Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы управления финансовыми ресурсами банка 8
1. Банк как система управления финансовыми ресурсами 8
2. Сущность проблемы управления финансовыми ресурсами 15
3. Обзор основных исследований 18
Глава 2. Постановка задачи оптимального управления 36
1. Общие предположения , 36
2. Переменные и уравнения динамики 40
3. Система ограничений 45
4. Критерий оптимальности 58
5. Общий вид задачи оптимального управления 60
Глава 3. Решение задачи оптимального управления 62
1. Возможные подходы к решению задачи 62
2. Необход имые сведения из теори и краевых задач 67
3. Задача импульсного управления 73
4, Редукция задачи импульсного управления к краевой задаче и ее решение 80
Глава4. Вычислительный эксперимент 86
1. Постановка эксперимента.. 86
2. Анализ результатов эксперимента 107
Заключение 122
Библиографический список 124
- Сущность проблемы управления финансовыми ресурсами
- Переменные и уравнения динамики
- Необход имые сведения из теори и краевых задач
- Анализ результатов эксперимента
Введение к работе
В настоящее время методы математического моделирования находят все более широкое применение в решении прикладных экономических задач. Это обусловлено с одной стороны, развитием и усложнением экономических отношений и появлением новых задач, с другой стороны - развитием математического моделирования: разработкой новых классов моделей, методов и инструментальных средств. Одной из новых и перспективных областей их приложения являются задачи оптимального управления в банковской сфере.
Актуальность данных задач определяется тем, что на фоне экономической стабилизации и снижения уровня инфляции наблюдается тенденция к уменьшению банковской маржи и прибыльности банковских операций. В этих условиях выработка эффективных управленческих решений с помощью одного лишь интуитивного моделирования затруднена или даже невозможна: необходимо применение строгих подходов, учитывающих сложные экономические взаимосвязи, внутренние и внешние факторы, влияющие на деятельность банка. Существенную помощь в этом могут оказать задачи оптимального управления, которые могут использоваться при управлении финансовыми ресурсами банка.
Исследования в области управления финансовыми ресурсами банка ведутся за рубежом с 60-70-х годов прошлого века, однако единого подхода к решению данной проблемы пока не выработано. В качестве одной из причин этого можно назвать сложность банка как системы, обуславливающую сложность разработки адекватных моделей и эффективных методов их исследования.
Наиболее адекватную постановку задачи управления обеспечивают полные динамические оптимизационные модели, однако при решении соответствующих задач управления возникают трудности в применении известных методов, например, основанных на проверке достаточных условий оптимальности. Это вызвано, в частности, значительной размерностью таких моделей и, как правило, сложной системой ограничений. По этой причине в некоторых случаях используются упрощенные модели или подходы к решению задачи, не все -4 гда обеспечивающие получение оптимального решения.
В связи с этим создание адекватной оптимизационной модели управления финансовыми ресурсами банка и разработка эффективного метода решения соответствующей задачи управления представляются весьма актуальными.
Объектом исследования является коммерческий банк, рассматриваемый как система управления финансовыми ресурсами.
Предполагается, что рассматриваемый банк осуществляет большое количество сделок, каждая из которых в отдельности существенно не влияет на совокупные денежные потоки банка. Кроме этого предполагается, что операции банка не оказывают значительного влияния на финансовые рынки, т.е. банк не относится к системообразующим.
Предметом исследования является задача оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческого банка и конструктивный метод ее решения. Основная идея метода состоит в переходе от исходной задачи к задаче импульсного управления и редукции последней к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений с неравенствами, для исследования которой реализован и адаптирован конструктивный метод, предложенный в [50].
Целью диссертационного исследования является создание динамической оптимизационной модели финансовых ресурсов коммерческого банка, разработка и реализация конструктивного метода решения соответствующей задачи оптимального управления. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
1) Комплексное исследование проблемы управления финансовыми ресурсами банка с точки зрения математического моделирования;
2) Разработка оптимизационной модели и постановка на ее основе задачи оптимального управления финансовыми ресурсами банка;
3) Разработка и реализация конструктивного метода решения поставленной задачи с применением современных компьютерных технологий;
4) Проведение вычислительного эксперимента, иллюстрирующего эффективность предложенного подхода.
