Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор основных понятий 12
1.1 Планирование эксперимента 12
1.2 Основные понятия 14
1.3 Критерии оптимальности 20
1.4 Критерии эффективности 22
1.5 Теоремы эквивалентности 23
1.6 Тригонометрическая регрессионная модель . 26
1.7 Функциональный подход к планированию эксперимента 29
2 Оптимальные планы на полном интервале планирования 32
Введение 32
2.1 Постановка задачи 34
2.2 Планы, оптимальные для оценивания младших индивидуальных коэффициентов 35
2.3 Примеры 46
3 Оптимальные планы на неполном интервале планирования 54
Введение 54
3.1 Постановка задачи 56
3.2 Метод численного нахождения оптимальных планов 59
3.3 Условия применимости метода 63
3.4 Пример нахождения оптимального плана с помощью численного метода 71
3.5 Оптимальные планы в тригонометрической мо дели третьего порядка 76
4 Оптимальные планы на полном интервале планирования 91
Введение 91
4.1 Постановка задачи 92
4.2 Оптимальные планы в тригонометрической модели произвольного порядка. Примеры 97
Заключение
- Основные понятия
- Функциональный подход к планированию эксперимента
- Метод численного нахождения оптимальных планов
- Оптимальные планы в тригонометрической модели произвольного порядка. Примеры
Введение к работе
Набором величин является одной из наиболее часто встречающихся проблем, встающих перед учеными различных специальностей. Искомая зависимость может быть выведена из теории или получена на основании экспериментальных исследований. Если зависимость выведена из теоретических соображений, то довольно часто она может быть представлена в аналитическом виде, заданном с точностью до нескольких неизвестных параметров. Если же в основе построения зависимости лежат экспериментальные исследования, то параметрическая зависимость постулируется. При построении моделей на основе экспериментальных данных существенную роль играет оптимальный выбор условий проведения экспериментов. Математическая теория планирования регрессионных экспериментов интенсивно развивается с середины прошлого века и имеет многочисленные приложения. Большой вклад в ее развитие внесли зарубежные и отечественные ученые Дж. Кифер, Дж. Вольфовиц, Дж. Бокс, В.В. Налимов, В.В. Федоров, Г.К. Круг. Е.В. Маркова, М.Б. Малютов, СМ. Ермаков и другие. В рамках этой теории весьма полно изучены линейные по параметрам модели. При этом основное внимание уделялось планам, которые максимизируют определитель информационной матрицы. Такие планы называются D-оптимальными. Во многих случаях для стандартных областей планирования (отрезок, гипершар и гиперкуб) / -оптимальные планы найдены в явном аналитическом виде (см. например, Ермаков, 1983; Ермаков, Жиглявский, 1987; Федоров, 1971; Карлин, Стадден, 1976). Вместе с тем, значительный практический и теоретический интерес представляют планы, оптимальные для оценивания индивидуальных коэффициентов (е -оптимальные планы), а также планы минимизирующие след дисперсионной матрицы, умноженный на некоторую заданную матрицу (L-оптимальные планы). Трудность исследования таких планов обусловлена, в частности, тем, что соответствующие им информационнт.те матрицы часто являются вырожденными. До сих пор эти планы оставались изученными гораздо меньше, чем D-оитимальные планы. Это относится, в частности, к тригонометрической регрессионной модели, широко используемой в биологии и медицине (см., например, Currie, et. al., 2000; Young, Ehrlich, 1977; Kitsos, et. al. 1988).
Настоящая работа посвящена нахождению в явном аналитическом виде ejt-оптимальных планов и вырожденных L- оптимальтіьтх планов для тригонометрической регрессионной модели на полном интервале планирования, а также нахождению е -оптимальных планов для этой модели на произвольном симметричном интервале планирования с помощью функционального подхода, предложенного в работе (Melas, 1978).
