Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели взаимодействующих сообществ, приводящие к нелинейным дифференциальным уравнениям 20
1.1. Уравнения, описывающие эволюцию взаимодействия популяций в задачах математической биологии и генетики 20
1.2. Модели водной экосистемы 27
1.3. Другие математические модели, описывающие взаимодействие сообществ 31
1.4. Постановка задач 42
ГЛАВА 2. Математическая постановка задач моделирования. выбор и обоснование 46
2.1. Существование и единственность решения задачи Коши для системы уравнений Лотки-Вольтерра 46
2.2. Об асимптотической устойчивости решений одновидовых моделей 48
2.3. Постановка задач для системы двух дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра 53
2.4. Поведение решений системы для двухвидовой модели с квадратичной нелинейностью 60
2.5. Исследование поведения решений системы трех уравнений 65
2.6. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной
общей численностью 70
ГЛАВА 3. Вычислительные схемы и алгоритмы решения систем нелинейных уравнений вольтерровского типа 76
3.1. Приближенное аналитическое решение задачи Коши для системы двух уравнений Лотки-Вольтерра 76
3.2. Вычислительные схемы решения задач для систем 2х и 3х уравнений Лотки-Вольтерра методом Рунге-Кутта 78
3.3 Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в интегральной форме 79
3.4. Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в дифференциальной форме 84
3.5. Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом конечных элементов 91
ГЛАВА 4. Результаты вычислительного эксперимента 107
4.1. Решение задач для двухвидовых моделей методом Рунге-Кутта 107
4.2. Решение задач для трехвидовых моделей методом Рунге-Кутта в пакете Mathcad-2000 112
4.3. Графическое представление решения задачи Коши, полученного методом последовательных приближений в интегральной форме 119
4.4. Графики решений систем уравнений Лотки-Вольтерра с постоянной общей численностью популяций, полученные методом последовательных приближений в интегральной форме 122
4.5. Алгоритмы решения моделей методом последовательных приближений в дифференциальной форме 124
4.6. Результаты решения задач методом конечных элементов 127
4.7. Исследование модели «цветения» воды 128
4.8. Сравнительный анализ графических решений, полученных разными численными методами 131
Основные результаты работы 135
Список литературы
- Другие математические модели, описывающие взаимодействие сообществ
- Поведение решений системы для двухвидовой модели с квадратичной нелинейностью
- Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в интегральной форме
- Графическое представление решения задачи Коши, полученного методом последовательных приближений в интегральной форме
Введение к работе
Последнее время характеризуется качественно новым подходом к анализу и прогнозированию биологических, экологических и социальных процессов. Осознана необходимость привлечения математических методов моделирования и исследования этих процессов. Социальные и исторические исследования проводились математическими методами, например в работах [91, 107, 81, 80, 55, 136].
Представленная диссертационная работа посвящена изучению методами математического моделирования процессов изменения структуры социальных систем, систем экологии, биологии, медицины, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, среди которых наиболее известны уравнения типа Лотки - Вольтерра. В диссертации осуществлена разработка соответствующих вычислительных алгоритмов с использованием методов последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме и метода конечных элементов.
Известно, что формирование общественного сознания является коллективным явлением [102, 135]. Процесс взаимодействия индивидуумов и их сообществ представляется сложной синергетической системой зависимых переменных, и поведение этой системы может резко изменяться при определенных внешних условиях, приводя к кризисным ситуациям и глобальным изменениям [20, 94]. Известно также, что на деятельность человека и любой биосистемы заметное воздействие оказывают гелиографические факторы [137, 138]. Все биосистемы, в том числе и человек, с физической точки зрения функционируют в колебательном режиме, и этот режим не линейно связан с электромагнитным, в особенности гелио-магнитным полем среды обитания [58, 86, 132].
В данной работе решаются задачи с помощью систем двух и трех нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями и с условием постоянства суммы искомых функций. Большинство реальных социальных и природных процессов описываются математическими моделями с нелинейностью типа насыщения [46, 87, и др.]. Предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний [56, 61, 68].
