Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели экономических систем. Гистере-зисные преобразователи
1.1. Задача ценообразования 15
1.2. Задача оптимального производства, хранения и сбыта 18
1.3. Понятие гистерезисного преобразователя
1.3.1 Неидеальное реле
1.3.2.Преобразователь Прейзаха-Гилтая
1.3.3. Свойства преобразователя Прейзаха-Гилтая
1.3.4. Функция размагничивания
1.3.5 Периодические входы
1.4 Применение гистерезисных преобразователей для моделирования функции спроса
1.5 Свойства гистерезисной функции спроса
Глава 2. Модель равновесного ценообразования в условиях гистерезисной функции спроса
2.1. Построение модели ценообразования
2.2. Исследование модели ценообразования
2.3 Рыночное регулирование простейшей технологической цепочки
Глава 3. Задача об оптимальном производстве, сбыте и хранении товара в условиях нестационарной гистерезисной функции спроса
3.1. Задача о максимизации прибыли в условиях неогра ниченного количества товара у производителя
3.2. Задача о производстве, потреблении и сбыте товара
Заключение
Приложение
Список использованных источников
- Задача оптимального производства, хранения и сбыта
- Свойства преобразователя Прейзаха-Гилтая
- Исследование модели ценообразования
- Задача о производстве, потреблении и сбыте товара
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы гистерезисные явления активно изучаются в технике и физике. Возможность исследования систем с гистерезисом основывается на операторной трактовке гистерезисных нелинейностей, разработанной М.А. Красносельским и его учениками. Гистерезисные явления имеют место в ряде экономических процессов. В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Учет нелинейностей гистерезисной природы приводит к необходимости пересмотра подходов к решению целого ряда задач моделирования и анализа экономических процессов и систем.
Объектом исследования в работе является, прежде всего, устойчивость решений уравнений модели ценообразования: наличие нетривиального устойчивого решения в виде точки или предельного цикла, поведение решения в неустойчивой области, а также анализ условий, при которых возникают эти режимы. При моделировании производственной деятельности учет гистерезисного характера спроса требует заново решать практически важную задачу оптимального производства, хранения и сбыта продукции. Настоящая работа посвящена решению приведенных задач и является продолжением исследований, проводимых в области моделирования и анализа нелинейностей гистерезисной природы в экономических системах.
В работах М.Е. Семенова предложена обобщенная модель гистерезисного преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако, в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса (пороговые числа гистерезисного преобразователя, описывающего отношение потребителя к товару, становятся зависящими от времени), и как следствие, к необходимости анализа в новых условиях поведения временной траектории цены в модели ценообразования и нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.
UПОТЕКА {
РОС НАЦИОНАЛЬНА»і БИБЛИОТЕКА. j С. Петер ОЭ
Приведенные доводы обосновывают научную актуальность исследования и его практическую значимость.
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления Воронежской государственной технологической академии - «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» № г.р. 01200003664.
Цель работы. Разработка и анализ математических моделей процесса ценообразования и оптимального производства, хранения и сбыта продукции с гистерезисной функцией спроса в условиях нестационарности потребительских отношений.
Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:
разработка математической модели функции спроса с гистерезисной нелинейностью в условиях нестационарности потребительских отношений;
разработка математической модели ценообразования на монотоварных рынках с учетом нестационарности потребительских отношений;
исследование полученной математической модели ценообразования на существование устойчивых нетривиальных решений;
разработка модели оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений;
разработка алгоритма решения соответствующей задачи;
численная апробация разработанных моделей и алгоритмов на конкретных экономических задачах.
Методы исследования. При выполнении работы использовались операторная теория гистерезиса, математическое моделирование сложных систем, качественная теория дифференциальных уравнений, теория управления, нелинейный анализ.