-5 Основными методами исследования являются методы общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений [9], а также конструктивные методы исследования краевых задач и задач импульсного управления [39], [50].
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Создана полная динамическая оптимизационная модель финансовых ресурсов банка с непрерывным временем и постоянным запаздыванием,
2. Разработан и реализован конструктивный метод решения соответствующей задачи оптимального управления, включающий в себя
- редукцию исходной задачи к задаче импульсного управления;
- редукцию задачи импульсного управления к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями-неравенствами;
- способ решения полученной краевой задачи.
Теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что предложенные идеи и методы развивают перспективное направление в математическом моделировании, связанное с применением импульсных задач.
Практическая ценность состоит в прикладном характере модели, которая при соответствующей адаптации может быть использована в качестве инструмента планирования в банках. Самостоятельную практическую ценность имеет и предложенный подход к решению задачи, так как он может быть применен к решению других подобных задач оптимального и импульсного управления.
Основные идеи и результаты исследования докладывались и обсуждались на ежегодной научной конференции экономического факультета ПГУ (Пермь, 1998 г.), международной научно-технической конференции "Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий" (Сочи, 1999 г.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), научном семинаре кафедры экономической кибернетики ПГУ под руководством профессора В.И. Аверина (Пермь, 2002 г.), научном семинаре Международной лаборатории конструктивных методов иссле -6 дования динамических моделей под руководством профессора В.П. Максимова (Пермь, 2003 г.), Пермском городском семинаре по теории функционально-дифференциальных уравнений под руководством профессора Н.В. Азбелева (Пермь, 2003 г.), научном семинаре по современным технологиям управления ООО "Информ-Консалтинг" (Пермь, 2003 г.).
Исследования выполнялись в рамках программы "Университеты России" (2000-2001, № 015.03.01.025; 2002-2003, № УР.03.01.023) и при поддержке Конкурсного центра фундаментального естествознания (2003, Е02-2.0-63).
Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [27]-[31], [67], [68].
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе вводятся основные понятия и определения, формулируется сущность рассматриваемой проблемы и дается обзор подходов к ее решению.
Во второй главе диссертации рассматривается построение динамической оптимизационной модели финансовых ресурсов банка и постановка соответствующей задачи оптимального управления,
В третьей главе исследуются возможности решения поставленной задачи с помощью классических методов теории оптимального управления и предлагается эффективный метод решения.
Четвертая глава посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу его результатов.
В заключении формулируются основные выводы и рассматриваются возможные направления дальнейших исследований.
Сущность проблемы управления финансовыми ресурсами
Управление финансовыми ресурсами банка сопряжено с определенными трудностями, обусловленными сложностью банка как системы. Это проявляется во влиянии внешней среды, стохастичности, многокритериально сти, динамичности и ряде других системных характеристик.
Влияние внешней среды на управление финансовыми ресурсами банка связано с действием внешних, в той или иной мере неподконтрольных банку факторов, таких, как макроэкономическая ситуация, финансовые рынки, регулирующие органы, действие банков-конкурентов и др.
Макроэкономическая ситуация оказывает общее влияние на спрос и предложение финансовых ресурсов, а также на рискованность вложений в ак тивы, величину и стабильность ресурсной базы.
На финансовых рынках формируются конкретные спрос и предложение финансовых ресурсов в зависимости от процентных ставок, сроков, видов финансовых инструментов и др. В условиях несовершенной конкуренции банк в той или иной мере может влиять на спрос и предложение финансовых ресурсов, поэтому взаимодействие банка и финансовых рынков может иметь неоднозначный характер.
Действие регулирующих органов выражается, главным образом, в установлении центральным банком нормативов обязательных резервов, ограничи-вающих объем свободных ресурсов для размещения в активы, а также экономических нормативов [3], влияющих на структуру активов и пассивов.
Внешние условия являются результатом сложных и неоднозначных взаимодействий большого числа факторов, причин, зависимостей и закономерностей, некоторые из которых имеет случайную (вероятностную) природу [32]. Следствием этого является то, что работа банка сопряжена с неопределенностью и риском. В настоящее время одними из основных рисков, характерных для банковской деятельности, считаются кредитный риск, риск недостаточной ликвидности и процентный риск [11], [22], [40], [49], [51].