Динамика общественного развития является нелинейной функцией времени t и зависит от множества взаимодействующих факторов -природных, территориальных, экономических, социально-психологических, которые, в свою очередь, существенно зависят от временного фактора. Поэтому при формализации процессов информационного взаимодействия элементов в системе можно предположить, что характеризующие их параметры зависят только от времени. Это позволяет смоделировать многие процессы с помощью систем нелинейных дифференциальных уравнений типа «вход- выход» [54, 69, 93, 97].
Имеются многочисленные подтверждения общесистемного характера обобщенного логистического закона, поэтому остаются актуальными исследования, связанные с математическим моделированием, основанным на этом законе развития [47, 49, 99, 129, 142, 147]. Тем самым возникает необходимость в разработке и развитии методов исследования моделей, основой которых являются системы уравнений с квадратичной нелинейностью [23, 73].
Кроме того, одной из основных задач изучения динамики процессов является также оценка устойчивости соответствующих систем уравнений [30] и описание качественных перестроек поведения их решений при изменении параметров [24, 72]. Наиболее адекватным математическим аппаратом построения и анализа таких моделей служит качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций [27, 28, 29, 123].
Объектом исследования диссертации являются алгоритмы решения систем уравнений вольтерровского типа и их обобщений, описывающих динамику и структуру взаимодействующих сообществ, а предметом исследования - системы нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с различными, в том числе и нестандартными дополнительными условиями, поиск методов их решения и границ изменения параметров для разных режимов функционирования систем.
Целью диссертационной работы является математическое моделирование динамики и структуры биологических, экологических и социальных систем; исследование на этой основе особенностей социального развития сообществ, процессов в биологии, экологии, медицине; выбор и обоснование численных методов решения соответствующих дифференциальных уравнений; создание методики проведения вычислительного эксперимента и программного обеспечения для его реализации. Основные задачи исследования:
1. Анализ различных математических моделей, представленных в литературе, основой которых являются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие социальные и биологические системы.
2. Сравнение поставленных математических задач и методов их решения с целью выявления общности и особенностей моделирования.
3. Построение математических моделей, описывающих динамику структуры систем общественного развития и биологии.
4. Оценка устойчивости систем с учетом влияния внешних факторов.
5. Выбор численных методов и построение алгоритмов решения поставленных задач.
6. Проведение численного исследования погрешности и устойчивости предлагаемых вычислительных схем.
7. Проведение численных экспериментов и получение сравнительных оценок эффективности решения задач рассматриваемых динамических систем. 8. Методика постановки вычислительного эксперимента по
исследованию и прогнозированию развития процессов и возникновения критических ситуаций. Методы исследования:
Для решения поставленных научных задач были использованы методы математического моделирования, алгебры, качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы. Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Обоснована необходимость постановки взаимосогласованных граничных условий при наличии переопределенности в исходных данных для исследования динамики структуры рассматриваемых систем, таким образом модели, зачастую, сводятся к переопределенным задачам, -отличающимся от классических постановок.
2. Показаны условия разрешимости поставленных задач:
- задачи Коши для систем 3-х уравнений Лотки - Вольтерра (один «хищник» - две «жертвы»);
- системы двух уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций;
- системы трех уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций и, в частности задач, сводящихся к системам двух «разделенных» и двух «перекрестных» уравнений.
3. Предложены три численных метода решения поставленных задач -метод последовательных приближений в интегральной форме, метод последовательных приближений в дифференциальной форме, метод конечных элементов. Рассмотрены их достоинства и недостатки.
4. Разработаны алгоритмы для численного решения систем двух и трех уравнений вольтеровского типа с начальными условиями и при наличии ограничений постоянства суммы искомых функций, исследованы их сходимость и устойчивость. Практическая значимость результатов работы состоит в следующем:
1. Разработанная методика численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с учетом ограничений может быть применена для моделей, основой которых являются системы трех и более уравнений вольтерровского типа, а также некоторых других систем в нормальной форме.
2. Выделенные в ходе исследования границы изменения параметров могут быть использованы при моделировании соответствующих управляемых систем.