Научная новизна работы. В результате проведенного исследования получены результаты, характеризующиеся научной новизной:
получен новый вид гистерезисной функции спроса, отличающийся нестационарными значениями пороговых чисел гистерезиса;
разработана модель ценообразования для монотоварных рынков с гистерезисной функцией спроса, отличающаяся новым анали-
тическим видом функции предложения, учитывающей меняющиеся потребительские отношения на рынке; - разработан алгоритм решения задачи оптимального производства, хранения и сбыта продукции в условиях нестационарности потребительских отношений. Практическая деиность работы. Практическая ценность работы подтверждается использованием ее результатов при экономическом анализе типичного представителя монотоварных рынков — рынка сахара. Здесь изменение во времени потребительских отношений определяется изменяющимся соотношением производства отечественного сахара и производства сахара из импортируемого сахара-сырца. Решение задачи установления средней равновесной цены - весьма важная практическая проблема рынка сахара. Не меньший интерес представляет и решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции, которое обеспечивает не только достижение максимальной прибыли производителей при оптимальной ценовой и производственной стратегии, но и возможность избежать затоваривания рынка, резких скачков цен, что представляет практический интерес для потребителя. Результаты работы могут быть использованы и для других монотоварных рынков.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: ХП Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам, г.Сочи, октябрь 2004 ; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18», г.Казань, январь 2005; Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения-ХГХ» г.Воронеж, май 2005; «Экономическое прогнозирование: модели и методы», г-Воронеж, апрель 2005, март 2006; «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», г.Воронеж, декабрь 2005, в отчетных конференциях ВГТА за 2004,2005 гг.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ. Личное участие автора заключалось в разработке гистерезисной функции спроса в условиях нестационарности потребительских отношений, разработке и исследовании моделей.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 108 страницах, включает 14 рисунков.
Задача оптимального производства, хранения и сбыта
Не менее интересной для исследования является задача об управлении процессом производства, хранения и сбыта продукции с точки зрения теории оптимального управления. В [4] показано, что оптимальное управление производством является релейным, т.е. сначала производство включается на полную мощность, а затем выключается.
В работах Т.Пу [91, 92], Хикса [73] и ряда других экономистов отмечается, что для адекватного моделирования экономических систем необходимо учитывать их способность «запоминать» предыдущее состояние. Иными словами состояние многих экономических систем в момент времени (/ /0) зависит не только от некоторого набора внешних и внутренних параметров в тот же момент времени, но и от того, в каком состоянии система находилась в момент t0 .Одним из возможных способов объяснить это свойство является использование в экономических моделях операторов гистерезисной природы. Еще одно обстоятельство, побуждающее использовать гистерезисные нелинейности, заключается в том, что во многих случаях соотношение вход-состояние и состояние-выход гистерезисных операторов интуитивно «правильно» описывают взаимосвязи между экономическими объектами.
В частности, объективно существующая инертность потребительского спроса обусловливает гистерезисный характер функции спроса. Учет не-линейностей гистерезисной природы приводит к необходимости пересмотра подходов к решению целого ряда задач моделирования и анализа экономических процессов и систем. В работах М.Е. Семенова предложена обобщенная модель гистерезисного преобразователя и построенная на ее основе гистерезисная функция спроса в условиях стационарного состояния потребительских отношений. Однако в экономической практике потребительские отношения претерпевают изменения, что связано с динамикой изменения свойств товарной продукции вследствие процессов старения и модернизации технологических производств. Учет нестационарности потребительских отношений приводит к изменению гистерезисной функции спроса (пороговые числа гистерезисного преобразователя, описывающего отношение потребителя к товару, становятся зависящими от времени), и как следствие, к необходимости анализа в новых условиях поведения временной траектории цены в модели ценообразования и нового решения задачи об оптимальном хранении и производстве продукции.
Для решения данных задач в работе рассматриваются некоторые известные гистерезисные преобразователи.
Ниже будет дано описание гистерезисных нелинейностей, трактуемых в смысле М. А. Красносельского, А. В. Покровского [14] как операторы, действующие в соответствующих функциональных пространствах. 1.3. Понятие гистерезисного преобразователя.
Монотонность по входам можно использовать как основу определения неидеального реле. Для этого нужно вначале определить выходы при монотонных входах. Затем при помощи полугруппового тождества определить выходы при кусочно - монотонных непрерывных входах. После этого установить монотонность по входам и заметить, что определенное на кусочно - монотонных входах соответствие имеет единственное монотонное продолжение на пространство всех непрерывных входов. Построенное продолжение задает оператор (1.3.2) на всех непрерывных входах.
