Введение к работе
АкхуайШЮХЬЛ&мы. Математическое моделирование, исследование и численное решение разнообразных прикладных задач является одним из актуальных проблем современной математики.
К таким задачам относятся, например, процессы диффузии электромагнитного поля в средах, теплофизические характеристики которых существенно зависят от температуры. Как известно, эти процессы сопровождаются тепловыделением, что, в свою очередь, изменяет проводящие свойства вещества и оказывает существенное влияние на характер диффузии. Таким образом, исследование согласованной задачи тепло-магнитной диффузии представляет несомненный прикладной интерес.
Такие процессы, как и другие многочисленные прикладные задачи, моделируются нелинейными дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями с частными производными, а также системами таких уравнений. Характерная математическая особенность этих систем, помимо их нелинейности, обусловлена тем, что эти системы сильно связаны и состоят из уравнений разных порядков. Данное обстоятельство диктует необходимость разрабатывать для каждой конкретной системы соответствующую методику исследования, так как общая теория даже для таких линейных систем, развита еще недостаточно полно. Своеобр ме отдельных моделей проявляется, а частности, при получении необходимых априорных оценок для соответствующих начально-краевых задач и для их дискретных аналогов.
Отметим, что некоторые нелинейные дифференциальные системы
в частных производных можно привести к нелинейным интегро-
дифференциальным уравнениям и их системам. Уравнения, которые
наряду с частными производными разыскиваемой функции содержат
интегралы от нее и ее производных, возникли практически
одновременно с локальными уравнениями в частных производных. Однако, их математическое изучение началось относительно недавно. Ипнтегро-дифференциальные модели, изучаемые в диссертации впервые
лредложены в работах [4J,[5]. Эти нелинейные интегро-дифференциальные уравнения возникают, с одной стороны как естветственное обобщение уравнений, описывающих прикладные задачи математической физики, а с другой стороны - нелинейных параболических задач, изучзнных в многочисленных научных работах. Характерная особенность этих уравнений связана с появлением в коэффициентах при старших производных нелинейных членов, зависящих от, интеграла по времени и пространственным переменным.
Нелинейные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения и их системы, описывающие разнообразные процессы диффузии, были и остаются объектом исследованиий многих ученых. Изучение качественных и структурных свойств решений этих уравнений, построение и исследование численных алгоритмов решения начально-краевых задач для них, представляет собой актуальную и быстро развивающуюся область прикладной математики.
Объект и цзль исследования. Математическое моделирование задачи диффузии электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры. Математическое моделирование ведется на основе известной системы Максвелла дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование и численное решение соответствующих нелинейных систем дифференциальных и интёгро-диффененциальных уравнений. Построение и исследование дискретных аналогов для математической модели Митчисона, описывающей диффузионный процесс образования жил в листьях. высших растений.
Научная новизна и основные -результаты. 1. На основе системы дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла получен новый класс нелинейных интегро-дифферэнциальных уравнений, моделирующий процесс диффузии электромагнитных полей в проводящую среду. Изучены математические особенности этой модели.
2. Доказаны теоремы существования и единственности решения
начально-краевой задачи для некоторых классов нелинейных интегро-дифференциэльных диффузионных уравнений параболического типа. Исследования проведены путем получения необходимых априорных
оценок с использовєнибм методов Галеркинз и компактности.
Результаты получены и для некоторых математических обобщений
интегро-дифференциальных уравнений, описывающих реальные
физические процессы.
-
Построены и обоснованы схемы расщепления по физическим процессам и дискретные аналоги для задачи, описывающей проникновение электромагнитного поля в вещество, с учетом теплопроводности.
-
Изучено асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи для некоторых нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Установлена устойчивость стационарного решения одной нелинейной диффузионной задачи. Указана возможность появления бифуркации тила Хопфа.
-
Для дифференциальной биологической модели Мигчисона и ее многомерного математического аналога построены и исследованы непрерывная модель суммарной аппроксимации и разностная схема переменных направлений.
-
Проводится математическое моделирование и численное решение некоторых нелинейных задач диффузии электромагнитного Поля,
Сіруаауса_аиібье_м_диссеріашіи . Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 15 параграфов и списка литературы. Работа содержит 213 страниц текста. Библиография содержит 146 наименований..
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах Института прикладной математики им. И. Н. Векуа Тбилисского государственного университета (1982 - 1997 гг.); на VII Всесоюзной школе по моделям механики сплошной среды (Кобулети, 1983 г.); на Международном конгрессе математиков (Варшава, 1983 г.); на >Х Республиканской конференции математию/З Грузии (Кутаиси, 1986 г.); на семинарах отдела дифференциальных уравнений в частных производных Математического института им. В. А. Стеклоаа (Москва, 1984, 1987 гг.); на семинарах МЭИ по нелинейным дифференциальным уравнениям (Москва, 1984, 1987 гг.);
на Всесоюзном симпозиума "Современные проблемы математической физики ", посвященном 80-летию И.Н.Вехуа (Тбилиси, 1987 г.); на Всесоюзной школе молодых ученых "Функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент, 1988 г.); на второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989 г.); на Республиканском семинаре "Неординарные паления природы и их математическое моделирование" (Кутаиси, 1990 г.); на Международном симпозиуме " Механика сплошной среды и смежные вопросы анализа", посвященном 100-летию Н.И.Мусхелишвили (Тбилиси, 1991 г.); на расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (1986, 1989, 1991, 1993, 1995, 1997 гг.); на семинарах кафедры5 информатики .и вычислительной математики Тбилисского государственного университета (1982-1997 гг.); на Международном симпозиуме по проблемам механики сплошной среды (Тбилиси, 1997г.); на Международном симпозиуме- "Дифференциальные уравнения и математическая физика" (Тбилиси, 1997 г.); на первом и втором съездах математиков Грузии (Тбилиси, 1294, 1997 гг.).