3. Разработанные алгоритмы и оценки устойчивости, сходимости и погрешности соответствующих вычислительных схем дают возможность выбора метода получения решения и исследования динамики изучаемого процесса.
4. Материалы теоретических и методических разработок могут использоваться в учебном процессе при подготовке математиков по специальностям 073000, 010200.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Предложен и обоснован метод последовательных приближений в интегральной форме для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки - Вольтерра; построен вычислительный алгоритм и исследована его эффективность на примере систем двух и трех уравнений с приложениями к задачам биологии, социологии.
2. Разработан вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки - Вольтерра; составлено программное обеспечение и исследована его эффективность на прикладных задачах социологии.
3. Результаты сопоставительного анализа метода последовательных приближений в дифференциальной форме, в интегральной форме, метода конечных элементов, Рунге-Кутты на типовых задачах математического моделирования динамики и структуры
взаимодействующих сообществ.
4. Результаты численного эксперимента по исследованию динамики и структуры моделей трехкомпонентных сообществ на основе разработанных численных методов и алгоритмов.
5. Методика анализа динамики трехкомпонентных сообществ. Графическое представление решений.
6. Программный комплекс для математического моделирования динамических процессов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа (регистрация № 2005610753, № 2005610754)
Публикации и апробация результатов исследования.
По теме диссертации автором опубликовано 19 работ, из них 5 статей, 12 тезисов докладов на научных конференциях, два свидетельства о регистрации.
Результаты исследований докладывались на ежегодных региональных научно-технических конференциях СевКавГТУ (г. Ставрополь, 1999-2004г.), на 7й и 8й научно-практических конференциях (2003-2004г.) Ставропольского финансово-экономического института. Автор также принимал участие в 7й Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2003 г.), в 4й Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2004 г.), в Iй Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (г. Ставрополь, 2004 г.). Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 148 наименований и 4 приложений. Работа изложена на 144 листах машинописного текста, содержит 63 рисунка.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель работы и задачи исследования, отражены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту.
В первой главе проделан обзор литературных источников, имеющих отношение к тематике диссертационного исследования. Динамика изменения численности или общей массы видов в ходе их взаимодействия рассматривается во многих работах, где модели сводятся к системам дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью, т.е. вольтерровским или их обобщениям. Показано, что в некоторых случаях кроме или вместо начальных условий нужны дополнительные условия, регулирующие общую численность или массу видов.
Другие математические модели, описывающие взаимодействие сообществ
В данной главе рассмотрены математические модели фармакокинетики, эпидемий, взаимодействия этносов и социальных конфликтов.
Задачи, возникающие в фармакокинетике, посвящены определению классов моделей, позволяющих предсказывать с различной степенью точности изменение во времени концентрации лекарства и его активных метаболитов в различных участках тела [33].
Для получения математического описания представим себе организм или его отдельную часть в виде нескольких взаимосвязанных участков компартментов (рис. 1.4). Каждый участок содержит некоторое количество лекарственного препарата, которое благодаря определенным механизмам (здесь не рассматриваемым) постоянно переходит из одного компартмента в другой. Цель заключается в том, чтобы предсказать, какое количество лекарственного препарата будет в каждом участке в зависимости от времени.
Компартменты могут соответствовать действительным физиологическим объектам, таким, как кровь, кишечник, ухо, либо могут представлять собой лишь удобную математическую абстракцию, возникающую, возможно, вследствие применения какой - либо стандартной аналитической процедуры вроде метода конечных разностей или метода конечных элементов.
Изучим сначала однокомпартментную модель. Рассмотрим, например, введение лекарственного препарата в кровяное русло и его утилизацию, причем кровь рассматривается как единый компартмент. Пусть x\(t) 33 концентрация в крови лекарственного препарата в момент времени t 0; препарат вводится со скоростью ДО и выводится со скоростью, пропорциональной количеству препарата в крови. Пусть vj - эффективный объем компартмента. Получаем линейное дифференциальное уравнение vlx\(t) = -k,v{xl(t) + f(t), (1.17) где к\ - постоянная скорость, Х\(0) = С\ - начальная концентрация препарата. Легко найти аналитическое решение этого уравнения: xx(t) = схек + \e-h«-s)f(s)dslvv (1 л 8) о Линейность процесса позволяет утверждать, что мгновенная концентрация является суммой двух эффектов, определяемых начальной концентрацией и скоростью введения препарата. В частном случае, когда /(/) = а постоянна и начальная концентрация С\ равна нулю, выражение (1.18) можно проинтегрировать: ,( ) = —О" ) (1.19) KXVX Рассмотрим двухкомпартментную модель.