Под планом эксперимента мы будем понимать вероятностную меру с конечным носителем тта некотором множестве Х- Мера определяется таблицей , (h ... tn\ f = \, Цех, г = 1,2,...,п. Носитель плана состоит из точек, в которых проводятся наблюдения, а веса ШІ удовлетворяют условиям Ші 0, YA-=I ui — 1 Задача состоит в нахождении плана эксперимента, на котором достигается экстремум (максимум или минимум) величины
Ф(м(0),
где Ф— некоторая заданная функция (критерий оптимальности), М() — информационная матрица плана . Для линейной по параметрам функции регрессии PTf(t), где f(t) = (/о(), • • •, fd(t)) — вектор регрессионных функций, /3 = (Д),.. .,/)7, — вектор неизвестных параметров, информационная матрица имеет вид
Как обычно, вырожденным планом будем называть план, информационная матрица которого вырожденная.
В первой главе дается краткий обзор основных понятий и методов теории оптимального планирования регрессионных экспериментов.
Во втором параграфе этой главы формулируются базовые определения. А также рассматривается теорема Гаусса-Маркова, дающая реіпение задачи построения наилучшей линейной несмещенной оценки вектора параметров линейной регрессионной модели. Кроме того, формулируется вариант этой теоремы для вырожденного случая (см., например, Рао, 1968).
В третьем и четвертом параграфах вводятся критерии оптимальности и эффективности планов.
Основным инструментом для нахождения оптимальных планов являются теоремы эквивалентности. Они устанавливают необходимые и достаточ ные условия оптимальности. В пятом параграфе рассматриваются несколько таких теорем, использующихся в диссертации.
Шестой параграф посвящен описанию исследуемой в диссертации тригонометрической регрессионной модели.
В седьмом параграфе дается краткое изложение методологии функционального подхода.
В главе 2 рассматривается тригонометрическая модель (модель Фурье) ( ) у = f№ + e,te х, где /3 — (/, А) • • •, р2т)т — вектор неизвестных параметров, /(/) = (l,sin t, cosf,..., sin(mt)1cos(mt))1 — (/о (),.. -,/2т())7 — вектор регрессионных функций, m — порядок регрессионной модели, а є — случайная величина с нулевым математическим ожиданием и положительной дисперсией а2 0. В качестве множества планирования х рассматривается интервал [—тс, тс]. Для этой модели исследуется проблема нахождения в явном аналитическом виде планов, оптимальных для оценивания индивидуальных коэффициентов. Эти планы минимизируют величину Фк{г)) = eTkM-{ri)ek на множестве всех планов ц таких, что / оцениваем для плана г/. (В последней формуле ек — единичный вектор, а М есть обобщенная обратная матрица для матрицы М).
Недавно в работе (Dette Н. and Melas V.B., 2003) были построены планы, оптимальные для оценивания старших индивидуальных коэффициентов
(точнее говоря, для коэффициентов / и p2i-i при т/3 / т), а также коэффициента /. Задача нахождения планов, оптимальных для оценивания младших индивидуальных коэффициентов (1 / ш/3), оставалась нерешенной.
Ключевым результатом, обеспечивающим полное решение задачи, является следующая теорема.
Теорема 2.2 Рассмотрим тригонометрическую регрессионную модель ( ) при т 3 и предположим, что 1 / т/3. (а) Пусть р = \m$L\, п = 1(р—ї), тогда план
in
1-І .Р-1
,і;\еп = 1(р- 1),
І%-\ —
7Г
U
г +
, W,- =
г, І = 1,...,П
I-P" 2E;=]sin( ,)r является оптимальным для оценивания параметра fyl-i- При этом значение критерия оптимальности определяется по формуле
ад-. =( (аді)ХМй)1 (Ь) Если р — \ш \ нелетное, тогда план
In
я
ал,
i-l 1 .V - 1 + 2.
, г = 1,...,га
&/ 2І-1 + 7Г
,гдеп = /(р-1), I cos(Zi») І
2/-Р 2" cos(fy)l
является оптимальным для оценивания параметра (5ц. При атом значение критерия оптимальности определяется по формуле
••(Й) = (g с«Кад)" = gcot ( ))Я.
(с) Если р = \Ш2г\ четное, тогда план
—7Г —ln . . . —t 2 О t 2 tn 7Г
2/ _
fl Шп ... Ш 2 Ші W2 ... W„ Ш1-/1
С
гдеп = /(р-1), /iG[0,Wi], U = (2(г -1) + 2
г-1 1 .Р-1 + 2.