Свойства преобразователя Прейзаха-Гилтая
Модификации приведенных преобразователей оказались весьма удобным средством моделирования потребительского спроса на некоторые виды товаров (в частности, на товары «первой необходимости», спрос на которые, в среднем, падает с ростом цены).
Т.е. функция R{c(t)) принимает значения равные единице, если товар покупается и нуль- в противном случае. Функцию R(c(t)) удобно трактовать как выход некоторого преобразователя R[a(t), /?(/), R0 ], аналогичного неидеальному реле с инверсией роли пороговых чисел а, р, на вход которого поступает сигнал c{t){t 0).
Здесь, в отличие от предлагаемых ранее моделей, учтено, что отношение потребителя к товару может меняться со временем. В модели этому соответствует зависимость от времени пороговых чисел a(t) и /?(/).
Как и в случае с конечным множеством потребителей, континуальный аналог учитывает возможность изменения индивидуальных отношений потребителя к товару. Этим возможным изменениям в модели соответствует зависимость меры /л от t. При этом предполагаем, что при каждом фиксированном t функция /л определяется соотношением (1.3.12). Индивидуальное реле — разрывный преобразователь; тем не менее аналоги преобразователя Прейзаха-Гилтая, используемые в данной работе, в широких предположениях обладают свойством виброкорректности.
Через 4у обозначим класс функций v/(v) (v 0), удовлетворяющих условию Липшица с коэффициентом равным единице: \J/(V)-\/(M) V-M. Теорема 1.4. Преобразователь R(ii) равномерно виброкорректен, если и только, если при любом t мера каждой кривой a + P = i/(p-ct) (а Р), где \j/(v)e4/, равна нулю. Пусть vj/0(v)e4/ и мера кривой P+a = v/0(P-a) (0 p-a y0) (1.5.1) равна ц0 0.
Ломаная Г может быть построена при этом таким образом, чтобы каждая её точка Nu расположенная правее её же точки N2, лежала не выше точки N2. Мера открытой полосы G, расположенной между кривыми Г, (є) и Г2(є), не меньше меры кривой (1.5.1) и, следовательно, не меньше, чем ц0 0.
Операторы #[f0,z0(a,P); [і ] непрерывны в каждой точке u{t) пространства C(t0,tx) в более общих условиях, которые не обеспечивают равномерной виброкорректности преобразователя R(\L). Для такой непрерывности необходимо и достаточно, чтобы мера каждой горизонтальной и вертикальной полупрямой была равна нулю. Функция 2Цє) , где Цє) определена равенством (1.5.3), является модулем виброкорректности каждого оператора R[t0,z0(a,$); ц]. (см. []) Функция А, (є) является при этом оценкой снизу модуля виброкорректности. Отсюда вытекает важное следствие : все операторы [ o zo (ос,Р); п.] удовлетворяют условию Липшица, если и только если функция (1.5.3) допускает оценку А,(є) ує. В частности, справедлива
Настоящая глава посвящена вопросам, связанным с ценообразованием на монотоварных рынках. Из экономической теории известно, что рыночные механизмы допускают равновесие, при котором цены устанавливаются так, что спрос на товары равен его предложению и при этом обеспечивается эффективное распределение ресурсов. В то же время известны периоды кризисов, во время которых равновесные цены оказывались неустойчивыми. Эту неустойчивость можно попытаться объяснить несоответствием рыночных механизмов технологической структуре экономики. Действительно, как правило, выход из кризиса являлся следствием структурных изменений в экономике. При этом вопрос о совместном влиянии технологической структуры экономики и структуры потребительского спроса на запас устойчивости рыночных механизмов исследован недостаточно.