Пусть x\{t) - концентрация препарата при t 0 компартмента 1, x2(t) — концентрация препарата при / 0 компартмента 2. Подчеркнем, что речь идет о концентрациях, а не об объемах препарата, хотя главной задачей является определение эффективного объема компартментов.
Предположим, что изменение концентрации препарата в компартментах обусловлено движением жидкости из одного компартмента в другой. В качестве первого приближения разумно предположить, что поток жидкости в том или другом направлении прямо пропорционален концентрации препарата в компартменте, создающем этот поток, и что других взаимодействий между компартментами нет.
Выбирая, At достаточно малым и учитывая приведенные выше замечания, получаем систему дифференциальных уравнений X, (t)= - к\Х\(І) + к2Х2(ї) x2(0 = - k2x2(t) + hxiit), kuk2 0. (1.20) Цель состоит в том, чтобы с помощью этих уравнений определить концентрацию препарата в любой момент времени, используя данные о начальной концентрации: х\(0) = си х2(0) С2, с\, С2 0. Найдем аналитическое решение. Суммируя уравнения, получаем —(x\(t) + x2{t)) = 0 , пусть (xi(t) + x2(t)) = b, где b = const. dt Если не происходит потери материала, то b = с\ + с2, т.е. ,= - к\Х\ + к2 {с\ + с2 -Х\) = -{к\+ к2)х\ + к2{с\ + с2). (1-21)
Предположим, существует стационарное значение концентрации препарата, которое достигается при неограниченном увеличении времени /. Приравняв (1.21) к нулю при t -» оо, получим .()= f 2)- d-22) К. т К 2 Чтобы найти явное решение xi(t), сделаем замену переменных х{ = — + yl, тогда у, = -(к{ + к2)ух. Определим начальное условие У (Q) = JC(0) кЛС] +С =с кЛ +сЛ = кіс k ci /С. "г К у К т К у /С. -г /Cj полученное выражение необязательно будет положительным. Таким образом ух = іі_Ь2.е-( і+ 2) /Сі "г К J х _ к2\Сх +g2) , lcl C2C1 -{h+k7)t откуда х, = VVI 2У + (L23) /Сі "Г /Ст Лі "г Лі Функцию дг2 - легко определить из соотношения Х2 = С\ + С2 -Х\. Представленное выше точное решение модели позволяет получить ряд важных качественных результатов:
Поведение решений системы для двухвидовой модели с квадратичной нелинейностью
Рассмотрим другую систему, описывающую модель «хищник-жертва» двух видов с логистической поправкой: х. = (а - Ъ х, )х. - а х.2, 1 V 2J (2.48) х2 = {-с + d хх )х2 — Р х\. Квадратичные члены, снижающие скорость роста сообществ, учитывают внутривидовую конкуренцию. Конкуренция тем выше, чем больше число встреч между особями. Система (2.48) имеет стационарную cb + Ва ad - ас точку, координаты которой д:, = —; х2 = . bd л-ар bd + ар
Поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметров ос, /3. На рис. 2.4 представлены графики и фазовые траектории системы решений при а = 4, 6 = 2.7, с = 2.2, d = 1.03, a = /3 = 0.1 с начальными условиями х, (0) = 1, х2 (0) = 3.
Видно, что в этом случае фазовые траектории имеют вид спиралей, стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения - в затухающие колебания. При любом начальном состоянии через некоторое время состояние системы становится близким к стационарному и стремится к нему при t стремящемся к бесконечности.