7Г _ C0S(#,) .
и-р -гЕ іІсозаді 1" """ является оптимальным для оценивания параметра &%. При этом значение критерия оптимальности определяется по формуле
В главе 3 рассматривается тригонометрическая модель ( ) на произвольном симметричном интервале планирования \ — [ аэа] 0 а 7Г. Для этой модели исследуется задача нахождения планов, оптимальных для оценивания индивидуальных коэффициентов. Структура оптимального плана и сложность решения зависят от значения параметра а и порядка элемента, для которого соответствующий коэффициент оценивается. В некоторых случаях оптимальный план может быть найден в явном виде. В общем случае нахождение плана связано с решением нелинейных систем больших размерностей.
В § 3.2 на основе функционального подхода (см., например, Мелас, 1999) разработан метод, позволяющий представлять точки носителя и веса оптимального плана в виде степенных рядов по параметру о. Сложность заключается в том, что число точек носителя оптимального плана может зависеть от значения параметра а. Для определенности рассмотрим набор величин 0 = Од а\ а\ ... а а +1 = я-, разбивающих отрезок (0,7г] на р +1 частей; р-некоторое целое число, зависящее от номера оцениваемого коэффициента. В диссертации доказано, что р может принимать значения от 0 до [4m/3j включительно. При фиксированном г (0 і р) и а Є [a ,a i+l) число точек носителя оптимального плана остается неизменным. При увеличении і число точек носителя уменьшается. В результате задача нахождения оптимального плана на интервале [—о,а], а Є (0,7г] превращается в задачу нахождения совокупности планов на каждом из интервалов [а , а +1), і — 0,1... ,р.
Применять предложенный в § 3.2 метод для нахождения оптимального плана можно лишь при выполнении некоторых условий. В § 3.3 удалось доказать, что эти условия выполнены по крайне мере для планов, оптимальных для оценивания коэффициентов / и 0%-\ при ie(J т + 2 т 2г + 2 2г+1_ В § 3.4 иллюстрируется работа метода на конкретном примере. Решается задача нахождения плана, оптимального для оценивания коэффициента / в тригонометрической регрессионной модели ( ) четвертого порядка (т — 4) на интервале планирования [—а, а], а Є (0,7г]. Исследуется эффек тивность полученного плана по отношению к планам, обычно используемым на практике. Демонстрируется, что дисперсия оценки параметра / для данного плана примерно в 2 раза меньше, чем для стандартных планов в равноотстоящих точках.
В § 3.5 найдены в явном виде планы, оптимальные для оценивания коэффициентов тригонометрической регрессионной модели ( ) третьего порядка (т = 3) на интервале планирования [—а, а], а Є (0,7г].
В § З.б приводятся иллюстрации, демонстрирующие поведение точек и весов оптимальных планов, построенных в § 3.5. Также демонстрируется эффективность этих планов по сравнению с планами, используемыми на практике (см., например, Ермаков, 1983; Федоров. 1971).
В четвертой главе исследуются вырожденные L-оптимальные планы. То есть планы, минимизирующие сумму дисперсий пар оценок коэффициентов {/?2н,/?2г2} И {/?2л-1,/?2;2-і}, ЧМ Є {0,...,ш}, jhj2 Є {1,..., ш} тригонометрической регрессионной модели ( ) на интервале планирования X = [—7Г, 7г]. В ряде случаев оптимальные планы удается найти в явном виде. Основным инструментом исследования является обобщенный вариант теоремы эквивалентности для L-оптималытых планов (теорема 4.1). Ее аналог для невырожденных планов можно найти в работе (Ермаков СМ., Жиглявский А.А., 1987).