Банк в силу безусловности своих обязательств перед кредиторами и вкладчиками обычно рассматривается как уклоняющийся от риска, т.е. неопределенность считается нежелательным для банка явлением [15], [40]. В связи с этим имеет место множественность целей управления финансовыми ресурсами банка: максимизация прибыли и минимизация рисков. Проблема многокрите-риалъиости состоит в том, что пути достижения данных целей разные, нередко противоположные, поэтому при управлении финансовыми ресурсами приходится находить компромисс между указанными целями.
Динамичность банка как системы проявляется в изменении во времени характеристик активов и пассивов и производных от них величин (прибыли, нормативов и др.) при этом характерна зависимость их состояния в текущий момент времени от состояния и управления в прошлые моменты времени.
Действительно, остаток актива или пассива характеризует количество денежных средств, привлеченных в пассив или размещенных в актив и непогашенных к определенному моменту времени, т.е. является своего рода накопленной суммой. Данное свойство обычно не затрудняет решение задачи, если ограничения и функционал записываются относительно только управления или только состояний. В этом случае задача решается относительно одного -управления или состояний, а другое находится из уравнений динамики, связывающих состояния и управление. Управление финансовыми ресурсами банка происходит в условиях сложной системы ограничений, включающей смешанные ограничения, что ограничивает применение подобного подхода.
Смешанный характер ограничений, т.е. наличие ограничений как на управление, так и на состояния, не позволяет решать задачу относительно только одного из них. При решении задачи относительно и управления, и состояний, необходимо учитывать связь между ними, устанавливаемую уравнениями динамики. Такая связь является, по сути, дополнительными ограничениями, которые, связывают управление и состояния в разные моменты времени. Кроме них управление и состояния в разные моменты времени связывают и другие ограничения, в частности те, в которых присутствуют обязательные резервы или наличность, а также ограничения на некоторые нормативы ликвидности. Негеометрический характер данных ограничений делает невозможным последовательное по времени решение задачи (пошаговое или в сечениях). Как правило, значительная размерность динамических моделей не позволяет записать решение в явном виде. В результате применение стандартных методов решения задач оптимального управления оказывается неэффективным.
Сущность проблемы управления финансовыми ресурсами банка можно сформулировать как нахождение управления, т.е. изменений в активах и пассивах банка с точки зрения сумм, процентных ставок и сроков привлечения и размещения с учетом приведенных выше системных характеристик.
Переменные и уравнения динамики
В качестве состояния инструментов рассматривается их управляемая характеристика — остаток средств к определенному моменту времени. Состояния инструментов в начале интервала планирования обозначим как начальные состояния инструментов. Совокупность состояний каждого из инструментов, отнесенных к соответствующим моментам времени, образуют траекторию инструмента. Траектории инструментов на интервале планирования складываются из двух составляющих: исходной траектории и изменений, вызванных управляющими воздействиями. Исходные траектории представляют собой экзогенную составляющую, формируемую за счет вложений или погашения средств по ранее заключенным договорам, планируемых операций, решение о проведении которых уже принято, неуправляемых изменений траекторий (например, досрочное погашение), прогнозируемых экспертно или методами статистики.
Траектории инструментов описываются уравнениями динамики, устанавливающими связь между изменением состояния, начиная с начального состояния, вложением и погашением средств. В предлагаемой модели используется непрерывное исчисление времени, поэтому уравнения динамики имеют форму дифференциальных уравнений, в которых дифференцируемой по времени величиной является состояние инструментов. При этом первой составляющей траектории — исходной траектории соответствует исходная скорость или исходная динамика инструментов, второй составляющей - собственно управляющие воздействия.