На примере уравнения с логистической поправкой легко увидеть одно из важнейших свойств центров - они легко разрушаются даже при самых малых изменениях правой части. Модель Лотки - Вольтерра неустойчива относительно возмущений, поскольку ее стационарное состояние - центр [141].
В большинстве моделей основное внимание сосредоточено на некоторых основных переменных и соотношениях между ними. Поэтому устойчивость моделей относительно малых возмущений очень важна в приложениях.
В этом случае стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. Как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного. Фактически система (2.48) в этом случае приобретает вид системы уравнений с положительной квадратичной нелинейностью (а, /3 0): і» х, =(a-b-x2)xl +а -х х2 = {-с + d х, )х2 + Р х\. Координаты неустойчивого равновесия (неустойчивый фокус): (2.49) ad-vac cb-Pa л-9 — X, = bd + afi bd + ар Однако при определенном подборе параметров система (2.49) может иметь на фазовом портрете предельный цикл. Так, в биологии часто используется модификация уравнений (2.49), учитывающая пространственные факторы [96,121]: dN dt dM k-N d2N = aN N -cMN + D dx {-P + Y.N)M + DNdM dt dx (2.50) где к 0, x — пространственная координата, N(x,t), M(x,t) - плотность жертв и хищников, коэффициенты а 0,с 0,р 0, у 0, DN 0, DM 0. Она отличается от классической модели Лотки-Вольтерра видом членов, описывающих динамику жертвы в отсутствие хищника: 1). при малых плотностях популяции, для видов, размножающихся половым путем, скорость роста численности пропорциональна частоте контактов между особями, т.е. квадрату ее плотности;
2). существует устойчивая равновесная плотность популяции жертв N = к, определяемая уровнем доступных ресурсов.
При DN=DM = 0 точечный аналог этой модели представляет собой нелинейную систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Она в соответствующем диапазоне параметров имеет предельный цикл - такую конфигурацию интегральных кривых в фазовой плоскости N, М, когда при /- оо траектории «навиваются» на ограниченную замкнутую кривую (Рис.2.6).
Получаемое из вычислительного эксперимента, проводимого в одном и том же диапазоне параметров, поведение численности популяций существенно зависит от начального состояния системы. Рисунок 2.6. Предельный цикл Рисунок 2.7. Фазовый портрет системы при а = 9, к = 4, с = 2.5, триггерной системы (2.51)[110]. /3 = 2,y = \,N(0) = 3,M(0) = 3.
Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка проведено в работах [27, ПО], а также в работах других авторов. В частности, в работе [36] показано, что для параметров О а, Ь \ ненулевое стационарное состояние системы, описывающей конкуренцию видов, х = х-х -а-х-у, у = є{у-у -Ь-х-у), является устойчивым при малых а, Ь.
Важная особенность биологических систем - переключение (триггерность) из одного режима функционирования в другой. На фазовой плоскости триггерной системе в простейшем случае соответствует два или несколько устойчивых стационарных решений, разделенных сепаратрисами. Все особые точки (устойчивые и седло) лежат на пересечении главных изоклин - изоклин вертикальных и горизонтальных касательных.
Фазовый портрет этой системы представлен на рис. 2.7.
В таких мультистационарных системах и поведение во времени, и стационарное решение зависят не только от параметров, но и от начальных условий. В триггерной системе изображающая точка «выбирает» стационарный режим функционирования в зависимости от области притяжения особой точки (аттрактора). Переключение режимов происходит либо путем изменения начальных условий («силовое переключение»), так что система «перепрыгнет» через сепаратрису, либо путем изменения параметров системы («параметрическое переключение»). Параметрический способ переключения реализуется при изменении любой генетической программы, при изменении внешних условий, которые приводят к изменению управляющего параметра. Триггерные системы используются при моделировании процесса отбора и поэтому применимы к описанию процессов эволюции [86, 109].
Алгоритм и вычислительные схемы решения системы уравнений вольтерровского типа методом последовательных приближений в интегральной форме
Система (2.71) при условии (2.60) при этих параметрах имеет точку покоя - неустойчивый фокус, координаты которой: х = 46.45, y = U z = 2.55.