Нахождение оптимальных планов в явном виде в общем случае связано с решением нелинейных систем больших размерностей. Как правило, решение таких задач не удается найти в явном виде. Однако выбор подходи щей структуры множества планов, на котором ищется решение, позволяет эти задачи существенно упростить. Критериями выбора являются свойства информационной матрицы и условия оптимальности, сформулированные в теореме эквивалентности (георема 4.1). Согласно данной теореме, проверка оптимальности напрямую связана с построением экстремального полинома Ф,0 = fT(t)M+№M40f(t),te [-7Г,7Г], где f(t) — вектор регрессионных функций модели ( ), М+() — обобщенно обратная в смысле Мура матрица к М(), L — некоторая неотрицательно определенная матрица соответствующей размерности. Идея предложенного в главе 4 подхода заключается в том, чтобы искать оптимальные планы на множестве таких планов, для которых экстремальный полином /?(,) легко представим в явном виде.
Наглядным примером такого подхода служит следующая теорема Теорема 4.2 Рассмотрим тригонометрическую модель ( ), га 3. 1. План I —tn - (.-1 • • —t\ U ... tr. 42?-l,4f 1-1)= I гбЄ m І , U = 2 Л. 7 _2_ Ї + (_!) -.),, 1 -_2«ctgW5) n = 2 — , L = 2 - -+ -1F_4T, и = —, x n 2n n является L—оптимальным планом,, минимизирующим сумму дисперсий оценок параметров $щj_i и Д -ь Причем ІгЬМ+(Єт_и 4[Ь)) = + « 2.618034....
Во второй части этой теоремы в явном виде указан оптимальный план, минимизирующий сумму дисперсий оценок параметров / и Al J Отметим, что структура множества планов, на котором ищется оптимальный план, определяется следующими условиями. Мы предполагаем, что оптимальный план является симметричным, а его точки и веса имеют вид U = 2 ±J \ + (-1)0-%, ШІ = і і = 1,..., n, п = 2 [f J . Благодаря этому предположению удается записать экстремальный полином в явном виде siir(y:r) sin (тж) Таким образом, нахождение оптимального плана сводится к решению уравнения относительно х \t=x — О Использование описанного подхода позволяет в некоторых случаях находить оптимальные планы в явном виде.
Н заключении представлены основные результаты диссертации.
Основные понятия
Сформулируем несколько основных понятий и результатов теории оптимального планирования эксперимента, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Рассмотрим набор вещественных величин уі,...,ум, являющихся результатами эксперимента. На практике довольно часто (см., например, Рао, 1968; Федоров, 1971; Pukelsheim, 1993) эти результаты могут быть представлены с помощью уравнения (1.1.1) Vj = Ti{tj,0) + ej, j = 1,...,ЛГ, где Tf(t,/3) - вещественная функция, известная с точностью до параметров (З = (/Зо,... (ЗІ)1 , сі,... ,сдг-слу чайные величины, характеризующие ошибки наблюдений, ti,...,tN- условия проведения эксперимента - элементы множества планирования х В дальнейшем мы полагаем, что для уравнения (1.1.1) выполнены следующие стандартные допущения (а) Несмещенность: ECJ = 0 (j = 1,..., iV). Это означает, что Eijj = r](tj,(3), т.е. модель не имеет систематической ошибки. (б) Некоррелированность: ECJCJ = 0 (г ф j). (в) Равноточность: ЬЩ = а2 0 (j = 1,..., N). (Г) Линейность параметризации: rj(t,p) = №,№ f{t) = {fo{t),...Jd{l))T,mc Ml), і = 0,...,(/- за-данные базисные функции. (д) Функции /г( ) 0 непрерывны и линейно независимы на Х () X - фиксированное множество, наделенное структурой компактного пространства.
Эти допущения отражают особенности реальных экспериментов. В принципе они могут быть ослаблены (см. Ермаков(1983)). Однако в данной работе мы эти случаи рассматривать не будем.
Целью эксперимента, как правило, является либо нахождение оценок параметров Д),... ,/) либо нахождение оценок некоторых функций от этих параметров, либо проверка гипотез относительно значений этих параметров. На точность полученных оценок влияет, как выбор условий проведения экспериментов (ii,... ,tjv), так и метод оценивания.
Оценка (3 вектора параметров /3 является некоторой статистикой P = /3(h,...,LN: 2/1,..., уц).
