Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Формализация задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 18
1.1. Математическая модель динамической многокритериальной системы с секторной структурой и многими параметрами управления 18
1.2. Формализация основных принципов устойчивого развития 21
1.3. Устойчивое развитие региональной социо-эколого-экономической системы как объект математического моделирования 25
1.4. Формулировка задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 30
1.5. Выводы 32
Глава II. Математическая модель устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в форме модифицированной модели глобального развития 34
2.1. Модификация модели «Мир-3». Предпосылки и
преобразования 34
2.2. Построение математической модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в форме задачи оптимального управления и обоснование ее адекватности 40
2.3. Применение теоретико-игрового подхода к определению планируемого конечного состояния региональной социо-эколого-экономической системы 46
2.4. Существование траектории устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 51
2.5. Выводы 60
Глава III. Исследование математической модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в форме задачи оптимального управления 62
3.1. Необходимые и достаточные признаки траектории устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 62
3.2. Вычисление траектории устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 66
3.3. Необходимые и достаточные признаки траектории устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы (продолжение) 76
3.4. Содержательная интерпретация полученных теоретических результатов на языке концепции устойчивого развития 79
3.5. Вычислительный алгоритм расчета оптимальной траектории развития региональной социо-эколого-экономической системы и его программная реализация для задачи со свободным правым концом 85
3.6. Пример построения стратегии устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 98
3.7. Выводы 105
Глава IV. Моделирование задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы с применением статистических данных (на примере Кемеровской области) 107
4.1. Информационная база для построения математической модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 107
4.2. Математическая модель устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы на основе статистических данных 111
4.3. Существование оптимальной траектории в модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 123
4.4. Вычислительный алгоритм формирования стратегии устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 131
4.5. Информационное обеспечение задачи устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы 136
4.6. Программа «Решение задачи устойчивого развития Кемеровской области» 140
4.7. Модельный пример с использованием статистических данных по Кемеровской области 148
4.8. Выводы 160
Заключение 162
Литература
- Устойчивое развитие региональной социо-эколого-экономической системы как объект математического моделирования
- Построение математической модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в форме задачи оптимального управления и обоснование ее адекватности
- Вычисление траектории устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы
- Математическая модель устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы на основе статистических данных
Устойчивое развитие региональной социо-эколого-экономической системы как объект математического моделирования
В данной главе мы рассмотрим вопросы построения математических моделей для исследования динамических многокритериальных систем с секторной структурой и многими управляющими параметрами, функционирующих согласно принципам состоятельности во времени и сбалансированности в дискретном времени, и один из способов применения данного формализма для разработки методики проведения количественных и качественных исследований проблематики устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем. Для этого прежде всего необходимо определить структуру и элементы модели, конкретизировать общий вид динамической многокритериальной системы со многими управляющими параметрами и дискретным временем, а также описать содержательно и формализовать принципы сбалансированности и состоятельности во времени.
Сформируем базовые предпосылки по структуре предполагаемой модели, ее основным элементам и их содержаниям.
1. Секторная структура модели. Прежде всего, предполагаемая модель должна включать в себя взаимосвязанные подмодели, каждая из которых будет содержать уравнения, описывающие динамику основных показателей в рассматриваемых секторах.
2. Выделение управляемых и неуправляемых параметров в каждом секторе. В упомянутых подмоделях определим параметры, которые описывают ее состояние (фазовые переменные), и параметры, посредством которых можно воздействовать на развитие системы (управляющие параметры) и позволяющие определить эффективность выбора того или иного сценария развития на долгосрочную перспективу.
3. Построение уравнений движения при помощи статистических данных рассматриваемой системы
4. Определение ограничений на управляющие параметры и фазовые состояния системы, учитывающих ее развитие на долгосрочном интервале времени.
5. Определение граничных условий модели и построение критерия качества. На данном этапе необходимо определить начальное состояние и целевые точки динамики системы, а также векторный критерий качества, учитывающий многоцелевой характер развития системы.