Для описания траекторий используются фазовые переменные, которые вводятся отдельно для срочных инструментов и отдельно для инструментов до востребования ввиду особенностей управления и разной структуры уравнений динамики. Введем следующие обозначения: (.) — вектор-функция состояния срочных инструментов, х є D 4, компонента xf(t), / = 1 «j описывает состояние инструмента с индексом і в мо мент времени /, пх - общее количество срочных инструментов, рассмат риваемых в модели; jc(.) — вектор-функция состояния инструментов до востребования, х є D"2, компонента x t), i = 1,...,п2 описывает состояние инструмента с индексом / в момент времени t, п2 — общее количество инструментов до востребования, рассматриваемых в модели; /(.) - вектор-функция исходной динамики срочных инструментов, / є КС1, компонента f t), / = 1,...,/ описывает изменение состояний срочного инструмента с индексом і в момент времени t за счет действия внешних факторов; /(.) - вектор-функция исходной динамики инструментов до востребования, /єКС"1, компонента f,(t), i-\ ...,n2 описывает изменение состояний инструмента до востребования с индексом / в момент времени / за счет действия внешних факторов. #(.) - вектор-функция управления по срочным инструментам, и є КС"1, компонента #,(?) Ї = 1»-")и описывает сумму вложения средств в срочный инструмент с индексом / в момент времени t; #(.) - вектор-функция управления по инструментам до востребования, іїєКС2, компонента w;(r), / = 1,..., и2 описывает сумму чистого вложения средств в инструмент до востребования с индексом / в момент времени t. Остаток средств в инструменте характеризует объем вложенных и непогашенных к определенному моменту времени средств, откуда изменение остатка равно разнице между вложением и погашением средств. Учитывая это, уравнения динамики можно записать в следующей форме: Данное предположение обусловлено тем, что отрицательный остаток инструментов не имеет экономического смысла.
Кроме того, оно позволяет избежать ограничений неотрицательности траекторий срочных инструментов и сократить размерность модели. Введем также два вспомогательных инструмента — обязательные резервы и наличность, являющиеся расчетными величинами и используемые для записи ограничений. Обозначим хя(0 — функцию, описывающую остаток обязательных резервов по инструментам в момент времени t,xR =D, хс (0 — функцию, описывающую остаток наличности в момент времени t, XCGD, функцию, описывающую остаток немоделируемых активов в момент времени t, кроме наличности, xR є D, t( ) функцию, описывающую остаток немоделируемых пассивов в момент времени t, xR eD. Величина обязательных резервов рассчитывается от средней величины обязательств за последний календарный месяц и регулируется в последний день каждого месяца.
Определим систему точек /0 = 0 ... tm tm+l =Tt соответствующих последним календарным дням каждого месяца. Величина обязательных резервов по инструментам рассчитывается по формуле где 0-{6.}, / = 1,...,«,, и # = {#,}, / = 1,...,л2 - нормативы отчислений в обязательные резервы, выраженные в десятых долях. Например, если норматив по срочному инструменту с индексом /0 равен 10 %, то в. =0.1. Поскольку данные резервы создаются только по обязательствам, постольку значения вп і —1,...,пх и 0iti = \ и2, соответствующие активам, нулевые. Множители с характери стической функцией позволяют зафиксировать интервал, соответствующий по следнему календарному месяцу.
Необход имые сведения из теори и краевых задач
Дифференциальную связь удается учитывать при решении некоторых несложных задач. Например, задача с линейным по управлению процессом при отсутствии ограничений на управление и заданными начальным и терминальным состояниями может быть решена относительно траекторной переменной, а управление найдено из дифференциальной связи. Аналогичная задача с двухсторонними ограничениями на управление решается с помощью интегральных воронок - траекторий, соответствующих минимальному/максимальному управлению и начальным/терминальным условиям [34].
В ряде случаев является эффективным расширение множества допустимых процессов за счет ослабления некоторых из ограничений, в т.ч. дифференциальной связи. Задачи, допускающие такое расширение, называются вырожденными относительно заданного класса расширений. Разработаны специальные методы преобразования задач оптимального управления к виду вырожденных задач и их решения [21], однако возможность "полезного" расширения бывает не всегда и в значительной мере определяется постановкой задачи.
Рассматриваемая задача (2.1) - (2.13) не позволяет записать допустимое решение в явном виде, что связано со значительной размерностью задачи, наличием сложной системы ограничений, включающей ограничения как на траектории (2.3), (2.4), (2.8), (2.9), (2.10), (2.12), так и на управление (2.5), (2.6), (2.11), а также смешанные ограничения (2.7). Возможность ослабления дифференциальной связи (2.1), (2.2) также неочевидна. Наличие ограничений (2.7), (2.8), связывающих состояние и управление в разные моменты времени, делает невозможным построение сечений V(t).