Выбор статистики (3 при фиксированных условиях проведения эксперимента составляет предмет отдельной теории. В предположениях (а)-(е) существует хорошо зарекомендовавший себя метод оценивания (метод наи-меньших квадратов), согласно которому в качестве оценки (3 выбирается решение экстремальной задачи
Решение этой задачи определено в следующей теореме. Обозначим F = Ш і)) ї,і=о» F - матрица размера Лг х d, Y = {у{,.. .,yN)T - вектор результатов эксперимента.
Теорема 1.1 (теорема Гаусса-Маркова) Пусть для уравнения (1.1.1) выполнены предположения (а) — (е). Предположим, чт,о матрица F имеет полный ранг, равный d (т.е. матрица FTF - невырождена). Тогда оценка метода наименьших квадратов вектора параметров ft определена однозначно, имеет вид ft = {FTF) lFTY и является наилучшей линейной несмещенной оценкой, причем, D0 = a2{FrF)-\
Доказательство этой теоремы можно найти в (Ермаков, Жиглявский, 1987; Piikelshcim, 1993). Отметим, что условие невырожденности det(FTF) ф О может быть нарушено, в этом случае не все параметры Д-, і = 0,...,d могут быть несмещенно оценены.
Пусть Р Є Rd+1 некоторый заданный вектор. Вудем говорить, что параметрическая функция РТ ft оцениваема, если существует ее несмещенная линейная оценка. Сформулируем необходимое и достаточное условие оцениваемости параметрической функции Р ft.
Функциональный подход к планированию эксперимента
Функциональный подход к исследованию оптимальных планов был введен в работах (Melas, 1978; Мелас, 1981) на примере нелинейной но параметрам модели в виде алгебраической суммы экспонент с неизвестными показателями. Дальнейшее развитие этот подход получил благодаря использованию персональных компьютеров (Мелас, 1997; Мелас, 1999; Мелас, Пепелышев, 1999). Идея этого подхода заключается в исследовании точек и весов локально оптимального плана как функций некоторых вспомогательных величин. В качестве которых могут выступать метрические характеристики области планирования. Например, если областью планирования является интервал, то в качестве вспомогательной величины может быть использована его длина.
Функциональный подход основан на использовании теоремы о неявном отображении. Как известно, анаяитическая функция может быть разложена в сходящийся ряд Тейлора, и начальный отрезок разложения можно рассматривать как хорошее приближение к этой функции.
Опишем методологию функционального подхода.
Пусть наша задача заключается в нахождении Ф-оптимального плана. Где Ф - заданный критерий оптимальности. Рассмотрим и = (щ,... ,иг)т — вектор вспомогательных величин. На первом шаге необходимо ввести вектор 6, состоящий из нетривиальных точек и весов плана, а также, возможно, некоторых вспомогательных функций. Данные функции могут яв ляться элементами двойственной задачи. Так, например, в случае е - критерия оптимальности в качестве вектора 0 в главе 3 диссертации рассматривается вектор, состоящий из нетривиальных точек и весов плана, а также из коэффициентов экстремального полипома, определенного в теореме 1.6.
Дополнительная сложность заключается в том, что число точек локально оптимального плана может бт.ттт, различным при различных значениях компонент вектора и. Поэтому на втором шаге множество допустимых значений вектора и необходимо разбить на подмножества, внутри которых число точек локально оптимального плана не меняется. Данное требование означает, что на каждом из таких множеств вектор Q— (и) имеет фиксированную размерность.
На следующем шаге составляется система уравнений g(Q,u) = 0 (где д— некоторая вектор-функция, размерность которой равна размерности в), решением которой является вектор @ (и), соответствующий оптимальному плану. Эта система может включать необходимые условия экстремума функции Ф, а также уравнения, связывающие элементы прямой и двойственной задачи.
На четвертом шаге проверяется невырожденность матрицы Якоби для функций-компонентов вектор-функции ?(9, и) на каждом подмножестве. Доказав то, что на одном из подмножеств возможных значений векторной величины и якобиан не равен нулю, мы по теореме о неявном отображении получаем, что вектор-функция Q (u) является аналитической функцией на этом подмножестве. И, следовательно, может быть разложена в сходя щийся ряд Тейлора,
Для нахождения коэффициентов разложения функции д (и) в ряд Тейлора в некоторой точке мо используются рекуррентные формулы. Для их применения необходимо знать значение этой функции в данной точке. Поэтому на пятом шаге мы выбираем точку, в которой якобиан не равен нулю и находим в ней значение вектор-функции 9 (и).