Введем систему обозначений, используемую при построении модели. Под фазовым состоянием системы будем понимать вектор х = (х1,х2,...,хп), где х., i = 1,...,n, - совокупность данных, характеризующих /-й сектор системы. Предположим, что все секторы снабжены некоторыми рычагами управления: и = (щ,и2,...,ип). Каждый из перечисленных параметров, в свою очередь, представляет собой вектор, составленный из числовых значений показателей различных характеристик динамики системы. Пусть [0,7і] - рассматриваемый период развития системы. Обозначим через ух вектор некоторых дополнительных параметров, определяемых путем прогнозирования с применением статистических данных системы, либо являющихся константами.
Таким образом, исследуется зависимость каждой из переменных xt, і = 1,...,п, от управляющих параметров м., состояний системы и параметров ух. Идентифицировав переменные, от которых зависит показатель xt, будем строить уравнения следующего вида: xt () = f (xi (t-1),«1 (t),...,un(t),yi (/)), i = 1,...,n, t = 1,2,...,Г, (1.1) учитывающие взаимосвязь между всеми секторами системы. К этим п соотношениям, выступающим в качестве уравнений динамики, в соответствии с перечисленными выше требованиями к модели добавим начальное и конечное состояния, ограничения, а также критерии качества:
Здесь конкретные виды функций F , / = 1,...,«, можно формировать исходя из содержательного смысла рассматриваемых показателей. Таким образом, сложной динамической многокритериальной системой с секторной структурой и многими параметрами управления будем называть систему вида (1.1) - (1.6). Обозначим систему (1.1) - (1.6) символом (д-0, ), подчеркивая начальное условие и продолжительность.
При моделировании конкретной системы строятся аналитические виды: функций f1,...,fn; вектора начального состояния системы (х0 =(JC10,...,JC0)); вектора планируемого к концу периода [0,7і] целевого (гармоничного) состояния системы (х =(JC1 ,...,JC )); множеств допустимых (в смысле учета всех требований и ограничений функционирования системы) значений управляющих параметров (//, i = 1,...,n; t = 0,1,...,7і); множеств допустимых состояний системы Х\, і = 1,...,п; t = 0,1,...,Т; функционалов F1,...,Fn. С помощью модели (1.1) - (1.6) цель управления системой может быть сформулирована следующим образом: найти (сформировать) такое допустимое управление й(-), которое переводит систему из начального состояния х0 в запланированное к концу периода [0,7і] состояние х так, чтобы вдоль траектории х(-) = (х0,й1(-),...,йп(-)) функционалы (1.6) принимали оптимальные (в том или ином конкретном смысле) значения.
В следующем параграфе мы введем понятие устойчивого развития рассматриваемой динамической системы и формализуем принципы сбалансированности и состоятельности во времени. 1.2. Формализация основных принципов устойчивого развития
В качестве основных принципов процесса устойчивого развития в данной работе будем рассматривать сбалансированность (развитие без диспропорций) и состоятельность во времени (динамическую устойчивость) траектории динамической системы. Содержательно принцип сбалансированности предполагает достижение некоторых запланированных показателей в различных секторах одновременно, причем в процессе движения должно осуществляться сглаживание существующих диспропорций развития между ними. Принцип состоятельности во времени означает инвариантность во времени качественных и количественных критериев, которые были заложены изначально в план долгосрочного развития системы. Иными словами, при ее развитии по запланированному сценарию в любой текущий момент времени оставшаяся, еще не реализованная часть траектории должна быть оптимальной в первоначальном смысле. Подобный принцип под названием «динамическая устойчивость» впервые был введен Л. А. Петросяном в области кооперативных дифференциальных игр (см. [40-41]).
Построение математической модели устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы в форме задачи оптимального управления и обоснование ее адекватности
Проанализируем вопрос применимости теоретико-игрового подхода для определения планируемого конечного состояния системы.
Исходя из содержания рассматриваемой задачи, естественно рассмотреть взаимодействие трех секторов системы как кооперативную игру трех лиц. Коалицией в данной игре будем считать объединение секторов с целью максимизации выигрыша. В качестве выигрышей игроков будут выступать доли I(t), направляемые на развитие заданного множества секторов.