В данных обстоятельствах применение достаточных условий оптимальности Кротова оказывается неэффективным. В связи с этим становится актуальным проблема поиска альтернативного подхода к решению задачи (2.1) — (2.13). Одним из перспективных подходов является подход, связанный с редукцией задачи (2.1)-(2.13) к задаче импульсного управления.
Задача импульсного управления рассматривается для систем с импульсными возмущениями [38], [39]. Особенность такой системы заключается в том, что в отдельные моменты времени ее траектория может измениться мгновенно (скачкообразно), а в промежутках между ними она подчиняется закону, описываемому дифференциальными уравнениями. Если эти изменения могут происходить в результате целенаправленных воздействий, то можно говорить о системе с импульсным управлением. Таким образом, импульсное управление можно определить как мгновенные управляющие воздействия в отдельные моменты времени. Его нахождение в соответствии с заданными критерием оптимальности и ограничениями и является предметом задачи импульсного управления.
Переход к задаче импульсного управления предоставляет дополнитель-\ ные возможности для решения задачи управления. Они состоят в том, что задача импульсного управления в некоторых случаях может быть редуцирована к линейной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве кусочно абсолютно непрерывных функций с краевыми условиями в виде неравенств. Исследование краевой задачи и ее решение можно проводить с использованием известных методов, например, предложенных в [50], позволяющих установить факт разрешимости задачи и построить ее решение с известной точностью. Если решение краевой задачи найдено, то оно будет одновременно являться и решением задачи импульсного управления.
Задача управления финансовыми ресурсами банка может быть рассмотрена как задача импульсного управления. Действительно, траектории системы в данной задаче описывают остатки средств в инструментах. Остатки могут изменяться скачкообразно в результате вложения или погашения средств в крупных по отношению к производной размерах. Для осуществления подобных финансовых операций не требуется значительного времени, поэтому без существенной идеализации можно считать, что данные операции и соответствующие им изменения траекторий могут происходить мгновенно. Таким образом, импульсное управление допустимо с точки зрения предметной области исследуемой задачи.
Дальнейшая реализация данного подхода применительно к исследуемой задаче включает три основные этапа: переход от задачи (2.1) - (2.13) к аналогичной задаче с импульсным управлением; редукция задачи импульсного управления к краевой задаче в пространстве кусочно абсолютно непрерывных функций; исследование и поиск решения краевой задачи.
Современная теория функционально-дифференциальных уравнений предлагает разные подходы к описанию и исследованию импульсных систем. Основной подход опирается на факты и понятия весьма сложной современной теории обобщенных функций [38]. Альтернативный подход, не использующий понятие обобщенной функции, построен на основе общей теории функционально-дифференциальных уравнений [9] и связан с конечномерным расширением пространства абсолютно непрерывных функций. Второй подход оказался эффективным при решении ряда прикладных задач, в том числе задач математической экономики [38], [39]. Его применение оправдано и для решения рассматриваемой задачи управления финансовыми ресурсами банка.
Анализ результатов эксперимента
Общий характер оптимального управления и траекторий в значительной степени определяется действием балансового ограничения в форме ограничения неотрицательности наличности (2.8). В соответствии с исходными траекториями инструментов, на интервале между первой и девятой точками разрывов ожидается значительный дефицит средств (рис. 3.16), который мог быть вызван, например, несбалансированными по срокам объемами погашения активов и обязательств. Из-за этого средства, привлекаемые в обязательства, направляются в первую очередь на покрытие данного дефицита и лишь затем — на вложение в активы. Привлечение средств в обязательства планируется практически везде в максимально возможном объеме на уровне рыночных ограничений. Помимо необходимости покрытия дефицита это обусловлено еще тем, что процентные ставки по обязательствам ниже ставок по активам на соответствующие сроки (табл. 3.1), за счет чего имеется возможность выгодного вложения средств.
Такая ситуация, в частности, характерна для депозитов на все сроки. Отметим, что "гладкий" участок оптимальной траектории по депозитам на 3 месяца между 3-ей и 10-ой точками разрывов означает в данном случае не отсутствие операций, а совпадение величин привлечения и погашения, описываемых функциями A+y7(tq) и A y1(t ). В то же время по депозитам на 9 мес. "гладкий" участок означает отсутствие новых операций из-за терминальных условий.