На шестом шаге строим разложение в ряд Тейлора функции Q (u) в этой точке. Далее необходимо провести анализ полученного разложения. Однако теоретически найти радиус сходимости не удается. Поэтому на практике оптимальность полученного плана проверятся численно, например, с помощью теорем эквивалентности.
Более подробные сведения о теории функционального подхода можно найти, например, в (Мелас, 1999).
Метод численного нахождения оптимальных планов
Для решения задачи будем использовать функциональный подход. Пусть на некотором промежутке а Є [a ,b ) С (0,7г) число точек плана &(г, а) при фиксированном к остается неизменным. Введем вектор-функцию в(а) = (qT ,rT)T. Вектор qu\ получается из вектора q путем удаления единичной компоненты, стоящей на 1-ом месте (при четных к вектор q определяется в (3.1.3), при нечетных — в (3.1.4)). Рассмотрим систему уравнений дЪк{д,т,а) = 0. дв (3.2.1)
В силу необходимых условий экстремума вектор-функция 0 (а) = {q (n, т т)т удовлетворяющая (3.1.5), удовлетворяет системе (3.2.1). Матрица Якоби системы (3.2.1) имеет вид д2 Jk{a) = (3.2.2) 2п-\-гп двідЄ: Jij=1
Если матрица Якоби системы (3.2.1) невырождена, то в силу теоремы о неявном отображении (Ганнинг, Росси, 1969) существует аналитическая функция 0 (а), являющаяся решением системы (3.2.1). Пусть в точке а = а найдено значение этой функции Q (a ). Тогда функция в (а) может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности точки а . Коэффициенты разложения находятся с помощью рекуррентных формул (ом. далее теорему 3.3). го коэффициента и порядка регрессионной модели. Для этой функции при фиксированном т оптимальный план Ц(г,а) = (т, 6то), к = О,. . . ,2т не зависит от а при а є[Ь кт,т:}.
Метод численного нахождения е —оптимального плана Рассмотрим семейство множеств Тп , определенное в (3.1.2), и введем в рассмотрение семейство планов для любого тр(а) Є Тп nAa) n i(a) ... -h{a) t0(a) ... tn(a) $]Ыа),а) = Vnp{a) шПр-\{а) ... u}0(a) oo0(a) ... иПр(а) П.-1 где un(a) = 1/2 - E2o Wi( 0, P = 0,1,2
1) На первом іттаге полагаем p :— 0, np := m, 1Пр(а) := a, a := 0. В окрестности нуля значения вектор-функции 6лл(а) = (Ят,ТрТ)т найдены в (Dette and Melas, 2003). 1.1) Находим точку а ,, =
Если Ц1 ошКа) Ф 0, полагаем j := 0, np+i := пр и переходим к пункту 3. 2.1) Если П"=оМ {а) = 0, то существует набор из гр + 1 (0 гр пр) (р) (р) различных величин 0 s0 ... s) пр, для которых выполнены равенства ш (?)(а +1) = 0, і = 0,..., гр. Полагаем пр+\ := пр, j := ip + 1. і
2.2) Если j 0, полагаем np+\ := пр+\ — 1, j := j — 1, (Р) а) если Sj ф пр+1 + 1, то V» = W ) \ (a Ua)}, 7;, := ТПр \ { (a), )}. s/ b) если 4P) = np+1 + 1, то Tnp := ТПр \ {f (p)(a) w (a)}, #(r;,a) := (p)(r» \ {±Cp+1+i(a), +1+1(a)}. Повторяем процедуру, описанную в пункте 2.2.
3) Если П«=і+і l i(a) -i(a)l = 0, то полагаем j := j + 1. В противном случае переходим к пункту 4. Если i (a;fl) - _i(a;+1) = 0, то #\т;,а) := (r ) \ {i a), )}, % := np \ { J-i(a),wJ_i(a)}, w (a) := w (a) + wj_i(a), np+i := rcp+1 - 1. Если j np, повторяем процедуру, описанную в пункте 3.