В задаче определения сбалансированных граничных условий системы необходимым становится нахождение такого распределения долей I(t) в каждый из трех секторов (дележа), которое при их объединении можно считать «справедливым» с точки зрения выполнения условий определения 1.1 сбалансированной траектории. Для решения поставленной задачи можно использовать принципы оптимальности, разработанные для кооперативных игр в форме характеристической функции.
Для формализации принципа сбалансированности в задаче Z(x0 ,Т), как и ранее, обозначим гармоничные целевые состояния экономического, экологического и социального секторов соответственно через
Таким образом, в экономическом секторе будет исследоваться степень диспропорциональности между четырьмя его показателями, в экологическом -между двумя, а в социальным секторе, динамика которого описывается единственным уравнением движения, будет рассматриваться отклонение параметра численности населения в первом диапазоне возрастов от его идеального значения. «Расстояние» между текущим состоянием и целевым для каждого сектора определим следующим образом:
С помощью теоретико-игрового подхода, который применим для учета зависимостей секторов друг от друга, определим конечное состояние х как целевую фазовую точку системы. В каждый год t между секторами должны выполняться соотношения определения 1.1 вида:
Обозначим через M = {і,2,3} множество всех секторов. Пусть SсМ -любой сектор или объединение двух секторов системы. Определим v(S;x(t),t) как некоторую долю I(t), которая должна быть выделена коалиции S с целью сохранения соотношений (2.25). Пусть вектор x(t) удовлетворяет неравенствам (2.25), тогда план распределения I(t) в год t, t = 0,1,...,7і, u(t) = t.(t)\, будем называть допустимым, если векторы также удовлетворяют соотношениям (2.25). Если план u(f) удовлетворяет (2.25) при всех t, t = 0,1,...,7і, то он будет называться допустимым планом распределения капиталовложений. Пусть где j = \,...,А для экономического сектора рассматриваемой задачи устойчивого развития региональной системы, j = 5, 6 - для экологического и / = 7 - для социального. То есть v(S;x(t),t) - минимальная сумма долей I(t), выделяемая на весь период длительного планирования, начиная с момента t, коалиции S при наименее благоприятном для этой коалиции пути развития остальных секторов. Обозначим через т некоторое разбиение множества S и рассмотрим выражение = (S[,S2,S3), S t n Sj = 0, ИS t = S
Таким образом, v является аналогом характеристической функции игры трех лиц, в которой игроками выступают различные секторы, а выигрышами -доли I(t), направляемые на развитие заданного множества секторов на весь период длительного планирования и сбалансированные согласно соотношениям (2.25). Получаем следующую игру в форме характеристической функции: Г = (M,V) , где характеристическая функция имеет вид:
Содержательно построенная характеристическая функция показывает максимальную величину бюджетных отчислений, которую коалиция может себе гарантировать за период [t,T] независимо от действий остальных игроков.
Теперь для определения сбалансированного конечного состояния по секторам системы можем воспользоваться, в частности, таким принципом оптимальности, как ядро игры (см., напр., [117]), то есть найдем множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков. Согласно нему распределение бюджетных отчислений (дележ) С, =(/,2,Сз) будем называть оптимальным в момент t относительно состояния секторов (x(t)J), если имеет место для всех S сМ условие:
Однако распределение бюджетных отчислений С,1 может оказаться недопустимым в том смысле, что состояние секторов, в которое попадает система после реализации отчислений С,\ не будет сбалансированным (то есть не будет удовлетворять (2.25)). Если допустимое распределение капиталовложений существует, то нормативный уровень развития секторов, рассчитанный на конец периода длительного планирования, можно определить по формулам
Таким образом, для нахождения сбалансированного конечного состояния системы, найдя ядро игры трех лиц, то есть определив оптимальное распределение бюджетных отчислений между секторами, необходимо затем перейти к решению вспомогательных игр четырех и двух лиц соответственно для вычисления сбалансированного состояния внутри экономического и экологического секторов между различными их показателями.
Перейдем к строгому изложению последовательности вычислений конечного сбалансированного состояния рассматриваемой системы.