Исследование модели ценообразования
Рассмотренная выше модель ценообразования хп+ї =f(xn,A,а), где f(x, А,а) = Ах(\-ха), по заданному начальному условию JC0 однозначно определяет бесконечную траекторию х0,Хі,...,х„,... Ввиду принятой гипотезы о разделении времен представляет содержательный интерес изучение асимптотического (при п - оо ) поведения цены. Простейшими типами предельных траекторий системы (2.1.6) являются неподвижные точки х, для которых х = f{x, А, а), и периодические траектории. Периодической траекторией периода Т называется набор несовпадающих точек Х\,Х2,...,хт, таких, что х2= /(х{,А,а), х3 = f(x2,А,а), ..., хт = /(лгг_],А,а), х} = f(xT,А,а). При всех А 0, а \ у динамической системы (1.6) имеется неподвижная точка д: = 0, соответствующая бесконечно большой цене на товар. Кроме того, при А 1, а 1 существует еще одна неподвижная точка хр{А, а) = (1 -1/А)Уа, соответствующая равновесной цене1). Траектория, порожденная точкой хр(А,а), выделяется с содержательной точки зрения, как единственная траектория, на кото-рой прогноз цены потребителя и производителями товара совпадает с реализацией, и производство согласовано со спросом. На периодических тра Равновесной называется цена на товар, при которой спрос на него равен предложению. екториях в среднем наблюдается избыток производства над спросом. Действительно, справедливо следующее
Зингера следует, что динамическая система (2.1.6) при а \ имеет не более одной устойчивой периодической траектории. Причем, если устойчивая периодическая траектория существует, к ней притягиваются почти все траектории системы (2.1.6) и заведомо траектория с начальным условием xc=W + a))Ua.
На рис. 2.1 изображено дерево бифуркаций, т.е. зависимость аттрактора от параметра А. Проведенные численные эксперименты позволили установить следующие факты. Во-первых, амплитуда колебаний периодических траекторий при А А2(а) имеет тот же порядок, что и равновесная цена. Во-вторых, величина А2(сх)-А1(а) в несколько раз больше величины Ах(а) - А2(а) (см. таблицу 1). Величину Аа0(а) можно вычислить с помощью принципа универсальности Фейгенбаума, согласно которому последовательность Ап(а) сходится к Ах(а) асимптотически, как геометрическая прогрессия со знаменателем 1/J, где «4,669 - универсальная постоянная Фейгенбаума.
Таким образом, с увеличением параметра А = М/Р динамика цен становится трудно прогнозируемой, и это обстоятельство препятствует деловой активности экономических агентов. Величины А](а),А2(а),...,А Х)(а) являются характеристиками устойчивости рыночных механизмов. Увеличение темпа роста производства уменьшает диапазон устойчивости рыночных механизмов (см. табл. 1 и рис. 2.2), что согласуется с представлениями экономистов о перегретой экономике
В динамической системе (2.2.3) положения равновесия, соответствующие равновесной цене, существуют при А А0 (а). Заметим, что Л0(ог) = 0 при /? 1, А0(а) = \ при /? = 1, А0(а) 1 при J3 1. При /? 0 в численных экспериментах наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода, причем сохраняются отмеченные особенности дерева бифуркаций (см. рис. 2.3, 2.4). При /? 0 наблюдается лишь первая бифуркация удвоения периода.
Заметим, что с увеличением параметра /?, т.е. по мере возрастания необходимости товара, бифуркационные значения параметра Ап(а) возрастают (см. таблицы 2, 3). Значит, повышается устойчивость рыночных механизмов. 2.3. Рыночное регулирование простейшей технологической цепочки.
Рассмотрим технологическую цепочку, состоящую из двух отраслей. Первая отрасль выпускает конечный продукт первой необходимости, спрос на который не зависит от цены и равен Р, и использует при этом продукцию второй отрасли в фиксированной пропорции а. Кроме того, отрасли используют в качестве текущих затрат однородные трудовые ресурсы. В каждой из отраслей технологии производства различаются нормами затрат труда на выпуск единицы продукции. Обозначим через і(Лі,0 и 2(Лг 0 плотности распределения мощностей по технологиям в первой и второй отрасли, через vx и v2 - наилучшие технологии производства в первой и второй отрасли, через С1 и С2 - цены на продукцию первой отрасли и второй отрасли, соответственно, через s - ставку заработной платы.
При равновесии рынка промежуточного продукта (2.3.1) в каждый момент времени / между технологиями первой и второй отрасли можно установить соответствие так, что в зависимости от р и s пары технологий одновременно используются или не используются. Каждой такой паре можно сопоставить агрегированную технологию, задаваемую суммарной трудоемкостью Л.
Таким образом, во второй главе разработана математическая модель ценообразования на монотоварных рынках с учетом нестационарности потребительских отношений, проведено исследование этой модели, построено множество устойчивых нетривиальных решений.