4) После перенумерации точек и весов плана Q? (т ,а) и множества ТПр1 полагаем Т„р+1 := ТПр, (, {т +ьа) := СкР\т ,а), р := р + 1. Если для вектор-функции в/ x(a) = (qt,T T)T матрица Якоби Q2 \ 2np+m (3.2.3) jf Ц) = ЯП "ЯП Ф »Р Є Л(2пР+т)х(2пр+.) невырождена в точке а , строим с помощью функционального подхода разложение вектор-функции Щр\{и) R ряд Тейлора в окрестности точки о (см. далее теорему 3.3). Переходим к пункту 1.1.
Как следует из вышеописанного алгоритма, число точек носителя плана Цт,а) не возрастает при увеличении а Є (0,7г]. Следовательно, мы можем оценить сверху максимальное число шагов, за которые численно находится оптимальный план. Как показано в работе (Dette and Melas, 2003), верны следующие соотношения fsuppiCM) = 2m+ 1, а Є (0,aj), #supp(&_,(a)) = 2m, а Є (0,ої) и 2m/3 + 1 #supp{&{ir)) 2m + 1, 2m/3 + 1 #supp{&-i{n)) 2m. Следовательно, 0 p 4m/3 + l. Таким образом, применяя функциональный подход, мы за конечное число шагов (р 4m/3 + 1) можем численно найти оптимальный план 1{т,а).
Оптимальный план на промежутке [—а,а], а Є (0,7г] может быть построен по описанному в предыдущем разделе методу только в том случае, если матрица Якоби (3.2.3) будет невырожденной во всех точках а ,..., а . Исходя из этого, сформулируем условия применимости метода.
Теорема 3.1 Рассмотрим, модель (3.1.1). Для любого а Є (0,7г) матраца Якоби системы (3.2.1) невырожденная, если фвирр((1(т,а)) m + 1, k = О,..., 2т, где т- порядок регрессионной .модели. Доказательство Случаи к — 2т и к = 1т — 1 мы не рассматриваем, т.к. для этих случаев планы были построены в работе (Dette and Melas, 2003). Доказательство будем проводить для четных к (к = 21,1 = 0,...,га - 1). Для нечетных к теорема доказывается атіалогичію. Докажем, что при фиксированном р матрица Якоби (3.2.3) / л / г)2 N2Пр+т 4\а) = - (а), a)J Є я(Ч+-)х(2пр ) невырожденная, если Na т+ 1, где Na = #supp(y(T ,a)) - число точек носителя плана Oft (т ,а) на интервале [—а, а], а Є (0,7г]. Рассмотрим матрицу Якоби для плана % {Тр,а) на промежутке [а ,а +]), а +1 л". Для удобства обозначений мы будем полагать, что для плана % {т : а) выполнено t n (а) = а. Если это не так, доказательство теоремы проводится аналогично, но матрица J% (а) имеет несколько иной вид.
Оптимальные планы в тригонометрической модели произвольного порядка. Примеры
В данном параграфе мы построим L—оптимальные планы, минимизирующие сумму дисперсий оценок различных пар коэффициентов отдельно при синусах и косинусах. Для проверки оптимальности мы будем пользоваться теоремой, сформулированной в предыдущем параграфе.
Замечание 4.1 В качестве матриц L Є д(2т+1)х(2т+1) R дальнейшем будут рассматриваться диагональные матрицы, у которых ровно две единицы на главной диагонали (соответствующие оцениваемым параметрам). Остальные элементы этих матриц — нули.