Решение данной системы будет представлять собой в каждый момент времени выпуклое (ограниченное) множество в пространстве і?3. В результате ее решения получаем множество не доминируемых дележей (С-ядро) /, 2,Сз} ґ = 1,...,Г, где множество lg[, %2 ,з \ составляет возможные значения управляющих параметров в момент времени 71 для определения конечных состояний динамической системы, то есть
Вычисление траектории устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы
Темп выбытия природных ресурсов считается не превосходящим темп выбытия сервисного капитала (J3 1Ts ), и природные ресурсы не должны расходоваться быстрее, чем уменьшается численность населения в первом диапазоне возрастов (J3 DL1 +1/15); однако основные фонды сервисных предприятий могут выбывать с большей скоростью (DL1 +1/15 1Ts ). Наконец, темп выбытия основных фондов предприятий сферы услуг превосходит темп выбытия производственного капитала (1/7) 1Ts ).
Что касается коэффициентов функционала качества (2.24) (взвешенной суммы критериев (2.23)), обозначающих относительную важность каждого из критериев, то для них выполнены условия 2) теоремы 3.3, которые содержательно означают, что для критерия F2, отвечающего за минимизацию производственных затрат, относительная важность определяется в сравнении с аналогичным коэффициентом в1 для первого критерия F1, соответствующего минимизации уровня загрязнений, а также в зависимости от параметров Tj,Tz,qz соответствующих уравнений динамики (2.1), (2.6): времени износа основных фондов промышленных предприятий, характерного времени абсорбции загрязнения и стоимости очистки единицы загрязнения - и, кроме того, темпа выбытия невосполнимых природных ресурсов J 1 1
Относительная важность третьего критерия F3, описывающего максимизацию уровня благосостояния населения (см. (2.23)), определяется также в зависимости от аналогичного коэффициента для первого критерия и одного из его параметров - стоимости очистки единицы загрязнения.
Теорема 3.3 наглядно демонстрирует взаимосвязь между различными параметрами модели и взаимовлияние между всеми тремя сферами устойчивого развития региональной системы, показывает невозможность высокого уровня благосостояния населения и экономического развития без достижения удовлетворительного состояния окружающей среды и предъявляет требования к параметрам модели в форме рассмотренных здесь неравенств (3.7), которые должны быть выполнены для выхода на оптимальную траекторию развития системы. Кроме того, методика построения оптимального управления позволяет разбить данный процесс на три этапа, каждый из которых отвечает соответственно конечному моменту времени (для прихода системы в целевое состояние), начальному моменту времени (для учета начального состояния системы) и промежуточным состояниям.
В теореме 3.4 утверждается тот факт, что оптимальная траектория развития системы является состоятельной во времени, то есть вдоль нее будут оставаться инвариантными принятые в начальный момент качественные и количественные критерии, нормы и ценности, которые закладываются в план долгосрочного развития, и в любой момент t еще не реализованная часть .х(-)[;Г] траектории х(-) будет оставаться оптимальной в первоначальном
смысле (в данном случае - максимизации взвешенной суммы критериев).
Заметим, что предлагаемая методика проведения количественных и качественных исследований проблематики устойчивого развития региональной системы, основанная на теоремах 2.1, 3.1 - 3.4, применима и для других принципов оптимальности, адаптированных к исходной модели Ъ(х0,Т), -оптимальности по Парето, Слейтеру и др. Принцип максимизации взвешенной суммы критериев был выбран для демонстрации рассматриваемой методики.
На основании доказанных теорем, содержательные интерпретации которых приведены выше, в следующих параграфах рассмотрим программную реализацию и пример построения стратегии устойчивого развития региональной системы в одном частном случае.
Вычислительный алгоритм расчета оптимальной траектории развития региональной социо-эколого-экономической системы и его программная реализация для задачи со свободным правым концом В был в общем виде рассмотрен способ построения оптимальной, состоятельной во времени траектории рассматриваемой системы при помощи метода динамического программирования, где весь период длительного планирования разбивался на три временных промежутка. В результате в общем виде были определены выражения для расчета оптимальной стратегии и траектории системы. В данном параграфе мы сформулируем алгоритм построения оптимальной траектории для произвольной системы, описываемой моделью Ъх(х ,Т), в общем случае, без ограничений на параметры задачи, и опишем его программную реализацию.