Выполнение терминальных условий - совпадение правых концов исходных и оптимальных траекторий по срочным инструментам обеспечивается отсутствием вложений в последних dk точках. В этом случае т.е. в этих точках происходит погашение всех ранее сделанных вложений, и возврат оптимальных траекторий на исходные.
С помощью рис. 3.1 - 3.3 и табл. 3.2 — 3.4 можно убедится в выполнении рыночных ограничений по депозитам, ограничений на неотрицательность сумм вложений и терминальных условий.
Привлечение средств в срочные займы в ряде случаев планируется ниже рыночных возможностей. Так, привлечение средств в займы на 3 мес. в седьмой и девятой точках не планируется из-за полного использования рыночных ограничений по активам и отсутствия потребности в срочных заемных средствах.
Привлечение средств в займы на 6 мес. в пятой точке планируется ниже уровня рыночного ограничения и не планируется вообще в шестой точке. Это обусловлено отсутствием возможности или невыгодностью вложения средств в активы: в активы на 9 мес. вложение невозможно из-за терминальных условий, на 6 мес. - из-за полного использования в данных точках рыночных ограничений, на 3 мес. - невыгодно, так как через 3 мес. появляются более дешевые ресурсы и оплачивать займы на протяжении еще 3 мес. неоправданно. Вложение средств в ценные бумаги до востребования не выгодно из-за низкой доходности последних по сравнению со стоимостью займов на 6 мес.
Привлечение средств в займы на 9 мес. планируется на максимально возможном уровне рыночных ограничений. На основе данных табл. 3.5 — 3.7, можно убедиться в выполнении рыночных ограничений, ограничений на неотрицательность вложений и терминальных условий. Динамика инструментов до востребования имеет несколько другой характер, что объясняется большей вариабельностью их остатков. Так, привлечение займов до востребования (рис. 3.7) в первых четырех точках планируется на уровне рыночных границ, что обусловлено возможностью выгодного размещения средств в активы. Погашение в пятой и шестой точках обусловлено ограничением на норматив текущей ликвидности (рис. 3.18), так как займы до востребования ухудшают значение данного норматива. В седьмой точке средства в займы до востребования вновь привлекаются в максимально возможных объемах из-за возможности выгодного размещения в активы в кредиты и гос. облигации на 3 мес.
В восьмой точке вместо займов до востребования привлекаются займы на З мес, имеющие к тому моменту более низкую ставку и срок, соответствующий допустимому сроку вложения в активы с учетом терминальных условий. Займы до востребования в данной точке погашаются, что позволяет уменьшить затраты и улучшить значение целевой функции. В девятой и десятой точках вложение в срочные активы невозможно из-за терминальных условий, а в ценные бумаги до востребования — невыгодно, поэтому происходит погашение займов. В одиннадцатой точке доходность ценных бумаг до востребования становится выше стоимости займов, из-за чего планируется привлечение средств в займы до востребования и их размещение в активы. В последней двенадцатой точке происходит переход оптимальной траектории на исходную в соответствии с терминальным условием. С помощью рис, 3.7 и табл. 3.8 можно убедить ся в выполнении терминального условия, ограничения неотрицательности тра ектории и рыночных ограничений.
Вложение средств в срочные активы в большинстве случаев определяется возможностями привлечения средств в обязательства, так как значительная часть привлекаемых средств направляется на покрытие дефицита. Остающиеся средства размещаются по возможности на максимальные сроки из-за более высоких процентных ставок, а также тенденции к снижению процентных ставокпо срочным инструментам, когда выгодно сделать вложения в начале периода при более высоких ставках,
Так, вложение средств в кредиты на 3 мес. во второй и пятой точках пла нируется на более низком уровне, чем рыночные ограничения, а в третьей и четвертой точках - вообще не осуществляется. Это вызвано направлением средств в инструменты на более длительные сроки, в частности, кредиты на 6 и 9 мес, имеющие высокую доходность. Гос. облигации имеют более низкую доходность по сравнению с кредитами, поэтому вложения в них осуществляются после покрытия дефицита и осуществления вложений в кредиты.
С помощью табл. 3.9 — 3.14 можно убедится в выполнении рыночных ог раничении, ограничении на неотрицательность сумм вложении и терминальных условий.