Докажем первый пункт теоремы. Второй доказывается аналогично. Для удобства обозначений будем считать, что га— четное. В этом случае [тМ = j и первый пункт теоремы можно переписать так -fm Cm—1 її Ч . . . І 2т 2m 2тп 2т 2т — + (-1)0-4 = -arctg( 5). т т U = Идея доказательства состоит в следующем. Мы покажем, что ms[7-f] = 0, j = 1,2,...,га, jVf j ms[f)f] = sin2(fж) /гс М = 0) j = 1,2,..., m - 1 (me[m mj = sin2(ra:r) где шв[,- ]— элемент матрицы Ms Є Rmxm, стоящий на пересечении г—ой строки и j—oro столбца. В результате мы получим функцию (fi(t, ) в явном виде sin (jх) sur(mx) После этого, решая уравнение \t-x — 05 найдем нужное значение х,а затем выведем, что trLM+(C) = РЫ ) = 4тт + -иьЦ = + siir(-a;) sur(rax) 2 2 Итак, нужно лишь доказать, что Шф-]=0 j = l,2,...,m, JV? I ms[--] = sin2(fЖ) %m] = 0, j = 1,2,..., m - 1 І ггцщт] = sm2(mx) С учетом вышесказанного получаем т л т Е .. . . .т± . 1 v- ... , . ,m Л sin(j4) sm(— )«; - — 2 sin(j ) sin(— fc). ik=l k=\ Отметим, что sin(y4) = ( 1)L 2 J sin(y). Следовательно получаем 8111() v . „J_l . , . N m =i Докажем, что Хліі(-І) -1 sin(jtk) - О при j ф Щ. В этом случае fc=i (_l)L rJ sin(j ) = sin(ja:) + sin ( 1 cos(j ) - cos ( ) sin(jo;)+ +(-1) ( sin ( — J cos(J) -f cos ( — J sin(jx)) + ... +(-!)(?-) (sin ((f - 1)M) wUx) +COS ((f - 1) stay,)) + +(_1)Є+Ч+(?-і) Sin(jx) = sm(ji) ( 2 (-1) 008( ) + (-І) Ї - 1 \ fc=0
Как несложно видеть, при j ф у справедливо равенство га і 2 (- 00 )= 1(со8( ) + со8(Мї) + ...+ .mi. .(m-3)77r, ,(m-l)J7r. . , ,m_i + -1U"1 cos -) + cos(—) = 1 + (-1)J+ \ m m Следовательно, искомая сумма равна (-1)1/ sm(jtk) = 2sin(jar) (l + (-l)?-1+j + (-1) + - l) = 0. fc=i Аналогичным образом посчитаем чему равен элемент т3у при j фт т . / % т 1 v . /. х . / N sinlmar) т-л. 14 ь . ,. „ m (iH = — 2 sm( fc)sin(m ) = ———2 (-1) sinU ) = m fc=i =i 100 }-\ , 2nkj, = sin(ja) 2cos(- ) + (-l) -l = sm(jx) (1 - {-I) + (-iy-1) = 0. Из вышесказанного следует, что msm] =8Іп2( )ІЕ1Г=і(-1)2 =sin2(f ) /n.9[m,m] = sin2(ra:r) =1(-l)2fc = sin2(ra:r) Теорема доказана.
Замечание 4.2 Отметим, что теорема 4.2 верна для тригонометрических моделей порядка т 3. При m = 2 оптимальный план & 3 имеет вид —ТГ+Х -х х п — X ,x = ctg( ),trLM;\C) = :Y+l ill 4 4 4 О bv/5 и 8 оптимальный план ?02ч равен —7Г - О 2 v М-2) I 5 _ „ j-i 5 Izl „ Г cVW 22 8 " 8 S 8 u При m = 3 оптимальный план Л 0 2ч равен ,2) —7Г -ТТ + Х -Х О X 7Г-ГГ 7Г z j- z z z а , а Є Q,--z где z « 0.15195067..., ж « 0.932928804..., trLM;\C) 2.77004565....
Численные значения гиж найдены путем непосредственного решения соответствующих систем уравнений.
Замечание 4.3 Отметим, что в условиях теоремы 4.2 сумма дисперсий оденок соответствуютцих коэффициентов равна -y+f При D—оптимальном планировании сумма дисперсий равна 4. Таким образом, сумма дисперсий при L—оптимальном планировании в данном случае будет меньше суммы дисперсий, полученной при D—оптимальном планировании примерно в 1.5 раза.
Пример 4.1 Ь-оптимальный план, минимизирующий сумму дисперсий оценок параметров / и fo (т.е. коэффициентов при sin(2i) и shi{4t)) в тригонометрической регрессионной .модели четвертого порядка (т 4)