В соответствии с доказанными в работе утверждениями (см. теоремы 3.3, 3.4) процедуру расчета оптимальной, сбалансированной, состоятельной во времени траектории в задаче Ъх(х ,Т) можно разбить на следующие этапы.
Этап I. Определение граничных условий модели (х, х., j = 1,...,7, pQt , і = 1,2,3, у0, а,у, а0, Т) и других необходимых параметров фазовых уравнений (I(t), p2(t), Bx(f), B2(t), t = \,...,T, Tj, Ts, Ix, WA, a, qE, /3, qR, T% , ZM, qz, DLl, qp), ограничений (/Uj, j = 1,...,7, Gc), критерия качества (6k, k = 1,2,3).
Этап П. Применение метода динамического программирования для расчета оптимальной, состоятельной во времени траектории системы, включающее реализацию следующих шагов (см. теоремы 3.3, 3.4).
Построение условно-оптимальной стратегии развития для достижения целевого состояния системы. При этом условно-оптимальные управления, как и на последующих двух шагах, строятся как точки минимума правой части (3.8), но с учетом прихода траектории в конечную целевую точку, и определяются функции Беллмана V(t, x). Шаг 2.3. Построение условно-оптимальной стратегии развития на текущих интервалах времени.
Шаг 2.4. Поиск условно-оптимальной стратегии развития на всем плановом периоде времени. В данном случае условная минимизация осуществляется с учетом начального состояния системы (то есть оптимальная траектория должна исходить из точки х0).
Шаг 2.5. Безусловная минимизация и определение оптимальной стратегии и траектории развития системы.
На данном шаге определяются оптимальные управления « () и оптимальные траектории х (-) при помощи уравнений движения (2.15) - (2.17) и условно-оптимальной стратегии по формулам: u(t) = u (t,x (t -1)), (2.26), (2.27) (в случае выполнения условий (3.7) и Т = 3 оптимальная траектория будет иметь вид (3.6)).
Этап III. Проверка условий сбалансированности для построенной оптимальной траектории (см. теоремы 3.1, 3.2).
В случае невыполнения неравенств определения сбалансированной траектории, необходимо вернуться к этапу I, скорректировать начальные данные модели, повторить шаги этапа II для новых данных системы и для полученной состоятельной во времени траектории снова проверить неравенства этапа III. Данную процедуру повторять, до тех пор пока не будет построена оптимальная, сбалансированная, состоятельная во времени траектория системы.
Для построения оптимальной траектории развития региональной социо-эколого-экономической системы по описанному алгоритму в случае задачи со свободным правым концом нами была осуществлена программная реализация, описание которой приводится ниже.
Математическая модель устойчивого развития региональной социо-эколого-экономической системы на основе статистических данных
Программа основана на объектно-ориентированной архитектуре и включает следующие процедуры и функции, которые можно разбить на пять групп, соответствующих различным этапам алгоритма вычисления траектории устойчивого развития региона 4.4.
Общие процедуры и функции программы: TForm1.FormCreate – процедура создания пользовательского интерфейса; TForm1.Button1Click – процедура, реализующая считывание введенных данных и формирование таблицы результатов расчетов, обращающаяся к процедурам initappr, wave и balance; bb, mm, dd, x1, x2, …, x15 – функции, возвращающие значения соответствующих фазовых состояний системы в зависимости от выбранного параметра управления; входным параметром является момент времени; ux – процедура, осуществляющая комплексный расчет соответствующего фазового состояния региона (по всем пятнадцати фазовым координатам) в зависимости от имеющихся параметров управления, обращающаяся к функциям bb, mm, dd, x1, x2, …, x15; входным параметром является момент времени.
Процедуры и функции построения начального приближения к решению задачи устойчивого развития региона: initappr – процедура построения начального приближения стратегии и соответствующей ей траектории развития Кемеровской области, обращающаяся к процедурам var_init и ux; var_init – процедура варьирования управляющих параметров для построения начального приближения с учетом ограничений (4.40), (4.41) обращающаяся к функции boundary и процедуре ux; входными параметрами являются номер варьируемого параметра управления, момент времени и верхняя граница для данного параметра управления; boundary – функция, обеспечивающая приход построенного начального приближения траектории в заданное конечное состояние, возвращает значение отклонение полученного конечного состояния от заданного.