Задача о производстве, потреблении и сбыте товара
Доказанная теорема позволяет строить оптимальную ценовую стратегию в рамках предложенной модели для достижения максимальном прибыли на конечном временном интервале. Цена на товар сначала должна упасть до нуля, а затем достигнуть некоторого оптимального значения. Этот вывод находится в полном соответствии реальной жизнью: в 1958 г. Известный экономист Р. Фельдбойм в своих рекомендациях одной из продуктовых компаний выходящей на американский рынок советовал опустить цену в начальный период на сколько это возможно и лишь после этого плавно повышать до некоторого оптимального значения. В последствии этот подход стал общепринятым и был с успехом реализован различными фирмами.
Если говорить немного не строго, то для достижения оптимального результата сначала нужно «включить» неидеальные реле (падение цены до нуля), а затем искать компромисс между числом потенциальных покупателей и ценой товара. В заключение этого раздела отметим ряд возможных обобщений теоремы 3.1. Если отказаться от предположения о лебеговости меры ju, то теорема 3.1 остается верной, единственное отличие будет заключаться в том, что оптимальное значение цены U будет определяться иным соотношением (очевидно, оно будет зависеть от меры ju) и может быть приближенно найдено одним из численных методов. В ситуации, когда мера Иа,р будет зависеть от времени, оптимальное значение цены так же будет являться динамическим параметром.
Рассмотрим теперь задачу о производстве хранении и сбыте товара в общей постановке. Обозначим через Z(t) - количество товара на складе у производителя, V(t) - количество товара у потребителя, U(t) - темп производства, P(t) - темп продаж (количество продаж в единицу времени), к] — коэффициент потребления, &2 - коэффициент затрат на хранение единицы товара, c(t) - цена единицы товара.
Таким образом, задача о производстве сбыте и хранении товара сводится к задаче оптимального управления: найти такие функции U(t), c(t) (te[0,TJ), удовлетворяющая системе (3.2.1) - (3.2.4) при которых функционал (3.2.5) максимален. Очевидно что, если U(t) =0 (производство не включается) то J(T)=0. Такое решение называется тривиальным. Поэтому нужно найти такие ограничения на параметры задачи, при которых можно получить ее оптимальное решение отличное от тривиального, и такие, что J(T) 0.
Отметим, что выбор зависимости функции продаж от цены не позволяет найти min Гамильтониана стандартными методами дифференциального исчисления. В общем случае преобразователь (3.2.3) -(3.2.4), рассматриваемый как оператор из С(0Г) в себя не имеет даже слабой производной Гато. Поэтому для нахождения min функции (3.2.6) по с необходимы другие методы. Для упрощения выкладок рассмотрим отдельное выражение V(c) = -P(c + Pl-p2) (3.2.8)
Что касается уравнения (3.2.14), то его начальное условие должно удовлетворять неравенству рі(0) -1, т.е. производство должно включаться в начальный момент времени. Иначе просто можно уменьшить интервал [О, Т]. Таким образом, для решения поставленной задачи нужно определить условия обеспечивающие существование функций c(t), p2(t), удовлетворяющие уравнениям (3.2.13), (3.2.14) и краевому условию (3.2.16).
Таким образом, в третьей главе построена модель задачи об оптимальном производстве хранении и сбыте продукции, разработан алгоритм ее решения в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты работы В работе «Анализ математических моделей экономических систем с гистерезисными явлениями в условиях нестационарности»: проведен анализ известных математических моделей ценообразования, показано, что учет инертности потребительского спроса и изменения потребительских отношений в зависимости от времени требует новых подходов к синтезу математических моделей и нового анализа решения соответствующих задач; получена модель функции потребительского спроса, которая трактуется как выход нестационарного гистерезисного преобразователя; разработана модель процесса ценообразования на монотоварном рынке в виде нелинейного конечно-разностного уравнения первого порядка, позволяющая получать при различных параметрах рынка траектории изменения цены в зависимости от времени; проведено исследование конечно-разностной модели процесса ценообразования на существование нетривиальных устойчивых решений, предельных циклов и бифуркаций, что обеспечивает исследование устойчивости рынков с различными параметрами; разработан алгоритм решения задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте продукции в условиях гистерезисной функции спроса и нестационарности потребительских отношений.
