростей в окрестности переднего объема ГГТТ — кривая /; промежуточные значения скоростей в середине канала - кривая 2; максимальные значения скоростей в окрестности соплового объема ГГТТ - кривая 3). Скачкообразное изменение скорости продуктов сгорания в канале заряда в момент времени t & 0,14 с соответствует завершению работы системы воспламенения.
Из представленных результатов следует, что в разных сечениях канала заряда влияние производной —— проявляется по-разному. В период до дх р воспламенения заряда влияние производной —— существенно в дх р окрестности границы канала с передним объемом ГГТТ. В период д р воспламенения топлива - влияние —— существенно по всей длине дх р канала
Разработка алгоритма расчета собственных значений линеаризованных систем уравнений
Приведение исходной матрицы к матрице Фробениуса может быть осуществлено методом A.M. Данилевского. По количеству выполняемых элементарных арифметических операций метод A.M. Данилевского является одним из самых эффективных среди известных методов. Однако метод A.M. Данилевского не свободен от недостатков. В частности, при вычислении коэффициентов промежуточных матриц может произойти потеря точности вычислений. Преодоление отмеченного недостатка усложняет вычислительный алгоритм.
Метод неопределенных коэффициентов основан на тождественности уравнений (3.15) и (3.16). Действительно, эти уравнения справедливы при любых значениях Я. В частности, они справедливы при значениях Я = О, Л = 1,..., Я = п -\. Подставляя эти значения Я в уравнения (3.15), мы можем вычислить значения детерминантов Р(Я), соответствующих перечисленным значениям Я. Далее, используя вычисленные значения детерминантов, на базе уравнений (3.16) запишем систему линейных уравнений, неизвестными в которых являются значения коэффициентов полинома pt: On +0" ] Pl+О" 2 p2+... +0" Pi+... + pn= F(0) 1" +1- ,+1- 2 + -+1 , +-. + Л = F(l) 2" +2""1 p,+2-2 р2+... + 2" 1 Pi+... +pn=F(2) (3.17) (/,-1)-+ -1)- , + -1)- 3+...+ -1) +... + = -1)
Решение системы уравнений (3.17) не представляет труда и может быть решено даже методом Крамера. Основная трудоемкость метода неопределенных коэффициентов сводится к вычислению детерминантов F(Q)9F(\),...tF(n-l).
Степенные методы определения собственных чисел и собственных векторов менее трудоемкие, чем рассмотренные выше методы. Степенные методы применяются в случае, если нет необходимости в вычислении всех собственных чисел матрицы и всех ее собственных векторов. Так, при использовании метода скалярных произведений значение максимального по абсолютному значению собственного числа матрицы D устанавливается итерационным алгоритмом (т-1,2,3, ) 1 + (Si) . (ІЗ.)2- +...+ (L)2 . A f (Dm-D = V У C- У «Л,. (3.18) (D" D""1 ) j + (C2_)2 . fefm-i + ... + ( )2 . {K )2m-1
Методы подобных преобразований — наиболее эффективные методы решения проблемы собственных значений. Применение этих методов основано на следующих свойствах матричного исчисления: 1. Пусть заданы невырожденные матрицы D и S, имеющие размерность NxN, а {Д,Х} - собственная пара матрицы D (собственные значения матрицы D и ее собственные векторы). Обозначим В матрицу, определяемую произведением В = S DS . Построенная таким образом матрица В называется подобной матрице D, и собственная пара этой матрицы - {Я, SX) (собственные значения матриц D и В совпадают, а собственные векторы связаны матричным умножением); 2. Собственными числами диагональной или треугольной матрицы являются ее диагональные элементы;
Вычислительный алгоритм в методах подобных преобразований сводится к многократному построению подобных матриц, конечной целью которого является получение диагональной или треугольной матрицы.
Выбор матриц S, при построении подобных матриц D/+1 осуществляется таким образом, чтобы при умножении D/+1=S7lD,Si (или DJ+, = S/D/S71) происходило обнуление одного или нескольких элементов матрицы D,, лежащих ниже центральной диагонали. Для этого в качестве матриц S/ можно использовать ортогональные матрицы вращения. Получение матрицы D(-+1) которая является подобной матрицам D,, DM51 1) D2, D,,a также исходной матрице D, каждый раз предполагает обнуление нового элемента матрицы d-n размещенного ниже центральной диагонали. В результате многократного матричного умножения часть элементов, обнуленных на первых итерациях, на последующих итерациях вновь могут принять значения, отличные от нуля. Однако при достаточно большом числе итераций (при значениях /-юо) вычислительный алгоритм D/+I = S ...S2 SJ" 08,82-...8,- (или D.+I =8,....828,087 $2 ....ST ) позволяет в итоге получить диагональную или треугольную матрицу D/+l.
Диагональные элементы матрицы D.+1 являются собственными значениями матрицы D, а собственными векторами являются элементы матрицы X = 5 2-... S,- (элементы собственных векторов располагаются по столбцам итоговой матрицы X).