Процедуры и функции, реализующие метод бегущей волны для построения оптимальной, состоятельной во времени траектории развития: wave – процедура, осуществляющая реализацию метода бегущей волны на всем планируемом отрезке времени, обращающаяся к процедурам variation и ux; variation – процедура варьирования управляющих параметров на каждой итерации метода бегущей волны, обращающаяся к функциям delta_f и chconstr и процедурам insyst, initsafe, descent и zx; входными параметрами являются номер варьируемого параметра управления и момент времени; delta_f – функция, возвращающая значение функционала качества (4.73) траектории на варьируемом участке; входным параметром является момент времени; initsafe – процедура, обеспечивающая хранение и преобразование начального приближения к решению задачи устойчивого развития в процессе выполнения программы; входным параметром является момент времени.
Процедуры и функции, осуществляющие решение нелинейной системы сорока восьми уравнений (4.70), возникающей на каждом шаге метода бегущей волны: descent – процедура решения системы нелинейных уравнений (4.70) при помощи метода прямого поиска с возвратом, где минимизация функции (4.72) осуществляется методом сопряженных градиентов, descent обращается к функциям gradf, gf, zero, normgr, sqf, процедурам constr, zx; входным параметром является момент времени, выходными параметрами – количество итераций, за которое был найден минимум, и значение целевой функции (4.72); insyst – процедура построения начального приближения к решению нелинейной системы уравнений (4.70) на каждой итерации метода бегущей волны; входным параметром является момент времени; chconstr – логическая функция, осуществляющая проверку выполнения всех ограничений задачи для найденного решения нелинейной системы (4.70), обращающаяся к функциям bb, mm, dd, x1, x2, …, x15; входным параметром является момент времени; gradf – функция, возвращающая в зависимости от входных параметров либо значение компоненты антиградиента функции (4.72), либо компоненты градиента функции (4.74) – направления, вдоль которого осуществляется возврат в допустимую область на каждом шаге метода прямого поиска с возвратом; обращается к процедуре constr; входными параметрами являются массив искомых управляющих параметров и фазовых состояний системы на каждой итерации, момент времени, номер компоненты антиградиента и параметр выбора направления; normgr – функция, возвращающая квадрат нормы градиента функции (4.72), обращающаяся к функции gradf; входными параметрами являются массив искомых управляющих параметров и фазовых состояний системы на каждой итерации, момент времени и параметр выбора направления для функции gradf; gf – функция, возвращающая значение (4.74) «отклонения» решения, найденного на итерации метода прямого поиска с возвратом, от допустимой области, обращающаяся к процедуре constr; входными параметрами являются массив искомых управляющих параметров и фазовых состояний системы на каждой итерации и момент времени; sqf – функция, возвращающая значение (4.72) вспомогательной минимизируемой функции для решения нелинейной системы уравнений; sqf обращается к процедуре constr; входными параметрами являются массив искомых управляющих параметров и фазовых состояний и момент времени; constr – процедура, осуществляющая проверку ограничений на параметры задачи на каждой итерации метода прямого поиска с возвратом и обеспечивающая возврат аргументов целевой функции (4.72) в допустимую область; входными параметрами являются момент времени и массив искомых управляющих параметров и фазовых состояний, в результате выполнения процедуры формируется массив коэффициентов, определяющих ненулевые слагаемые суммы (4.72); zx – процедура перехода от вспомогательных обозначений к первоначальным при решении систем нелинейных уравнений в каждый момент времени; входным параметром является момент времени; zero – логическая функция, осуществляющая проверку равенства нулю параметров задачи на каждой итерации решения нелинейной системы уравнений (4.70); входными параметрами являются массив искомых управляющих параметров и фазовых состояний и момент времени.
Похожие диссертации на Исследование задач устойчивого развития региональных социо-эколого-экономических систем с применением математических моделей и вычислительного эксперимента