Заметим, что система уравнений с квадратичной нелинейностью при определенном подборе параметров может иметь предельный цикл.
Вопросы устойчивости и бифуркационные границы трехвидовых вольтерровских систем были исследованы в работах [ПО, 27, 28, 29] и других. Делается вывод, что устойчивость этих систем к малым отклонениям не является общим свойством. В нелинейных системах и в параметрическом и в фазовом пространстве есть области, где система становится чрезвычайно чувствительной к флуктуациям и малым внешним воздействиям [ПО]. В параметрическом пространстве - это бифуркационные границы, по разные стороны которых система имеет качественно различный характер поведения. В фазовом пространстве - это сепаратрисы, отделяющие области влияния аттракторов.
Кстати, движение вблизи границ обоих типов (бифуркационного и сепаратрисного) крайне замедлено. Кажется, система «зависла» в состоянии неопределенности. В этих областях существенными могут быть малые воздействия, способные «сдвинуть» ситуацию в ту или иную сторону. В исторических бифуркационных ситуациях особенно важной становится роль отдельных личностей [110].
Современное естествознание приходит к выводу о неоднозначности и неустойчивости по отношению к начальным данным как о естественном состоянии природных систем.
Область применения методов качественного анализа математических моделей весьма ограничена. Поэтому разработка эффективных вычислительных алгоритмов остается одной из ключевых задач математического моделирования [64]. В моделях, которые сводятся к дифференциальным уравнениям, процесс создания вычислительных алгоритмов состоит из двух главных этапов: на первом строятся дискретные аналоги исходных моделей и изучаются их свойства, на втором - дискретные уравнения решаются численно [31, 34, 59, 120].
Численная аппроксимация преобразует задачу к чисто алгебраической форме, включающей только арифметические операции [67]. Для этого используются различные виды дискретизации непрерывной задачи [19, 77, 89]. Далее системы алгебраических уравнений решаются итерационными методами [50, 52], простейшим из которых является метод последовательных приближений (простой итерации) [44,127].
В третьей главе рассматриваются вычислительные схемы и алгоритмы приближенного аналитического решения, метода Рунге-Кутта, метода последовательных приближений в интегральной форме, метода последовательных приближений в дифференциальной форме и метода конечных элементов.
Приближенное аналитическое решение задачи Коши для системы двух уравнений Лотки - Вольтерра Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов [57, 84], а также специальным выбором классов искомых функций. В частности, используется разложение решения в ряд по некоторому малому параметру, содержащемуся в задаче [128].
График решения, полученного этим методом, не является замкнутой кривой. Это означает, что рассмотренный метод привносит значительную погрешность в решение задачи Коши для системы (3.1).
Методом Рунге-Кутта можно строить схемы различного порядка точности [118]. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем. Вычислительный эксперимент, приведенный в четвертой главе, показывает устойчивость [117] и хорошую сходимость некоторых схем для систем двух и трех уравнений Лотки - Вольтерра для задачи Коши и для задач с постоянной общей численностью соответственно x{t) + y{t) = N{t) или x(t) +y(t) + z(t) = N(t).
В частности, сходящейся и устойчивой является схема для систем двух «разделенных» уравнений = ІМі - Г12 [N - x(t)]]x(t); y = -[M2-r2l[N-y(t)]]y(t);
Сходящейся и устойчивой по начальным данным оказывается также вычислительная схема Рунге-Кутта для системы трех уравнений с постоянной общей численностью: x(t) = N-y(t)-z(t); Я ) = ІМі - У21 W - У(0 - ( У1 - г із - (0] - y(t); (зло) А ) = [Мз -ru[N-y(t)-z(t)]-y32 -y(t)]-z(t). При оценке погрешности обычно используется правило Рунге. Для и h этого проводят вычисление с шагом п, затем с шагом — и за оценку h погрешности решения, вычисленного с шагом —, принимают величину
Графическое представление решения задачи Коши, полученного методом последовательных приближений в интегральной форме
Решается задача для системы уравнений x(t) = [a-b-y(t)].x(t), y{t) = -lc-e.x{t)].y{t) с дополнительными условиями х(0) = х0, у(0) = у0 и x(t) + y(t) = N (4.15) методом последовательных приближений в интегральной форме, описанным в п. 3.3. 123 Графические результаты решения сходящейся итерационной схемы xv(t) = N-yM У„(0-«р !&-г(?№, (4.16) о Д,_, =(Ne-c)-yv , полученные в среде Matlab 6.5, представлены на рис. 4.25. Епог(ЭЗ) 0.8 07 in, ( 05 \ 0.4 \ 03 . \г v 0201с 2 3 1 в 6 1 в 9 Ю Рисунок 4.25. а). График решения системы (4.16) при а - 4,5,с = 2,5,Ъ - 2,е - 1, б). График погрешности схемы (4.16).
Выбирая другие значения параметров, видим, что при любом изменении параметров система является устойчивой. Такой вывод можно сделать как по виду фазового портрета, так и по виду графиков, которые практически не изменяются.
Погрешность вычислялась как норма разности между последовательными итерациями. График погрешности показывает, что до третьей итерации погрешность постепенно уменьшалась, начиная с 0.6. Исходя из этого, уже можно говорить о том, что результат получился довольно точным, тем более что после третьей итерации, погрешность спустилась до нуля, причем, в дальнейшем её роста уже не наблюдается. На основании вышесказанного можно сделать вывод о том, что предложенная схема является сходящейся.
Решение системы трех уравнений Лотки - Вольтерра с постоянной общей численностью по схеме (3.32 - 3.33) и график погрешности представлены на рис. 4.26 - 4.27. 124 0,15 0.2 0.25 0.3 0.Э5 0.4 2в РЬ м portray 26 " -v. 2.4 "ч 22 2 \ч 4 to \ (.6 \\ 14 1І -1, " , -10 б 0 5 10 ,15 Рисунок 4.26. Решения и фазовые портреты системы (3.32 - 3.33) при M2=4.5,r2l=2,r23=l.7,ju3=6.5,r3]=l.5,r32=l, (0) = 10, у(0) = \, z(0) = l.
Рисунок 4.27. График погрешности схемы (3.32 - 3.33). Исследование схемы, проведенное по графикам методом, аналогичным описанному в п. 4.1 - 4.3, показало, что схема является также устойчивой к изменению начальных данных и сходящейся.
Алгоритмы решения моделей методом последовательных приближений в дифференциальной форме Численное решение задачи Коши для системы уравнений вольтерровского типа можно получить также с помощью метода, изложенного в п. 4.1, который приводит для случая двух уравнений к итерационной схеме:
Программы для решения задачи Коши для систем двух и трех уравнений Лотки-Вольтерра, показывают, что метод конечных элементов, во-первых, является наиболее трудоемким для моделей, в основу которых положены системы вольтерровского типа. Во-вторых, метод дает слишком быстро затухающие решения даже при решении задачи Коши для системы двух уравнений Лотки - Вольтерра.
Задачи Коши для системы двух и трех уравнений Лотки - Вольтерра имеют графические решения, представленные на рис. 4.32, 4.33. Рисунок 4.32, 4.33. Графики решений задачи Коши для системы двух и трех уравнений Лотки - Вольтерра, полученные в пакете Maple 9 методом конечных элементов.
Предложенные схемы метода конечных элементов сходятся, но могут быть использованы лишь для получения краткосрочных прогнозов поведения моделей, основой которых является система уравнений вольтерровского типа.
На рисунке 4.34 приводится график базисных функций вида (3.157), а также на рисунке 4.35 - график решения задачи Коши для трех уравнений методом конечных элементов с помощью этих базисных функций. Очевидно, что получаются графики решений, похожие на графики решений, полученные для этой задачи другими способами. Таким образом, эффективность метода конечных элементов существенно зависит от выбора базисных и весовых функций.
Рисунки 4.34, 4.35. График базисных функций вида (3.157) и график решения задачи Коши для трех уравнений методом конечных элементов. Программа решения задачи Коши для системы трех уравнений методом конечных элементов, написанная в пакете Maple 9, приведена в приложении 2.
